Triángulos
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P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Tema:
Triángulos
Clasificación de triángulos.................................................................................................................................... 2Ángulos interiores ................................................................................................................................................ 3Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo .......................................................................................... 4Líneas Notables................................................................................................................................................... 5
Mediatriz de un Segmento.......................................................................................................... 5Bisectriz de un Ángulo................................................................................................................ 8
Líneas Notables en un Triángulo......................................................................................................................... 10Puntos Notables de Triángulo.............................................................................................................................. 11
Bisectriz de un Triángulo............................................................................................................ 11Mediatrices de un Triángulo...................................................................................................... 14Alturas de un Triángulo............................................................................................................... 17Medianas de un Triángulo.......................................................................................................... 20
Área...................................................................................................................................................................... 24Perímetro.............................................................................................................................................................. 24Criterios de Igualdad............................................................................................................................................ 24Criterios de Igualdad de Triángulos..................................................................................................................... 25Relaciones que Vinculan los Lados con los Ángulos de un Triangulo................................................................ 26Triángulos Rectángulos........................................................................................................................................ 30Propiedad de los ángulos agudos de un Triángulo Rectángulo ......................................................................... 31Propiedad de la hipotenusa de un Triángulo Rectángulo ................................................................................... 31Criterios de igualdad de Triángulos Rectángulos ............................................................................................... 32Teorema de Pitágoras.......................................................................................................................................... 32Razones Trigonométricas.................................................................................................................................... 36Resolución de Triángulos Rectángulos............................................................................................................... 37
Año: 2011 1
![Page 2: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/2.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Clasificación de los Triángulos
Según sus lados
• Equiláteros (sus tres lados iguales)
• Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
• Escaleno (tres lados desiguales)
Según sus ángulos
• Rectángulos (un ángulo recto)
• Acutángulos (tres ángulos agudos)
• Obtusángulos (un ángulo obtuso)
Año: 2011 2
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P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Ángulos Interiores En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º
H) ∆abc
χβα ˆ,ˆ,ˆ ángulos interiores
T) R2ˆˆˆ =++ χβα
D)
Se traza por c la recta M paralela al lado ab . Se prolonga al lado ac , con
vértice c quedan determinados tres ángulos cuya suma es un llano
R2ˆ'ˆ'ˆ =++ χβα (1)
Pero αα ˆ'ˆ = (correspondientes entre M//ab y ac transversal).
Año: 2011
α χ
β
a
b
c
α χ
β
a c
b
β’ α’
M
3
![Page 4: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/4.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
y ββ ˆ'ˆ = (alternos internos entre M // ab y bc transversal)
reemplazando en la expresión 1:
Rba 2ˆˆˆ =++ χ
Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
en todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de lo ángulos
interiores no adyacentes a él.
H)
∆abc
∧γ ángulo exterior adyacente a
∧c
T)
∧γ =
∧a +
∧b
D)
∧a +
∧b +
∧c = 2R propiedad de los ángulos interiores
∧γ +
∧c =2R por ser adyacentes
⇒ ∧a +
∧b +
∧c =
∧γ +
∧c
⇒ ∧a +
∧b =
∧γ por propiedad cancelativa
Año: 2011
χa
b
c
4
![Page 5: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/5.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Líneas Notables
Mediatriz de un Segmento
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en
dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.
En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues:
ABm ⊥ en o.
Y o es el punto medio de AB , es decir:
OBAO =
Teorema: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos
del mismo y todo punto que equidista de los extremos de un segmento
pertenece a su mediatriz.
H ) m, mediatriz del AB
Año: 2011 5
A B o
m
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P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
T ) 1º Todo punto de m equidista de A y de B.
2º Todo punto que equidista de A y de B pertenece a m.
Demostración:
1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo P
con A y B, quedan formados los triángulos ∆POA y
∆POB , rectángulos en o, por
ser ABm ⊥ , y tales que:
Luego estos dos triángulos tienen sus dos catetos iguales, por lo tanto, en virtud
del primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, son iguales, y , en
consecuencia, las hipotenusas también son guíales, es decir:
PBPA =
Luego, P equidista de A y de B; y como P es un punto cualquiera de la mediatriz,
queda demostrada la primera parte de la tesis.
