Transferencia de Masa

2012-09-11-11ª

Temas a tratar

• Expresiones de flux molar Ni y Ji*;

• Primera ley de Fick;

• Experimento de Stefan-Boltzman;

• Flux difusivo y convectivo.

Ejemplo 16.1-1 BSL

Objetivos:

1) Encontrar la relación que hay entre las expresiones de flux molar: * y i iJ N

Por definición, es el flux molar de referido a un un punto fijo: i i i iN i N c v

* * * es el flux molar de referido a una diferencia de velocidades: i i i iJ i J c v v

* 1

1

como:

n

i i

i

n

i

i

c v

v

c

1

donde: n

i

i

c c

* 1

1

n

i i ni i

i i i i i i i

i

c vc

J c v c v c vc c

*

1

2) Demostrar que 0n

i

i

J

Solución

y: i

i

cx

c

*

1

n

i i i i i

i

J N x c v

*

1

... (1)n

i i i i i

i

N J x c v

como: i i iN c v

*

1

Como: n

i i i i i i

i

J c v x c v

*

1 1 1 1 1 1 1 1

1n n n n n n n n

i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i

J c v x c v c v x c v c v x

1

como: 1n

i

i

x

*

1

2) Demostración de que 0n

i

i

J

*

1

0 ... (2)n

i

i

J

* * * *En un sistema binario: 0 A B A BJ J J J

Esto implica que la magnitud del flux molar de A es igual al de B pero se transporta en

dirección opuesta.

Primera ley de Fick

Básicamente, expresa el flux molar de A en términos de la difusión molecular:

*

A AB AJ D c

como: A Ac cx

* A AB A AB AJ D cx D c x

*

1

Por otro lado: n

i i i i i

i

N J x c v

* A A A A A B BN J x c v c v

además: ... =A A A B B Bc v N c v N

2

2 3

moles A 1 moles AL

tL t L L

A A BBA A AcD Nx NN x

Esta ecuación indica que el flux molar de A puede estar compuesto por el flux molar

difusivo de A y el flux molar convectivo de A y de B.

Tabla 16.1-3 BSL… más expresiones de flux para sistemas binarios

Para que la definición (o forma) de flux esté completa deben

especificarse tanto las unidades como el sistema de referencia.

En una buena parte de sistemas comunes en Ingeniería Química se

prefiere el uso de flux molar relativo a coordenadas estacionarias, es

decir Ni

Ejemplo : “Experimento de Stefan”

Considere el caso de un tubo de ensaye que contiene dos materiales, uno es aire (a) y el

otro es agua (w); una parte de w se encuentra en su estado líquido en el fondo de la

probeta, y está saturado con a; la otra parte se encuentra mezclada con a en la fase gas

(a esta “humidificada” con w).

La cantidad relativa de w y de a que hay en las fases gaseosa y líquida depende de las

condiciones del sistema (temperatura y presión, principalmente).

Considere además, que en la parte superior del tubo circula a, con una concentración

de w constante y conocida (xwδ) .

Suponiendo que el sistema esta en equilibrio térmico, a una temperatura tal que la

presión de vapor w es mayor que la presión parcial w en la fase gas (es decir, w tiene

potencial suficiente para pasar de la fase líquida a la gaseosa); y que la presión total

dentro del tubo es igual a la presión externa (esto implica que no hay transporte de

masa producido por un gradiente de presión), obtener las expresiones (modelo

matemático) de:

i) Composición (fracción molar) del w en la fase gas: xw;

ii) Flux y flujo molar en la superficie del líquido y a la salida del tubo.

Características del experimento:

# Hay gradientes (claros) de w y a respecto a la coordenada z;

# Los gradientes de w y a son opuestos;

# En la fase líquida, w está saturada de a; además, a no puede salir a través del fondo

de la probeta;

# Hay un flux de w; es hacia arriba, y puede ser por difusión y por convección.

z ww xx

y a w

y w a

z 0 0ww xx

Esquema

AA AzAr A

NC N1 1r N R

t r r r z

Balance diferencial molar de A en coordenadas cilíndricas

Tabla 18.2-1 de BSL

En términos de NA

A A A Ar z

2 2

A A AAB A2 2 2

C C C C1v v v

t r r z

C C C1 1D r R

r r r r z

En términos de CA

Plawsky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico

AA AzAr A

NC N1 1r N R

t r r r z

Modelo (restricciones)

Para obtener el perfil de la composición de la fase gaseosa en términos de la fracción

molar de w –x(z) – se debe hacer un balance de w, y tomar en consideración las

restricciones del modelo.

