Transformaciones de

gráficas de funciones en el

plano

MATE 3171 – Presentación 11

Funciones Pares e Impares

Las funciones se clasifican como pares o

impares dependiendo del tipo de simetría

que reflejan sus gráficas.

Simetría con respecto al origen(continuación)

• y = ¾x3 ¿simétrica con respecto al origen?

reemplazar –x por x , –y por y, luego simplificar

(-y) = ¾(-x)3

SI es simétrica con respecto al origen.

-y = -¾x3 y = ¾x3

Ejemplos

Decidir si f es par o impar.

a) Si f(x) = 3x4 – 2x2 + 5

b) Si f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x

c) Si f(x) = x3 + x2

Desplazamiento Vertical

Una función h(x) es un desplazamiento

vertical de otra función si c es un valor

real positivo y

h(x)= f(x) + c

h(x)= f(x) – c

Cada h(x) es un desplazamiento vertical

de c unidades hacia la arriba o hacia la

abajo de la gráfica de y = f(x) .

Nota: También podemos describir la transformación que ocurre a cada punto como sigue:

(𝒙, 𝒚) → (𝒙, 𝒚 + 𝒄)(𝒙, 𝒚) → (𝒙, 𝒚 − 𝒄)

Desplazamiento Vertical (cont)

Ejemplo He aquí la gráfica de

f(x) = x2 ,

junto a la gráfica de…

g(x) = x2 + 4 and

h(x) = x2 – 4 .

En notación de funciones,

los desplazamientos

verticales de f(x):

g(x) = f(x) + 4

h(x) = f(x) – 4

EjemploSea g(x) = f(x) - 7 Si (4, -5) y (-2, 10) pertenecen a la gráfica de f, ¿cuál es la transformación de estos puntos para g?Solución:

Ejemplo

Observe la gráfica de f(x) y g(x). Si g(x) es una transformacionde f(x), describe la transformación en notación de funciones.

Solución:

Desplazamiento HorizontalUna función h(x) es un desplazamiento

horizontal de otra función si c es un valor

real positivo y

h(x) = f(x – c)

h(x) = f(x + c)

Cada h(x) es un desplazamiento

horizontal de c unidades hacia la

izquierda o hacia la derecha de la gráfica

de y = f(x) .

Desplazamiento horizontal(cont)

Ejemplo

Describe la transformación de f(x) a g(x) usando notación de funciones.

Prácticag(x) = (𝒙 − 𝟐)𝟐+𝟏

Describir las

transformaciones en el

plano de g(x) en notación

de función.

Describir las

transformaciones en el

plano de g(x)

verbalmente.

Cada punto de la gráfica

sufre las siguientes

transformaciones:

(x,y) ___________

f(x) g(x)

(0,0)

(1,1)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

(2,1)

(3,2)

(4,5)

(1,2)

(0,5)

Reflexión Dada la gráfica de

y = f(x) , la gráfica de

y = – f(x)

se construye reflejando la

gráfica de f(x) sobre el eje-de-x.

Dado f(x) = x2 construimos

g(x) de f(x), tomando cada punto

de f(x), dejando la abscisa igual

y cambiando el signo de la

ordenada

Si 𝟐, 𝟒 ∈ 𝒇 𝒙 ,

𝟐, −𝟒 ∈ −𝒇(𝒙)

Práctica Sea f el segmento de

recta que pasa por los

puntos (-3, 1) y (2, 4).

Esboce la gráfica de:

-f(x)

Estiramiento y compresiónvertical

Un estiramiento vertical es un estiramiento de la gráfica alejándose del eje de x. g(x) = cf(x) when c > 1

Una compresión vertical es un encogimiento de la gráfica hacia del eje de x. g(x) = cf(x) cuando 0 < c < 1 .

Estiramiento y compresiónvertical

EjemploAquí se muestran las

tablas de valores de las

3 funciones

Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,4y)

Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚

𝟒)

EjemploAquí se muestran las

tablas de valores de las

3 funciones

Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,5y)

Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚

𝟏𝟎)

Estiramiento y compresiónhorizontal

Dado y = f(x) , si se construye una nuevafunción g(x) = f(cx) cuando c > 1 ; ó g(x) = f(cx) cuando 0 < c < 1 .

Entonces, la función nueva será un estiramiento o una compresiónhorizontal de la gráfica de y = f(x) .

Compresión horizontal

Estiramiento horizontal

Ejemplo

v(x) = x3 - 4x La ecuación cuya gráfica es

una traslación 2 unidades

hacia arriba de v(x):

w(x) = x3 - 4x + 2

…una traslación 3 unidades

hacia abajo de v(x)

w(x) = x3 - 4x - 3

…una traslación 4 unidades

hacia la derecha de v(x)

w(x) = (x-4)3 - 4(x-4)

Ejemplo

v(x) = x3 - 4x Estirar verticalmente por un

factor de 2

w(x) = 2(x3 - 4x) = 2x3 - 8x

Comprimir v(x) horizontalmente

por un factor de 3

w(x) = (3x)3 - 4(3x) = 27x3 - 12x

Reflejar sobre el eje de x:

w(x) = -(x3 – 4x)

FIN