Transformada de Laplace
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TRANSFORMADA DE LAPLACETdL
CARLOS ZEPITA
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UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANA SAN PABLO
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Pierre-Simon Laplace; (28/03/1749 - París; 5/03/1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplacey la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal.
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SOBRE EL DETERMINISMO CAUSAL
• “Todo acontecimiento físico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, están causalmente determinados por la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual determina en algún sentido el futuro”.
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinismo
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LA TdL EN EL ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS
• Se usa para descomponer una señal (o sistema) en la suma de exponenciales complejos (eigenfunciones).
• Como la salida de una eigenfunción es fácil de determinar, la TdL puede ser utilizada para determinar la salida de prácticamente cualquier entrada.
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¿QUÉ ES LA TdL?
• Es una función de f definida por:
• Es una operación matemática que sirve para expresar prácticamente cualquier señal TC como la suma de exponenciales complejos de la forma:
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𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝐾𝑒𝑠𝑡
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• TRANSFORMADA
• TRANSFORMADA INVERSA
• f(t) es la suma de un “infinito” numero de exponenciales complejos apropiados: 𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠).
TRANSFORMADA/TRANSFORMADA INVERSA
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𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = ℒ−1 𝐹(𝑠) =1
2𝜋𝑖
𝛾−𝑗∞
𝛾+𝑗∞
𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠)𝑑𝑠
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SOBRE LA TRANSFORMADA INVERSA
• El contorno de la integral inversa es una línea paralela al eje imaginario (𝑗𝜔) para cualquier valor de 𝜎 en la región de convergencia de la transformada.
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TRANSFORMADA UNILATERAL Y BILATERAL
• UNILATERAL
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
• BILATERAL
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =
−∞
∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
• La diferencia son los limites de integración.
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¿CUÁL DE ELLAS SE UTILIZA?• Al diseñar en el mundo “real” (ej. sistemas de
control) casi siempre se utiliza la transformada unilateral: NO EXISTE el tiempo negativo.
• En “teoría” y los “procesadores de señales en tiempo no real” se utiliza la forma bilateral por sus propiedades matemáticas.
• Para considerar señales reales (comienzan a existir desde 𝑡 = 0) en el “mundo bilateral” se acostumbra usar la función paso unitario:
𝑥 𝑡 𝑢(𝑡)
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CUIDADO CON LA FUNCIÓN PASO UNITARIO
• Olvidar 𝑢(𝑡) es un error común.
• Una señal (o sistema) de la forma: 𝑒𝑠𝑡 esta compuesta de una frecuencia compleja “simple”, mientras que: 𝑒𝑠𝑡𝑢(𝑡) esta compuesta de muchas frecuencias (vea TdF).
• La diferencia significativa en la T unilateral y la bilateral es la forma de tratar las condiciones iniciales.
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REGIÓN DE CONVERGENCIAROC
• Se define como el conjunto de valores de 𝑠para los que la integral de la TdL puede ser evaluada.
• EJEMPLO, hallar la TdL y el ROC𝑥 𝑡 = 𝑒2𝑡𝑢 𝑡
𝑋 𝑠 =
−∞
∞
𝑒2𝑡𝑢 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
=
0
∞
𝑒 2−𝑠 𝑡𝑑𝑡
= 1
2 − 𝑠𝑒 2−𝑠 𝑡
0
∞
Como: 𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞𝑒 2−𝑠 𝑡 = 0
𝑋 𝑠 =1
𝑠 − 2𝑠 − 2 > 0 → 𝑠 > 2
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𝑅𝑒 𝑠 > 2
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REGLAS DEL ROC
• Hay varias reglas para determinar el ROC sin desarrollar la operación de integración (ni las desigualdades), sólo se necesita conocer el tipo de señal y la localización de los polos de la transformada.
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TIPOS DE SEÑALES
• Señal de lado izq.: comienza en un lugar termina en −∞
• Señal de lado der.: comienza en un lugar termina en +∞
• Señal de ambos lados: comienza en −∞ y termina en +∞
• Señal de duración finita: comienza en un punto termina en otro punto
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LA REGLAS DEL ROC
• La ROC siempre es:
– Una región del plano 𝑠 a la izq. o der. del eje vertical.
– o el espacio entre dos líneas verticales.
• Nunca tiene un polo.
• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado der. entonces la ROC es de lado der.
• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado izq. entonces la ROC es de lado izq.
• Si 𝑥(𝑡) es una señal de ambos lados (o la suma de una señal de lado izq. y otra de lado der.) entonces la ROC es un intervalo siempre que las ROC no se sobrepongan, produciendo una anulación mutua.
• Si 𝑥(𝑡) es una señal de duración finita, la ROC es el plano 𝑠 entero.
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PROPIEDADES DE LA TdL BILATERAL
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PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL
LA UNILATERAL CONSIDERA
CONDICIONES INCIALES
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PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL
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TABLA DE TdL BILATERAL
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TABLA DE TdL UNILATERAL
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TABLA DE TdL UNILATERAL
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TABLA DE TdL UNILATERAL
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TRANSFORMADA INVERSA
• Para recuperar 𝑥(𝑡) a partir de 𝑋(𝑠) puede utilizar la integral:
𝑥(𝑡) = ℒ−1 𝑋(𝑠) =1
2𝜋𝑗
𝛾−𝑗∞
𝛾+𝑗∞
𝑒𝑠𝑡𝑋(𝑠)𝑑𝑠
• NO utilice esta integral, manipule 𝑋(𝑠) hasta que tenga un patrón reconocible de las tablas y propiedades.
• Este es un procedimiento heurístico y se hará más sencillo con la practica.
• Conocer la ROC es muy importante para conseguir la transformada inversa.
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TEOREMA DEL VALOR INICIAL Y FINAL
• Dado 𝑋(𝑠) es posible calcular el valor de 𝑥(𝑡 = 0) o 𝑥(𝑡 = ∞) sin tener que realizar la transformada inversa.
VALOR INICIAL: 𝑥 𝑡 = 0 = lim𝑠→∞
𝑠𝑋(𝑠)
VALOR FINAL: 𝑥 𝑡 = ∞ = lim𝑠→0
𝑠𝑋(𝑠)
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REFERENCIAS WEB
• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
• http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
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