2º Se considera un punto R tal que equidista de A y de B, es decir:
Año: 2011 6
A B o
m
P
y tienen tie nti ne t i n e 1sd e
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P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
RBRA =
Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:
Por lo tanto estos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales;
luego, en virtud del tercer criterio de igualdad de triángulos, son iguales, es decir:
∆AOR =
∆ROB
En consecuencia, todos sus elementos homólogos son iguales; entre ellos:
AOR ˆ = BOR ˆ
Como estos ángulos son adyacentes, al ser iguales las rectas que los
determinan son perpendiculares, es decir:
ABRO ⊥
y como o es el punto medio de AB es RO la perpendicular al AB en su punto
medio. Luego:
RO es mediatriz del AB
o sea:
Año: 2011 7
ñ ñ 20 1 1 i
=
=
RBRA
OBAO
RO RO
RO 20 1 t r iz d el lrR
R 20 1 t
2
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P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
R pertenece a la mediatriz del AB
Igual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara de
los extremos del segmento, luego queda demostrada la segunda parte de la
tesis.
Bisectriz de un Ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en dos
ángulos iguales. por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de
los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Teorema: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del
mismo, y todo punto interior de un ángulo que equidista de los lados del mismo
pertenece a la bisectriz.
H ) BN bisectriz de CBA ˆ
T ) 1º todo punto de BN equidista de BA y de BC
Año: 2011 8
8
::
:
![Page 9: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/9.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
2º Todo punto que equidista de BA y de BC pertenece a la
bisectriz BN .
Demostración:
1º se considera un punto cualquiera de la bisectriz, el M , por ejemplo.
Trazando las distancias de M a los lados BA y BC , que son respectivamente
MP y MQ , resultan los triángulos ∆
BPM y ∆
BQM rectángulos en P y en Q por ser
BAMP ⊥ y BCMQ ⊥ , y tales que:
Estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo
respectivamente iguales; luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulos
rectángulos, son iguales y, en consecuencia son iguales los catetos que se
oponen a ángulos iguales entre ellos: MP y MQ , es decir:
MP = MQ
Luego, M equidista de BA y BC , y como M es un punto cualquiera de la
bisectriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.
2º sea R un punto tal que equidista de BA y BC del ángulo CBA ˆ , es decir:
RTRS =
Uniendo R con B resultan los triángulos:
∆RSB y
∆RTB rectángulos en S y en T
respectivamente, que tienen:
Año: 2011 9
ñ ñ : 2
= QBMMBP
BM
ˆˆ
ˆ M :
ˆ M 2 0 1 a me n t e , u e
M 2 0 1 a n t e , M 2 2 2
![Page 10: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/10.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Estos triángulos rectángulos tienen entonces la hipotenusa y un cateto
respectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad de triángulos
rectángulos, son iguales, y por lo tanto, todos sus elementos homólogos son
iguales; entre ellos los ángulos RBS ˆ y TBR ˆ , que se oponen respectivamente a
los catetos SR y RT , o sea:
RBS ˆ = TBR ˆ
en consecuencia:
BR es la bisectriz del ángulo CBA ˆ ,
Es decir:
R pertenece a la bisectriz del ángulo.
Como igual razonamiento puede hacerse para cualquier punto que equidista de
los dos lados del ángulo, queda demostrada la segunda parte de la tesis.
Líneas Notables en un Triángulo
Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vértice al lado
opuesto.
Año: 2011 10
A
R
S
T
B
C
R
![Page 11: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/11.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Bisectriz: Es la recta que parte de un vértice y que divide al ángulo interior en
dos ángulos iguales.
Mediana: Es la recta (AM) que une el vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde su punto
medio M.
Ceviana: Es la recta (AQ) que une un vértice con cualquier punto del lado
opuesto.
Puntos Notables de Triángulo
Los correspondientes puntos de intersección de estos elementos cumplen
importantes propiedades. por eso se llaman puntos notables del triángulo.
Analizamos la variación de los correspondientes puntos de intersección
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Bisectriz de un Triángulo
Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de bisectrices de sus
ángulos comprendidos entre el vértice y el ángulo opuesto.
Año: 2011 11
![Page 12: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/12.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo.
el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se llama incentro
Si trazas las distancias de “o” a cada lado del triángulo puedes verificar que
dichas distancias son iguales. Decimos que “o” equidista de los lados del
triángulo.
De acuerdo con las observaciones realizadas enunciamos la siguiente
Propiedad: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista
de sus lados.
H)
Año: 2011 12
![Page 13: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/13.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
T)
1.
2.
D)
Como todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho
ángulo, resulta:
⇒
Entonces:
de resulta que:
Si
se cortan en o y además o es interior al triángulo
CONSECUENCIA: La circunferencia que tiene por centro el punto de
intersección de las bisectrices y por radio la distancia del centro a cada lado es
Año: 2011 13
![Page 14: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/14.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
tangente a los lados del triángulo y se llama circunferencia inscripta en el
triángulo
Dist (o, ) = dist (o, ) = dist (o, )
Entonces:
, y son tangentes a la circunferencia.
el centro de la circunferencia inscripta es el incentro del triángulo.
(o, ) = radio
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto
medio.
Mediatrices de un Triángulo
Se llaman mediatrices de un triángulo a las mediatrices de sus lados.
Año: 2011 14
![Page 15: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/15.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro del triángulo:
Si trazas las distancias de o a cada uno de los vértices del triángulo puedes
verificar que dichas distancias son iguales. Decimos que o equidista de los
vértices del triángulo.
De acuerdo con estas observaciones enunciamos la siguiente
PROPIEDAD: Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que
equidista de sus vértices
H)
triángulo
Año: 2011 15
![Page 16: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/16.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
T)
1. , y concurren en o.
2. equidista de (vértices).
D)
Consideramos dos de las tres mediatrices.
Sean, por ejemplo y .
si corta a entonces corta a en un punto o.
Efectivamente, si fuera // entonces sería // y no existiría el
triángulo.
Como todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del
mismo, resulta:
:
Recíprocamente, si un punto equidista de los extremos de un segmento
pertenece a su mediatriz.
Año: 2011 16
![Page 17: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/17.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Consecuencia
Si entonces pertenecen a una circunferencia de centro o y
cuyo radio es la distancia de o a cualquier vértice (
).
La circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las
mediatrices de un triángulo y por radio la distancia de dicho punto a cada
vértice se llama circunferencia circunscripta al triángulo.
Por esta razón, el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo se
llama circuncentro.
Alturas de un Triángulo
Se llaman alturas de un triángulo a las distancias perpendiculares de cada
vértice al lado opuesto.
Año: 2011 17
![Page 18: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/18.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
El punto de intersección de las alturas de un triángulo se llama ortocentro.
se cortan en o.
o es el ortocentro de
Como resultado de estas observaciones enunciamos lo siguiente
PROPIEDAD: Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan
en un punto.
Año: 2011 18
vv
v vv
v
c
c
c
![Page 19: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/19.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
H)
Triángulo
alturas
T)
se cortan en o.
D)
Si se traza por cada vértice la paralela al lado opuesto, resulta:
Además, como los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes, se
verifican las siguientes relaciones:
Año: 2011 19
vp r � c ïícï • ô Ö ™�ö ·r �› ¼ Hvp r � c ï c • ô™� ö · �› ¼ Hvp r � ï c • ô ™� ö · › vp � ï
![Page 20: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/20.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
de (1) y (4); es mediatriz de pues ⊥ y punto medio de .
de (2) y (5); es mediatriz de pues ⊥ y b punto medio de .
de (3) y (6); es mediatriz de pues ⊥ y c punto medio de .
por lo tanto mediatrices de
Medianas de un Triángulo
Se llaman medianas de un triángulo a los segmentos determinados por cada
vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior al mismo.
el punto de intersección de las medianas se llama baricentro.
Año: 2011 20
![Page 21: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/21.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
PROPIEDAD del baricentro
Trataremos de encontrar alguna relación entre las medianas y la distancia entre
el baricentro a los vértices.
Consideremos dos medianas. por ejemplo:
y , que se cortan en o, pues es semirrecta interior a y tiene sus
extremos sobre los lados de .
El segmento es la base media del triángulo y en consecuencia:
Año: 2011 21
, y se cortan en o. o es el baricentro de .
v
r �
r
� c ï
![Page 22: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/22.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Si consideramos m punto medio de y n punto medio de , el segmento
es la base media de y por lo tanto:
Comparando (1) y (2) resulta:
mncb =''
Entonces es un paralelogramo y sus diagonales se cortan en el punto
medio.
Como consecuencia resulta:
Y además por ser m un punto medio de
⇓ ⇓ y n punto medio de
Entonces
⇓ ⇓
Consideremos ahora otro par de medianas. Por ejemplo y que se cortan
en un punto tal que:
Y como
Año: 2011 22
p
![Page 23: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/23.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Resulta
Y entonces coincide con o.
Es decir, hemos demostrado que las medianas de un triángulo se cortan en un
punto que cumple la siguiente
PROPIEDAD: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya
distancia a cada vértice es igual a dos tercios de la mediana correspondiente.
ÁreaÁrea: Superficie comprendida dentro de un perímetro expresada en una
determinada unidad de medida
Año: 2011
Definición Punto de intersección
BISECTRIZ
Semirrecta interior al ángulo interno
de un triángulo, que lo divide en
dos ángulos congruentes.
INCENTRO
MEDIATRIZRecta perpendicular al lado de su
punto medio.CIRCUNCENTRO
ALTURA
Segmento perpendicular
comprendido entre un vértice y el
segmento al que pertenece el lado
opuesto a él.
ORTOCENTRO
MEDIANA
Segmento que tiene por extremos
el vértice y la mitad del lado
opuesto a él.
BARICENTRO
23
![Page 24: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/24.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Superficie: Conjunto de puntos continuados en dos, que son longitud y latitud.
El área de un triangulo se calcula multiplicando la base por la altura del mismo
dividido por 2.
PerímetroPerímetro: Contorno de una figura
El perímetro de un triangulo se calcula sumando la longitud de sus lados
Criterios de IgualdadIgualdad de Triángulos.
Definición: se dice que un triangulo es igual a otro, o congruente con
otro, si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y
ángulos del otro.
Año: 2011
vp r �
r � íc
r � c r � c �í cï � � ¤
vp rv
vp r � íc ï�í ï� ¤ Á �· �r dÖvp r
vp rvp r
24
![Page 25: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/25.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
En símbolos:
===
===
`ˆˆ`ˆˆ`ˆˆ
``
``
``
CC
BB
AA
ACCA
CBBC
BAAB
Criterios de Igualdad de Triángulos
Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos
respectivamente iguales; pero en realidad, no es necesario conocer la igualdad
de todos sus elementos, pues basta que se cumpla la igualdad de algunos de
ellos para que, como consecuencia, los demás resulten también iguales.
El conjunto de elementos que deben ser iguales para que como consecuencia
sean iguales los restantes elementos y por lo tanto los triángulos sean iguales,
da origen, en cada caso, a un criterio de igualdad de triángulos.
Primer criterio: dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales, son iguales.
Segundo criterio: Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos
igualmente dispuestos, respectivamente iguales, son iguales.
Tercer criterio: Dos triángulos que tienen los tres lados respectivamente
iguales, son iguales.
Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al
mayor de ellos respectivamente iguales, son iguales.
Año: 2011 25
⇔=∆∆
``` CBAABC
![Page 26: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/26.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Relaciones que Vinculan los Lados con los Ángulos de un Triangulo.
Teorema: en todo triangulo isósceles a los lados iguales se oponen ángulos
iguales.
H) ∆ABC isósceles
BC = AB
T) A= C
Demostración: se traza la bisectriz del ángulo B que corta al lado AC en el
punto M
Quedan así formados los triángulos:
Luego, estos dos triángulos tienen dos lado y el ángulo comprendido
respectivamente iguales; por lo tanto, satisfacen el primer criterio de igualdad
de triángulos, y en consecuencia son iguales, es decir
CMBAMB∆∆
=
Año: 2011 262
2 6 o 2 0 1 1 u
2 6 o 2 6 o 2 0 1 1 u l o s2 6 o 2 0 2 6 2 0 1 u l o ,
==
CBMMBA
BCAB
BM
ˆˆ
<
<
<<
![Page 27: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/27.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Y particularmente A= C , como se quería demostrar.
Si se considera un triangulo, por ejemplo ∆PQR , en que dos lados son
desiguales, en este caso, el ladoPQes mayor que el
lado QR , se observa que el ángulo R , que se
opone al lado mayor PQ , es mayor que el ángulo P
, que se opone al lado menor QR . Esta observación es general y se enuncia en
el siguiente teorema.
TEOREMA: si en un triangulo dos lados son desiguales, al mayor lado se
opone mayor ángulo.
H) BCAC
CBA
>
∆;
T) AB ˆˆ >
Demostración: sobre el lado CA se determina, a partir de C, el BCCM = . Como
por hipótesis, BCAC > , el punto M es interior al CA , es decir: CACM ⊂ .
Uniendo B con M, resulta el triangulo MCB∆
, que es isósceles, dado que
BCCM = por construcción.
Luego, por el teorema anterior, a los lados iguales se oponen ángulos iguales,
es decir:
Año: 2011 27
v
v
v
v r
r
r
β
α
![Page 28: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/28.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
βα ˆˆ = [1]
por pertenecer el punto M al segmento AC , es M interior al ángulo B ; luego la
semirrecta BM es también interior a dicho ángulo.
Además, como β es exterior al BMA∆
es mayor que cada ángulo interior no
adyacente, por lo tanto:
Aˆ >β
Aplicando el carácter transitivo de la relación de mayor a las expresiones [2] y
[3], resulta
AB ˆˆ >
Como se quería demostrar.
TEOREMA: en todo triangulo un lado es menor que la suma de los otros
dos y mayor que su diferencia.
H ) CBA ˆ
Año: 2011 28
[3]
por lo tantoy como
Resulta: [2]
![Page 29: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/29.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
T )
−>
−>
−>
+<
+<
+<
ABACBC
BCABAC
BCACAB
BCACBC
BCABAC
BCACAB
º2
º1
Demostración: 1º Para que queden establecidas las relaciones con respecto a
la suma, que figuran en el primer grupo de la tesis, basta demostrar una de
ellas, porque para las otras, el procedimiento es análogo.
Si se supone que el lado AB es el mayor, bastara demostrar la desigualdad
que corresponde a ese lado, es decir que:
BCACAB +<
Se traza la semirrecta opuesta a CA , y sobre ella se construye el segmento
BCCM = . Al unir B con M, resulta el ∆
BCM isósceles, puesto que BCCM = ,
por construcción, luego los ángulos que se oponen a los lados iguales son
iguales, es decir
αˆ =M [1]
y como, por ser BC interior a γ ,
χα ˆˆ < [2]
de [1] y [2] resulta:
χˆ <M
y como, en todo triangulo, a menor ángulo se opone menor lado, en el ∆
ABM es:
AMAB <
Pero;
CMACAM +=
Año: 2011 29
AC
α
B
M
χ
![Page 30: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/30.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Reemplazando en la desigualdad anterior AM , por su valor se tiene:
CMACAB +<
y reemplazando CM por su igual BC , resulta:
BCACAB +<
Que es la relación que se quería demostrar.
2º análogamente, para demostrar la segunda parte bastara demostrar la
validez de una de esas relaciones; por ejemplo la primera, es decir:
BCACAB −>
BCACAB −> ⇒ ACBCAB >+
entonces
BCABAB −>
Como se quería demostrar.
Triángulos RectángulosDefinición: triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.
Así el ∆PQS
Es rectángulo, por que Q es un ángulo recto.
Año: 2011 30
ACBCAB >+
y comorestando m. a m.
SQ
P
![Page 31: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/31.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
los lados que concurren al vértice del ángulo recto se llaman catetos, y el lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
en la figura, los catetos son: PQ y QS , y la hipotenusa es PS .
Propiedad de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo.
Como la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º, y en el triangulo
rectángulo un ángulo es recto, es decir, de 90º, resulta que los otros dos
ángulos sumados deben vales 90º, y por lo tanto tienen que ser ángulos
agudos y complementarios.
Así, si en un triangulo rectángulo uno de los ángulos agudos es de 40º, el otro
ángulo debe ser de 50º.
Propiedad de la hipotenusa de un triangulo rectángulo. Como el
ángulo recto es mayor que cualquier ángulo agudo, y en todo triangulo
rectángulo la hipotenusa se opone al ángulo recto y los catetos a los ángulos
agudos, resulta que la hipotenusa se opone siempre al mayor de los ángulos.
Pero se sabe que en todo triangulo, a mayor ángulo se opone mayor lado, por
lo tanto se puede enunciar la siguiente propiedad de la hipotenusa:
En todo triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los
catetos.
Criterios de igualdad de triángulos rectángulos. Siendo el triangulo
rectángulo un triangulo especial en el que se conoce siempre un ángulo, el
recto, los criterios dados para la igualdad de triángulos cualesquiera, en que
intervienen ángulos, es decir el 1º, el 2º y el 4º criterio, se reducen según se ve
a continuación:
Año: 2011 31
![Page 32: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/32.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Primer criterio: dos triángulos rectángulos que tienen sus dos catetos
respectivamente iguales son iguales.
Segundo criterio: si dos triángulos rectángulos tienen un cateto y un ángulo
agudo respectivamente iguales, son iguales.
Tercer criterio: si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo
agudo respectivamente iguales, son iguales.
