Transformada de Fourier Segundo Cuatrimestre 2013

Facultad de Ingeniera, UNLP. Matemtica D1. Mdulo 2. Segundo cuatrimestre 2013 Aeronutica, Computacin, Electromecnica, Industrial, Materiales, Mecnica, Qumica.

1

MATEMATICA D1 MODULO 2: TRANSFORMADA E INTEGRAL DE FOURIER

La transformada de Fourier, as como la serie de Fourier, es una herramienta muy importante en la solucin de problemas de ecuaciones diferenciales parciales con valores en la frontera. Tambin es una herramienta matemtica de anlisis de funciones. En Ingeniera es utilizada entre otras cosas para describir, analizar y disear seales (funciones cuya variable independiente es el tiempo) y sistemas. La transformada de Fourier se encarga de transformar una seal en el dominio del tiempo a otro dominio, denominado dominio de la frecuencia. La antitransformada de Fourier, a su vez, permite transformar desde el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.

Definicin: Dada una funcin f(x), se define como transformada de Fourier de f(x) a:

{ } - 2-

( ) ( ) ( ) i xsf x F s f x e dxpi

= = F .

La funcin F(s) es compleja en general, y puede escribirse: F(s) = A(s) + i B(s) = |F(s)| ei(s) donde |F(s)| se llama espectro de magnitud, y (s) espectro de fase.

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA Teorema: Si ( ) ( ) y f x f x son funciones seccionalmente continuas en cada intervalo finito de la recta real y

+

< -

( ) f x dx , entonces

{ }-

1 2 2

- -

( ) ( )( ) ( ) lim ( ) 2

u

ixs ixs

uu

f x f xF s vp F s e ds F s e dspi pi+

+= = = F donde

2

-

( ) ( ) ixsF s f x e dxpi

= .

{ }1 ( )F sF se denomina antitransformada de Fourier de f(x) y proporciona una representacin de f(x) mediante una integral, por eso tambin se conoce como integral de Fourier de f(x) (recordar que si f y f son seccionalmente continuas y f es peridica, se puede representar mediante una serie).

La transformada y la antitransformada de Fourier se suelen definir de otras formas, con las cuales los resultados slo varan en una constante y cumplen las mismas propiedades.

Las condiciones para la existencia de la transformada de Fourier son suficientes pero no necesarias, es decir, hay funciones que no las cumplen pero se puede calcular su transformada.

EJEMPLO 1:


2

-

0 01( ) 02

0x

si x

f x si xe si x

entonces -

0 0( ) - 0x

si xf xe si x

Como f y f satisfacen las hiptesis del teorema de existencia, la transformada de Fourier de f(x) es ( ) ( )

( )( )

( )

- 1 2- 1 2

- 2 - - 2 - - 2

- 0 0 0 0- 1 2

2 2

( ) ( ) lim lim lim- 1 2

- 1 1 1 - i2 lim

- 1 2 1 2 1 4

bb b x i sx i si xs x i xs x i xs

b b b

b i s

b

eF s f x e dx e e dx e e dx e dxi s

e s

i s i s s

pipipi pi pi

pi

pi

pi

pi pi pi

++

+

= = = = = =

+

= = =

+ + +

(recordar que ( ) ( )- 1 2 - 1 2 -lim 0 pues lim = lim = 0 ya que 0 b i s b i s bb b b

e e e bpi pi+ +

= > ),

y la representacin de f(x) mediante la integral de Fourier es -

2 22 2

- -

( ) ( ) 1 - 2 ( )

2 1 4i xs i xsf x f x i svp F s e ds vp e ds

s

pi pipi

pi

+

+= =

+ .

Es muy sencillo verificar que 2 2 2 2- -

1 - 2 1 - 2(0) pero que 1 4 1 4

i s i sf vp ds dss s

pi pi

pi pi

=

+ + no existe, esto

explica el uso del vp de la integral en la definicin.

EJEMPLO 2: Funcin signo -1 si 0( ) 1 si 0

xsig x

x

Como esta funcin no verifica que su mdulo sea absolutamente integrable, se considera la sucesin de

funciones -

- si 0( ) si 0

xn

n xn

e xf xe x

que verifican las condiciones suficientes para la existencia de la

transformada de Fourier y adems ( ) lim ( ).n

nsig x f x

=

La transformada de Fourier de ( )n

f x es

( ) ( ) ( )( )

0- 2 - 2 - 2

- - 0

22 2

-1 1{ ( )} ( ) - 1 1

- 2 2

-

1 4

x xi xs i xs i xsn nn nf x f x e dx e e dx e e dx

i s i sn n

i s

sn

pi pi pi

pi pi

pi

pi

= = + = + =+

=

+

F

( )

- 2 - 2 - 2

( )- - -

22 2

{ ( )} ( ) lim ( ) lim ( ) lim { ( )}

-4 - lim ( ) se verifica pues ( ) converge a ( ) uniformemen

1 4

i xs i xs i xsn n n

n n n

nn

sig x sig x e dx f x e dx f x e dx f x

i s i f x sig xss

n

pi pi pi

pi

pipi

= = = = =

= =

+

F

te


3

ACTIVIDAD 1

1) Dada 12

12

1 si | |( )0 si | |

xrect x

x

Esta funcin se denomina funcin cajn, es muy usada en ingeniera, por ejemplo para introducir ventanas de tiempo; esto es, limitar una funcin a un intervalo de tiempo, multiplicando la funcin por un cajn. a) Verificar que cumple las condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Fourier. b) Hallar su transformada de Fourier aplicando la definicin. c) Representarla mediante su integral de Fourier y graficar la funcin a la cual converge la integral.

