TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

1. FUNCIÓN CONSTANTE: 𝑓(𝑠) = 𝐿{1}

𝑓(𝑠) = 𝐿{1} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

1𝑑𝑡 = lim𝐵→∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗𝐵

0

1𝑑𝑡

𝑓(𝑠) = lim𝐵→∞

(𝑒−𝑠𝐵

𝑠+1

𝑠)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒇(𝒔) = 𝑳{𝟏} =𝟏

𝒔, 𝒔𝒊 𝒔 > 𝟎.

2. FUNCION EXPONENCIAL:

𝐹(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎:

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝐹(𝑡)} = 𝐿{𝑒𝑘𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−(𝑠−𝑘)𝑡∞

0

𝑑𝑡

= −𝑒−(𝑠−𝑘)𝑡

𝑠 − 𝑘=

1

𝑠 − 𝑘(0 − 1) =

1

𝑠 − 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 𝑘

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝒇(𝒔) = 𝑳{𝒆𝒌𝒕} =𝟏

𝒔 − 𝒌 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔 > 𝒌

3. FUNCION tn, n > 0 entero:

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝐹(𝑡)} = 𝐿{𝑡𝑛} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑡𝑛𝑑𝑡, integrando por partes se tiene:

{𝑢 = 𝑡𝑛

𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜⇒ {

𝑑𝑢 = 𝑛𝑡𝑛−1𝑑𝑡

𝑣 = −𝑒−𝑠𝑡

𝑠

𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑡𝑛𝑑𝑡 = −𝑒−𝑠𝑡

𝑠+𝑛

𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑡𝑛𝑑𝑡

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0, 𝑛 > 0, 𝑡𝑛𝑒−𝑠𝑡 → 0, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡

→ +∞, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑓(𝑠) =𝑛

𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑡𝑛−1𝑑𝑡 = 𝑛

𝑠 𝐿{𝑡𝑛−1} − − −−−−−−−−(𝐼)

Siguiendo el mismo procedimiento se llega a:

𝐿{𝑡𝑛−(𝑛−1)} = 𝐿{𝑡} =1

𝑠𝐿{𝑡0} =

1

𝑠2 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒: 𝐿{1} =

1

𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (𝐼):

𝑓(𝑠) =𝑛

𝑠∗𝑛 − 1

𝑠… .1

𝑠∗ 1

𝑠=

1!

𝑠𝑛+1

𝒇(𝒔) = 𝑳{𝒕𝒏} =𝟏!

𝒔𝒏+𝟏 , 𝒔𝒊 𝒔 > 𝟎.

4. FUNCIÓN sen(at):

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡𝑑𝑡, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑓(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 (𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 + 𝑎 ∗ cos 𝑎𝑡

𝑠2 + 𝑎2) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0, 𝑒−𝑠𝑡 → 0, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 → +∞.

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒇(𝒔) = 𝑳{𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕} =𝒂

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎.

5. FUNCION cos(at):

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∗∞

0

𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑑𝑡, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑓(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 (𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 + 𝑎 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡

𝑠2 + 𝑎2) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0, 𝑒−𝑠𝑡 → 0, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 → +∞.

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒇(𝒔) = 𝑳{𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒕} =𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔𝒊 𝒔 > 𝟎.

EJEMPLOS:

Ejemplo: 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 7𝑡}

𝑆𝑒𝑎 𝐿{𝑠𝑒𝑛 7𝑡} =1

𝑠2 + 1= 𝑓(𝑠), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝐿{𝑠𝑒𝑛 7𝑡} =1

7𝑓 (𝑠

7) =

1

7(

1

𝑠2

49+ 1) =

7

𝑠2 + 49

𝑳{𝒔𝒆𝒏 𝟕𝒕} =𝟕

𝒔𝟐 + 𝟒𝟗

Ejemplo: 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡}

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡 =1

2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡) =

1

2(1

𝑥+

𝑥

𝑠2 + 4𝑎2) 𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡}

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡} =1

2(1

𝑥+

𝑥

𝑠2 + 4𝑎2) =

𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝟐

𝒙(𝒔𝟐 + 𝟒𝒂𝟐)

Ejemplo: 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑡 cosh 𝑎𝑡} =𝑠2+𝑎2

(𝑠2−𝑎2)2

Aplicando la transformada de la multiplicación por t se tiene:

𝐿{𝑡 cosh 𝑎𝑡} =𝑠

𝑠2 − 𝑎2 ⇒ 𝐿{𝑡 cosh 𝑎𝑡} = −

𝑑

𝑑𝑠𝐿{cosh 𝑎𝑡}

𝐿{𝑡 cosh 𝑎𝑡} = −𝑑

𝑑𝑠(

𝑠

𝑠2 − 𝑎2) = −

𝑠2 − 𝑎2 − 𝑠(2𝑠)

(𝑠2 − 𝑎2)2=

𝑠2 + 𝑎2

(𝑠2 − 𝑎2)2

𝑳{𝒕 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒂𝒕} =𝒔𝟐 + 𝒂𝟐

(𝒔𝟐 − 𝒂𝟐)𝟐

Ejemplo: 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓(𝑠) = 𝐿 {𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡

𝑡}

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡} = 𝐿 {𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡

2} =

1

2{𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡} =

1

2(1

𝑠 − 1−

1

𝑠 + 1)

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑐𝑖ó𝑛:

𝐿 {𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡

𝑡} = ∫

1

2(1

𝜇 − 1−

1

𝜇 + 1)𝑑𝜇

∞

𝑠

=1

2[ln(𝑠 − 1) − ln(𝑠 + 1)]

=1

2𝑙𝑛 (𝜇 − 1

𝜇 + 1) = 0 −

1

2𝑙𝑛 (𝜇 − 1

𝜇 + 1)

𝑳 {𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒕

𝒕} =

𝟏

𝟐𝒍𝒏(

𝝁 + 𝟏

𝝁 − 𝟏)