EJERCICIOS DE TRANSFORMADA DE LAPLACE

1) PROBLEMA 1 Resolver :

Sujeto a :

Solucion :-Aplicando Trasformada de Laplace en la Ecuacion Diferencial :

Usando la transformada de Laplace para la derivada tenemos que Entonces : .+

Aplicando Transformada Inversa a Cada miembro

Para resolver aplicaremos convolucion dos veces, por lo tanto

De donde :

Entonces por convoclucion :

Luego , aplicamos convolucion otra ves :

2) PROBLEMA 3

Halle la Transformada de Laplace de la Siguiente Funcin:

SOLUCION :Graficamente :

Donde Luego aplicando Transformada de Laplace a la funcin seccionada tomando en cuenta la funcin peridica :

3) PROBLEMA 4

Sea Halle las transformadas inversas de las siguientes funciones :a) b) c) d) e) f) g)

SOLUCIONa) De la definicin de Delta de Dirac sabemos que

Entonces : por lo que

b) Sea L{

Entonces : , derivando con respecto a s tenemos

Aplicando transformada inversa de Laplace a cada miembro

De la solucin en a) tenemos: Despejando tenemos , para a = c) Sea L{Entonces : , derivando con respecto a s tenemos = Aplicando inversa de Laplace miembro a miembro

De la solucin en a) y en b) tenemos: Despejando :

d) De la misma forma que en a) b) y c) Hacemos L{ aplicando Inversa de Laplace , de a) , b) ,y c) 3( para a=

e) Por induccin de los resultados de a) , b) , C) y d)Entonces :

Para a=

f) De la formula obtenida por induccin en e):

Hacemos b= a

g) Para hallar , haremos a = 0 , en la formula hallada en e)

Para a= 0

4) PROBLEMA 5

Sea

La ecuacin subsidiaria de una ecuacin diferencial. Construya dicha ecuacin diferencial. SOLUCION Aplicando Transformada inversa de Laplace : Donde (a)De la segunda propiedad de traslacin ..(b) .(c) .(d) (e) .(f)Reemplazando a,b,c,d,e,f en 1

Agrupando se tiene :

Como :

Derivando tenemos

De donde observamos que la ecuacin diferencial est dada por con :

5) PROBLEMA 7Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial

Sujeto a ; ; ;

}

Entonces :

6) PROBLEMA 11 a) Hallar las transformadas de Laplace de : Usando Laplace de la derivada obtenemos , aplicando Laplace de la multiplicacin por

Por Laplace de la derivada ,aplicando Laplace de la multiplicacin por x

)

Aplicando Laplace de la multiplicacin por

b) Halle sea derivando obtenemos y como

EJERCICIOS DE SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER1) Problema 1 Determine:1. La serie de Fourier de en []1. El valor de la suma Solucin (a):Graficamos la funcin f(x)= ; Periodo: T = 2 Analizamos si f(x) es par : f(x)= f(-x)= = , de lo cual deducimos que f(x) es una funcin par y por lo tanto bn = 0

La serie de Fourier de la funcin f(x)= es :

Calculamos el a0:

Calculamos an:

Integrando por partes :

Y por ser una funcin par bn = 0, por lo que:

Solucin (b):Utilizando la serie de Fourier de la funcin f(x) del ejercicio anterior (a)Como:

Le damos el valor de x = 0 para poder calcular lo que nos piden

2) Problema 3

Utilizando transformada de Fourier halle una solucin particular de la ecuacin diferencial

Solucin:Aplicando Transformada de Fourier a ambos miembros :

Aplicando Transformada inversa de Fourier : Donde

3) Problema 6

Utilizando transformada de Fourier halle una solucin particular de la ecuacin diferencial

Solucin:Aplicando Transformada de Fourier a ambos miembros:

Aplicando Transformada inversa de Fourier: Donde

4) Problema 7Sea :

Solucin

Como :

Sumando :

Por lo tanto: