[Trigonometria 1] tpm001v1
-
Upload
kevin-elia -
Category
Investor Relations
-
view
980 -
download
1
Transcript of [Trigonometria 1] tpm001v1
1
www.innovacionysociedad.com.argonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
Trigonometría-1
Idea y elaboraciónIng. Pablo Gonzalez
ww
w.innovacionysociedad.com
.artpm
001v1
Teoría Preuniversitaria - Matemática
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 2
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Ángulo en el plano
Definición:Un ángulo es la sección del plano que queda formada cuando se cruzan:• Dos rectas• Dos semirrectas• O dos segmentos
Así definidos, los ángulos son siempre positivos (no tienen signo), y se usan para delimitar polígonosPor convención se toma del cruce el menor ángulo que se ha formado
2
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 3
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comÁngulo en el plano
Ej:
α
β
θ
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 4
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Ángulo en el plano
Ángulo normal, estándar o normalizado:
y
x
αLADO INICIAL
LADO TERMINAL
ROTACIÓN AH
VÉRTICE
3
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 5
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comUnidades de ángulos
Grados sexagesimalesAsigna 360º a un giro completo
RadianesAsigna ángulo 1 radián cuando el arco de circunferencia es igual al radio
Cuatro cuadrantes II I
III IV0º
270º
90º
180º
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 6
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
El radián
1 rad
r
s = r
s α
2 π r 360ºr 1 rad = 360º/2 π @ 57,3º
4
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 7
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comEl radián
α s
360º 2 π rα s = 2 π r . α / 360º = 2 π r . α / 2 π
En gradossexagesimales
Enradianes
s = r . α
Enradianes
“arco = radio x ángulo en radianes”Radián es la “unidad natural”
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 8
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Algunos ángulos notables
60º = π / 3
30º = π / 6
45º = π / 4
90º = π / 2
180º = π
270º = 3/2 π
0
2 π
5
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 9
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunciones trigonométricas
Presentación del tema: triángulos semejantesy
xα
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 10
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Funciones trigonométricas
En todos los triángulos rectángulos semejantes:
Hay coincidencia entre cocientes entre dos lados cualesquiera de los triángulos:
Cocientes se llaman funciones trigonométricasy dependen solamente del ángulo
...3
3
2
2
1
1 ===ba
ba
ba
6
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 11
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunciones trigonométricas
hysen =α
hx
=αcos
xytg =α
yxctg =α
xh
=αsecyhec =αcos
αx
yh
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 12
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Signos de las funciones
-+-IVC
T
S
xy
+--III
--+II
+++I
tgcossen
7
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 13
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comIdentidad trigonométrica
Ecuación de la circunferencia:Puntos del plano que equidistan de un centro
1cos22
222
=+
=+
ααsenhyx
1
h
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 14
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Complementarios / suplementarios
Dos ángulos complementariosson aquellos que suman un “recto”
Dos ángulos suplementarios son aquellos que suman un “llano”
º90=+ βα
º180=+ βα
α
x
y β
α
x
yβ
α
β
8
www.innovacionysociedad.com.argonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
Relaciones trigonométricas
Igualdades entre funciones
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 16
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Complementarios / suplementarios
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cossen 2
( )απα −= sensen 3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cos sen 4
( )απα −−= coscos 5
9
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 17
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comCom / sup / suma y resta de ángulos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2ctgtg 6
( )απα −−= tgtg 7
( ) βαβαβα sensen+=− coscoscos
( ) βαβαβα sensen−=+ coscoscos 11
10
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 18
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Doble / suma / resta
1cos22cos 2 −= αα 12
αα 2212cos sen−= 13
( ) αββαβα coscos sensensen +=+
( ) αββαβα coscos sensensen −=− 15
14
10
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 19
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comDoble / suma / resta sen y cos
ααα cos22 sensen = 16
2cos
22 qpqpsenqsenpsen −+
=+ 17
2cos
22 qpqpsenqsenpsen +−
=−
2cos
2cos2coscos qpqpqp −+
=+ 19
18
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 20
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Doble / suma / resta sen y cos
222coscos qpsenqpsenqp −+
−=− 20
2cos
22 ααα sensen = 21
22coscos 22 ααα sen−=
2cos1
2cos αα +
±= 23
22
11
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 21
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comDoble / suma / resta sen y cos
2cos1
2αα −
±=sen 24
www.innovacionysociedad.com.argonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
Valores exactos de F.T
De algunos ángulos notables
12
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 23
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comα = 30º
lado
lado
lado
30º
30ºTriánguloequilátero
212º30 ==
l
lsen
234º30cos
22
=−
=l
ll
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 24
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
α = 45º
r
r
45º
45ºTriángulorectánguloisósceles
22
22º45
222===
+==
xx
xy
yxy
rysen
45º
45º
13
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 25
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comα = 60º
21º30º60
2º60cos
23º30cosº60
2cosº60
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
sensen
sen
π
π
Usando propiedades de ángulos complementarios:
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 26
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Cuadro sinóptico
45º 60º
cos
sen
90º30º0º
20
21
22
23
24
24
23
22
21
20
14
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 27
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comRecta: pendiente (m) - inclinación (θ)
A la luz de la trigonometría podemos expresar:y
x
f (x)
P1
P2
catetoadyacente
catetoopuesto
θ
θ
θ: inclinación de la recta
m = tg θ
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 28
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Reducción de ángulos al primer giro
Todos los ángulos, sea cual sea su valor, tienen sus FT iguales a las de algún ángulo equivalente del 1º giroLa operación que encuentra dicho ángulo del 1º giro se llama “reducción al 1º giro”
2π 4π 6π
1120º
15
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 29
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comCálculo de FT usando ángulos del I
El valor absoluto de todas las FT de ángulos en cualquier cuadrante, puede hallarse usando ángulos exclusivamente del I
II: visto en ángulos suplementarios
sen α = sen (π - α)cos α = - cos (π - α)
βα
β
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 30
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Cálculo de FT usando ángulos del I
III: por opuestos por el vértice es β = γ
γα
β
sen α = - sen β= - sen γ
cos α = - cos β= - cos γ
16
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 31
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comCálculo de FT usando ángulos del I
IV:
α
β
sen α = - sen β
cos α = cos β
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 32
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Área de un triángulo
Hallar el área de un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendido
αa
b
ch
αα
sencbAsench
hbA21
2.
=⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
17
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 33
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comDistancia entre dos puntos (en el plano)
y
xx1 x2
P1
P2
(x1‐x2)2y1
y2
(y1‐y2)2
( ) ( ) ( )2212
2121; yyxxPPd −+−=
www.innovacionysociedad.com.argonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
Gráficas de F.T.
Análisis de las funciones trigonométricas
18
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 35
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunción sen x
0 p
2p 3 p
22 p
-1
0
10
p
2 p3 p2 2 p
-1
0
1
Seno
Ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 36
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función sen x
Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?
0 p
2p 3 p
22 p
-1
0
10
p
2 p3 p2 2 p
-1
0
1
Seno
Ángulo
19
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 37
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunción cos x
0 p
2p 3 p
22 p
-1
0
10
p
2 p
3 p2 2 p
-1
0
1
Coseno
Ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 38
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función cos x
Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?
0 p
2p 3 p
22 p
-1
0
10
p
2 p
3 p2 2 p
-1
0
1
Coseno
Ángulo
20
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 39
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comSeno y coseno juntas
0 p
2p 3 p
22 p 5 p
23 p 7 p
24 p
-1
0
10
p
2 p3 p2 2 p
5 p2 3 p
7 p2 4 p
-1
0
1
Se ve gráficamente que son la misma, desplazadas en xsen x = cos (x ‐ π/2) cos x = sen (x + π/2)
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 40
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función tg x
0 p
2p 3 p
22 p
-101
0p
2 p3 p2 2 p
-101
Tangente
Ángulo
21
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 41
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunción tg x
Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?Asíntotas?
0 p
2p 3 p
22 p
-101
0p
2 p3 p2 2 p
-101
Tangente
Ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 42
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función ctg x
0 p
2p 3 p
22 p
-101
0p
2 p3 p2 2 p
-101
Cotangente
Ángulo
22
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 43
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunción ctg x
Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?Asíntotas?
0 p
2p 3 p
22 p
-101
0p
2 p3 p2 2 p
-101
Cotangente
Ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 44
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función sec x
0 p
2p 3 p
22 p 5 p
23 p 7 p
24 p
-1
0
1
0p
2 p3 p2 2 p
5 p2 3 p
7 p2 4 p
-1
0
1
Secante
Ángulo
23
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 45
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunción sec x
Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?Asíntotas?