Analizando la ecuación de conservación de w en términos del flux, se tiene:

1 3 3 4

1) Estado estacionario: 0d

dt

2) Temperatura y presión constantes

3) Flux de ocurre solamente en la dirección 0zw z Nw

4) No hay reacción: 0wR

5) Flux de puede ser difusivo y convectivow

Tabla 18.2-1 ... Coordenadas cilíndricas

1 1 w w wz

wr w

C N Nr N R

t r r r z

constante ... (1)wzN wzN0

z

Notar que esta igualdad es el balance de w en términos del flux

... (1)wN

w w difusión w convecciónN N N w wa w wN D C vC

Esta conclusión tiene una utilidad limitada, en cuanto a que no hay “medidores de

flux”. Por lo tanto, es necesario expresar al flux en términos de “medibles”.

De acuerdo con las posibilidades de transporte y la definición de flux, se tiene:

ww wa z w

dCN D v C

dz

El transporte ocurre solamente en la dirección z, por lo tanto:

w wC C x w

w wa w

dxN D C x

dzvC

Para obtener el modelo de la fracción molar de w en función de z – xw(z) – se

considera que la concentración molar Cw y la fracción molar xw del componente w y la

concentración molar total C están relacionadas de la siguiente manera:

como: =flux molar total

3 w a

L moles tvC N

ota

LN

l

t

ww wa w a w

dxN D C N N x

dz

como: ww wa w a w

dxN D C N N x

dz

w

w wa w w

dxN D C N x

dz

como: w

w wa w a w

dxN D C N N x

dz

... (2)

wa w

w

w

D C dxN

1 x dz

Esta ecuación tiene como variables a Nw, xw z y Na; por lo tanto, para que sea útil es

necesario poner a una de dichas variables en función de otra y/o hacer suposiciones que

permitan simplificar el modelo, como las siguientes:

1) Solución diluida: (Nw+Na) xw=0

2) Contradifusión equimolar : Nw= Na

3) Transporte de w en un medio estático: Na =0 ;

4) El flux neto de a es cero: Na=0

5) Otras Nw=f (Na) atendiendo a la estequiometría, electroneutralidad…

A manera de ejemplo, se considera que en el sistema se cumple la restricción 4, es

decir que el flux neto de a es cero (luego se comentará al respecto): Na=0; entonces , el

modelo que describe el flux de w en términos de variables medibles es:

... (2)

wa w

w

w

D C dxN

1 x dz

Por lo tanto, el modelo que describe el flux de w de este sistema es (2):

constante ... (1)wN wzN0

z

Por otro lado, cuando se analizó el balance de w (expresado en términos del flux Nw, se

asumió que el sistema esta en estado estacionario y no hay reacción química, por lo que

se concluyó que en este sistema el flux total de w es constante:

wa w

w

w

D C dxN

1 x dz

con la condiciones límite: en y en wo wx x z 0 x x z

Combinando las expresiones que describen el balance de w en términos del flux (1) y la

del flux de w (2), se tiene:

Notar que (1) este modelo no considera solamente la difusión molecular de w [ley de

Fick].

Como:

wa w

w

w

D C dxN

1 x dz

con la condiciones límite: en y en wo wx x z 0 x x z

wln 1- x z b

w

w wa

dxdz

1 x D C

Para expresar las constantes ε y b en términos conocidos, se utilizan las condiciones

límite:

wob ln 1- xw

wo

1- x1ln

1- x

w w

wo wo

1- x 1- xzln ln

1- x 1- x

w

w wo

wo

1- x1ln 1- x ln z ln 1- x

1- x

waD C

z

w w

w0 w0

1- x 1- x

1- x 1- x

... (3)

z

ww wo

wo

1 xx 1 1 x

1 x

Como: w w

wo wo

1- x 1- xzln ln

1- x 1- x

Por lo tanto, el modelo que describe el perfil de la fracción molar de w es el siguiente:

v

wx 1 En forma mas simple: donde: ... ... wwo

wo

1 x z1 x v

1 x

Aprovechando que ahora ya se conoce el perfil xw(z), se puede obtener la expresión

del flux de w -Nw- aplicando su definición y se evaluándolo en la frontera de interés,

