Transformacións productivas na agricultura galega contemporánea.
Transformacións xeométricas. - edu.xunta.gal · 3 -0 La transformada de una recta que pasa por el...
Transcript of Transformacións xeométricas. - edu.xunta.gal · 3 -0 La transformada de una recta que pasa por el...
1
Transformacións xeométricas.
TRANSFORMACIÓNS ISOMÓRFICAS.
Nas transformacións isomórfica (mantéñense os ángulos e as magnitudes son proporcionais) temos a homatecia e a semellanza. Onde
a homotecia é unha semellanza, pero onde non todas as semellanzas son homotecias, por iso estudarémolas por separado.
Tamén a homotecia é unha homoloxía no espazo pero co plano de transformación no infinito. (a homoloxía a vai en 2º bach.)
HOMOTECIA.
É unha transformación isomórfica do plano onde a un punto A sea fai
corresponder outro punto A' segundo unha razón k e aliñado cun punto O chamado Centro de homotecia.
Razón de homotecia:
É unha proporcionalidade directa e é a
relación entre puntos homólogos,segmentos homólogos ou figuras homotéticas.
K=OA'/OA=A'B'/AB=F'/F. As figuras F e F' chámanse figuras
homotéticas. Os puntos A e A'... chámanse puntos
homólogos.
AB e a 'B' son segmentos homólogos (son paralelos)
K= OA'/OA=OB'/OB=A'B'/AB
Cando k é positiva temos unha homotecia directa
Cando K é negativa temos unha homotecia inversa.
Aínda que se chamen directa e inversa non ten que ver nada co sentido das figuras como na simetría axial.( na homotecia non se cambia o
sentido da figura). Segundo o valor de k o tamaño da transformada varia:
OA =K
O A A'
OA'
0
A
B
C
A'
B'
C'
K=2/1
F' F
A' O A
A O A'
2
- Si K>1, Si K es mayor que 1, la figura transformada es mayor , es una homotecia
directa.
- Si 0<k<1, Si K es menor de 1 pero mayor que 0 (entre 0 y 1), la figura transformada es
menor, es una homotecia directa.
- Si-1<k<0, Si k es menor que 0 y mayor que -1 (entre 0 y -1), la transformada es menor
pero la homotecia es inversa.
- Si k< -1, Si K es menor que de -1 (ej.-1.5,-2...) la transformada es mayor , la homotecia
es inversa. -
- Si k=1, Si K es igual a 1 las figuras homólogas coinciden y se convierten en una
identidad.
- Si K=-1, Si K es igual a -1 la homotecia se convierte en una Simetría Central.
0
C' C
B B'
A
A' k=2/1=2
0
A'
A
B'
C' C
B
K=1/2=0.5
k=-2/1=-2
A B
C
B' 'A
C'
O
C'
A' B'
O
B A
C
k=-1/2=-0.5
0
Á' C C'
B B'
k=1
A'
B'
C'
O B C
A
k=-1
3
- La transformada de una recta que pasa por el centro de homotecia es la propia recta, es
decir es una recta doble (coincide con la
original), pero sus puntos no son dobles, solamente sería punto doble aquellos que
coinciden con el centro.
- La recta homóloga o la transformada de una recta que no pasa por el centro de homotecia
es una paralela. - Los ángulos de dos rectas, segmento...
homólogos que no pasan por el centro, son iguales ya que son paralelas que se cortan por
un haz de rectas.
- El producto de dos homotecias de igual centro
es otra homotecia de centro común y razón de homotecia el producto de las homotecias
factores(primeras). k3= k1. k2 . Donde k1= OA'/OA
Donde k2= OA”/OA', k3= OA'/OA. OA”/OA' Donde k3 =OA”/OA
Ejercicio: Hallar el producto de homotecia de igual centro dado el punto A y razones k=2/1 y k'=2/3
- Trazamos la primera homotecia de centro 0 y razón 2/1 . k1= OA'/OA
- Trazamos la segunda homotecia de centro 0 y
razón 2/3. k2= OA”/OA'
- Comprobamos el producto de la homotecia que tiene que cumplir k3= k1. k2 .
k3= 2/1.2/3=4/3
0 r
r'
s s'
0
r r'
s s'
A B
B' A'
0
A
A'
B B' 0
B
A
A'
B'
A' A
0
0
A A' A"
A'
A"
A 0
4
- Producto de homotecias de distinto centro es
otra homotecia de centro O3 alineado con los otros dos y razón k3= k1. k2 . Dónde
k1=OA'/OA , k2 =O'A”/O'A' , k3 =O”A”/O”A
Ejercicio: Hallar el producto de homotecia de centros O y O' dado
el segmento AB y razones k=2/1 y k'=2/3
k3 =2/1.2/3=4/3
Se traza la primera homotecia de centro O y razón 2/1 y nos dará el segmento A'B'.
Se traza la segunda homotecia de centro O', razón 2/3 y segmento A'B', nos dará el segmento A”B”.
Si unimos la última transformada con el primer segmento nos dará el centro de homotecia O” que cumplirá k3= k1. k2 La homotecia de centro O” tendrá una razón de 2/1.2/3=4/3 y estarán alineados los centros.
Producto de movimiento: cuando se hace varias transformaciones (ya bien sean iguales o distintas) reciben el
nombre de producto de movimientos.
A
B O
O'
A
B O
O'
A'
B'
A"
O
A B
B
B'
O'
A'
O'
B'
O B
O"
r
A
A'
A"
B"
5
- Teorema de las tres homologías:
Hallar la homotecia de centro de homtecia O”y de razón k”=
K'/K. Dado los centros O y O' el segmento AB y razones k=2/1 y
k'=1/2. - Dado un segmento AB, este se transforma en
otro segmento A'B' por una homotecia de centro O y razón 2/1.
- Dado un segmento AB, este se transforma en
otro segmento A”B” por una homotecia de centro O' y razó
- Se puede trazar una tercera homotecia de centro O” y razón
k”=1/2/2/1= ¼
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS FIGURAS HOMOTÉTICAS.
La relación entre las superficies de dos figuras homotéticas y su razón de homotecia es la siguiente: k2= superficie f'/superficie f.
EJEMPLO. Dibujar un heptágono de área tres veces mayor que la del heptágono. Si la razón de las superficies k2= S'/S; k2= 3/1
(se coje el centimetro como unidad). k= 3. y k la hallamos por la
media proporcional.
B O
A O'
O B
B" B' O"
A" A O'
A'
B
B'
A O'
A'
O
A"
B"
k= 3
10 40
17.3
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
1
2
3 4
5
6
7
0 10 17.3
6
HOMOTECIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS.
Las circunferencias son siempre homotéticas ya que son siempre
semejantes. - Si las circunferencias son concentricas
tendrán un centro de homotecia localizado en el centro común de las circunferencias y su
razón será el existente entre los radio.
- Si las dos circunferencias no son concentricas, la homotecia tendrá
dos centros de homotecia uno directo y otro inverso. El centro de homotecia directo se podrá hallar con las rectas tangentes exteriores.
El centro de homotecia inverso se podrá hallar con las rectas tangentes interiores.
Esto quiere decir que existen dos homotecias que convierten una circunferencia C en su transformada C'. La primera homotecia será
una homotecia de centro O (directa) y razón r'/r. La segunda homotecia será una homotecia de centro O' (inversa) y razón -r'/r.
SEGMENTOS HOMOTÉTICOS.
Dous segmentos paralelos son sempre son sempre homotéticos respecto de dous centros 0 e 0', un directo e outro inverso.
Os centros de homotecia son as interseccións das rectas que unen os extremos dos dous segmentos.
EXEMPLO: Acha céntroos de homotecia de dous segmentos
paralelos dados.
