Tres Ideas tomadas de la Teoría de la Relatividad

1) La velocidad de la luz es la velocidad máxima.

2) La gravitación expresa la geometría del espacio-tiempo

3) El Ley de Hubble resulta de la evolución de la geometría del Universo

El desarrollo de las teorías de Einstein no es un intento de explicar un hecho experimental particular sino la respuesta de Einstein a lo que él percibía como un defecto conceptual de la física de su época. Concretamente, las teorías de la Relatividad son el resultado de una doble extensión del principio de Relatividad:

1) a todos los fenómenos físicos (no sólo los mecánicos)

2) a todos los observadores (no sólo los inerciales).

La primer extensión del principio de Relatividad: a todos los fenómenos físicos.

En la física clásica, o sea, la que proviene de Galileo y Newton, se acepta la existencia de un tiempo y un espacio absolutos. Los observadores que están en reposo o se mueven a velocidad constante respecto del espacio absoluto se llaman inerciales. Dos observadores inerciales se mueven a velocidad constante entre sí.

Existe un conjunto de reglas, la transformación de Galileo, que nos permiten traducir mediciones realizadas por un observador inercial en términos de mediciones realizadas por otro. El principio de relatividad de Galileo afirma que, traducidas correctamente, las observaciones de fenómenos mecánicos realizadas por dos observadores inerciales cualesquiera son equivalentes.

¿Vale el principio de relatividad para fenómenos fuera de la mecánica? ¿Cuánto vale la velocidad de la luz para Aquiles y cuánto vale para la Tortuga?

v

2 3

2

3

1

1

0

0 x

t 1c3/1v

Cada intersección define un "evento"

El experimento según Aquiles

x=2

3

10

0x'

t'

tt '

vtxx '

Caso 1:

Tortuga Galileana

2

2

3

1

1

0

0

x'

t'

3/2c

0v

El experimento según la tortuga galileana

Que la velocidad de la luz sea distinta para Aquiles y para la Tortuga implica que el principio de relatividad no vale para el electromagnetismo

tD

cj

cH

EtB

c

B

D

14

01

0

4

tD

cj

cH

EtB

c

B

D

14

01

0

4

La intuición genial de Einstein es que la teoría de Maxwell es más importante que la relatividad de Galileo

(además, el experimento de Michelson - Morley sugiere que la velocidad de la luz es invariante)

Einstein propone que la traducción de las experiencias de un observador inercial a las de otro debe hacerse con un conjunto distinto de reglas, la transformación de Lorentz. Adoptando la transformación de Lorentz es posible extender el principio de relatividad, o sea, la equivalencia de observadores inerciales, a todos los fenómenos físicos.

0

0

x'

8/3

8/6

'x

't

8/3

8/6!1c

8/9

Caso 2: Tortuga Relativista

0

0

x'

2'

cvx

tt

vtxx '

2

1

1

cv

8/3

8/6

'x

't

8/3

8/6!1c

8/9

Caso 2: Tortuga Relativista

* La velocidad de la luz (en vacío) es la misma para todos los observadores.

* La velocidad de la luz es la velocidad máxima de propagación de la información.

Con las reglas de transformación galileanas la asignación de coordenadas espaciales es relativa, pero la coordenada temporal es absoluta.

Con las reglas einstenianas la coordenada temporal pasa a ser relativa, y sólo la combinación

222distancia tc

es absoluta

x=2

t=3

0

0

x'

t'

8/3

8/7

06.18/3

46.28/7

22

22

23

58

38

7

Una consecuencia no trivial es que no puede haber relación causal entre dos eventos tales que

0distancia 222 tc

00

0t

0'tA

Si fuera posible transmitir una señal desde (0,0) hasta el evento A, para la tortuga la señal sería recibida antes de ser emitida

Como esto es absurdo, tal señal es imposible, y esto implica que no es posible transmitir información más rápido que la luz.

¿O sí?

L

costv

sintv

cos1cv

sincv

c

vap

c

vap

La segunda extensión del principio de Relatividad: a todos los observadores.

El reemplazo de la transformación de Galileo por la de Lorentz debilita la noción de un tiempo absoluto, y por extensión la de un espacio absoluto. Einstein rechaza ambos conceptos.

