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Transferencia de Energía 1547 Grupo 3 -...
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Transferencia de Energía
1547
Grupo 3
2014-08-11 3ª
2014-08-11
Contenido
Balance de una propiedad conservativa;
Ecuación de continuidad;
Tipos de derivadas
dV
0
Vvt
G
w
tdt
d
v
tDt
D
tdt
d
v 0t
Concentración de
Flux de por convección: v
Transporte de una propiedad conservativa φ por convección y por
difusión molecular .
Flux de por difusión:
Flux total de : v
No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;
Postulados:
* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual
implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;
* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el
elemento de control.
Balance General de una Propiedad Conservativa φ .
Enfoque Vectorial
Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0
dV
Balance General de una Propiedad Conservativa PC en el elemento de control EC
Principio de Conservación a la PC de interés en el EC:
dV
Acumulación de PC
Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por DifusiónPC PC
Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por ConvecciónPC PC
Rapidez de Transformación de PC
neta
ne
Acumulación de
Rapidez de transporte de por Difusión
Rapidez de transporte de por Convección
Rapidez de Transformación
ta
de
PC
PC
PC
PC
Transporte por Difusión molecular
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux diferencial por difusión molecular:
Flujo diferencial por difusión: ndA
Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA
Flux positivo
El flux y v van en dirección opuesta
Flujo diferencial de salida por difusión: ndA
El flux y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Difusión Molecular
Flujo total de entrada =
ENA
ndA
=
ENA
ndA =
ENA
n dA
Flujo total de salida =
SAA
ndA =
SAA
n dA
Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
dV
Difusión Molecular
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
=
EN SAA A
n dA
Flujo Neto total por Difusión = ECA
n dA
Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA
n dA
RNTD = ECA
n dA
pc
flux =tiempo × área
pc flujo= flux × área = = rapidez
tiempo
Transporte por Convección
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux por Convección = v
Flujo diferencial por Convección =v ndA
Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA
n y v tienen direcciones opuestas
n y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA
Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA
dV
Convección
Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA
Flujo total por Convección EN SA
EN SA
A A
neto n v dA n v dA
dV
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo total por Conveción = ECA
neto n v dA
Rapidez Neta de transporte por Convección = ECA
n v dA
RNTC = ECA
n v dA
pc
flux =tiempo × área
pc flujo= flux × área = = rapidez
tiempo
Acumulación
dV Por definición:
d
dt
3
pc concentración de la propiedad conservativa
L
Cantidad de pc que tiene un elemento diferencial : d VV d
Acumulación de pc en el volumen diferencia l :d
dVd
dt
V
Acumulación de pc en todo el volumen control :
C CV
C
V
d d
dt dtV dV dV
Acumulación de
CV
dpc dV
dt
( )
C C CV V A
ddV dV n w dA
dt t
Acumulación A
CV
dVt
Suponiendo que el EC está fijo … v = v … w = 0
De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación queda:
dV
Rapidez de Transformación de la pc
Rapidez de TransformacionDefiniendo:
Volumen G
Rapidez de Transformacion en el elemento diferencial : GdV dV
Rapidez de Transformacion en todo el volumen RT :
C
G
V
V dV
Sustituyendo [A], [RND], [RNC], [RT] en la ecuación de conservación se obtiene el modelo
matemático en términos de la concentración de la propiedad conservativa ψ
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
[RT] ...
C
G
V
dV
RNTD ... CA
ndA
[RNTC] ... CA
v ndA
[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]
... [A]
CV
dVt
Como:
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:
C CA V
ndA dV
C CA V
v ndA v dV
Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:
C C C C
G
V V V V
dV dV v dV dVt
t v G
dV 0
VC
t v G
dV 0
VC
Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de volumen finito, es decir que
dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se cumple si y solo si:
Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ
t v G
0
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección Transformación
Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una propiedad conservativa φ en
términos de la concentración de dicha propiedad ψ
Por lo tanto, la expresión del balance de una propiedad conservativa φ , puede expresarse en
términos de la concentración de dicha propiedad ψ y de la derivada material (el observador se
mueve con la misma velocidad que el elemento de control: v = w) de la siguiente manes:
Balance de una propiedad conservativa expresada en términos de la derivada material
Como: 0 G Gv vt t
Como: v v v
Para fluidos incompresibles: 0 v v v
v vt t
Derivada material:
Dv
Dt t
G
D
Dt
Ecuación de Continuidad… es un caso particular de Balance de Masa, que tiene las
siguientes restricciones
1. Solamente hay trasporte por convección;
2. No hay transformación.
En el balance de la propiedad conservativa φ , ψ representa a la concentración de φ , es
decir PC/volumen.
t v
G
0
Por lo tanto, en el modelo de transporte de masa en un sistema donde no cambia su
composición se cumple: φ = masa ; consecuentemente ψ = masa / volumen = densidad = ρ
Ecuación de Continuidad: v 0t
Como:
Gv 0t
0Gvt
0, porque ni ni son funciones de la posición
0, porque en las transformaciones químicas la masa total se conservaG
z
yx
Derivadas con respecto del tiempo: Total, Material, Parcial
Caso: un río y una buza que todo el día se lo pasa nadando …
Sistema: Buza y Río
Elemento de Control: Buza
Río: campo vectorial que afecta al elemento de control
Sistema coordenado: cartesiano rectangular
El traje de la buza es de un material que cambia de
color en función de la temperatura. Por lo tanto, para
tener una idea de la temperatura del río basta ver a la
buza.