A A'
0
R20 R30
K=3/2
C' C 0'
0
B
A'
B'
A A
A'
B B'
0' 0
7
nº1.- Acha a homotecia do pentágono dado de
razón¾
Únense os vértices co centro de homotecia. Divídese por exemplo OA en 4 partes iguais cóllense 3 e será 0 A', para
os diferentes homoteticos pódense trazar paralelas aos segmentos.
nº2.- Acha a homotecia do triángulo dado, de razón
3 cm. Cando a razón non é unha fracción senón un número enteiro, tense que
considerar como unidade o centímetro e trazar a proporción segundo o teorema de Thales. (O cm non varía a ecuación)
K=3, collemos 1 cm como unidade k=3/1, OA'/OA=30/10mm. Utilízase o primeiro procedemento por ser máis doada e directa a execución.
0
A
B
C
D
F
C
F
D
A
B 0
A'
0 A
B C
10
30
13.3 39.9
0 A A' 39.9 30
10
13.3
0 A' 0
A
30
10
B C
0 A
C'
A'
B'
8
nº3.- Acha a homotecia do cadrado dado, de razón -
3/2.
nº4.- Acha a homotecia do triángulo dado, de razón
-2.5 cm.
Sobre os triángulos equiláteros hai que saber que ademais dos segmentos paralelos e as circunferencias, os triángulos equilátero
sempre son homotéticos sempre que teñan dous lados paralelos.
nº5.- Acha as rectas tanxentes exteriores a dúas circunferencias dadas.
Únense dous puntos homólogos, únense os centros e asi búscase o
centro de homotecia. Trázase o exercicio de rectas tanxentes a unha circunferencia por un punto exterior, dándonos dous puntos de
tanxencias. Para buscar os outros dous trázanse paralelas.
D C
B
0
A
0
A B
C D
14.8
14.8 D'
A' B'
C'
0
A
B
C
10
20.5
B
A
0 C
A'
C'
0 0' 0 0'
A
A'
T
T
T
T
9
nº6.- Acha as rectas tanxentes interiores a dúas circunferencias dadas.
nº7.- Acha as circunferencias tanxentes a dúas rectas dadas, e que pasen por P. Trazamos a bisectriz das dúas rectas (na bisectriz estarán os centros buscados). Na recta bisectora búscase un punto calquera C e trázase
unha circunferencia auxiliar tanxente ás dúas rectas. Trázase unha recta dende o centro de homotecia O con P, que corta á circunferencia auxiliar
en M e N estes son puntos homólogos a P. Únense CM,CN e trázanse paralelas aos segmentos CM,CN que corta á bisectriz en 0 e 0'.
0 0' 0 0'
A
A'
O
T
T T
T
P
r
r'
r'
P
r
T
T
T
T
0
0'
C M N O
10
SEMELLANZA
É unha transformación isomórfica, e adóitase definir como o
produto dunha homotecia por un movemento (de translación normalmente).
Mantén iguais os valores angulares e proporcionais os seus valores lineais. Ao ter os seus valores lineais proporcionais posúe unha razón de
semellanza: É a relación de proporción que se establece entre dous lados dunha figura semellante. (outra definición: É a relación de
proporción entre segmentos homólogos).
Recordar que todas as homotecias son semellanzas, pero non todas as
semellanzas son homotecias
Os elementos denomínanse:
- F e F': figuras semellantes. - A, A': puntos homólogos.
- AB, a 'B': segmentos homólogos.
- K=A'B'/AB: razón de semellanza.
- se K é >, = ou < que 1, será maior, igual ou menor a figura
semellante á dada. - K compórtase moi parecido á homotecia se temos K positiva ou
negativa teremos unha semellanza directa ou inversa. Normalmente
K non adoita ser negativa, xa que nese caso nos estarían a obrigar a realizar unha homotecia de razón negativa.
Condicións de semellanzas de Triángulos. Son os datos que necesitamos para crear polígonos semellantes.
- Cando dous dos seus ángulos son iguais. É
dicir cando os seus lados son paralelos. - Cando ten un ángulo igual e os lados
comprendidos son proporcionais. - Cando ten os tres lados proporcionais Dous triángulos rectángulos son semellantes
cando teñen un ángulo agudo igual (un ángulo
agudo + un ángulo recto)
0
A
B
C
A'
B'
C'
K=2/1
F' F
A A'
B'
B C
C' B'
C'
A' A
B B'
C C'
11
É semellante o triángulo rectángulo e os formados ao trazar a súa altura sobre a
hipotenusa.
Semellanza de triángulos formados entre rectas antiparalelas.
RECTAS ANTIPARALELAS: dado dúas rectas a e b que se cortan nun punto V, dado outras dúas rectas c e d que cortan ás anteriores,
dinse que son rectas antiparalelas se o ángulo A=A', PARA QUE PASE ISTO, os vértices A,B,A',B' TEÑEN QUE ESTAR circunscrito a un
cuadrilátero, e para que isto pase os ángulos opostos do cuadrilátero teñen que ser suplementarios.
Os triángulos formados por AVB e a ' B 'V, son semellantes por ter dous ángulos iguais.
Condicións de semellanzas de polígonos.
Son os datos que necesitamos para crear polígonos semellantes.
- Todos os polígonos regulares son semellantes. - Cando se compoñen do mesmo número de
triángulos semellantes de dous en dous e igualmente dispostos.
- Cando todos os seus lados menos un son proporcionais e os seus ángulos iguais.
- Cando teñen todos os ángulos menos dous iguais, e os seus lados
son proporcionais menos un.
A
B C D
90º
90º 90º
ABC ADC ABD
A
B C
D
ánguloA+C=B+D=180º
V
A
A' B
B'
V B
A
A'
B'
A
B C D
E
F G
A'
B' C' D'
E'
F' G'
12
Como nos polígonos regulares son todos semellantes, os seus lados,
apotemas, radios, perímetros..también sono e a razón de semellanza tamén sería o cociente entre as súas radios, apotemas, perímetros...
PROCEDILMIENTOS PARA A REALIZACIÓN DE FIGURAS SEMELLANTES
Por homotecia: Trazar a figura semellante dada k=2/3. Trazar a figura semellante dada k=-2/3.
Se busca un centro de homotecia cualquiera que puede ser un punto en
el espacio O , o un punto en la propia figura.
Por Coordenadas: Trazar a figura semellante dada k=1/2.
Por Cuadrícula: Traza a figura semellante dada k=3/4
Exercicios de transformacións xeométricas
A B
C
D
E
B A
E
D
C
A' B'
C'
D'
E'
0 A" B"
C"
D"
E"
B A
E
D
C
E
D
C
A B
D'
E' A' B'
C'
7.5
13
nº 1.- Traza o produto dos seguintes movementos.
translación e simetría.
Nº2.- Trazar o produto de dúas simetrías axiais.
Nº 3.- Ejectuar as seguintes
transformacións no triángulo equilátero dado:
Unha translación da
magnitude M, dirección e sentido D dado.
A continuación un xiro, de centro o punto O e ángulo 3º
en sentido horario.
nº4.- Determinar o centro
de xiro destes dous segmentos.
Nº5.- Determinar o centro de
xiro de dúas semirrectas.
A
B
C
e
B
A
e1 e2
C
M D
A
B
C
O
B1
B
A
A1
r
r'
14
Nº6.- Dado el triángulo
ABC, traza dous xiros un de 30º e outro de 45º
nº7.- Dado o punto P e as
rectas r e s, debuxar unha recta que defina en r e en s dous
puntos A e A' de tal modo que PA=P'A'.
nº8 Dibujar segmentos
iguales y paralelos al segmento s dado, de modo que sus extremos
estén en las circunferencias.
nº9.- Trazar un triángulo equilátero de lado l, cun vértice
apoiado en cada unha das rectas
dadas
nº10.- Dadas as rectas r e s
e o segmentos PQ, determinar o segmento que, coa mesma
lonxitude e dirección que o dado,
teña os extremos sobre as rectas r e s (non resolvelo a tenteo)
nº11.- Dado o segmento AB e o segmento a 'B' pertencendo
a un pentágono regular, Achar o
o centro e o pentágono mencionado.
