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Segundo Teorema de TraslacionUna de las principales ventajas de la transformada de Laplace es la aplicaci on a EDO lineales de la forma:

ay +by +cy = r(t)

donder(t) es una funcion seccionada. Por consiguiente, sera conveniente determinar la transformada de unafuncion seccionada. Para hacer esto, se convierte primeramente la funcion mediante el uso de la funcionescalon y posteriormente se utiliza el segundo teorema de traslacion o teorema de traslacion en el eje t. Esteteorema tiene que ver con transformadas de funciones de la forma f(t)Ua(t), que a veces es mas convenientepensarlas en la forma f(t a)Ua(t).

En general si a >0 entonces la grafica de f(t a) es la grafica de f(t) trasladada a unidades ala derecha sobre el eje t. Cuando la funcion f(t a) es multiplicada con la funcion escalonUa(t)

para obtener:f(t a)Ua(t)

esta coincide con la grafica de f(t a) pero es identicamente cero para 0 t < a.

t t

f(t) f(t a)

a

El enunciado del segundo teorema de traslacion se da a continuacion.

Teorema: Traslacion sobre el eje t

Si f(t) es una funcion seccionalmente continua y a es una constante cualquiera, entonces

L {Ua(t) f(t a)} =easL {f(t)} (1)

o bien en su version operativa mas sencilla:

L {Ua(t) f(t)} =easL {f(t+a)} (2)

Lo que dice el teorema es:

Para determinar la transformada de Laplace

L {Ua(t) f(t)}

debemos

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1. omitir el factor Ua(t),

2. cambiar todas las apariciones de t en f(t) por t + a(esto equivale a trasladar la funcionf(t)a unidades a la izquierda en el eje t),

3. aplicar la transformada a la expresion resultante,

4. multiplicar el resultado por el factor ea s

Este teorema tambien puede formularse para determinar la inversa de una expresi on.

L1{easF(s)} =Ua(t)L1{F(s)}tta (3)

Ejemplos

1. Calcule la transformada de:

L {(3t+ 1)U2(t)}

Respuesta

De acuerdo con el segundo teorema de traslacion:

L{(3t+ 1) f(t)

U2(t) Ua(t)

} = e2s L{3(t+ 2) + 1 f(t+a)

}

= e2s L {3t+ 7}

= e2s (3 L {t} + 7 L{1})

= e2s

3 1s2

+ 7 1s

L {(3t+ 1)U2(t)} =

7s

+ 3s2

e2s

2. Calcule la transformada de la funcion cuya grafica es:

1

-1

0

1

t

f(t)

RespuestaPodemos conceptualizar a la funcion formada por 4 senales;

2

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2 en el intervalo de tiempo [0, 2],

-1 en el intervalo de tiempo [2, 3], t 3 en el intervalo de tiempo [3, 4], y

1 en el intervalo de tiempo [4, +)

As la senal se puede realizar se convierte mediante la funcion escalon como:

f(t) = 2 (U0(t) U2(t)) + 1 (U2(t) U3(t)) + (t 3) (U3(t) U4(t)) + 1 U4(t)

f(t) = 2 U0(t) 3 U2(t) + (t 2)U3(t) + (t+ 2)U4(t)

Por tanto:

L{f(t)} = L {2 U0(t) 3 U2(t) + (t 2) U3(t) + (t+ 2) U4(t)}

= L{2 U0(t)} L{U2(t)}+L{(t 2) U3(t)}+L{(t+ 2) U4(t)}

= L{ 2f(t)

U0(t)} L{ 3f(t)

U2(t)}+L{(t 2) f(t)

U3(t)} +L{(t+ 2) f(t)

U4(t)}

= e0 s L{2} e2 s L{3} +e3 s L{(t+ 3) 2} +e4 s L{(t+ 4) + 2}

= 1 2s e2 s 3

s+e3 s L{t+ 1}+e4 s L{t 2}

= 2s e2 s 3

s+e3 s

1s2

+ 1s

+e4 s

1

s2 2

s

As:

L{f(t)} =2s 3

se2 s +

1s2

+1s

e3 s +

1

s2 2

s

e4 s

Pasemos ahora a ilustra como se determina aplica el segundo teorema de traslacion en el calculo de trans-formadas inversas.

1. Calcule

L1

es

s2 + 4

Respuesta

De acuerdo a la formula 3,

L1 ess2+4 = U(t) L1{ 1s2+4}tt= U(t)

12

L1{ 2s2+4

}tt

= U(t)12

[sen(2t)]tt

= 12

U(t) sen(2(t ))

= 12U(t) sen(2t 2)

= 12

U(t) sen(2t)

L1 ess2+4

= 12sen(2t) U(t)

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