TRANSFORMADA DE LAPLACE

CABUDARE, 28 de Marzo de 2012.

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓN

ESCUELA DE ELÉCTRICA

Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico

1).Utilizar la definición de transformada de laplace y resolver la siguiente función.

Solución al No 1

F (t) = 53

t2 - √7 + 5 cos √3 t

Definición:

f ( s )=L {f ( t ) }=∫o

x

e❑−st f (t )dt

∫o

x

e−s .t( 53t2−√7+5 cos√3t )dt

53∫o

x

e−s . t t2dt−√7∫0

x

e−s .t dt+5∫0

x

e−s . t cos√3 . t . dt

Resolvemos cada una de las integrales:

Primera integral:

53∫o

x

e−s . t. t 2 dt

U= t2

du= 2t dt

ʃ dv = ʃ e-st dt = - Se – s.t

Utilizamos la integración por parte.

u . v - ʃ v. du

t2 . (- s.e –s. t ) – ∫o

x

−s . e−s . t .2t . dt

-s.t2.e-s.t + 2 ʃ t . s.e-s.t dt

Integramos de Nuevo por partes:

U= t du= dt

1

ʃdv = ʃs.e-s.t = - s2 e-s.t

2( - s2t + s2 ʃe-st dt

-2 s2 t + 2 s3 e-st

Luego:

-s.t2.e-s.t – 2.s2 t – 2.s3 e-s.t

Luego evaluamos la primera integral.

(- sx2 e-5 x – 2 s 2 x – 2 s3 e-5x) – (-2 s3 e –s (0))

Resultado de la primera integral.

Segunda integral.

−√7∫0

x

e−s .t dt=+s √7 e−s .t X

O

Evaluamos:

s√7e-sx + s√7e-s (0)

Resultado de la segunda integral.

Tercera integral.

s∫o

x

e−st cos√3 t . dt

U= cos√3 t

du= -√3 sen √3 t. dt

∫ dv=∫e−st=−S e−st

-sx2 e-s x -2 s2 x – 2 s3 e-s x + 2 s3

s√7e-sx + s√7

x

0

u . v−∫V .du

−Se−st.cos√3 t−s √3∫e−st . sen √3 t . dt

Integramos de Nuevo.

U= sen √3 t

Du= √3 . cos√3 t

∫ dv=∫e−st . dt=−Se−st

−Se−st . sen √3 . t−∫ Se−st .√3 cos√3 t. dt

Luego.

s∫o

x

e−st cos√3 . t . dt=−S e−st cos√3 t

−Se−st . sen √3 . t−s∫o

x

e−st √3 cos √3 t. dt

s∫o

x

e−st cos√3 . t . dt+s∫o

x

e− st .√3cos√3 t dt=−Se−st cos √3 t−Se−st Sen √3 t

s√3+s∫o

x

e−st cos√3 t . dt=−S e−st .cos√3t−Se− st sen√3 t

∫o

x

e−st cos√3t dt=−s e−s t cos√3 t−S e−st sen√3 tS√3+S

Evaluando.

Resultado de la tercera integral:

Luego unimos los tres resultados de las tres integrales

∫o

x

e−st cos√3t . dt=−se− sxcos√3x−S e−sx . sen√3 xS √3+S

53 [−Sx

2 e−Sx−2S2 X−2S3 e−Sx+2S3+S √7e−Sx+S √7

(−Se−sx .cos √3 X−S e−sx . Sen√3 X2 ) ]

2).- Utilizar propiedades y tabla para determinar la transformada de Laplace enuncie las

propiedades antes de resolver. Simplifique los resultados.

A) F (t)= 72 e4 t (

23 cos2√5 t +2 cosh 2√3 t - at 7).

F (t)= 73

e4 t. cos2√5 t +7 e4 t2 cosh 2√3 t – 14 e4 t.t 7).

C (1s

). 1s−a

.s

s2+a2 + + c (1s

).1s−a

. s

s2+a2 - C (1s

). 1s−a

. n¡

sn+1

Ver tabla las propiedades que se aplicaron:

Fueron la 1), 2), 3), 4), 5), y 7).

Simplificando tenemos factor común.

C (1s

).1s−a

s

s2+a2 + s

s2−a2 - ( n!

sn+1¿

B) F (t)= 35t 6 senh2t−5

sen3 t

t 2

F (t)= 185t senh2t−3 t

sen3 t

t 2

Aplicando las formulas

2), 8), 6) Y 3) tenemos:

185

. (1s

). a

s2+a2 - 3 (1

s2 ) .a

s2+a2

C) F(t)= L

Aplicamos las propiedades:

5), 4) y 3).

-4.1

s2+a2 - 18 . 1s−a + 12.

n!

sn+1

f 11 (t) Si F (t)=

34

cos 2t - 2 e−3 t + 35

t 5

f , (t) = - 84

sen 2t + 6 e−3 t+3 t 4

f ¿ (t) = - 4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3

f(t) =L -4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3

n!

sn+1

−4

s2+a2 - 12n !

sn+1

3) Aplicar tabla, simplificación y método correspondiente para determinar L−1 F (S) = F (t)

Ver tabla de transformada inversa.

a) L−1 7 ( s - 34 ) - √5 5 (s-5) + √7 7s -4 4√5

3 ( s - 34

¿2 - 12 9 (s2 - 10 s + 25¿3 8s2−18 s2 +47

F (t)= + + c eat+ c + ebt coshat+¿¿ c

c. ebt senata

b) 4s + 7 6s - 4

s2 + 53

s + 174

s2 - 13

s + 20

Solucion:

F (t) =

c. t n−1 eat

(n−1 ) !

c eat- c

sen ata

++ +

- -L−1

c osat cebt senata

- ebt cos ¿̂

s2 + 2 s + 3

Solucion:

4) Utilizar el teorema de Convolucion y determine:

Solucion:

F *g = 1

√2 π ∫ ∞

−∞ f ( ¿ g (x-u) du

F ( u¿= 2√5=¿¿ C

g (x-u)= s3 (s3 + 2) = t n−1 ( cos at)

Luego:

F *g = 1 ∫ ∞−∞ C. ( t n−1 ) cos at dt

c)

s2 + 2 s + 3

L−12√5

s3 ( s2 + 2 )

(n-1) !

(n-1) !√2π

5) Determine el semiperiodo del seno de Fourier para F(X) =4X ; 0 ¿ X ¿ 1.

Realizar el espectro de la función.

Solución:

an= 0 bn= 2l

∫ l0

f (X) - sen nπ x . dx

2∫10

4x. sen π x dx

u . v− ʃ v . du u= 4x Du= 4. dx

Du= ∫ sen πx=−π cos π x

2 ( 4x. ( - π cos π x ) - ∫−¿¿ π cos π x. 4 dx

-8 π x π x+4 π∫ cos π x . dx

-8 π x. cos π x+4 π .π sen πx

( -8 π cos π+4 π 2 . sen π ) - (0)

L

1

0

8+0= 8

1

0

El espectro de esta función es:

6). Desarrolle la expansión y realice el espectro de fourir de la función.

F ( x) =

Solución:

1 si 0 ≤ x ≤ 1

(2 - x) si 1 ≤ x ≤ 2T=2

-1-2 1 2

F (X)

Periodo

0-1 1

F (X)

4X

F (t ) L {F (t ) }=f (s )

c

c( 1s )

t ( 1

s2 )tn ( n !sn+1 )eat 1

s−a

cos at s

s2+a2

senata

s2+a2

cosh at s

s2−a2

Tabla de transformada directa de Laplace de funciones elementales utilizadas en el trabajo realizado. (Enumeradas)

1

2

3

4

5

6

7

senata

s2−a2

L−1 { f (s ) } F (t )

C (1s ) C

( 1

s2 ) t

( 1

sn ) tn−1

(n−1 ) !

( 1s−a ) eat

1

(s−a )ntn−1eat

(n−1 ) !

s

s2+a2 cos at1

s2+a2senata

1

s2−a2

senhata

Tabla de transformada inversa de laplace.

8

s

s2−a2 cosh at

(s−b )(s−b )2+a2 ebt cosat

1

(s−b )2+a2ebt senata

( s−b )(s−b )2−a2 ebt cosh at

1

(s−b )2−a2ebt senhat

a