Transporte molecular_Resumo

7/31/2019 Transporte molecular_Resumo

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Fenomenos de Transferencia I

Jos Paulo Mota c 20112012, V. 1.0

Contedo

1 Transporte molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Exerccio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Transporte molecular

Pode demonstrar-se que os mecanismos de transferncia de matria, de quantidade de movi-

mento, e de energia interna, devido presena de um gradiente espacial dessa propriedade,

so anlogos. Desta analogia, resulta uma equao caracterstica para transporte difusivo de

qualquer uma dessas propriedades moleculares:

= , (1)

em que o fluxo da propriedade representa a velocidade de transferncia dessa proprie-

dade por unidade de rea, o coeficiente de difusividade da propriedade , e representa

o respectivo gradiente de concentrao. A eq. (1) diz-nos que o fluxo difusivo diretamente

proporcional ao oposto do gradiente de concentrao da propriedade.

Convm notar que, no caso mais geral, tanto como representam quantidades vectoriais.

Por exemplo, em coordenadas cartesianas (x,y, x), a eq. (1) escreve-se da seguinte forma:

=

xex +

yey +

zez

, (2)

em que ex, ey, e ez so os trs vectores unitrios segundo os trs eixos de coordenadas cartesia-

nas. O fluxo tem, por isso, trs componentes: = xex + yey + zez, em que

x =

x , y =

y , z =

z . (3)

Se a equao de transporte molecular for aplicada a uma quantidade infinitesimal de massa

(ou de nmero de moles) de um componente A, obtm-se

JA = DcA, (4)

em que JA o fluxo difusional (quantidade por unidade de rea e por unidade de tempo, e.g.,

molm2s1) do componente A, D o coeficiente de difusividade molecular (e.g., m2/s), e cA

a concentrao do componente A (e.g., mol/m3).

3A.1


2/7


Para um gs ideal, a relao entre energia interna, U, e a temperature, T, simplesmente

dU = mCVdT, em que CV a capacidade calorfica a volume constante e m a massa do

sistema; para um lquido ou slido, CP CV. Se a relao for expressa por unidade de massa,

tem-se du = CVdT. A equao de transporte difusivo de u pode escrever-se da seguinte forma:

q = CPT = kT, (5)

em que o coeficiente de difusividade trmica (e.g., m2/s), a massa volmica do material

(kg/m3) ou do fludo, e k (e.g., Jm2s1) a condutividade trmica do material ou do fludo.

O transporte difusivo de quantidade de movimento um pouco mais complicado. Primeiro,

relembremos que a quantidade de movimento, v, uma grandeza vectorial. Em coordenadas

cartesianas, ter-se-

v = (vxex + vyey + vzez), (6)

em que v = vxex +vyey +vzez o vector velocidade do fludo e vx, vy e vz so as trs componentes

do vector velocidade.

Consideremos uma das componentes do vector velocidade, por exemplo, a componente vz

segundo a coordenada z. Ento, a equao anloga eq. (1) escreve-se

z = N(vz) vz, (7)

em que z a tenso de corte no fludo (fluxo da componente z do vector quantidade de mo-

vimento), N o coeficiente de difusividade de quantidade de movimento (e.g., m2/s), e a

viscosidade do fludo (e.g., kgm1s1).

3A.2


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2 Exerccio 2.4

Enunciado

Um leo flui laminarmente num tubo com dimetro interno de 1.27 cm e um caudal de 4 .55

104 m3s1. Sendo = 300 cP e a densidade de 959.8 kg/m3, calcular:

a) A queda de presso por metro de comprimento de tubo.

b) A tenso de corte nas paredes.

c) A velocidade no eixo do tubo.

d) A posio radial do ponto no qual a velocidade igual velocidade mdia.

Resoluo

O sistema de coordenadas cartesianas, (x,y,z), no o sistema de coordenadas mais conveni-

ente para descrever a geometria de um tubo cilndrico. As coordenadas mais adequadas para

descrever esta geometria so as coordenadas cilndricas: (x, r, ), onde x a coordenada axial, r

a coordenada radial e a coordenada angular. Este sistema de coordenadas est representado

na Fig. 1.

