Trigo No Me Tria

DESARROLLO DE EXPASIONES DE

ANGULOS MULTIPLES

Carlos Romero, [email protected]

05/01/2013

Abstract

En este trabajo tratamos de demostrar que las igualdades son correctas

para esto utilizaremos igualdades ya conocidas anteriormente, así mismo lo

demostraremos de tres distintas maneras, la cuales veremos más adelante,

utilizaremos el método analítico el cual consiste en ir remplazando las

funciones por otras equivalentes, así mismo la gráfica para la cual nos

ayudaremos con el programa derive o también lo podemos hacer desde

el buscador de google y por último el método numérico el cual consiste

únicamente en ir remplazando las incógnitas por ángulos y así demostrar

la igualdad.

1 Objetivo

1.1 -Desarrollar la habilidad y el razonamiento para así

realizar ejercicios más complejos.

1.2 -Utilizar las igualdades descubiertas para utilizarlas

en otro tipo de ejercicios más largos.

2 Desarrollo

2.1 Expresion 1

2.1.1 Demostracion analitica

Cos2A =1

2+

1

2Cos(2A) (1)

Cos(2A) = Cos(A +A) (2)

= CosACosA − SenASenA (3)

= Cos2A− Sen2A (4)

1

Figure 1:

Figure 2:

= Cos2A− (1 − CosA) (5)

Cos(2A) =1

2+

1

2Cos(2A) (6)

2.1.2 Demostracion grafica

2.1.3 Demostracion numerica

Cos(2A) = 1/2 + 1/2Cos(2A) (7)

Cos(2x90°) = 1/2 + 1/2Cos(2x90°) (8)

0 = 0 (9)

2.2 Expresion 2


Cos3A = 3/4CosA+ 1/4Cos3A (10)

Cos(3A) = Cos(A + 2A) (11)

= CosACos2A − SenASen2A (12)

= CosA(2Cos2A− 1)− SenA(2SenACosA) (13)

2Cos3A− CosA− 2Sen2ACosA (14)

2

Figure 3:

Figure 4:

2Cos3A− CosA − 2(1− Cos2A)CosA (15)

2CosA− CosA− 2CosA+ 2Cos3A (16)

Cos(3A) = −3CosA+ 4Cos3A (17)

4Cos3A = 3CosA+ Cos(3A) (18)

Cos3A = 3/4CosA+ 1/4Cos(3A) (19)


2.2.3 Comrpobacion numerica

Cos3A = 3/4CosA+ 1/4Cos(3A) (20)

Cos3(Pi/2) = 3/4Cos(Pi/2) + 1/4Cos(3.P i/2) (21)

0 = 0 (22)

2.3 Expresion 3


Cos4A = 3/8 + 1/2Cos2A+ 1/8Cos4A (23)

Cos(4A) = Cos(2A+A) (24)

3

Figure 5:

Figure 6:

= Cos2ACos2A− Sen2A− Sen2A (25)

= (2Cos2A+ 1)Cos2A− (2SenA− CosA)(2 − SenACosA) (26)

= 2Cos2ACos2A− Cos2A− 4Sen2ACosA (27)

= 2CosA(2CosA− 1)− Cos2A− 4(1− Cos2)Cos2A (28)

= 4Cos4A− 2Cos2A− Cos2A+ 4Cos4A (29)

= −Cos2A− 6(1/2 + 1/2Cos2A) + 8Cos4A (30)

= −Cos2A− 3− 3Cos2A+ 8Cos4A (31)

Cos4A = −3− 4Cos2A+ 8Cos4A (32)



Cos4A = 3− 4Cos2A+ 8Cos4A (33)

Cos(Pi/2) = 3− 4CosA+ CosA+ 8Cos2A.CosA2A (34)

−0.026 = 3− 4Cos(Pi/2) + Cos(Pi72) + 8Cos2(Pi/2).Cos2(Pi/2) (35)

−0.26 = −0.26 (36)

4

Figure 7:

Figure 8:

2.4 Empresion 4


Cos5A = 5/8CosA+ 5/16Cos3A+ 1/16Cos5A (37)

Cos5A = Cos(2A+ 3A) (38)

Cos5A = Cos2ACos3A− Sin2ASin3A (39)

Cos5A = 4Cos3A−3CosACos2−Sen2A−3SenA−4Sen3A2SenACosA (40)

Cos5A = 4Cos3A−3CosACos2A−(−1−Cos2A)−6SenACosA−8Sen4ACosA(41)

Cos5A = 4Cos3A−3CosACos2A−1+Cos2A−6(1−Cos2A)CosA−8(1−Cos2A)(1−Cos2A)CosA(42)

Cos5A = 16Cos5A+ 12Cos3A+ 9CosA (43)





0.03125 = 0.3125− 0.3125 + 0.03125 (46)

0.03125 = 0.03125 (47)

5

Figure 9:

Figure 10:

2.5 Empresion 5


Cos6A = 5/16 + 15/32Cos2A+ 3/16Cos4A+ 1/32Cos6A (48)

Cos6A = Cos(3A+ 3A) (49)

Cos6A = Cos3ACos3A− Sen3ASen3A (50)

Cos6A = (4Cos3A−3CosA)(4Cos3A−3CosA)−(3SenA−4Sen3A)(3SenA−4Sen3A)(51)

Cos6A = 16Cos6A−12Cos4A−12Cos4A+9Cos2A−9(1−Cos2A+12(1−Cos2A)(Cos2A)−12(1−Cos2A)(1−Cos(52)

Cos6A = 32CosA+ 24Cos4A− 30Cos2A+ 19 (53)

32Cos6A = Cos6A+ 24Cos4A− 30Cos2A+ 19 (54)

Cos6A =Cos6A+ 24Cos4A− 30Cos2A+ 19

32(55)