Como: se debe conocer z

z

wa w ww

w

D C dx dxN

1 x dz dz

vwdx d1

dz dz

z

w w wwo

wo wo

dx 1 x 1 x 11 x ln

dz 1 x 1 x

Como: v

wx 1 vwdx dvln

dz dx

Por lo tanto, las expresiones de Nwo y Nwδ se obtienen combinando las ecuaciones:

w

z

wz

a w

w

D C dxN

1 x dz

z

ww wo

wo

1 xx 1 1 x

1 x

constantez

z

ww w

wo

1 x 1N D C ln

1 x

oz

wN N N

Resultó que Nwo=Nwδ porque el sistema se cumplen las siguientes condiciones: está

en estado estacionario; no hay flux neto de a; no hay ni transformación (química) que

alteren concentración de w; y el área de flujo es constante.

z

w w wwo

wo wo

dx 1 x 1 x 11 x ln

dz 1 x 1 x

Así mismo. el flujo de w en toda la probeta es constante

2 ww w0 w wa

wo

1- x 1q q q r D C ln

1- x

Como: ... es el radio de la probeta2

w wq N r r

Nota

Significado de la consideración (restricción, suposición…): flux neto de a es cero

Na=0

De acuerdo con la definición de flux total (difusivo + convectivo), el flux de a es:

aa wa a

dCN D vC

dz Como: a

a wa a

dCN 0 D vC

dz

Este resultado indica que hay un flux convectivo de a que es igual a un flux difusivo

de a, pero de sentido contrario; esto explica porque el flux total de a puede ser cero.

Sin embargo, para explicar cómo se producen dichos flux de a, se hacen las siguientes

consideraciones:

Por definición de flux total (difusivo + convectivo):

... w aw wm w a wa a

dC dCN D vC N D vC

dz dz como: ... w w a aC Cx C Cx

... w aw wm w a wa a

dx dxN D C vCx N D C vCx

dz dz

w aw a wm w wa a

dx dxN N D C vCx D C vCx

dz dz

Como: w aw a wm w wa a

dx dxN N D C vCx D C vCx

dz dz

como: y w a w aN N vC x x 1

w aw a wm wa w a

dx dxN N D C D C vC x x

dz dz

w awm wa

dx dxD C D C

dz dz

Este resultado indica que el flux difusivo de b da lugar a un flux difusivo de a, pero

tienen sentido contrario; por lo tanto, para que se cumpla que el flux total de a sea

cero se requiere que haya un flux convectivo de a en dirección contraria al flux

difusivo de a, como fue establecido anteriormente:

aa wa a

dCN 0 D vC

dz

como: w

w wa w a w

dxN D C N N x

dz

Como quedaría el modelo si se hiciera uso de las otras suposiciones:

1) Solución diluida: (Nw+Na) xw=0

2) Contradifusión equimolar : Nw= Na

3) Transporte de w en un medio estático: Na =0 ;

4) El flux neto de a es cero: Na=0

5) Otras Nw=f (Na) atendiendo a la estequiometría, electroneutralidad…

Y cual sería la interpretación de los resultados.

No. CARR CUENTA ALUMNO EQUIPO

1 21 308034598 ALVAREZ TALAVERA IRAN ALEXA

2 21 307185745 CEDILLO RODRIGUEZ CESAR

3 21 306075797 CERECEDO MARTINEZ EDGAR

4 21 408068048 CHAVEZ DIAZ OSCAR IVAN

5 21 307112190 CHAVEZ PEREZ ERVAR FRANCISCO

6 21 410088762 CHAVEZ TOVAR JOHAN MICHEL

7 21 307179915 GARCIA DAMIAN LAURA ISELA

8 21 307568023 GONZALEZ LOYOLA JORGE ALEJANDRO

9 21 410002838 GONZALEZ SUAREZ LUIS MARIO

10 21 307058537 GUADARRAMA ZEMPOALTECA YESICA 1

11 21 307105301 GUTIERREZ MEJIA ARACELI

12 21 306270765 JOAQUIN GUERRERO JOSE ANTONIO

13 21 307220691 OLVERA CARREON DAVID

14 21 409065648 SALAZAR CARCAÑO JESUS MANUEL

15 21 307257754 SERRALDE RAMIREZ KARLA CRISTINA

16 21 308129171 SERRATO LUGO ALMA YESENIA

17 21 307683265 SILVA BENGOCHEA SANDRA MAREVA

18 21 411018142 TORRES ANGELES HECTOR IGNACIO

19 21 306036273 VERGARA BALMORI GERARDO