O leo suposto ser incompressvel (quero com isto dizer que a sua densidade ou massa

volmica so independentes da variao de presso ao longo do tubo). Ns estamos interessa-

dos no que se passa em estado estacionrio longe da extremidade de entrada do tubo. Nessas

condies o escoamento est completamente desenvolvido: as componentes radial e angular do

x

y

z

r

e

er

ex

Figura 1: Sistema de coordenadas cilndricas (x, r, ).

3A.3


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vector velocidade so nulas (vr = 0, v = 0),1 pelo que v = (vx, 0, 0), e a componente vx no

varia com a posio axial, isto , (vx/x) = 0.

J sabemos que na parede do tubo se impe a condio fronteira de aderncia ou de no

deslizamento do fludo: a componente do vector velocidade tangencial parede do tubo nula.2

No caso em estudo, a componente tangencial parede do tubo vx; por isso, tem-se:

vx = 0 para r= R. (8)

No centro do tubo tem-se uma condio fronteira que se diz ser de simetria:

dvx

dr= 0 para r= 0. (9)

Para um iniciado em mecnica dos fludos esta condio pode no ser intuitiva; ela pode serderivada da seguinte relao a que vx obedece no interior do tubo:

vx(r) = vx(r). (10)

Esta relao bvia.

Para determinar o perfil de velocidade, isto , vx(r), necessrio aplicar o balano de quan-

tidade de movimento (relembrar que a quantidade de movimento, v, um vector) na direco

em que o vector velocidade no nulo (direco axial). O balano de quantidade de movimento

no mais do que a aplicao da segunda lei de Newton: a taxa de variao temporal da quan-

tidade de movimento de um corpo (ou seja, a sua acelerao) igual soma das foras que

actuam sobre ele.

Como a coordenada irrelevante para o problema (vx no varia com ), o volume de

controlo sobre o qual se faz o balano de quantidade de movimento um anel como o que est

representado na Fig. 2.

As reas das duas seces rectas do anel (coroas circulares) so A|x = A|x+x = 2rr; a rea

da parede interna do anel A|r = (2rx)|r; a rea da parede externa A|r+r = (2rx)|r+r; o

volume do anel V = 2rrx.

1A componente vr nula porque o fludo suposto ser incompressvel e ocupar todo o espao do tubo; a

componente v pode, no entanto, no ser nula junto da entrada do tubo se o escoamento entrar com rotao.

2Junto a uma superfcie impermevel aplicam-se sempre duas condies fronteira: (i) a componente do vector

velocidade perpendicular superfcie nula, seno o fludo atravessaria a superfcie; (ii) a componente tangencial

do vector velocidade nula devido aderncia do fludo. No caso em estudo, a componente perpendicular parede,

vr, nula em todo o domnio e, por isso, pode ser eliminada do problema.

3A.4


5/7


Figura 2: Volume de controlo para escoamento num tubo cilndrico.

O balano de quantidade de movimento segundo x no volume V

soma das foras que

actuam segundo x no

anel de volume V

=

taxa de quantidade de

movimento segundo x que

entra na face lateral A|x

taxa de quantidade de

movimento segundo x que

sai na face lateral A|x+x

(11)

A presso, P, a fora (por unidade de rea) que actua nas faces A|x e A|x+x; a tenso de

corte, rx , a fora (por unidade de rea) que actua na faces A|r e A|r+r. A soma das foras que

actuam sobre o volume V ser ento

Fx= (P|

xA|

x) (P|

x+xA|

x+x) + (

rx|rA|

r) (

rx|r+r

A|r+r

), (12)

Fx = [P(2rr)]|x [P(2rr)]|x+x + [rx (2rx)]|r [rx (2rx)]|r+r. (13)

A taxa de variao de quantidade de movimento, dada pelo lado direito da igualdade na

equao (11),

[(vx)(2rr vx)]|x+x [(vx)(2rr vx)]|x. (14)

Mas este termo nulo porque vx|x+x = vx|x devido suposio inicial de escoamento comple-

tamente desenvolvido (dvx/dx = 0).

Substituindo a equao (13) na equao (11) e dividindo todos os termos por 2rx obtm-

se:

rP|x+x P|x

x+

(rrx )|r+r (rrx )|r

r= 0. (15)

Calculando esta expresso no limite em que o volume do anel se aproxima de um tamanho

diferencial, isto , no limite em que x e r se aproximam de zero, obtm-se

rdP

dx+

d

dr(rrx ) = 0. (16)

3A.5


6/7


Reparar que a presso uma funo s de x e que a tenso de corte uma funo s de r; por

isso, as derivadas na equao anterior so derivadas totais e no parciais. Na regio do tubo onde

o escoamento est completamente desenvolvido, o gradiente de presso, dP/dx, constante.

Para escoamento laminar de um fludo newtoniano tem-se

rx =

dvx

dr

. (17)

Substituindo esta expresso na equao (16) obtm-se

r

dP

dx

=

d

dr

r

dvx

dr

dP

dx

r dr= d

r

dvx

dr

. (18)

A equao anterior pode ser integrada desde r= 0, onde dvx/dr= 0, at um valor de rarbitrrio;

o resultado

dP

dx

0

r dr=

0

d

r

dvx

dr

dP

dx

r2

2=

r

dvx

dr

dP

dx

r

2=

dvx

dr

. (19)

A equao anterior pode ser rearranjada e integrada desde um valor arbitrrio de r at r = R

onde vx = 0:dP

dx

Rr

r

2dr=

0vx

dvx

dP

dx

R2 r2

4= vx vx =

dP

dx

R2

4

[1

(r

R

)2]. (20)

A equao (20) indica que o perfil de velocidade, vx(r), parablico e que a velocidademxima atingida no centro do tubo onde r= 0: vmax = vx(0); o valor da velocidade mxima

vmax =

dP

dx

R2

4. (21)

A substituio desta expresso na equao (20) permite exprimir o perfil de velocidade, vx(r),

em funo de vmax:

vx = vmax

[1

(r

R

)2]. (22)

O caudal volumtrico, Q, igual ao produto da velocidade mdia no tubo, vx, e da rea, A,

da seco recta do tubo: Q = Avx. Mas Q tambm igual ao integral da velocidade local sobre

a seco recta do tubo, isto

Q =

A

vx dA ou vx =1

A

A

vx dA =1

R2

R0

vx 2r dr. (23)

Substituindo na equao anterior a expresso de vx dada pela equao (21), obtm-se

vx =

2vmax

R2R

0

[1

( rR)2]

r dr=

2vmax

R2[r2

2

r4

4R2]

R

0=

vmax

2 . (24)

3A.6


7/7


Portanto, para escoamento laminar a velocidade mdia do fludo igual a metade do valor

mximo do perfil de velocidade no interior do tubo.

O resultado anterior permite exprimir a queda de presso, (dP/dx), em funo do caudal

volumtrico; para isso basta ter em conta as equaes (21) e (24):

dP

dx

=

4vmax

R2=

8vx

R2=

8

R4Q =

128

D4Q, (25)

onde D = 2R o dimetro do tubo.

Agora j podemos responder diversas alneas do problema.

Resposta alnea (a). A viscosidade do fludo em unidades SI = 300 cP = 300

103 Pa s = 0.3 Pa s. A queda de presso por metro de comprimento de tubo ser

dPdx

= (128)(0.3 Pa s)(4.55 10

4 m3/s)()(0.0127 m)4

= 213785 Pa/m = 2.14 bar/m.

Resposta alnea (b). Das equaes (17) e (19), obtm-se

(rx )|r=R =

dvx

dr

r=R

=

dP

dx

R

2= (2.14 bar/m)(0.0127/4 m) = 6.79 103 bar.

Resposta alnea (c). J vimos que a velocidade no eixo do tubo igual velocidade

mxima, vmax; vimos tambm que vmax = 2vx = 2Q/A. Logo,

vmax =(2)(4.55 104 m3/s)

()(0.0127/2 m)2= 7.184 m/s.

Resposta alnea (d). Pretende-se r tal que vx(r) = vx. Da equao (21) e sabendo que

vmax = 2vx, tem-se

vx(r) = 2vx

[1

(r

R

)2]

1

2= 2

1

r

R

2 r = R 3/4 = 5.5 103 m.

3A.7

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