TransformadaZ -...
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Transformada ZDiego Milone
Muestreo y Procesamiento DigitalIngeniería Informática FICH-UNL
26 de abril de 2012
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Organización de la clase
IntroducciónRevisión: transformada de LaplaceMotivación de la transformada Z
Transformada ZDefinicionesPropiedadesInversión de la transformada ZRelación con la transformadas de Laplace y Fourier
Análisis de sistemas en tiempo discretoAplicación del teorema del desplazamientoTransformaciones conformes
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Organización de la clase
IntroducciónRevisión: transformada de LaplaceMotivación de la transformada Z
Transformada ZDefinicionesPropiedadesInversión de la transformada ZRelación con la transformadas de Laplace y Fourier
Análisis de sistemas en tiempo discretoAplicación del teorema del desplazamientoTransformaciones conformes
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales
f(t) = Kx(t) +Bdx(t)
dt+M
d2x(t)
dt2
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales
v(t) = Ri(t) + Ldi(t)
dt+
1
C
∫i(t)dt
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada de Laplace
F (s) = Lf(t)
F (s) =
∫ ∞0
f(t)e−stdt
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
...pasando al dominio de Laplace
v(t) = Ri(t) + Ldi(t)
dt+
1
C
∫i(t)dt
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
...pasando al dominio de Laplace
v(t) = Ri(t) + Ldi(t)
dt+
1
C
∫i(t)dt
V (s) = Lv(t)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
...pasando al dominio de Laplace
v(t) = Ri(t) + Ldi(t)
dt+
1
C
∫i(t)dt
V (s) = Lv(t)
⇓
V (s) = RI(s) + sLI(s) +1
sCI(s)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Impedancias en el dominio de Laplace
V (s) = RI(s) + sLI(s) +1
sCI(s)
↓
ZR(s) = R ZL(s) = sL ZC(s) =1
sC
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Impedancias en el dominio de Laplace
V (s) = RI(s) + sLI(s) +1
sCI(s)
↓
ZR(s) = R ZL(s) = sL ZC(s) =1
sC
V (s) = (ZR + ZL + ZC)I(s) = Z(s)I(s)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Ejemplo
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Ejemplo
Vi(s) = RCI(s) +1
sCI(s) +RLI(s) + sLI(s)
Vo(s) = RLI(s) + sLI(s)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Función de transferencia
H(s) =Salida
Entrada=Vo(s)
Vi(s)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Función de transferencia: ejemplo
H(s) =RL + sL
RC +RL + 1sC + sL
H(s) =sRL+ s2L
(RC +RL)s+ 1/C + s2L
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Función de transferencia: ejemplo
H(s) =RL + sL
RC +RL + 1sC + sL
H(s) =sRL+ s2L
(RC +RL)s+ 1/C + s2L
Supongamos que: RC = 1Ω, RL = 1Ω, C = 1F,L = 2H
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Función de transferencia: ejemplo
H(s) =RL + sL
RC +RL + 1sC + sL
H(s) =sRL+ s2L
(RC +RL)s+ 1/C + s2L
Supongamos que: RC = 1Ω, RL = 1Ω, C = 1F,L = 2H
H(s) = s+ 2s2
1 + 2s+ 2s2
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos y ceros: ejemplo
H(s) =s+ 2s2
1 + 2s+ 2s2
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos y ceros: ejemplo
H(s) =s+ 2s2
1 + 2s+ 2s2
Polos : 1 + 2s+ 2s2 = 0
⇒ p1 = −1
2+
1
2i
⇒ p2 = −1
2− 1
2i
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos y ceros: ejemplo
H(s) =s+ 2s2
1 + 2s+ 2s2
Polos : 1 + 2s+ 2s2 = 0
⇒ p1 = −1
2+
1
2i
⇒ p2 = −1
2− 1
2i
Ceros : s+ 2s2 = 0
⇒ c1 = 0
⇒ c2 = −1
2
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos y ceros: interpretación gráfica
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Respuesta al impulso
vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) =?