ACTIVIDAD 2

Para las funciones siguientes

1) 1 si 1( )0 si 1

x xf xx

2) 1 si 1

0 si 12xx

rectx

a) Verificar que cada funcin cumple las condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Fourier. b) Hallar su transformada de Fourier aplicando la definicin. c) Representarla mediante su integral de Fourier y graficar la funcin a la cual converge la integral.

La posibilidad de ir del dominio del tiempo al de frecuencia y viceversa, puede verse como un cambio de coordenadas. Algunas de las propiedades de la transformada de Fourier permiten que determinadas propiedades de las funciones que se ocultan en un dominio, se puedan visualizar mejor en el otro.

Propiedades generales

Linealidad: Si {f(x)}=F(s), {g(x)}= G(s) y a, b constantes complejas, entonces {a f (x) + b g (x)} = a F(s) + b G(s).

Similaridad: Si {f(x)}=F(s) y a es un nmero real entonces { } 1( ) | | sf ax a F

a

=

F

Traslacin en el tiempo: Si {f(x)}=F(s) y a es un nmero real entonces { } 2( ) ( )isaf x a e F spi =F

Traslacin en la frecuencia: Si {f(x)}=F(s) y a es un nmero real entonces { }2 ( ) ( )ixae f x F s api = F

Simetra: Si {f(x)}=F(s) entonces { }( ) ( )F x f s =F


4

ACTIVIDAD 3 Demostrar las propiedades anteriores.

ACTIVIDAD 4

Calcular la transformadas aplicando las propiedades convenientes

a) ( ) ( ).sen(100 ) f x rect x xpi= b) sen( )( ) ts tt

pi

pi=

ACTIVIDAD 5

Demostrar las propiedades: a) Si f(x) par entonces F(s) es par. b) Si f(x) impar entonces F(s) es impar.

INTEGRALES DE FOURIER DE SENOS O DE COSENOS

Si f(x) es par: ( ) ( )( ) ( )

( ) cos 2 y ( ) cos 2 son funciones pares de y de respectivamente,( )sen 2 y ( )sen 2 son funciones impares de y de respectivamente,

entonces

f x xs F s xs x sf x xs F s xs x s

pi pi

pi pi

( ) ( )

( ) ( ) ( )

- 2

- -

- - 0

( ) ( ) ( ) cos 2 2

( ) cos 2 ( ) 2 2 ( ) cos 2

i xsF s f x e dx f x xs isen xs dx

f x xs dx i f x sen xs dx f x xs dx

pi pi pi

pi pi pi

= = =

= =

( ) ( )

( )

-

2

- -

0

( ) ( )y lim ( ) lim ( ) cos 2 2 2

2 ( ) cos 2

u u

i xs

u uu u

f x f x F s e ds F s xs i sen xs ds

F s xs ds

pi pi pi

pi

+

+= = + =

=

Si f(x) es impar: Se demuestra anlogamente que

( ) ( )-

0 0

( ) ( )( ) - 2 ( ) 2 y 2 ( ) 22

f x f xF s i f x sen xs dx i F s sen xs dspi pi + +

= =

ACTIVIDAD 6

Calcular las transformadas de Fourier

a) 21 si 1( )

0 si 1x xf x

x

b) si 0 1( ) , ( ) ( )

0 si 1a x

g x g x g xx


5

c) 1 si 0 1( ) , ( ) ( )0 si 1x x

h x f x f xx

<

Convolucin de funciones

El producto de convolucin de dos funciones f(x) y g(x) de dominio , se representa por f(x) * g(x) y

est dado por la integral

f(x) * g(x) = -

( ) ( - ) f t g x t dt

Si f(x) = g(x) = 0 para x < 0, resulta f(x) * g(x) = 0

( ) ( - ) x

f t g x t dt

Propiedades

Conmutatividad: f(x) * g(x) = g(x) * f(x)

Asociatividad: [f(x) * g(x)] * h(x) = f(x) * [g(x) * h(x)]

Distributividad con respecto a la suma: [f(x) + g(x)] * h(x) = f(x) * g(x) + f(x) * h(x)

ACTIVIDAD 7

Se define la funcin salto unidad, para a R , como: 1 si ( ) ( )0 si a

x au x a u x

x a

> = =


6

2. a) Dada la funcin 2( )2

ixxf x rect e pi =

hallar {f(x)} usando propiedades.

b) Usando a) hallar 2

2 (1 )ixe

i x

pi

pi

+ F

3. Dada 2( )2xf x rect x =

hallar:

a) {f(x)} b) {f(3x)} 4. Dada )()( xuexf x= , 0> , calcular: a) {f(x)} b) Usando propiedades calcular: b1) { }( )xe u x F b2) { }| |xe F b3) 2 2 214 x pi + F b4) 1

2 x pi

+ F b5)

xpi 421

5. a) Dadas f(x) = u(x) e 2x y g(x) = u(x) e 3x calcular {f(x)*g(x)} . b) Mostrar que ( ) ( ) ( )x x xu x xe u x e u x e = y calcular { })(xuxe x usando el teorema de convolucin

6. Dadas 1( ) 2xf x rect x =

y

>

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