Al no existir un espacio absoluto, no hay una distinción radical entre observadores inerciales y acelerados. ¿Es posible extender el principio de relatividad a todos los observadores?

a

En el ascensor acelerado, la trayectoria del rayo de luz se curva hacia arriba. En el otro, es una línea recta. ¿Son compatibles estas observaciones?

a= 0 a 0

¿Qué es una línea recta? Si definimos que una recta es la distancia más corta entre dos puntos, entonces qué es una línea recta depende de la geometría.

En una esfera, los círculos máximos son líneas rectas.

En el plato de Escher, los peces van en línea recta.

Según Einstein, ambos observadores verifican la misma ley (la luz se propaga en línea recta); lo que perciben distinto es la geometría del espacio.

a= 0 a 0

a

g

¿Qué pasa si encendemos un campo gravitatorio?

Ahora el observador estacionario percibe que la trayectoria de la luz se curva en el campo gravitatorio, mientras que el observador en caída libre ve una trayectoria recta. Los efectos de la aceleración y la gravedad se cancelan localmente.

a= 0 a 0

Einstein concluye que no hay tal cosa como una fuerza gravitatoria. Hay partículas tratando de moverse a lo largo de las líneas rectas adecuadas a la geometría del espacio. La geometría del espacio le dice a la materia cómo se tiene que mover.

En la física de Galileo y Newton se asume sin ningún cuestionamiento que la geometría del espacio es euclídea

Según Einstein, la geometría del espacio no sólo no está determinada de antemano, sino que además evoluciona en el tiempo.

De esta manera la geometría del espacio y el tiempo se constituye como un nuevo actor, con propiedades complejas, capaz de evolucionar en el tiempo y de interactuar con la materia: la geometría le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice a la geometría cómo curvarse.

La geometría le dice a la materia cómo moverse

La materia le dice a la geometría cómo deformarse

¿Cuál es la geometría de nuestro Universo?

Como sabemos que el Universo en gran escala es homogéneo, basta restringirse a geometrías que en algún sentido son invariantes frente a traslaciones y rotaciones. Estas son los "modelos de Friedmann". Esto no implica que el espacio sea plano. Las alternativas son que tenga curvatura positiva o negativa.

Las alternativas son más fáciles de visualizar en dos dimensiones: un espacio plano corresponde a un plano euclídeo

x

y

z

0z

Una superficie de curvatura positiva corresponde a la superficie de una esfera embebida en el espacio euclídeo

x

y

z

1222 yxz

Una línea recta sobre la esfera corresponde a un círculo máximo, o sea, la intersección de la esfera con un plano que contiene al origen

x

y

z

1222 yxz

El concepto importante es que es posible discriminar entre una u otra alternativa mediante mediciones hechas sobre la superficie.

En un plano, los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Sobre una esfera, los ángulos internos de un triángulo suman más de 180 grados.

Una superficie de curvatura negativa corresponde a un hiperboloide embebido en el espacio de Minkowsky

z

y

x 1222 yxz

Una línea recta corresponde a la intersección del hiperboloide con un plano por el origen

p

'p

Para visualizar la geometría del hiperboloide, conviene proyectarlo sobre un disco ("disco de Poincaré")

Las líneas blancas son proyecciones de líneas rectas sobre el disco de Poincaré.

Los ángulos internos de un triángulo suman menos de 180 grados

Además de su curvatura, dos geometrías homogéneas pueden ser distintas por poseer un factor de escala diferente.

El Universo se expande porque el factor de escala que describe su geometría es cada vez más grande: por lo tanto, la distancia entre dos puntos cualesquiera aumenta con el tiempo.

Para entender qué quiere decir que el Universo se expande, es necesario distinguir entre los conceptos de coordenadas y de distancias.

Las coordenadas son etiquetas arbitrarias que sirven para distinguir distintos eventos.

Las distancias resultan de mediciones físicas y se expresan en metros.