O
A
B
C
r
s
P
s
o1
o2
t
l
r
s
r
s
P Q
A
B B'
A'
15
nº12.- Dados os puntos A e
B e a recta e, determinar sobre a recta un punto P que cumpra que
a distancia AP+PB sexa mínima.
nº13.- Trazar un cadrado
inscrito nun triángulo OPQ dado (é unha homotecia)
nº14.- Trazar un heptágono regular de diagonal AE 4 cm.
nº15.- Debuxar un triángulo
equilátero cun vértice apoiado en cada unha das tres rectas
paralelas dadas, r, s, e t.
nº 16.- ¿Que homotecias
relacionan estas dúas figuras?
nº 17.- trazar un triángulo que teña a área dúas veces
maior que o triángulo dado.
nº18.- Centros de homotecia de tres circunferencias dadas.
A
B
e
A B
C
t
s
r
A B
C
3
1
2
16
nº19.- Dadas as
circunferencias C e C', acha os posibles centros de homotecia
que transforman C en C' e indica
as correspondentes razóns de homotecia.
nº20.- Definida unha homotecia de centro O e razón -
1, debuxa o triángulo a ' B 'C'
homotético do ABC.
nº22.- Debuxar a figura
homotética da circunferencia dada, sendo O o centro de
homotecia e a súa área a
metade da do círculo coñecido.
Nº21.- Achar a
transformada da figura respecto a O mediante xiro de
30º e homotecia 5/2.
nº24.- Dada a figura de diámetro 8 cm. Debuxar unha
corda que corte a ese diámetro e á circunferencia
segundo dous segmentos de lonxitude 2 e 3 cms.
1 2
O
C
A B
0
0
17
nº25.- Debuxar o triángulo
de lados proporcionais a 4, 5 e 6 e radio da circunferencia
circunscrita de 60 mm.
nº26.- Nun triángulo ABC,
ángulo A 75º, ángulo B 60º e radio da circunferencia inscrita
10 mm, debuxar o triángulo.
nº27.- Debuxar o triángulo
de lados proprcionales a 2, 3 e 4, de forma que a súa
circunferencia inscrita teña de radio 2cms.
nº28.- Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é
a metade dos lados iguais,
inscrito na circunferencia de radio 4cms.
nº30.- Debuxa a figura semellante á dada, sendo a
razón de semellanza 3/5.
nº31.- Determinar a figura homotética da dada, sendo a
razón de homotecia -5/4.
nº32.- Debuxa un
pentágono regular coñecida a distancia dun vértice ao lado
oposto de 6 cm.
a1
b1
c1 d1
a b
c d
o
18
Exercicios de transformacións xeométricas
nº 1.- Traza o produto dos seguintes movementos.
translación e simetría.
Nº2.- Trazar o produto de dúas simetrías axiais.
Nº 3.- Ejectuar as seguintes transformacións no triángulo
equilátero dado: Unha translación da magnitude M, dirección e sentido D dado.
A continuación un xiro, de centro o punto O e ángulo 3º en sentido horario.
A
B
C
e
B
A
e1 e2
C
M D
A
B
C
O
B
O A
C
M D
26
B1
C1
A1
A2
B2 C2
e
B
A
C
e
36.6
A1 B1
C1
A2
C2 B2
B
A
e1 e2
C
0
C1 C2 B2
B1
A1
A2
19
nº4.- Determinar o centro de xiro destes dous segmentos.
soamente é trazar as
mediatrices dos puntos xirados, onde se corte é o
centro de xiro.
Nº5.- Determinar o centro de xiro de dúas semirrectas.
Se prolongan las semirrectas y se traza la
bisectriz del ángulo
comprencido, que corta a la mediatriz de la recta
creada al unir los extremos de la
semirrecta.
