Transformada Z - Instituto Tecnológico de...
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TRANSFORMADA ZUnidad I
Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano
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RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
d j T dT j Tz e e e
s d j
dTz e
2 2
s s
fz T
F
Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano
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MAPEO – PLANO S AL PLANO Z
Los polos y los ceros cuyas frecuencias difieren
2/T son mapeados en las mismas posiciones en z,
es decir, la correspondencia zS no es única.
Figura wikispaces
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RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
0 05
4 24 2
32
27 3
3 3 4 24 2
22
s
s
s
s
s
s
s
s
Plano s Plano zPlano s Plano z
rad T radrads T rad
s
Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano
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MAPEO ENTRE PLANOS
ALGORITMOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Regla Algoritmo numérico Proyección para s
Rectangular
Trapezoidal
[ ] [ 1] [ ]y n y n tsx n
2
[ ] [ 1] [ ] [ 1]s
y n y n x n x nt
1 1
s
zs
t z
2 1
1s
zs
t z
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TRANSFORMADA Z
Representa señales discretas en tiempo en su
equivalente en frecuencia compleja (Plano Z)
Unilateral
Sistemas causales
n
n
X z x n z
0
n
n
X z x n z
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Región donde la transformada z converge.
Ejemplo:
0 1 3 5 3 1 0x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5 4 3 2
1 3 5 3X z z z z z z
1z X z
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Ejemplo:
0 1 3 5 3 1 0x
2 1 0 1 2
1 3 5 3X z z z z z z
1
0zX z
z
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Ejemplo:
0 1 3 5 3 1 0x
1 2 3 4 5
1 3 5 3X z z z z z z
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
10z X z
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Ejemplo:
1 0
0 0
nx n
n
1 2 3
1 1X z z z z
1z ROC-1 0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 1
1
11
zX z
zz
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TRANSFORMADA Z
Secuencias finitas:
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TRANSFORMADA Z
Señales causales:
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TRANSFORMADA Z
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TRANSFORMADA Z
Señales anticausales:
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TRANSFORMADA Z INVERSA
1 2 30 1 2 3X z x x z x z x z
1x n Z X z
0
n
n
X z x n z
1 2
0 1 2
1 2
0 1 2
n
N
M
M
b b z b z b zX z
a a z a z a z
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Linealidad
Desplazamientos
1 2 1 2ax n bx n aX z bX z
m
x n X z
x n m z X z
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Convolución
Diferenciación
k
y n h k x n k
Y z H z X z
x n X z
dX znx n z
dz
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TRANSFORMADA Z INVERSA
Se obtiene mediante:
Método de expansión series de
potencias.
Método de expansión de fracciones parciales.
Método de residuo.
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EXPANSIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
Ecuaciones
𝑥 0 = 𝑏𝑜𝑎0
𝑥 1 = 𝑏1 − 𝑥 0 𝑎1𝑎0
𝑥 2 = 𝑏2 − 𝑥 1 𝑎1 − 𝑥 0 𝑎2𝑎0
…
𝑥 𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑥 𝑛 − 𝑖 𝑎𝑖𝑎0
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EXPANSIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
𝑋[𝑧] =1
𝑧 − 0.25 𝑧 − 0. 5