Transferencia de calor

Javier García Molleja

Física II/Física Experimental II

1. ¾Cómo se transifere el calor?

El primer principio de la termodinámica habla sobre la conservación de la energía,que para sistemas se puede expresar como

∆U = Q−W,

o sea, la energía interna del sistema cambia dependiendo de los intercambios de calor ytrabajo con el ambiente, cuyos signos dependen del convenio que se elija.

Es el momento de hablar de la magnitud Q, que no es otra cosa que el calor. Por lotanto, Q habla de la energía que se transmite entre dos focos a diferente temperatura. Lamanera en que se hace tal transferencia obedece al segundo principio de la termodinámica,por lo que el calor irá del cuerpo más caliente hasta el más frío.

Por la de�nición de calor se entiende que es una magnitud diferente a la temperatura.Puede haber temperatura en un cuerpo aislado, pero no calor, puesto que es indispensableesta transferencia.

Tal transferencia puede darse mediante tres mecanismos:

Conducción: el calor se trans�ere de un foco a otro, pero es necesario un medio paraello. La conducción se lleva a cabo por la excitación de partículas, que vibran al estara una temperatura determinada. Así, las colisiones irán subiendo la temperatura(que no es otra cosa que un promedio de velocidades) al transferirse el calor haciazonas más frías (a temperaturas más bajas).

En condiciones estacionarias la conducción obedece a la Ley de Fourier :

qc = −kA~∇T,

con qc el �ujo de calor que se considera como una potencia (variación de energía porunidad de tiempo), k es la conductividad térmica (con unidades de W/m·K paraun medio isótropo) y A el área que está en contacto con el medio que trans�ere elcalor.

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Convección: el calor se trans�ere utilizando un medio y siguiendo las diferenciasde temperatura. Una condición necesaria para que se dé la convección es que elmedio sea �uido. De esta manera el calor irá de una zona de mayor temperaturaa una de menor temperatura, de tal modo que las partículas que abandonaron lazona caliente se alojen en la fría y la zona que deja libre será ocupada por partículasfrías, que en contacto con el foco aumentarán de temperatura. Es el típico ejemplodel fuego de hornilla calentando la cazuela (donde el calentamiento del agua por lacazuela se da por conducción).

Dicha convección puede darse de manera natural o forzada: desplazamiento de masasdel �uido por diferencias de temperatura u obligando al �uido a moverse de unamanera determinada. La convección obedece la Ley de enfriamiento de Newton:

qv = hA∆T,

donde qv es el �ujo de calor ocasionado por la convección y h es el coe�ciente deconvección (con unidades de W/m2K).

Radiación: la materia se compone de átomos con núcleo y nube de electrones. Siestos electrones sufren transiciones entre orbitales el exceso de energía es liberado enforma de fotones, por lo que estos cuerpos radían y trans�eren por tanto parte de sutemperatura en forma de calor por radiación. Ya que las ondas electromagnéticas quese generan por las transiciones electrónicas no necesitan un medio para propagarse,este tipo de transferencia se da bajo cualquier condición, es decir, no hace falta unmedio, ni contacto entre cuerpos ni condiciones especiales en el medio (como quesea �uido, por ejemplo).

Se conoce como cuerpo negro a una entidad que absorbe todo tipo de radiaciones,no se transmite ni re�eja nada. Para obedecer a los principios de conservación tienenque emitir parte de esta radiación. Los cuerpos negros son ideales, por lo que uncaso más real será el cuerpo gris, donde parte de la radiación puede transmitirse ore�ejarse, por tanto, la e�ciencia de los cuerpos grises al reemitir parte de la energíaentregada es menor que para los cuerpos negros. El �ujo de calor qr transferido porradiación sigue la Ley de Stefan-Boltzmann:

qr = Aεσ∆T 4,

con ε el factor de cuerpo gris y σ = 5,6699 · 10−8 W/m2K4 la constante de Stefan-Boltzmann. Aunque la temperatura T esté a la cuarta potencia la constante σ esmuy baja, por lo que en condiciones normales (o sea, cotidianas en la Tierra) noserá de mucha magnitud y los otros dos mecanismos de transferencia de calor seránpredominantes.