Coordenadas y distancias

El sistema de coordenadas comovientes:

Vamos a definir un sistema de coordenadas que permite identificar cualquier evento en la historia del Universo. Para simplificar la discusión, asumimos que el Universo es isótropo y homogéneo (como efectivamente lo es en escalas muy grandes)

Para eso elegimos un tiempo de referencia arbitrario t0 (que puede ser hoy).

En el instante t0 rellenamos el Universo uniformemente de polvo. Asignamos a cada mota de polvo sus tres coordenadas cartesianas en el instante t0 y un reloj. Todos los relojes están sincronizados en el instante t0 , y son idénticos entre sí.

x

y

Las distintas motas están libres de toda fuerza externa, y por lo tanto permanecen quietas, tanto hacia el futuro como hacia el pasado de t0 .

coordenadat0

t

Como el polvo llena todo el Universo, podemos identificar un evento cualquiera por:

*Las tres coordenadas de la mota que se superpone con el evento, y

*El tiempo que marca el reloj de la mota cuando sucede el evento.

La expansión del Universo es la constatación del hecho de que, aunque las distintas motas están "quietas", la distancia entre ellas cambia con el tiempo.

distanciat0

t 222 drtadL

"factor de escala"

Si todas las distancias cambian, ¿cómo es posible darse cuenta?

O dicho de otra forma, ¿se está alargando el Metro de París?

NO, porque los átomos que conforman el Metro de París no están "quietos".

Estos átomos están sostenidos en su lugar por fuerzas mutuas de origen electromagnético. Las distancias físicas entre ellos están determinadas por los valores de constantes fundamentales (la carga y masa del electrón y el protón, la constante de Planck, etc.) y por lo tanto no varían mientras éstas no varíen.

Por el mismo motivo, una galaxia no cambia de tamaño con la expansión universal. Se dice que está desacoplada del flujo de Hubble.

¿Y la luz?

1) La trayectoria de un rayo de luz en el Universo en expansión

2) El corrimiento al rojo cosmológico.

3) La distancia luminosa

4) La Ley de Hubble

222 dtcdL En el Universo en expansión

222 drtadL Por lo tanto

tac

dtdr

La velocidad coordenada depende del tiempo, pero en un instante dado es la misma para todos los rayos.

1) La trayectoria de un rayo de luz en el Universo en expansión

Recordemos el efecto Doppler no-relativista. Supongamos que una fuente a distancia d emite un pulso, que nosotros recibimos un tiempo t=d/c más tarde

d

d/c

2) El corrimiento al rojo cosmológico.

La fuente se aleja de nosotros con velocidad v, y recorre la distancia vT antes de emitir el segundo pulso

d

d/c

vT

T

El segundo pulso debe recorrer la distancia d+vT, y llega en el instante T+(d+vT)/c

d

d/c

vT

T

(d+vT)/c

Por lo tanto, el período observado es

T

Tcv

Tobs

1

Tobs

cv

TT

z obs 1

Ahora vamos a hacer el mismo experimento en un Universo en expansión. El comienzo es el mismo: la fuente a distancia física d emite el primer pulso en t=te

Ahora la fuente está quieta (en coordenadas). La distancia a nosotros aumenta debido a la expansión del Universo

En el instante T la fuente emite el segundo pulso. Mientras tanto, el primer pulso viajó la distancia coordenada cT/ a(te)

El segundo pulso viaja, en cada instante, a la misma velocidad (en coordenadas) que el primero

Cuando el primer pulso llega a nosotros en el instante tobs, el segundo pulso está una distancia cT/ a(te) detrás en coordenadas. Esto corresponde a una distancia física a(tobs)cT/ a(te)

El segundo pulso recorre esa distancia en un tiempo

a(tobs)T/ a(te)

T

tobs

Tobs

Por lo tanto, el período observado es

Tta

taT

e

obsobs

Como Tobs > T, la luz se ha corrido al rojo. Se define el corrimiento al rojo cosmológico

te

11

e

obsobs

tata

TT

z

3) La distancia luminosa

221 rz

Ff

rzdL 1

4) La Ley de Hubble

rzdL 1

o

e

t

t

L tadtc

zd 1

z

L ztHdz

zcd0

1 dtda

atH

1

L

o dc

tHzz 0