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Respuesta al impulso
vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Respuesta al impulso
vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)
vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Respuesta al impulso
vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)
vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1
⇓
H(s) =Vo(s)
Vi(s)= Vo(s)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Respuesta al impulso
vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)
vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1
⇓
H(s) =Vo(s)
Vi(s)= Vo(s)
⇓
H(s) = Lh(t)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos, ceros y estabilidadInversión de la transformada de Laplace por expansión enfracciones parciales
H(s) =N(s)
D(s)= · · ·
H(s) =∑i
αis+ ai
+∑j
βj(s+ bj)2 + w2
j
+∑k
γks2 + w2
k
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos, ceros y estabilidadInversión de la transformada de Laplace por expansión enfracciones parciales
H(s) =N(s)
D(s)= · · ·
H(s) =∑i
αis+ ai
+∑j
βj(s+ bj)2 + w2
j
+∑k
γks2 + w2
k
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Polos, ceros y estabilidadAntitransformando obtenemos términos con la forma
αis+ ai
−→ αie−aitu(t)
βj(s+ bj)2 + w2
j
−→ βjwje−bjt sin(wjt)u(t)
γks2 + w2
k
−→ γkwk
sin(wkt)u(t)
...interpretación gráfica de la estabilidad en el tiempo...
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
↑Transformaciones
conformes↓
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace →
↑Transformaciones
conformes↓
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→ Razón depolinomios en z
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
¿Para qué la transformada Z?
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→ Razón depolinomios en z
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Organización de la clase
IntroducciónRevisión: transformada de LaplaceMotivación de la transformada Z
Transformada ZDefinicionesPropiedadesInversión de la transformada ZRelación con la transformadas de Laplace y Fourier
Análisis de sistemas en tiempo discretoAplicación del teorema del desplazamientoTransformaciones conformes
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Definición de la transformada ZDefinición general
X(z) =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Transformada Z unilateral
X(z) =
+∞∑n=0
x[n]z−n
NotaciónX(z) = Z x[n]
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Definición de la transformada ZDefinición general
X(z) =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Transformada Z unilateral
X(z) =
+∞∑n=0
x[n]z−n
NotaciónX(z) = Z x[n]
![Page 42: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/42.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Definición de la transformada ZDefinición general
X(z) =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Transformada Z unilateral
X(z) =
+∞∑n=0
x[n]z−n
NotaciónX(z) = Z x[n]
![Page 43: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/43.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z: ejemplos
x = [0 0 0 1 0]
X(z) = z−3
x = [1 − 2 3 0 4]
X(z) = 1− 2z−1 + 3z−2 + 4z−4
![Page 44: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/44.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z: ejemplos
x = [0 0 0 1 0]
X(z) = z−3
x = [1 − 2 3 0 4]
X(z) = 1− 2z−1 + 3z−2 + 4z−4
![Page 45: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/45.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z: ejemplos
x = [0 0 0 1 0]
X(z) = z−3
x = [1 − 2 3 0 4]
X(z) = 1− 2z−1 + 3z−2 + 4z−4
![Page 46: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/46.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z: ejemplos
x = [0 0 0 1 0]
X(z) = z−3
x = [1 − 2 3 0 4]
X(z) = 1− 2z−1 + 3z−2 + 4z−4
![Page 47: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/47.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: linealidad
Si x1[n]Z←→ X1(z) y x2[n]
Z←→ X2(z) entonces
ax1[n] + bx2[n]Z←→ aX1(z) + bX2(z)
![Page 48: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/48.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: inversión en el tiempo
Si x[n]Z←→ X(z) entonces
x[−n]Z←→ X
(1
z
)
![Page 49: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/49.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: convolución
Si x1[n]Z←→ X1(z) y x2[n]
Z←→ X2(z) entonces
x1[n] ∗ x2[n]Z←→ X1(z)X2(z)
![Page 50: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/50.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: diferenciación en el dominio Z
Si x[n]Z←→ X(z) entonces
nmx[n]Z←→ (−z)md
mX(z)
dzm
![Page 51: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/51.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: desplazamiento en la frecuencia
Si x[n]Z←→ X(z) entonces
ejΩonx[n]Z←→ X(e−jΩoz)
![Page 52: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/52.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Propiedades: desplazamiento en el tiempo
Si x[n]Z←→ X(z) entonces
x[n+ 1]Z←→ zX(z)− zx[0]
![Page 53: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/53.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)= zZ x[n] − zx[0]
![Page 54: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/54.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=
+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =
+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)= zZ x[n] − zx[0]
![Page 55: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/55.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=
+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =
+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=
+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)= zZ x[n] − zx[0]
![Page 56: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/56.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=
+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =
+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=
+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)= zZ x[n] − zx[0]
![Page 57: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/57.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=
+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =
+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=
+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)
= zZ x[n] − zx[0]
![Page 58: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/58.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Z x[n+ 1] =
+∞∑n=0
x[n+ 1]z−n
=
+∞∑m=1
x[m]z−(m−1) =
+∞∑m=1
x[m]z−m+1
=
+∞∑m=1
x[m]z−mz = z
(+∞∑m=1
x[m]z−m
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]z−0
)
= z
(+∞∑m=0
x[m]z−m − x[0]
)= zZ x[n] − zx[0]
![Page 59: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/59.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Generalización del teorema del desplazamiento
Si x[n]Z←→ X(z) y x[n] = 0 ∀n ≤ 0 entonces
x[n− no]Z←→ X(z)z−no
![Page 60: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/60.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Definición de la transformada Z inversa
x[n] =1
2πj
∮C
X(z)zn−1 dz
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z inversa: ejemplo
Supongamos que tenemos
H(z) =z + 2z2
1 + 2z + 2z2
... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que
z + 2z2
1 + 2z + 2z2 =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Observación: NO estamos buscando la ecuación en diferencias!!
![Page 62: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/62.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z inversa: ejemplo
Supongamos que tenemos
H(z) =z + 2z2
1 + 2z + 2z2
... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que
z + 2z2
1 + 2z + 2z2 =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Observación: NO estamos buscando la ecuación en diferencias!!
![Page 63: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/63.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformada Z inversa: ejemplo
Supongamos que tenemos
H(z) =z + 2z2
1 + 2z + 2z2
... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que
z + 2z2
1 + 2z + 2z2 =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
Observación: NO estamos buscando la ecuación en diferencias!!
![Page 64: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/64.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Métodos de inversión
• División larga e inspección• Tablas de pares transformados• Expansión en fracciones parciales• Integral de inversión
(revisar en la bilbiografía)
![Page 65: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/65.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Métodos de inversión
• División larga e inspección• Tablas de pares transformados• Expansión en fracciones parciales• Integral de inversión
(revisar en la bilbiografía)
![Page 66: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/66.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . sRepresentación de la señal con un tren de pulsos
x[n] ≈ xδT (t) = x(t)
+∞∑n=−∞
δ (t− nT ) =
+∞∑n=−∞
x (nT ) δ (t− nT )
En el dominio de Laplace tenemos
XδT (s) =
+∞∫−∞
[+∞∑
n=−∞x (nT ) δ (t− nT )
]e−st dt
... e integrando
XδT (s) =+∞∑
n=−∞x (nT ) e−snT
![Page 67: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/67.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . sRepresentación de la señal con un tren de pulsos
x[n] ≈ xδT (t) = x(t)
+∞∑n=−∞
δ (t− nT ) =
+∞∑n=−∞
x (nT ) δ (t− nT )
En el dominio de Laplace tenemos
XδT (s) =
+∞∫−∞
[+∞∑
n=−∞x (nT ) δ (t− nT )
]e−st dt
... e integrando
XδT (s) =+∞∑
n=−∞x (nT ) e−snT
![Page 68: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/68.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . sRepresentación de la señal con un tren de pulsos
x[n] ≈ xδT (t) = x(t)
+∞∑n=−∞
δ (t− nT ) =
+∞∑n=−∞
x (nT ) δ (t− nT )
En el dominio de Laplace tenemos
XδT (s) =
+∞∫−∞
[+∞∑
n=−∞x (nT ) δ (t− nT )
]e−st dt
... e integrando
XδT (s) =+∞∑
n=−∞x (nT ) e−snT
![Page 69: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/69.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . sSi comparamos
XδT (s) =
+∞∑n=−∞
x (nT ) e−snT
con
X(z) =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
![Page 70: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/70.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . s
z = esT
![Page 71: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/71.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . s
Im(z) Im(s)
Re(z) Re(s) 1
Plano Z Plano S
Polos, ceros y estabilidad...
![Page 72: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/72.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . s
Im(z) Im(s)
Re(z) Re(s) 1
Plano Z Plano S
Polos, ceros y estabilidad...
![Page 73: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/73.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación s . . . fSi recordamos que
s = σ + jω
cuando σ −→ 0 el núcleo
est∣∣σ=0
= ej2πft
... interpretación gráfica
![Page 74: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/74.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación s . . . fSi recordamos que
s = σ + jω
cuando σ −→ 0 el núcleo
est∣∣σ=0
= ej2πft
... interpretación gráfica
![Page 75: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/75.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación s . . . fSi recordamos que
s = σ + jω
cuando σ −→ 0 el núcleo
est∣∣σ=0
= ej2πft
... interpretación gráfica
![Page 76: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/76.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . fUtilizando la relación
z = esT
cuando σ −→ 0
z|σ=0 = ej2πfT
... interpretación gráfica
![Page 77: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/77.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . fUtilizando la relación
z = esT
cuando σ −→ 0
z|σ=0 = ej2πfT
... interpretación gráfica
![Page 78: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/78.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . fUtilizando la relación
z = esT
cuando σ −→ 0
z|σ=0 = ej2πfT
... interpretación gráfica
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . k (TDF)Si comparamos
X(k) =
+∞∑n=−∞
x[n]e−j2πnkN
con
X(z) =
+∞∑n=−∞
x[n]z−n
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . k
z = ej2πkN
![Page 81: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/81.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Relación z . . . k
Im(z) Im(s)
Re(z) Re(s) 1
Plano Z Plano S
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Organización de la clase
IntroducciónRevisión: transformada de LaplaceMotivación de la transformada Z
Transformada ZDefinicionesPropiedadesInversión de la transformada ZRelación con la transformadas de Laplace y Fourier
Análisis de sistemas en tiempo discretoAplicación del teorema del desplazamientoTransformaciones conformes
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Funciones de transferencia en Z
Funciones de transferencia para:• Sistemas AR• Sistemas MA• Sistemas ARMA
Aplicando en teorema del desplazamiento:• Desde la ecuación en diferencias a la función de
transferencia• Desde la función de transferencia hacia la ecuación en
diferencias
![Page 84: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/84.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Funciones de transferencia en Z
Funciones de transferencia para:• Sistemas AR• Sistemas MA• Sistemas ARMA
Aplicando en teorema del desplazamiento:• Desde la ecuación en diferencias a la función de
transferencia• Desde la función de transferencia hacia la ecuación en
diferencias
![Page 85: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/85.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
↑Transformaciones
conformes↓
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace →
↑Transformaciones
conformes↓
![Page 87: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/87.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
![Page 88: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/88.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
![Page 89: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/89.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→
![Page 90: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/90.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→ Razón depolinomios en z
![Page 91: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/91.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Recordemos...
Ecuacionesdiferenciales
← Transformadade Laplace → Razón de
polinomios en s
↑Transformaciones
conformes↓
Ecuacionesen diferencias
← TransformadaZ
→ Razón depolinomios en z
![Page 92: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/92.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformaciones conformes
• Transformación ideal... s = ln(z)T
• Transformación de Euler (aproximación)• Transformación Bilineal (aproximación)
![Page 93: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/93.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformación de Euler
Aproximemosdy
dt≈ ∆y
∆t=y[n]− y[n− 1]
T
En cada lado tenemos
Ldy
dt
= sY (s)
Zy[n]− y[n− 1]
T
=
(1− z−1
)Y (z)
T
![Page 94: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/94.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformación de Euler
Aproximemosdy
dt≈ ∆y
∆t=y[n]− y[n− 1]
T
En cada lado tenemos
Ldy
dt
= sY (s)
Zy[n]− y[n− 1]
T
=
(1− z−1
)Y (z)
T
![Page 95: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/95.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformación de Euler
Aproximemosdy
dt≈ ∆y
∆t=y[n]− y[n− 1]
T
En cada lado tenemos
Ldy
dt
= sY (s)
Zy[n]− y[n− 1]
T
=
(1− z−1
)Y (z)
T
![Page 96: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/96.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformación de Euler
Igualando y despejando obtenemos
s =1− z−1
T
![Page 97: TransformadaZ - pdsfich.wdfiles.compdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria06_2012.pdf · Introducción Transformada Z Sistemas de TD Organizacióndelaclase Introducción](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052713/5bc8ab4e09d3f2336c8b8aa7/html5/thumbnails/97.jpg)
Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Aproximación de Euler
Im(s)
Re(s)
Plano S
1
Im(z)
Re(z)
Plano Z
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Transformación bilineal
Utilizando una aproximación de 2do orden obtenemos
s =2(1− z−1)T (1 + z−1)
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Aproximación bilineal
Im(z) Im(s)
Re(z) Re(s) 1
Plano Z Plano S
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Bilineal: mapeo de frecuencias
=2 atan( T/2)
|H( )|
|H( )|
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Comparación de las transformaciones
• Relaciones gráficas• Mapeo de frecuencias• Aplicabilidad de cada una• Ventajas y desventajas
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Introducción Transformada Z Sistemas de TD
Bibliografía básica
• H. Kwakernaak y R. Sivan, Modern Signal and Systems(Capítulo 8), Prentice-Hall, 1991.
• N. Sinha, Linear Systems (Capítulo 6), John Wiley & Sons,1991.
• R. Gabel y R. Roberts, Señales y sistemas lineales(Capítulo 6: para la revisión de transformada de Laplace),Limusa: Noriega, Editores, 1994.