Matemáticas Avanzadas llTransformada de Derivadas

Por: Yesica Lizbet Altamirano MoralesCarolina Zúñiga Rivera

Profesor: Gerardo Edgar Mata Ortiz

Torreón Coahuila 04/Febrero/2015

EJEMPLO 1

Transformada de derivadas para una (f’)

Al realizar la transformada de una derivada nuestra meta inmediata es utilizar esta misma para resolver ecuaciones diferenciales. A continuación les mostramos un ejemplo:

A simple vista podemos darnos cuenta que para resolver esta transformada es necesario utilizar el método de integración por partes como se muestra a continuación.

Integración por partes

Como ya sabemos tenemos la siguiente función:

Como primer paso hay que identificar los términos de u, v y sus derivadas como se muestra a continuación:

𝐿 { 𝑓 ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ (𝑡 )𝑑𝑡

𝐿 { 𝑓 ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ (𝑡 )𝑑𝑡

Integración por partesPara continuar con la resolución de la transformada mostrada anteriormente se procede a la utilización de la formula de integración por partes tomando como términos los que encontramos anteriormente sustituimos en la sigiente formula:

Obtenemos lo siguiente:

Integración por partesComo pudimos darnos cuenta en la integral mostrada anteriormente el primer termino queda exactamente igual pero en en el caso de la integral a resolver es necesario que saquemos de la misma la constante (s) que se encontraba con signo negativo y al multiplicarse con el signo negativo de la formula ya establecida esta queda fuera de la integral como una (s) con signo (+) como se muestra a continuación:

Como mostramos en trabajos anteriores ahora es necesario que utilicemos la teoría de limites.

Teoría de limitesTenemos la siguiente ecuación: =

Sustituimos los valores de nuestros limites de “0” y “∞” en (t) lo que resulta de la siguiente manera:

=

Tiende a cero por lo cual se elimina

Un termino elevado a una potencia cero tiende a 1

Encontrando como resultado la siguiente Función:

EJEMPLO 2

Transformada de derivadas para una ( f’’)

Ahora realizaremos la transformada de una segunda derivada aplicando la definición de la transformada de Laplace. A continuación les mostramos un ejemplo:

Al igual que el ejemplo anterior podemos ver que se tiene que utilizar el método de integración por partes para la resolución de este ejemplo.

Integración por partes

Como ya sabemos tenemos la siguiente función:

Como primer paso hay que identificar los términos de u, v y sus derivadas como se muestra a continuación:

𝐿 { 𝑓 ´ ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ ´ (𝑡 )𝑑𝑡

𝐿 { 𝑓 ´ ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ ´ (𝑡 )𝑑𝑡

Integración por partesPara continuar con la resolución de la transformada mostrada anteriormente se procede a la utilización de la formula de integración por partes tomando como términos los que encontramos anteriormente sustituimos en la sigiente formula:

Obtenemos lo siguiente:

Integración por partesComo pudimos darnos cuenta en la integral mostrada anteriormente el primer termino queda exactamente igual pero en en el caso de la integral al resolver es necesario que saquemos de la misma la constante (s) que se encontraba con signo negativo y al multiplicarse con el signo negativo de la formula ya establecida esta queda fuera de la integral como una (s) con signo (+) como se muestra a continuación:

Ahora utilizaremos los limites para resolver .

Teoría de limitesTenemos la siguiente ecuación: =

Sustituimos los valores de nuestros limites de “0” y “∞” en (t) lo que resulta de la siguiente manera:

=

El termino pasa al denominador con signo contrario , esto para eliminar los negativos.

Tiende a cero por lo cual se elimina

Un termino elevado a una potencia cero tiende a 1

Encontrando como resultado la siguiente Función:

• Ahora aremos otra vez integración por partes para poder eliminar la (f’) y poder obtener el resultado de la transformada de Laplace de (f’’)

Integración por partes

Como ya sabemos tenemos la siguiente función:

Como primer paso hay que identificar los términos de u, v y sus derivadas como se muestra a continuación:

𝐿 { 𝑓 ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ (𝑡 )𝑑𝑡

𝐿 { 𝑓 ´ (𝑡 ) }=∫0

∞

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 ´ (𝑡 )𝑑𝑡

Integración por partesPara continuar con la resolución de la transformada mostrada anteriormente se procede a la utilización de la formula de integración por partes tomando como términos los que encontramos anteriormente sustituimos en la sigiente formula:

Obtenemos lo siguiente:

Integración por partesComo pudimos darnos cuenta en la integral mostrada anteriormente el primer termino queda exactamente igual pero en en el caso de la integral a resolver es necesario que saquemos de la misma la constante (s) que se encontraba con signo negativo y al multiplicarse con el signo negativo de la formula ya establecida esta queda fuera de la integral como una (s) con signo (+) como se muestra a continuación:

Como mostramos en trabajos anteriores ahora es necesario que utilicemos la teoría de limites.

Teoría de limitesTenemos la siguiente ecuación: =

Sustituimos los valores de nuestros limites de “0” y “∞” en (t) lo que resulta de la siguiente manera:

=

Tiende a cero por lo cual se elimina

Un termino elevado a una potencia cero tiende a 1

Obtenemos la transformada de (f’)

• Ahora resolvemos operaciones correspondientes

• Haciendo el acomodo en los términos tenemos que la solución es: