Trigonometria 1 batxillerat
-
Upload
pablo-soler-pla -
Category
Education
-
view
285 -
download
5
Transcript of Trigonometria 1 batxillerat
![Page 1: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/1.jpg)
UNITAT 3. TRIGONOMETRIA3.1 RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE3.2 CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT3.4. RELACIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE QUALSEVOL3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ
![Page 2: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/2.jpg)
UNITAT 3. TRIGONOMETRIA
![Page 3: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/3.jpg)
3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE
Podem calcular les raons trigonomètriques no sols dels angles aguts d’un triangle rectangle, sinó que ho podem fer de qualsevol angle comprès entre 0º< α < 360º
Començarem amb l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un triangle rectangle dins del primer quadrant de la circumferència.
![Page 4: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/4.jpg)
3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE
A partir de l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un angle agut podem obtindre les de qualsevol angle situat dintre la circumferència, és a dir, que es trobe entre 0 i 360º
Dintre del segon quadrant quedaria:
![Page 5: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/5.jpg)
3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE
Dintre del tercer i quart quadrant quedaria:
![Page 6: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/6.jpg)
3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE
![Page 7: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/7.jpg)
3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE
Exemple 1. En una circumferència de radi 4 cm, situem els punts P1, P2, P3 i P4. Troba els valors de les raons trigonomètriques de cadascun dels angles.
![Page 8: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/8.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
Si dibuixem dues circumferències concèntriques i dos angles α i β es pot comprovar que les raons trigonomètriques no depenen del radi de la circumferència.
Considerant que els triangles OPQ i OP’Q’
són semblants, ja que es troben en posició
de Tales, és fàcil comprovar que els seus
costats són proporcionals:
D´aquí podem traure:
Queda demostrat que el sin, cos i tan no depèn del radi, sinó de l´angle.
![Page 9: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/9.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
Amb aquesta demostració podem representar les raons trigonomètriques de qualsevol angle inscrit dintre de la circumferència trigonomètrica o goniomètrica, que és aquella que té com a radi la unitat.
Si r=1, sinα =Y/r= Y; cos α= X/r=X
D’ aquesta manera, el punt:
P(x,y)= (cos α, sin α), sempre que
la circumferència tinga radi=1
![Page 10: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/10.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
De manera semblant amb com ho hem fet per al primer quadrant podrem obtenir les diferents raons trigonomètriques les angles situats als quatre quadrants.
![Page 11: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/11.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
Si tenim la següent circumferència trigonomètrica, de radi 1, calcula les raons trigonomètriques en els punts marcats (sense utilitzar la calculadora)
![Page 12: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/12.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
Si ens fixem podem traure els signe de cadascuna de les raons trigonomètriques, segons el quadrant en que és trobe l´angle:
Si 0º< α < 90 sin augmenta de 0 a 1, cos disminueix de 1 a 0 i la
Si 90< α < 180 sin disminueix de 1 a 0, cos disminuiex de 0 a -1 i
Si 180< α <270 sin disminueix de 0 a -1, cos augmenta de -1 a 0
Si 270< α < 360 sin augmenta de -1 a 0, cos augmenta de 0 a 1
![Page 13: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/13.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
![Page 14: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/14.jpg)
3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA
Exercici. Troba la resta de raons trigonomètriques, si:
![Page 15: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/15.jpg)
3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT
Les raons trigonomètriques de qualsevol angle dintre de la circumferència es pot expressar com les raons d’un angle del primer quadrant. D’aquesta manera:
Un angle del segon quadrant el podrem expressar com 180º- α, sent α un angle del primer quadrant.
sin (180º- α) = sin α
cos (180º- α) = -cos α
tg (180º- α) = -tg α
Exemple: sin 130 = sin 50
![Page 16: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/16.jpg)
3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT
De la mateixa manera un angle del 3er quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 180 + α
sin (180º+ α) = -sin α
cos (180º+ α) = - cos α
tg (180º+ α) = tg α
Cos (215º)= - cos (35º)
![Page 17: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/17.jpg)
3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT
De la mateixa manera un angle del 4at quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 360 – α
Sin (360 – α) = Sin (- α) = - Sin α
Cos (360 – α) = Cos (- α) = Cos α
tg (360 – α) = tg (- α) = - tg α
Tg ( 295) = tg (295-360) = tg (-65) = - tg 65
![Page 18: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/18.jpg)
3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANTSi dos angles són complementaris, α i β, tenim:• Sin α = Cos β• Cos α = Sin β
Per tant:
Sin 75 = Cos 25
Cos 35= Sin 55
La circumferència la podrem expressar també en radians (unitat de mesura d´angles al igual que els graus). Tota la circumferència mesura 2π radians.
75º= (75· 2π)/360= 0.417 π rad.
4 π/3 rad = (4/3·360)/2= 240º
Graus 90 180 270 360
Radians π/2 π 3π/2 2π
![Page 19: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/19.jpg)
3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT
![Page 20: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/20.jpg)
3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLSi coneguem qualsevol de les tres raons trigonomètriques existents (sin, cos i tg) podem calcular les altres dues raons trigonomètriques que ens falten.
![Page 21: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/21.jpg)
3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCada valor de les raons trigonomètriques el podem posicionar en dos quadrants diferents, teniu que fixar-se en el signe de la raó que us donen i en els signes que prenen les raons trigonomètriques en cada quadrant de la circumferència.
Quadrant
1er 2on 3er 4at
Sin + + - -Cos + - - +Tg + - + -
![Page 22: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/22.jpg)
3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOL
![Page 23: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/23.jpg)
3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCalcula la resta de raons trigonomètriques i els angles als que pertanyen aquestes raons trigonomètriques:
a) Cos α =0,5 0< α<90
b) Sin α = -0,75 180< α<270
c) Tg α = -1,5 270< α<360
d) Cos α = -0,65 90< α<180
e) Sin α = 0,20 90< α<180
f) Tg α = 2,3 0< α<90
![Page 24: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/24.jpg)
3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ
Si ens demanen que obtinguem el sin 55º per mitjà de les raons trigonomètriques de dos angles A i B la suma dels quals siga 55º. No podem fer:
Cos (55) = Cos (30+25)= Cos 30+ Cos 25, perquè ens donarà un nombre superior a 1, i ni el sinus ni el cosinus poden ser superiors a 1 o -1.
Per aquesta raó necessitem l’utilització de les fórmules d’addició.
1. Cosinus de l´angle diferència
2. Cosinus de l´angle suma
![Page 25: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/25.jpg)
3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ
3. Sinus de l´angle suma
4. Sinus de l´angle diferència
5. Tangent de l´angle suma
6. Tangent de l´angle diferència
![Page 26: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/26.jpg)
3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ
RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE DOBLE
![Page 27: Trigonometria 1 batxillerat](https://reader031.fdocumento.com/reader031/viewer/2022013102/558cd9f3d8b42aa36a8b4666/html5/thumbnails/27.jpg)
3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓRAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE MEITAT