Nº6.- Dado o triángulo ABC, traza dous xiros un de 30º e
outro de 45º.
O produto de dous xiros do mesmo centro é outro xiro do mesmo
centro e ángulo de xiro a suma dos ángulos de xiro.
O produto de dous xiros de distinto centro de xiro
e distinto ángulo, é outro xiro de distinto centro e
distinto ángulo de xiro
A1 0
B1
A
B
B1
B
A
A1
r'
0
r r
r'
A
B
C
O A2
B2
C2
O
A
B
C
20
nº7.- Dado o punto P e as rectas r e s, debuxar unha
recta que defina en r e en s dous puntos A e A' de tal modo que PA=P'A'.
A solución sería a realización de dous simetrias centrais unha coa recta s e outro coa recta r.
Dónde corten as dúas simétricas serán os puntos A,A' buscados que cumpren a condición, PA=P'A'.
- Por P trázase unha perpendicular a s e áchase o simetrico s'.
- Por P trázase unha perpendicular a r e áchase o simétrico r'.
Os dous simétricos córtanse coas rectas contrarias en A e A'. Unimos
PA=P'A'.
nº8 Dibujar segmentos iguales y paralelos al segmento s
dado, de modo que sus extremos estén en las circunferencias.
- En realidad es una translación, de la circunferencia o2 a la circunferencia o3. Todos los segmentos que sean paralelos a uno
dado s y que se apoyen en una circunferencia o2, también se apoyarán en la circunferencia o3 (estos segmentos paralelos son en
realizad los rayos de traslación). Los puntos de corte de la
r
s
P s
s'
P P
r'
r
r
s
P
r'
A
A'
s
o1
o2 s
o2
o1
15.8
15.8
o3 M
N
21
circunferencia o3 con o1 son los extremos de la soluciónes (ya que
los segmentos tienen que tocar también esta circunferencia).
nº9.- Trazar un triángulo equilátero de lado l, cun vértice apoiado en cada unha das rectas dadas.
O exercicio é unha translación: Búscase un punto A calquera na recta r. Con centro en A e radio l, trázase un arco que nos dá na recta s o punto
B. Trázase o triángulo equilátero ABC, Se traza unha paralela por C a r ys, onde corte será o vértice C' (primeiro punto buscado), trázanse
paralelas aos lados por C' e darannos os puntos A',B'.
nº10.- Dadas as rectas r e s e o segmentos PQ, determinar o
segmento que, coa mesma lonxitude e dirección que o dado, teña os extremos sobre as rectas r e s (non resolvelo a tenteo)
El problema se reduce a dos traslaciones. Se busca un punto
cualquiera Q1 en la recta s. De une Q,Q1. Se traza una recta paralela por
P a Q,Q1. Se traza otra recta paralela a PQ por Q1. que corta a la recta
anterior en P1. Desde P1 se traza una paralela a s por P1 que corta a la
recta r en P2. Se traza otra paralela a
PQ por P2 que corta a la recta s en Q2. P2Q2 es el resultado final
buscado.
t
r
s
l
r
s
t
l
A
B
C
A'
B'
C'
r
s
P Q
r
s
P Q
P1 Q1
P2 Q2
22
nº11.- Dado o segmento AB e o segmento a 'B' pertencendo a
un pentágono regular, Achar o o centro e o pentágono mencionado.
nº12.- Dados os puntos A e B e a recta e, determinar sobre a
recta un punto P que cumpra que a distancia AP+PB sexa
mínima.
