TRANSFORMACIONES LINEALESTRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOSVECTORIALES SOBRE UN MISMO CUERPOSean dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo .La funcin : es una transformacin lineal u homomorfismo si y solo si:1) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de es igual a la suma de sus imgenes en es decir:

2) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector:

Ejemplo:Sean los espacios vectoriales . La funcin: definida por indique si es una transformacin lineal.

Solucin1)

2)

Se comprueba las dos condiciones por los tanto si una transformacin lineal.Observacin: Una aplicacin, funcin o transformacin lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial, para transformarlo en un elemento de otro subespacio, en las transformaciones lineales se preservan las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector. El termino funcin lineal es usado incorrectamente en el anlisis matemtico y en la geometra para designar una recta o en general una variedad lineal.

Ejemplo:Supongamos que es una transformacin lineal que verifica Halle la imagen de Solucin:

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALESSea : una transformacin lineal, denotemos mediante a los vectores nulos en respectivamente.1) La imagen del vector nulo del primer espacio por toda transformacin lineal es el vector nulo del segundo espacio.

2) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto de su imagen.

NUCLO DE UNA TRANSFORMACIN LINEALEl ncleo de una transformacin lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imgenes por son el vector nulo del codominio. El smbolo se lee nucleo de, por definicin . El nucleo de toda transformacin lineal es la preimagen del vector nulo del segundo espacio.

EjemploSean los espacios vectoriales la funcin definida por:. Determine el nucleo de Solucin 1)

Si cumple las dos condiciones es una T.LHallando su ncleo:

Hallando su imagen:

Esta dado por , La matriz es un sistema de generadores de , constituye una base de dimensin 1.

TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN MISMO CUERPOSean y dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo La funcin es una transformacin lineal u Homomorfismo si y slo si:i) La imagen de la suma de dos vectores cualquiera de V es igual a la suma de sus imgenes en W, es decir .ii) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector.

Ejemplo 1:Sean los espacios vectoriales la funcin definida por. Indique si es una transformacin lineal.

Solucin:i)

ii)

Ejemplo 2:Supongamos que es una transformacin lineal que verifica halle la imagen de

Solucin:

Ejemplo3:Determine una transformacin lineal o aplicacin lineal generado por , si las imgenes estn dadas por Solucin Sea Luego

Sea una transformacin lineal, denotemos mediante Y a los vectores nulos en V y W respectivamente.I) del vector nulo del primer espacio por toda transformacin lineal es el vector nulo del segundo espacio.

II) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto de su imagen.

NUCLEO DE UNA TRANSFORMACIN LINEALEl ncleo de una transformacin lineal f, entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imgenes por son el vector nulo del codominio.

V W

El smbolo se lee ncleo de por definicin El ncleo de toda transformacin lineal es la preimagen del vector nulo del segundo espacio.

Ejemplo: Sean los espacios vectoriales La funcin definida por es una transformacin lineal. Determine el ncleo de Solucin:

,el ncleo de f es el conjunto de todos los mltiplos escalares del vector

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL:La imagen de una T.L. es el conjunto imagen del dominio, es decir, es la totalidad de las imgenes de los vectores del primer espacio. El smbolo se lee imagen de f.

Tambin se sabe que en consecuencia lo que significa que ,

PROPIEDADLa imagen de toda T.L. entre dos espacios vectoriales es un subespacio del codominio.Ejemplo:Sea definida por Indique si es una T.L., halle su ncleo e imagenSolucin:

Tambin:

Es una Transformacin linealHallando su ncleo:

( el ncleo de es el conjunto de los pares ordenados de componentes opuestos )La imagen se puede definir tambin por La imagen:

La matriz es un sistema de generadores de la , constituye una base de dimensin 1.

TEOREMA:Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, entonces la dimensin de est dada por:

Observacin Sea f una transformacin lineal, entonces el rango de f se define como la dimensin de su imagen y la nulidad de f se define como la dimensin de su ncleo, es decir:

Ejemplo1. Determine el ncleo, la imagen y las dimensiones de ambos en la siguiente transformacin lineal definida por SolucinDeterminamos el ncleo de la transformacin lineal: , resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos , luego el ncleo esta dado por t(0,1,-1) , es decir los mltiplos escalares del vector , se obtiene una base cuya dimensin es uno.Determinamos la imagen, sea entonces Luego formando la combinacin lineal Luego , la imagen de es generada por Cuya dimensin es dos.

2. Ejemplo Sea la transformacin lineal ; determine el ncleo y la imagen e indique una base y la dimensin Solucin Determinando el ncleo Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales Entonces , se obtiene tal que , cuya base es de dimensin cero.Calculando la imagen Donde , llevando a la forma matricial , luego la imagen es generada por los vectores que forman la base de dimensin dos.PROBLEMAS

1.Sea la aplicacin T :R2 R2 tal que T(x,y)=(2x-y,3y-2x), y sean v=(3,4) un vector y B1=,B2== bases de R2 calcule verifique segn sea el caso :Sean los vectores B1=, B2==hacemos una combinacin lineal de los vectores de la Base B2(1,2)=a(2,1) +b(-1,-3)(1)=[1/5 -3/5](-1,1)=c(2,1)+d(-1,-3) (2)=[-4/5 -3/5]hacemos una combinacin lineal de los vectores de la Base B1(2,1)=a(1,2)+b(-1,1)(1)=[1 -1] (-1,-3)=c(1,2)+d(-1,1)(2)=[-4/3 -1/3] P= Q= Para demostrar si PQ=QP=I Reemplazamos en P y en Q = =I ==I Para verificar si [T]B2=Q[T]B1P Solamente reemplazamos lo hallado