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2. Un ejemplo en la ciencia-�cción: astronautas y el frío

sideral

Tras la descripción teórica, vamos a ver un ejemplo. Recordemos un pasaje en el librode Arthur C. Clarke titulado 2001: una odisea espacial. En cierto momento la inteligenciaarti�cial HAL9000 deja al astronauta David Bowman en una cápsula EVA, pero fuera dela Discovery One. Entonces, para entrar a la nave tiene que acceder manualmente, perono dispone de casco, por lo que durante algunos segundos va a estar sometido a muy bajaspresiones y al frío sideral.

Muchos se preguntarán si Bowman no muere instantáneamente. A tan bajas presionesdebería descomprimirse y explotar, o que la sangre comenzaría a hervir quemándolo pordentro. Otros quizás apuesten por que se congele de inmediato. La verdad es que nose daría ninguna de estas y vamos a hacer un ejemplo donde se vea la relevancia de latransferencia de calor por radiación.

Para no asustar a varios podemos decir que el sistema circulatorio posee una excelenteregulación barométrica, por lo que puede resistir, junto a la piel, fuertes cambios de presióny quedar aislado de las condiciones externas. Así que no hay explosiones truculentas. Paraproteger algo más a nuestro hipotético astronauta, vamos a situarno no rumbo a Saturno,sino a 100 km de altura de la super�cie de la Tierra y en la cara que está oculta del Sol.La presión en este punto es de pe = 0, 032 Pa y la temperatura Te = 93 K (o sea, −180oC).

A estas altitudes solo habrá hidrógeno atómico como componente mayoritario. Con-siderando temperatura y presión previamente descritas y el diámetro del H (106 pm) elcamino libre medio (la distancia promedio entre colisión y colisión) será de 4 m. Tal valordescarta que el medio en el que esté el astronauta sea �uido, por lo que la convección

no es posible, luego qv = 0 W.En cuanto al mecanismo de conducción, no será muy elevado en estas condiciones.

La densidad es de 2,5 · 1018 H/m3. Parece un valor elevado, pero a nivel del mar estadensidad es un millón de veces mayor a lo calculado. Sin embargo, y de modo ilustrativo,vamos a hacer los cálculos para la conducción.

En primer lugar, y como buenos físicos, se supone que el astronauta sin casco puedeser representado por una esfera perfecta de área A = 4πr2c , con rc = 0,1 m siendo el radiode la cabeza. La temperatura que posee el astronauta será la de la sangre, es decir Tc = 37oC o 310 K.

Como simpli�camos al astronauta a una esfera tendremos que determinar la expresiónde qc para una conducción entre esferas. Así, el gradiente de temperaturas expresado encoordenadas esféricas (y suponiendo que el medio es isótropo para que no haya variacionesangulares aunque sí radiales) queda como

~∇T =dT

dr~r.

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Por consiguiente, podemos operar en la Ley de Fourier:

qc =− k4πr2dT

drdr

r2qc =− 4πkdT

q

∫ re

rc

dr

r2=− 4πk

∫ Te

Tc

dT

− qcr−1]rerc

=− 4πk T ]Te

Tc

qc

(1

re− 1

rc

)=4πk(Te − Tc)

qc =4πk(Te − Tc)

1re− 1

rc

(1)

Como incógnita queda el valor de re, el radio del espacio. No se pierde mucha infor-mación si suponemos que tal radio vale in�nito. Y es que el universo es enorme.

Bien, para conocer el valor solo hace falta conocer k. Para ello debemos recurrir aaproximaciones microscópicas y tener en cuenta distribuciones de partículas:

k =n〈v〉λcv

3NA

,

con n la densidad de partículas, 〈v〉 el promedio de velocidades de las partículas, λ elcamino libre medio, cv el calor especí�co a volumen constante y NA = 6,022·1023 part/molel Número de Avogadro. Los valores de n y λ ya han sido calculados a la hora de descartar elmecanismo de convección. Con los valores ya conocidos podemos suponer que el entornode H se comporta como un gas ideal, por lo que cv = 3

2R, con R = 8,31 J/K·mol la

constante de los gases ideales.De esta manera solo queda por determinar 〈v〉 que se puede conocer mediante la

energía cinética E = 12mv2, con m = 1,007797 u la masa del átomo de hidrógeno (hay

que multiplicar por 1,66 · 10−27 para saber su masa en kg). El valor E puede ser calculadosi consideramos que el entorno es un gas ideal y está en equilibrio, de tal manera quelas velocidades de las partículas obedecen a una distribución de Maxwell-Boltzmann. Conesto, el valor medio de la energía cinética es E = 3

2kBT, donde kB = 1,38 · 10−23 J/K es

la constante de Boltzmann. Todos los datos son conocidos, por lo que igualando estas dosecuaciones y despejando la velocidad se llega a que

v =

√3kBT

m= 1516 m/s.

Con toda esta vuelta podemos ir directamente a la ecuación de k y sustituir todos losvalores para determinar que bajo estas condiciones la conductividad términa alcanza unvalor de k = 0,104 W/m·K.

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Ya es posible acudir a la ley de Fourier para conducción entre esferas, por lo queoperando se tiene que qc = 28 W.

Ahora, tras este lío, veamos el �ujo de calor que pierde la cabeza del astronauta porradiación. Antes que nada es necesario dar una estimación al factor de cuerpo gris quepor tradición es de 0,7 cuando se habla de piel humana (nuestro astronauta parece quees calvo o le gusta raparse al cero). Con la ley de Stefan-Boltzmann se puede calcular demanera rápida que qr = 46 W.

Por consiguiente, nuestro astronauta de �cción pierde más calor mediante efectos ra-diativos que conductivos, al contrario que en muchos ejemplos que se dan en la Tierra.

Entonces la suposición es que el astronauta debe morir, si no se da prisa, por congela-miento. Pero podemos hacer una aproximación somera para ver de cuánto tiempo estamoshablando. ¾Se congela entonces de manera inmediata? Para empezar, un cuerpo humanono es un foco in�nito, cuenta con una reserva limitada de energía, que la va perdiendopoco a poco (por eso tenemos que comer cada poco). Supongamos que el astronauta es unpequeño reservorio de energía que se encarga de mantener la temperatura constante de 37oC. ¾Cuánta energía posee este reservorio? Consideremos que esta energía es igual a la quees necesaria consumir diariamente para estar saludable (según los organismos internacio-nales de salud). De estas exigencias energéticas que dependen de la talla, el peso y la edad,el 50% se consume en metabolismo y, por tanto, en mantener la sangre caliente (comodato, de lo que sobra, el 40% se destina a producción de proteínas y el 10% restante enfunciones musculares). Una persona adulta entonces necesita diariamente alrededor de 4MJ para mantener el metabolismo en condiciones óptimas. Por tanto, consideremos queel reservorio contiene esta cantidad de energía.

Mediante simples reglas de tres, al ser el �ujo de calor una potencia (variación deenergía por unidad de tiempo), sabemos cuánto tiempo tarda en perder toda la energíaalmacenada para entonces ir de los 310 K hasta los 93 K del entorno:

Para la conducción tomaría aproximadamente 40 horas.

Para la radiación llevaría como 24 horas.

Esto quiere decir, que si el astronauta no puede entrar en un sitio seguro en pocosminutos, lo más probable es que muera por as�xia, no por congelamiento.

Estos cálculos son magnánimos para con el astronauta, ya que los problemas se daríancuando la temperatura de la sangre bajase de los 30 oC, puesto que entraría en hipotermiagrave. El tiempo que tardaría en bajar estos 7 oC nos lo da la ecuación de calor :

∂T

∂t= α~∇T,

con α la difusividad térmica. Esta ecuación en derivadas parciales considera el procesotransitorio (puesto que la ley de Fourier era para procesos estacionarios), por lo que estoconsidera otros puntos que no se exigen en el nivel de estas asignaturas, por lo que hayque esperar para saber cómo resolver tal ecuación.

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