Es claro que la temperatura del río es una función de la hora del día
(tiempo) y del lugar (en el que se encuentre la buza: su posición):
),,,( zyxtTT 18
z
yx
Posibilidades:
1. Río y buza tienen diferente velocidad (magnitud y/o dirección);
2. Río y buza tiene la misma velocidad (magnitud y dirección);
3. Buza no se mueve (velocidad de la buza = 0).
v
w
En este caso, el color del traje de la buza nos permite conocer la temperatura de diferentes
porciones agua (las que mojan a la buza cuando la tocan), en diferentes partes del río
(posición donde se encuentre la buza) y a diferentes horas del día (tiempo):
La temperatura del agua del río es función
de la posición y el tiempo:
1. El río y la buza tienen velocidad y dirección diferentes
),,,( zyxtTT
19
z
yx
v
w
Como la temperatura del agua que moja a la buza es una función de la posición y del tiempo:
dtt
Tdz
z
Tdy
y
Tdx
x
TdT
t
Tw
z
Tw
y
Tw
x
T
dt
dTzyx
Consecuentemente, a variación de la temperatura del agua que moja a la buza es un función
de la posición y el tiempo esta dada por:
),,,( zyxtTT
dt
dt
t
T
dt
dz
z
T
dt
dy
y
T
dt
dx
x
T
dt
dT
20
1. Río y buza tienen velocidad y/o dirección diferentes: T = T(x,y,z,t)
v
w
Por otro lado, utilizando notación vectorial se tiene:
21
x y z
dT T T T Tw w w
dt x y z t
x y zw iw jw kw T T T
T i j kx y z
x y z
T T Tiw jw kw i j k w T
x y z
Como: ; i j i j 1 i j i j 0
x y z
T T Tw w w w T
x y z
derivada totaldT T
w Tdt t
),,,( zyxtTT
2. Río y buza tienen la misma velocidad: v
En tales condiciones, la buza nos permite conocer la temperatura de una porción de agua (la
misma que siempre rodea/moja su traje) cuando dicha porción de agua esta en diferentes
partes del río (posición) y a diferente hora del día (tiempo):
La variación de la temperatura del río en función de la posición y el tiempo esta dada por:
z
v
xy
22
T T T TdT dx dy dz dt
x y z t
dT T dx T dy T dz T dt
dt x dt y dt z dt t dt
x y z
dT T T T Tv v v
dt x y z t
Derivada MaterialdT T DT DT
v Tdt t Dt Dt R
3. Buza no se mueve: w = 0
En este caso la buza nos permite conocer la temperatura de las diferentes porciones de agua
que pasan por el mismo punto, a diferentes tiempos
La variación de la temperatura del río en función de la posición y el tiempo esta dada por:
porque w=0vzx
y
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En general: T T t,x, y,z
T T T TdT dx dy dz dt
x y z t
x y z
dT T T T Tw w w
dt x y z t
Derivada Parcial (Espacial)dT dT T
dt dt tr
dT T dx T dy T dz T dt
dt x dt y dt z dt t dt
Operador de las tres derivadas. Coordenadas Cartesianas.
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w
z
y x
v
1. Derivada Total, : d
wdt t
w v
1. Derivada Material, :D
vD
w vt t
z
v
xy
1. Derivada Parcia l, :d
dt tw 0
vzxy
Teorema de Divergencia… Gauss, Green, Ostrogradsky
El Teorema de Divergencia permite expresar la integral de superficie cerrada de una
propiedad de interés en términos de la correspondiente integral de volumen de la misma
propiedad de la siguiente manera:
VA
dVGdAGn
G representa la propiedad de interés
dV
A α V
Considere el elemento de control EC que se muestra en las dos figuras siguientes, el cual
tiene una superficie cerrada A y un volumen V.
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Teorema de Divergencia… Gauss, Green, Ostrogradsky
En Fenómenos de Transporte, el Teorema de Divergencia se suele aplicar a propiedades que
se expresan en términos de Tensores de orden: i) cero (escalar, S); ii) uno (vector, v); y iii)
dos (tensor, T)
A V
n TdA TdV
G representa la propiedad de interés
VA
dVvdAvn
VA
SdVSdAn
VA
dVGdAGn
dV
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Teorema de General Transporte
Expresa la rapidez de cambio respecto al tiempo de la integral de volumen una propiedad de
interés que está contenida en un elemento de control (volumen V y área cerrada A) que se
mueve con una velocidad w y que está bajo la acción de un campo vectorial v. La velocidad w
puede ser función de la posición (cuando el EC se está deformando) y/o del tiempo (cuando
el EC sufre una aceleración).
G representa la propiedad de interés
( ) ( ) ( )
( )
a a aV t V t A t
d GGdV dV G w n dA
dt t
z
yx
v
w
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Teorema de Transporte de Reynolds
Expresa la rapidez de cambio respecto al tiempo de la integral de volumen una propiedad de
interés que está contenida en un elemento de control (volumen V y área cerrada A) que se
mueve con la misma velocidad que el campo vectorial en el que se encuentra: v. La
velocidad v puede ser función de la posición (cuando el EC se está deformando) y/o del
tiempo (cuando el EC sufre una aceleración).
G representa la propiedad de interés
( ) ( ) ( )
( )
m m mV t V t A t
D GGdV dV G v n dA
Dt t
z
v
xy
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Transferencia de Energía
Fin de 2014-08-11 3ª
