Trigo
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TRIGONOMETRIA
1 Funciones trigonometricas
Definimos las funciones o razones trigonometricas del angulo de un triangulorectangulo como sigue
B
A
C
x
a
bc
a = Cateto adyacente al angulo x
b = Cateto puesto al angulo x
c = Hipotenusa
Donde a,b y c son las medidas de los respectivos lados
sin x =b
ccsc x =
c
b
cos x =a
csec x =
c
a
tan x =b
acot x =
a
b
1. Demostrar las siguientes igualdadesa) sin x csc x = 1 b) cos x sec x = 1 c) tan x cot x = 1
Solucion(a):Teniendo en cuenta el grafico de arriba tenemos que
sin x =b
cy csc x =
c
b
1
A. Naupay Gusukuma 2
luego multiplicando ambas funciones trigonometricas tenemos que
sin x csc x =b
c× c
b= 1 cqd.
(b) y (c) se dejan como ejercicios.
2. Hallar las todas las razones trigonometricas del triangulo rectangulo de37◦ y 53◦, de lados 3cm, 4cm y 5cmSolucion: Dibujemos el triangulo
53◦ 37◦
5cm
3cm 4cm
aplicando la definicion de funcion trigonoetrica tenemos que
sin 53◦ =4cm
5cm=
4
5cos 53◦ =
3
5tan 53◦ =
4
3cot 53◦ =
3
4
el resto queda como ejercicio.
3. En el triangulo rectangulo de angulos 37◦ y 53◦, el cateto opuesto a ha37◦ mide 6cm, hallar la medida de los otros dos lados.Solucion: Dibujemos el triangulo
53◦
B
C
6cm
A
Primero hallemos BC, de la definicion tenemos que
tan 53◦ =BC
6cmLuego despejando BC tenemos que
BC = tan 53◦ × 6cm =4
3× 6cm = 8cm
A. Naupay Gusukuma 3
2 Formulas de adicion
Las siguientes formulas, llamadas formulas de la adicion y diferencia, sonmuy importantes dentro de la trigonometrıa.
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x (seno de la suma)sin(x− y) = sin x cos y − sin y cos x (seno de la diferencia)cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y (coseno de la suma)cos(x− y) = cos x cos y + sin x sin y (coseno de la diferencia)
Estas son validas para cualquier medida del angulo x e y, acontinuacionveamos algunos problemas.
1. Demostrar que para cualquier angulo x e y se cumple la siguiente igual-dad.
sin(x + y) + sin(x− y) = 2 sin x cos y
Solucion: Usaremos las formulas de la adicion y diferencia del seno.
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
sin(x− y) = sin x cos y − sin y cos x
Sumando las dos igualdades tenemos
sin(x+ y)+ sin(x− y) = sin x cos y +sin y cos x+sin x cos y− sin y cos x
haciendo un calculo de cancelacion y adicion en el lado derecho tenemos
sin(x + y) + sin(x− y) = 2 sin x cos y
como queriamos demostrar.
2. Demostrar que para cualquier angulo x e y se cumple la siguiente igual-dad.
cos(x + y) + cos(x− y) = 2 cos x cos y
3. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x− y)− cos(x + y) = 2 sin x sin y
Solucion: Usaremos las formulas de la adicion y diferencia del coseno.
cos(x− y) = cos x cos y + sin x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
A. Naupay Gusukuma 4
Restando a la primera igualdad la segunda tenemos
cos(x−y)−cos(x+y) = cos x cos y+sin x sin y−(cos x cos y−sin x sin y)
cos(x−y)−cos(x+y) = cos x cos y+sin x sin y−cos x cos y+sin x sin y
cos(x− y)− cos(x + y) = 2 sin x sin y
como queriamos demostrar(cqd.)
4. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x + y) + cos(x− y) = 2 cos x cos y
5. Demostrar la siguiente igualdad.
sin 2x = 2 sin x cos x
Solucion: Usaremos el seno de la suma
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos y
reemplazando y por x, es decir haciendo y = x tenemos
sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x
esta tecnica se llama cambio de variable, luego operando tenemos
sin 2x = 2 sin x cos x
cqd.
6. Demostrar la siguiente igualdad.
cos 2x = cos2 x− sin2 x
7. Demostrar la siguiente igualdad.
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z
Solucion: Aplicamos la formula del seno de la suma en sin(x + y + z),tomando x + y como si fuera una sola variable
sin(x + y + z) = sin(x + y) cos z + sin z cos(x + y)
A. Naupay Gusukuma 5
esta tecnica es muy util al momento de aplicar formulas, luego aplicandolas formulas de adicion respectivamente
sin(x+y+z) = (sin x cos y+sin y cos x) cos z+sin z(cos x cos y−sin x sin y)
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+sin y cos x cos z+sin z cos x cos y−sin z sin x sin y
reordenando tenemos
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z
cqd.
8. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x+y+z) = cos x cos y cos z−sin x cos y sin z−cos x sin y sin z−sin x sin y sin z
9. Demostrar la siguiente igualdad.
sin(x + y) cos y − cos(x + y) sin y = sin x
10. Demostrar las siguientes igualdades.
(a) sin(x + y) sin(x− y) = sin2 x− sin2 y
(b) sin 3x = 3 sin x− 4 sin3 x
(c) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cos x