República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico Santiago MariñoMatemática IV Escuela de Ing. Civil

Transformada de Fourier

Realizado por:Cesar Ontiveros V-24338068

Transformada de Fourier

denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier será útil (como veremos) para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo ´ el problema de la solución de una ED en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio esta en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades ´ algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc. En este ˜ apartado estudiamos las propiedades mas sencillas de la transformada de Fourier.

Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier

A continuación exponemos una lista de las propiedades elementales de ´ F(x)(ξ) = ˆx(ξ) (Algunas de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).

Linealidad

La transformada de Fourier es un operador lineal. Mas precisamente, si ´ x1, x2 ∈ L 1 (R), y a, b ∈ R, entonces ax\1 + bx2(ξ) = axb1(ξ) + bxb2(ξ)

Traslacion en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que F[x(t − a)](ξ) = e −iaξF[x(t)](ξ) y F[e iaξx(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a) Demostración: En realidad, esta propiedad es trivial: basta

hacer un cambio de variable, como se observa a continuación:

F[x(t − a)](ξ) = Z ∞ −∞ e −iξtx(t − a)dt = Z ∞ −∞ e −iξ(s+a)x(s)ds (donde s = t − a)

= = e − i a ξ F[x(t)] ( ξ).

Cambios de escala.

Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces

F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).

Derivación

Si x es continua y derivable a trozos, con x 0 (t) ∈ L 1 (R), entonces:

F(x 0 )(ξ) = iξF(x)(ξ). Además, si tx(t) es integrable

entonces: F(tx(t))(ξ) = iF(x) 0 (ξ).

Ejemplo