6

Figure 11:

Figure 12:




0 = 5/16− 0.1687 + 0.1875− 0.03125 (58)

0 = 0.3125− 0.1687 + 0.1875− 0.03125 (59)

0 = 0 (60)

2.6 Empresion 6


Sen2A = 1/2− 1/2Cos2A (61)

Cos(2A) = Cos(A +A) (62)

= Cos2A− Sen2A (63)

= (1 − Sen2A)− Sen2A (64)

2Sen2A = 1− Cos(2A) (65)

Sen2A = 1/2− 1/2Cos(2A) (66)

7

Figure 13:

Figure 14:



Sen2A = 1/2− 1/2Cos(2A) (67)

Sen2(Pi/2) = 1/2− 1/2Cos(2.P i/2) (68)

1 = 1 (69)

2.7 Expresion 7


Sen3A = 3/4SenA− 1/4Sin(3A) (70)

Sen(3A) = (SenA+ 2A) (71)

= SenACos2A+ CosA+ Sen2A (72)

= SenA(1− 2Sen2A+ 2SenA(A− Sen2) (73)

= SenA− 2Sen2A− 2SenA− 2Sen2A (74)

Sen(3A) = 3SenA− 4Sen2A (75)

Sen(3A) = 3/4SenA− 1/4Sen3A (76)

8



Sin3A = 3/4SenA− 1/4Sen(3A) (77)

Sin3(Pi/2) = 3/4Sen.P i/2− 1/4Sen(3.P i/2) (78)

1 = 1 (79)

2.8 Expresion 8


Sen4A = 3/8− 1/2Cos2A+ 1/8Cos4A (80)

Cos(4A) = Cos(2A+ 2A) (81)

Cos2ACos2A− Sen2ASen2A (82)

= Cos2ACos2A− Sen2ASen2A (83)

= (2Cos2A− 1)(Cos2A)− (2SenACosA) (84)

= 2(1− Sen2A)(1 − 2SenA)− Cos2A− 4Sen2 (85)

= 2(1− 2Sen2A− Sen2A+ 2Sen2A)− Cos2A (86)

= 2− 5 + 5Cos2A+ 8Sen4A− Cos22A (87)

Cos4A.3 + 4Cos2A+ 8Sen4A (88)

3− 4Cos2A+ Cos4A = 8Sen4A (89)

5Sen2A = 3− 4Cos2A+ Cos4A (90)

Sen4A = 3/8− 1/2Cos2A+ 1/8Cos4A (91)

9

Figure 15:

Figure 16:

2.8.2 Demostraciion grafica


Sen4A = 3/8− 1/2Cos2A+ 1/8Cos4A (92)

Sen4.P i/2 = 3/8− 1/2Cos2.P i/2+ 1/8Cos4.P i/2 (93)

1 = −

1

8.0.

1

8+ 1 (94)

1 = 1 (95)

2.9 Expresion 9


Sen5A = 5/8A− 5/16Sen3A+ 1/16Sen5A (96)

Sen5A = Sen2ACos3A+ Sen2ACos3A (97)

Sen5A = 3SenA−4Sen2A+4Sen4A−Sen2A+2Sen4+2Sen4A(1−Sen2A)(1−Sen2A)−2SenA3Cos2A(98)

Sen5A = 5SenA− 5Sen2A+ 4Sen4A− 2Sen3A+ Sen5A (99)

10

Figure 17:

Figure 18:

Sen5A = 5/8SenA− 5/16Sen3A+ 1/16Sen5A (100)



Sen5A = 5/8SenA−

5

16Sen3A+ 1/16Sen5A (101)

Sen5Pi

2= 5/8Sen

Pi

2−

5

16Sen3

Pi

2+ 1/16Sen5

Pi

2(102)

1 = (1− 2)(1.1) (103)

1 = 1 (104)

2.10 Expresion 10


Sen6A = 5/16− 15/32Cos2A+ 3/16Cos4A− 1/32 (105)

Cos6A = Cos(3A+ 3A) (106)

Cos6A = Cos3ACos3A− Sen3ASen3A (107)

Cos6A = (4Cos3A−3CosA)(4Cos3A−3CosA)−(3SenA−4Sen3)(3SenA−4Sen3A)(108)

Cos6A = 16CosA+12Cos3A−12Cos4A+9Cos2A−9(1−Cos2A)+12(1−Cos2A)(1−Cos2A)−12(1−Cos2A)(109)

11

Figure 19:

Figure 20:

Cos6A = 32CosA+ 24Cos4A− 30Cos2A+ 19 (110)

32Cos6A+ 24Cos4A− 30Cos2A+ 19 (111)

Sen6A = 5/16− 15/32Cos2A+ 3/16Cos4A− 1/32Cos6A (112)



Sin6A = 5/16− 15/32Cos2A+ 3/16Cos4A− 1/32 (113)

Sin6π/2 = 5/16− 15/32Cos2π/2 + 3/16Cos4π/2− 1/32 (114)

1 = −5/32Cos2π/2 + 3/16Cos4π/2− 1/32 (115)

1 = 0 + 1 (116)

1 = 1 (117)

12

3 Conclusion

3.1 Este trabajo nos ayudo mucho para reforzar la resolu-

cion de ejercicio trigonometricos partiendo de igual-

dadeas anteriormente propuestas .

3.2 Aprendimos a utilizar algunos programas como lyx ,

derive, paint .

3.3 Desarrollamos nuestra razonamiento al resolver este

tipo de ejercicios que requieren de mucha practica y

consentracion

3.4 Demostramos de tres maneras distintas lsaa igualdades

anteriormente plateadas

3.5 develop our reasoning to solve this kind of exercises

that require a lot of practice and consentracion

13

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