EL PROBLEMA DE LOS TRES RESERVORIOS

Sea la conducción (ab) de longitud l y diámetro d constante, Fig X.4, que parte de un depósito A, de forma que en el extremo b de la misma se tiene un caudal Q.

Fig 1.

La línea de niveles piezométricos es la (DB) y, según ella, el valor de la pérdida de carga P en el extremo B, es:

P = J l = k Q2 l = k'Q2d5 l

Supongamos ahora que a una distancia l2 del punto a, (comienzo de la conducción), se realiza una toma intermedia en C; el diámetro d se mantiene constante en los tramos de tubería (aC) y (Cb). En estas circunstancias en el nudo C se tienen los caudales salientes que llamaremos Q1 y Q2. Para hallar la pérdida de carga total, se puede aplicar la fórmula de Darcy a cada tramo, deforma que la suma de las pérdidas de carga en el tramo de longitud l, sea igual a la suma de las pérdidas de carga correspondientes a los tramos l1 y l2, por lo que:

Fig 2. .- Tubería con toma intermedia

De la que se deduce:

A su vez, como el valor de P es el mismo para ambos casos, considerando Q = Q1 + Q2, resulta:

ecuación de segundo grado en Q1, cuyo valor es:

Casos particulares:

a) Si Q2 es muy pequeño frente a Q, el valor del caudal Q1 es:

que nos dice que, para igual pérdida de carga, el caudal Q1 en la extremidad b de la tubería es Q menos una fracción de Q2 que depende de la posición de la toma intermedia.b) Si la toma está en la posición media de la tubería :

c) Si se cierra la válvula en C la línea de niveles piezométricos será la (DNB) y la carga en C será(MN); al abrir dicha válvula C, la carga en ese punto disminuirá hasta H.Todo el caudal que llegue a C saldrá por la toma intermedia cuando se cumpla que la línea de niveles piezométricos del tramo (Cb) es horizontal.d) Si la llave en C está cerrada:

Si la llave en C está abierta:

En todo el proceso se ha supuesto que la tubería es de gran longitud, por lo que no se han tenido en cuenta las pérdidas accidentales.

A.- TUBERÍA CON TOMA INTERMEDIA ENTRE DOS DEPÓSITOS

Sea la conducción (BAC) que une los depósitos B y C a diferentes niveles, y en ella una toma intermedia A, con llave, para regular el consumo por (AD). Para hallar la expresión que permite calcular el caudal Q que circula entre B y C, podemos utilizar la ecuación de Darcy, en la forma:

a) Si se supone que: d1 = d2 = d, y, 1 2 = se pueden presentar varios casos, como:

a-1) Llave cerrada:

a-2) Llave muy abierta:

en la que el depósito C actúa como depósito de socorro del B, estando la toma alimentada por los dos depósitos, y en donde z es la carga para el ramal (AB) y (z - ) la carga para el ramal (AC).

Fig 3.- Tubería con toma intermedia entre dos depósitos

b) Si se supone que (d1 d2) y (1 2) se obtiene en forma parecida al apartado anterior:b-1) La llave A está cerrada, por lo que del depósito B fluye al depósito C, un caudal Q de la forma:

b-2) La llave A comienza a abrirse, arrojando por (AD) un caudal q; habrá un descenso en el nivel piezométrico hasta N, siendo la línea piezométrica (BNC); el depósito C recibirá un caudal menor.

El caudal saliente por la toma es:

b-3) La llave A se sigue abriendo hasta que el punto F de la línea piezométrica esté en el plano horizontal del nivel de liquido del depósito más bajo C; el valor del caudal que el depósito B proporciona y que es el que sale por la toma, por cuanto el depósito C no interviene, es:

existiendo un equilibrio entre el depósito C y la toma intermedia.

b-4) La llave A se sigue abriendo, aumentando el caudal que sale por la toma intermedia; el nivel piezométrico de la toma A llegará hasta un punto por debajo del plano horizontal del nivel del liquido del depósito C, punto M, y de esta forma el depósito C actuará como un depósito de socorro para el B, estando por lo tanto, alimentada la toma por los dos depósitos. El caudal que proporciona la llave, con z y (z - las pérdidas de carga para los ramales (BA) y (CA), respectivamente, es:

B.- EL PROBLEMA DE LOS TRES DEPÓSITOS

El problema de los tres depósitos es un caso de ramificación única, y consiste en tres depósitos adistintos niveles, unidos por las conducciones (AM), (BM) y (CM), que forman un sistema de circulación en Y. Se fija un sentido en la circulación, el que parezca más lógico, y si una vez resuelto el problema aparece signo contrario al propuesto, se invierte el sentido; supondremos que

Q3 = Q1 + Q2

Para su estudio aplicaremos Bernoulli entre los tramos de tuberías (AD), (BE) y CF), estando los puntos D, E y F muy próximos al de confluencia M, (zM = zE = zD = zF) y (pM = pE = pD = pF), pero lo suficientemente alejados de él, como para considerar a la circulación todavía sin perturbar por el efecto de la válvula M.

Fig 4.- El problema de los tres depósitos

en las que en la sumatoria de los coeficientes de pérdidas accidentales se han incluido todo tipo de pérdidas en codos, curvas, entrada y salida de las tuberías, etc.Aplicando Bernoulli entre los depósitos y el punto M, se tiene:

Sumando las ecuaciones primera y segunda, a la tercera se obtiene:

Aplicando de nuevo Bernoulli en el nudo M, en los tramos (DMF) y (EMF), se obtiene:

y sustituyendo estos resultados en las ecuaciones que proporcionan (z1 - z3) y (z2 - z3), resulta:

que junto con Qi = 0, en el nudo M, constituyen un sistema de tres ecuaciones que da lugar a los siguientes tipos de problemas:

1) Determinación de caudales, conocidas las características de la red y las diferencias de cotas entre los depósitos; habrá por lo tanto, tres ecuaciones con tres incógnitas.2) Determinación de la diferencia de cotas entre los depósitos, conocidos los caudales y las características de la red; habrá por lo tanto dos ecuaciones con dos incógnitas, ya que la ecuación de los caudales es una identidad.

“Método de Newton-Raphson para la resolución de ecuaciones no lineales de una variable independiente. Aplicación a la

resolución del problema de los tres depósitos”

Sea la ecuación no lineal:

(1)

La obtención de los valores de x que satisfacen la ecuación (1), las raices de la función F(x), no es inmediata y en el caso más general tampoco lo es el número de raices reales.

No es poco frecuente los problemas que en ingeniería conducen a problemas de este tipo de ecuaciones. Por ejemplo Supongamos la red hidráulica de la figura:

Fig.5-. Problema de los tres depósitos

Los nudos 1, 2 y 4 son de altura piezométrica conocida. Si se adopta como sentido positivo de los caudales el de la figura las ecuaciones de esta red son:

(2)

(3)

(4)

(5)

Si de las ecuaciones (2), (3) y (4) despejamos los caudales en función de la altura H3 y los sustituimos en la ecuación (5) se obtiene la siguiente ecuación:

(6)

En definitiva queda una ecuación

(7)

Normalmente se resuelven mediante técnicas numéricas que proporcionan el valor de una de las raices reales de la ecuación. Estas técnicas son siempre iterativas es decir partiendo de una aproximación inicial al valor de la raiz, H3

(0), suficientemente cercana a dicho valor, el método va mejorando mediante un determinado algoritmo el valor hasta que se satisface cierto criterio de convergencia. Los criterios de convergencia más comunes son:

(8)

(9)

Siendo 1 y 2 dos valores prefijados.

De entre todos los métodos numéricos de resolución de este tipo de problemas el de Newton-Raphson es el que presenta la velocidad de convergencia más rápida. Su fundamento es el siguiente, supóngase que nos encontramos en la iteración (i) del método y H3

(i) es la aproximación a la raiz en esta iteración. Si se construye una aproximación lineal de la función F(H3) en los alrededores de H3

(i) esta será:

(10)

Esta aproximación lineal L(H3) tiene una raiz  que es fácil de calcular:

(11)

La raiz de la aproximación lineal no coincidirá con la raiz de la función F(x) pero podrá utilizarse como nuevo valor de H3 en la siguiente iteración con lo que se obtendrá la expresión del algoritmo del método:

(12)

Como ejemplo de la utilización del método se darán valores numéricos a los datos de la instalación del ejemplo.

Tubería Longitud (m) Diámetro (m) Rugosidad (mm)

1-3 2000 0.2 0.03

2-3 500 0.075 0.03

3-4 1000 0.06 0.03

Los datos de los nudos

Nudo Altura (mca) Consumo (m3/s)

1 150 ?

2 100 ?

3 ? 0.04

4 80 ?

Se supondrá que las tuberías son hidráulicamente rugosas y por tanto sus factores de fricción no dependerán del número de Reynolds en la tubería sino sólo de a rugosidad relativa:

Tubería Longitud (m) Diámetro (m) Rugosidad (mm) f (Von-Karman)

R(m/(m3/s)2)

1-3 2000 0.2 0.03 0.012960 6699.43

2-3 500 0.075 0.03 0.015893 276969.15

3-4 1000 0.06 0.03 0.016699 1776226.9

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6) se obtiene:

(13)

Para aplicar el algoritmos de Newton-Raphson se calcula la derivada de la función F(H3)que aparece en la ecuación (13):

(14)

Reordenando queda como:

(15)

(16)

Aplicamos el Algoritmo de Newton-Raphson comenzando con un valor de 85 mca.

Iteración (i) H3(i) H3

(i) H3(i+1)

0 85 54.82 139.82

1 139.82 -8.90 130.92

2 130.92 -1.57 129.35

3 129.35 -2.51e-2 129.32

4 129.32 -5.8e-6 129.32

Los caudales que se obtienen son:

Fig. 6- . Valores y sentidos de los caudales del problema

Conclusión

El método de Newton-Raphson aplicado al problema de los tres depósitos permite calcular de forma directa y exacta el sentido y valor de los caudales circulantes por la instalación. Con la ayuda del ordenador o una calculadora programable esta forma de resolución es más directa y rápida que el tradicional tanteo de la altura H3