Trazamos o simétrico dun dos puntos dados
respecto á recta. Unimos AB' e o punto de corte con
a recta e, será o punto buscado, pois a distancia en
liña recta AP+PB', que é a mínima, é igual á
distancia AP+PB, xa que os segmentos simétricos teñen a mesma magnitude.
nº13.- Trazar un cadrado inscrito nun triángulo OPQ dado (é unha homotecia)
A
B B'
A'
B B'
A' A
54°
A
B
e
A
B
e
B'
P
A B
C
B A
C
1' 2'
3' 4'
16.5
16.5
3 4
1 2
23
Trázase un cadrado auxiliar que teña tres vértices nos lados do
triángulo dado a ' B 'C'. Trázase a homotecia que pasa polos vértices do cadrado auxiliar ata que corte os límites do triángulo. Os puntos 3
e 3' son puntos homólogos e un vértice buscado, á traza unha
paralela e unha perpendicular a AB, dándonos os vértices 2 e 4. Dende 4 perpendicular a AB e dá 1.
nº14.- Trazar un heptágono regular de diagonal AE 4 cm.
nº15.- Debuxar un triángulo equilátero cun vértice apoiado
en cada unha das tres rectas paralelas dadas, r, s, e t.
O exercicio soluciónase cun xiro de 60º de
centro de xiro, nunha dunha das rectas ata que corte a terceira recta. O centro de xiro
e a intersección da recta xirada determinaranos o lado do triángulo
equilátero.
Buscamos un punto calquera A trazamos
unha recta perpendicular a outra das rectas onde localizamos o punto P. Xírase o punto
P e a recta t uns 60º. Daranos a recta t' e o punto P'.
A
B D
E
F G H
B' D
E'
F'
G'
H'
t
s
r
t
r
s
t'
P'
P
A
B
t
t'
s
r A
P
P'
B B
24
O punto de corte da recta t' coa terceira recta s (ou a recta r, segundo
que exemplo) será o vértice B. Xa temos o lado do triángulo equilátero e polo tanto o triángulo.
nº 16.- ¿Que homotecias relacionan estas dúas figuras?
A homotecias de dúas circunferencias concentricas, a razón é o cociente entre os seus radios. É o mesmo que pasa cos polígonos
regulares.
nº 17.- trazar un triángulo que teña a área dúas veces maior
que o triángulo dado.
k2=2
nº18.- Centros de homotecia de tres circunferencias dadas.
15
30
A
A' A
A' K=A'/A
O
K=30/15=2
k=15/30=0.5
A B
C
A B
C
B'
C'
A'
14.1
K=14
3
1
2 01
02
03
04 05
06
1
2
2
25
Como se pode ver que dous dos centros de homotecia inversos estan
aliñados cun centro de homotecia directo e que os tres centros de homotecia directo estan aliñados.
nº19.- Dadas as circunferencias C e C', acha os posibles centros de homotecia que transforman C en C' e indica as
correspondentes razóns de homotecia.
- sólamante temos que unir os puntos
homólogos, como son por exemplo os
extremos do eixe de simitria. A razón vai ha
ser k=2 e K=-2.
nº20.- Definida unha homotecia de centro O e razón -1,
debuxa o triángulo a ' B 'C' homotético do ABC.
1 2
A
A'
A'
01 02 1 2
O
C
A B A B
C B'
A'
C'
O
26
Nº21.- Achar a transformada da figura respecto a O mediante xiro de 30º e homotecia 5/2.
0 0
1 2
3
4 1 2
0
4
3
1' 4'
2'
3'
4'
1'
2' 3'
1
2
4
0
3
11.3
1"
4"
T
T'
2" 3"
27
nº22.- Debuxar a figura homotética da circunferencia dada,
sendo O o centro de homotecia e a súa área a metade da do círculo coñecido.
Nº23.- Traza os centros de homotecias das dúas
circunferencias.
O primeiro centro de
homotecia será O1. Buscamos dous pares de
puntos homólogos AA? e BB', que debuxa dous
segmentos homólogos,
recórdase que o centro de homotecia se forma
unindo os vértices dos segmentos.
nº24.- Dada a figura de diámetro 8 cm. Debuxar unha corda
que corte a ese diámetro e á circunferencia segundo dous segmentos de lonxitude 2 e 3 cms.
k= 0.5=0.7
7.1
7.1 10
A
A'
01 02 1 2
A
A'
B
B'
01 02
0
A2
50
30
A
B
B1
B2 P
P'
118°
0
28
O exercicio son dous xiros un de ángulo calquera e outro de 118.