[T]B2= [T]B1=por lo tanto

=

= (3/5)

=

2.Si Q-1AQ=B donde B es un matriz triangular cuyos elementos de la diagonal principal son valores propios de 1, 2, 3, n Demostrar que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K

B= B2=

B2= por induccin Bn+1=

Bn B1=

Bn B1= Bk=

por lo tanto queda demostrado por induccin que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K

3. Es posible diagonalizar la matriz A=

Solucin:

Hallamos el polinomio caracterstico P(x)=/A I/

P(x)=/ -

P(x)=/ P(x)=(1--)4 (-

=1 de multiplicidad 4 ; es el nico que analizamos ya que tiene multiplicidad 4 nos debe de salir 4bases.= 0 de multiplicidad 1

Sea V(1)=

p+q+r+s+t=0q+r+s+t=0r+s+t=0t=st=0resolviendo nos sale que

q=0, r=0, s=0, t=0 como no aparece p entonces es un definido con un parmetro por lo tanto quedara:(p,q, r,s,t)V(1)( p,q,r,s,t)=[(1,0,0,0,0)]

por lo tanto la matriz A no ser diagonlizable.

4. Sea la aplicacin lineal F: R3 R3 definida como F(-1,1,3)=(6,-4,16),F(-2,1,1)=(-2,-5,1) y F(3,2,-1)=(1,14,-12)1. Calcule la matriz asociada con respecto a la base cannica de R3.1. Calcule el ncleo y la imagen de la aplicacin.1. Calcule la aplicacin inversa si es posible.

Solucin:1. F(-1,1,3)=(6,-4,16) (-1)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (3)F(0,0,1) =(6,-4,16) .(1)F(-2,1,1)=(-2,-5,1) (-2)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (1)F(0,0,1) =(-2,-5,1).(2)F(3,2,-1)=(1,14,-12) (3)F(1,0,0) +(2)F(0,1,0) + (-1)F(0,0,1) =(1,14,12) ..(3)Resolviendo (1),(2) y (3)F(1,0,0)=(2,3,1) , F(0,1,0)=(-1,2,4) , F(0,0,1)=(3,-1,7)

por lo tanto la matriz asociada con respecto a la base cannica de R3 ser:A=

b)A=

De la matriz asociada A obtenemos. Restando filas. Por lo tanto el ncleo o Kerf ser =La imagen de la aplicacin = F(x,y,z)=(2x-y+3z,3x+x2y-z,x+4y+7z)

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEALSupongamos que es una base de un espacio vectorial sobre un cuerpo y para supongamos que , entonces el vector coordenado de relativo a el cual se escribe como un vector columna a menos que se especifique lo contrario, est dado por:

REPRESENTACIN MATRICIAL DE UN OPERADOR LINEALSea T un operador lineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K supongamos que es una base de V y por tanto se puede expresar una combinacin lineal de los vectores de la base, es decir:

DEFINICION.-La transpuesta de la matriz de los coeficientes de la representacin anterior denotada por se llama representacin matricial de T relativa a la base .

Ejemplo 1:Sea el espacio vectorial de todos los polinomios en T sobre R de y el operador derivacin definido por , sea la base

Ejemplo 2:Sea T el operador lineal sobre definido por . Calculamos la matriz de T en la base Solucin Tenemos:

TEOREMASea una base de V y sea T un operador lineal cualquiera sobre V entonces se cumple que:

Es decir si multiplicamos el vector coordenado de v por la representacin matricial de T se obtiene el vector coordenado de

Ejemplo 3:Sea el operador lineal definido por y sea , siendo la base

TEOREMASea una base de V sobre un cuerpo K y sea A el lgebra de las matrices cuadradas de orden entonces la aplicacin: es un isomorfismo de un espacio vectorial sobre A es decir que la aplicacin es de 1 a 1 y sobre, para cualquier y para cualquier

TEOREMAPara operadores cualesquiera , se tiene:

Ejemplo Sea supongamos que es una base de V, T y S son operadores sobre V tales que:

Tambin para

CAMBIO DE BASEDefinicin.- Sea una base de V y sea otra base, supongamos que:

La traspuesta P de la matriz de los coeficientes se llama matriz de transicin de la base antigua o primitiva . ( )

Como los vectores son linealmente independientes, la matriz P es invertible, su inversa es la matriz de transicin de la nueva base a la base antigua.Ejemplo Sean las bases y luego

TEOREMASea P la matriz de transicin de una base a una base en un espacio vectorial V entonces se cumple que:

Es decir:

TEOREMASea P la matriz de transicin de una base a una base en un espacio V entonces operador lineal T sobre V se cumple que:

SIMILARIDADSupongamos que A y B son matrices cuadradas para los cuales existe una matriz invertible P tal que: entonces se dice que B es similar a o que se obtiene de A por una transformacin de similaridad. La similaridad de matrices es una relacin de equivalencia.TEOREMADos matrices A y B representan el mismo operador lineal T si y solo si son similares la una a la otra. Todos los representantes matriciales del operador lineal T forman una clase de equivalencia de matrices similares.

Ejemplo Sea T el operador lineal sobre definido por y , por el teorema el operador lineal existe y es nico, hallar en particular .SolucinSea un vector tal que se forma la combinacin lineal:

Expresando como una combinacin lineal de , tenemos

Para el caso particular de se tiene