Transformaciones Isométricas.

Gonzalo Maureira León.Profesor de Matemáticas y Licenciado en

Educación.2013.

TRANSFORMACIONES

En una transformación isométrica:

1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura.

2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

ISOMÉTRICAS

Tipos de transformaciones isométricas

Simetrías o reflexiones

Traslaciones

Rotaciones o giros

Axial o especular

Central

Simetrías o reflexiones

Se puede considerar una simetría como

aquel movimiento que aplicado a una

figura geométrica, produce el efecto de un

espejo.

Tipos de simetrías

Axial (reflexión respecto de un eje)

Central (reflexión respecto de un punto)

O

En una simetría axial:

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría.

El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría.

A’

A

En una simetría central:

El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico.

Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.

O

A’

A

Simetrías en un sistema de ejes coordenados

En torno al eje XEl simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)

En torno al eje YEl simétrico deP(a,b) es P’(-a,b)

En torno al origenEl simétrico deP(a,b) es P’(-a,-b)

P

P’

PP’

P

P’

Traslaciones

Se puede considerar una traslación como el

movimiento que se hace al deslizar una

figura, en línea recta, manteniendo su

forma y tamaño.

En una traslación:

Al deslizar la figura todos los puntos

describen líneas rectas paralelas entre

sí.

En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección (horizontal, vertical u oblicua).

Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).

Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados

En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación.

Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

En el par ordenado la primera componente

recibe el nombre de abscisa y la segunda

componente el nombre de ordenada.

A(4,6)

A’ (2,3)

Traslación de A(4,6)

a través del vector v(-2,-3)

Traslación de B(-5,2)

a través del vector v(4,4)B(-5,2)

B’(-1,6)

Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano.

Traslación de C(-4,-2)

a través del vector v(7,1)

C(-4,-2)

C’(3,-1)

En la abscisa:

Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.

Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.

En la ordenada:Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.

Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Rotaciones o giros.

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto.

Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

En una rotación se identifican tres elementos:

El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación.

La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación.

El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

O

MM’

N’

N

.

Rotación en 90º en torno al origen:

A

x

yA

x

y

A’

A’x’

y’x’

y’

Entonces: x’ = -y y’ = x

Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

Rotación en 180º en torno al origen:

A

x

y

A’

x’

y’

A

x

y

A’

x’

y’

Entonces: x’ = -x y’ = -y

Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

Importante

Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.