Búscase un punto calquera A e trázase un segmento de 50 cm, (3+2cms), este fáiseo xirar con centro en A e ángulo que corte ao
devandito segmento coa circunferencia dando o punto B1. Búscase o
punto P (que son as partes nas que ten dividir a corda o diámetro), unimos OP, Se medimos o ángulo dende OP co diámetro buscado é de
118º. Unimos OA e transportamos o devandito ángulo. Unimos OB e transportamos o devandito ángulo.
nº25.- Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4, 5 e 6 e
radio da circunferencia circunscrita de 60 mm.
O problema resólvese por semellanza de triángulos, onde o centro da
circunferencia circunscrita vai ser o centro de homotecia.
Trazo un triángulo auxiliar que teña os lados 4,5 e 6, porque teñen que
ser proporcionais a eses datos (máis proporcionais imposible). Búscase o circuncentro O.
Con centro en O e radio 60 trázase o circuncentro do triángulo buscado.
Únense os vértices a ' B 'C' con O e prolónganse ata que corten coa
circunferencia de radio 60.
Os puntos de corte son os do triángulo buscado, como se pode apreciar os seus lados son paralelos ao triángulo auxiliar.
A' B'
C'
R50 R60 R60
A B
O
C
29
nº26.- Nun triángulo ABC, ángulo A 75º, ángulo B 60º e radio
da circunferencia inscrita 10 mm, debuxar o triángulo.
Trázase por semellanza de triángulos. onde o centro
de homotecia vai ser o centro da circunferencia inscrita.
Trázase un triángulo auxiliar calquera que teña os ángulos 75º e 60º. Trázase as bisectrices
para achar o incentro. Trázase a circunferencia inscrita de radio 10 e búscanse os puntos de
tanxencia do triángulo auxiliar. Trázanse paralelas ao triángulo auxiliar e dá ABC
nº27.- Debuxar o triángulo de lados proprcionales a 2, 3 e 4, de forma que a súa circunferencia inscrita teña de radio 2cms.
É igual que o exercicio
nº25.
A'
A B
B'
C
C'
O
T
T'
T'
T' T T
A1 B1
C1
C
A B
0
T
T T
T
T T
40
20 30
30
nº28.- Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a
metade dos lados iguais, inscrito na circunferencia de radio 40cms.
Por semellanza de triángulos.
Trázase un triángulo auxiliar de 4,2,4cms por cumprir o indicado no
exercicio.
Trázase o circuncentro xa que o
triángulo ten que estar inscrito na circunferencia que agora trazamos de
radio 40cms.
Únense o circuncentro cos
extremos do triángulo auxiliar e prolóngase ata que corte á
circunferencia de 40cms.
Unimos os devanditos puntos
de corte e dá o triángulo buscado.
nº29.- Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa circunferencia inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale
75º. Distancia XO=60mm. Radio de C= 20 mm. O= centro de C.
Trázanse os datos
dados polo problema, trázanse
as rectas tanxentes á circunferencia.
Por un punto calquera Y1 trázase o ángulo de 75º.
Dende O trázase unha recta perpendicular á recta de ángulo 75º e dános o punto T1 e T por onde trazamos o segmento que nos falta.
A1 B1
C1
C
A B
O
X O R20
T
Y
Z
75°
90°
T1
Y1
31
nº30.- Debuxa a figura semellante á dada, sendo a razón de
semellanza 3/5.
nº31.- Determinar a figura homotética da dada, sendo a
razón de homotecia -5/4.
nº32.- Debuxa un pentágono regular coñecida a distancia dun vértice ao lado oposto de 6 cm.
a1
b1
c1 d1
a,a1
b b1
c1
c
d1
d 3/5
a b
c d
o
21.1
21.1
a b
c d
a1
b1
c1 d1
o
a a1 b1 b
c
d
e
e1
d1
c1
M