Cuarto criterio: si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto
respectivamente iguales, son iguales.
Teorema de Pitágoras
Hipótesis:
Sea EFGH un cuadrado inscripto en el cuadrado ABCD.
Se quiere probar que: z2 = x2 + y2
Tesis:
Sea ABCD un cuadrado de lado x + y.
Ubicamos los puntos E, F, G y H, de modo que:
ABEBAE =+ , BCFCBF =+ , CDGDCG =+ y DAHADH =+ ,
Donde:
Año: 2011
x
x
x
x
y
y
y
y
A
B C
D
E
G
H
F
z
z
z
z
32
![Page 33: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/33.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
DHCGBFAE === y HAGDFCEB ===
y
DHCGBFAE === = x y HAGDFCEB === = y
Entonces:
x + y = DACDBCAB ===
Trazamos los segmentos:
EF ,FG , GH Y HE .
Quedan conformados los triángulos:
∆HAE ;
∆EBF ;
∆FCG y
∆GDH rectángulos (ya que ABCD es un cuadrado)
Donde
DHCGBFAE === = x y HAGDFCEB === = y
Tenemos que en los cuatro triángulos, los catetos son iguales, por lo tanto por
el criterio de igualdad de triángulos rectángulos:
∆HAE ;
∆EBF ;
∆FCG y
∆GDH serán iguales.
Particularmente
Año: 2011 33
![Page 34: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/34.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
EF = FG = GH = HE = z
GHDFGCEFBHEA ˆ;ˆ;ˆ;ˆ son iguales y complementarios a HGDGFCFEBEHA ˆ;ˆ;ˆ;ˆ
respectivamente (por la suma de los ángulos interiores)
Como:
GHD ˆ = HEA ˆ y HEA ˆ es complementario con EHA ˆ ,
GHD ˆ es complementario con EHA ˆ (por propiedad transitiva)
Es decir que GHD ˆ + DHG ˆ + EHA ˆ =180º (por la suma de ángulos consecutivos
hacia un lado de la recta)
Como
GHD ˆ + EHA ˆ =90º (por ser complementarios)
DHG ˆ + GHD ˆ + EHA ˆ =180º
DHG ˆ + 90º = 180º
DHG ˆ = 180º - 90º
DHG ˆ = 90º
de igual forma para
GFEFEH ˆ;ˆ y HGF ˆ
Año: 2011 34
![Page 35: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/35.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
por lo tanto
DHG ˆ ; GFEFEH ˆ;ˆ y HGF ˆ son rectángulos, entonces HEFG es un cuadrado de
lado z.
Demostración:
Sup. ABCD = (x + y)2
Sup. EFGH = z2 y Sup. EFGH = sup. ABCD – 4 sup. ∆
HAE
Es decir
Sup. EFGH = sup. ABCD – 4 2
yx ⋅
Sup. EFGH = (x + y)2 – 4 2
yx ⋅
Entonces:
z2 = (x + y)2 – 4 2
yx ⋅
z2 = x2 + 2xy + y2 – 2xy (resolviendo el binomio y
simplificando)
z2 = x2 + y2 (por propiedad cancelativa)
s.q.d.
Entonces, en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
Año: 2011 35
![Page 36: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/36.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Razones Trigonométricas
Año: 2011
Δ ABC en función de θ
a = longitud BC a = cateto opuesto
b = longitud AC b = cateto adyacente
b= longitud AB c = hipotenusa
36
B
b
ac
C A θ
![Page 37: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/37.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Seno : sen θ =longitud cateto opuesto a θ
longitud hipotenusa=
a
c
Coseno : cos θ =longitud cateto adyacente a θ
longitud hipotenusa=
b
c
Tangente : tg θ =longitud cateto opuesto a θ
longitud cateto adyacente a θ=
a
b
Resolución de Triángulos RectángulosCuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas
sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la
medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un
ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo.
Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:
Dos Lados
o Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras
o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar
los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación
entre los ángulos de un triángulo. Tenemos este triángulo y
sabemos que
Año: 2011 37
![Page 38: Triángulos](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022052912/55a0e5511a28abf4238b4676/html5/thumbnails/38.jpg)
P r o f . C r u z T e r e s a A l i c i a
Ejemplo
Un Ángulo Y un Lado
o los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo
que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
o el ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de
un triángulo suman entre los tres 180º siempre.
Ejemplo Tenemos este triángulo y conocemos
Año: 2011 38