0 p
2p 3 p
22 p 5 p
23 p 7 p
24 p
-1
0
1
0p
2 p3 p2 2 p
5 p2 3 p
7 p2 4 p
-1
0
1
Secante
Ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 46
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Función cosec x
0 p
2p 3 p
22 p 5 p
23 p 7 p
24 p
-101
0p
2 p
3 p2 2 p
5 p2 3 p
7 p2 4 p
-101
Cosecante
Ángulo
24
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 47
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comTeorema del coseno
Permite hallar un lado de un triángulo, conocidos los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
γ
β
α
cos2cos2cos2
222
222
222
babaccacabcbcba
−+=
−+=
−+=
α
β
γa
b
c
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 48
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Teorema del seno
Cocientes entre lados y senos de ángulos coinciden en todo triángulo
γβα senc
senb
sena
==
α
β
γa
b
c
25
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 49
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunciones periódicas
Una función es periódica cuando:Repite la misma gráfica (pares ordenados) de la misma manera, en igual secuencia, a iguales intervalos de x
El CICLO de una función es:La forma geométrica (secuencia de pares ordenados) más pequeña que se repite
El PERÍODO de una función es:La distancia x en que la función recorre un ciclo completo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 50
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Funciones periódicas
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Período = 1
ciclo
Ninguna función periódica es biyectiva (repite valores)
26
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 51
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comFunciones trigonométricas
f(x) = ± A sen (ω x - ϕ) + c
amplitudExpansión ocompresión
vertical
pulsación
Expansión ocompresiónhorizontal
fase inicial
Desplazamientohorizontal
valor medio
Desplazamientovertical
Tπω 2
=
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 52
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Funciones trigonométricas
Ej f(x) = 4 sen 2x
0 p
2p 3 p
22 p
-4
-1
0
1
40
p
2 p3 p2 2 p
-4
-1
0
1
4
A = 4T = π
27
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 53
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com… continúa el ejemplo:
O también el análisis analítico:
4]4;4[424
4244121
=−=
≤
≤≤−≤≤−
AIf
xsenxsen
xsen
πππ
=≤≤≤≤
Txx
0220
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 54
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Funciones trigonométricas
Ej f(x) = 4 sen (2x+π)
A = 4T = π
0 p
2p 3 p
22 p
-4
-1
0
1
40
p
2 p
3 p2 2 p
-4
-1
0
1
4
2x+π = 2(x-ϕ)ϕ = - π/2
28
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 55
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comF. T. inversas
Ninguna FT es biyectiva (ninguna función periódica lo es)Para poder armar la FT inversa, se requiere tomar un tramo que sea biyectivo, lo más grande posible, de cada una de las FT
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 56
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F. T. inversas
arc sen x arc cos x
arc tg x
29
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 57
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
0 p4
p2
- p4
- p2
-1
0
1
0p4
p2
- p4
- p2
-1
0
1
arc sen x
arc sen x
x
sen x
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 58
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
- p4
0 p4
p2
p3p4
-1
0
1
2
3
- p4 0
p4
p2 p
3p4
-1
0
1
2
3
arc cos x
arc cos x
x
cos x
30
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 59
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
0 p
4p
2- p
4- p
2
-1
0
1
0p4
p2
- p4
- p2
-1
0
1
arc tg x
arc tg x
x
tg x
www.innovacionysociedad.com.argonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
Apéndice
Funciones trigonométricas con calculadora y ángulos dentro del primer giro
31
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 61
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comUnidades de los ángulos
Configurar para que trabaje con la unidad de ángulos correcta
Grados sexagesimales Radianes Gradianes (nunca)
Tecla “mode” hasta que aparezca:
Luego presionar la tecla 1 (Degree)
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 62
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Funciones y funciones inversas
Las calculadoras tienen las tres funciones trigonométricas básicas:
sin xcos xtan x
Y sus inversas:sin-1 x arc sen xcos-1 x arc cos xtan-1 x arc tg x
32
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 63
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comLos resultados de las funciones inversas
Al hallar el valor de una función inversa de un número, sea este positivo o negativo, siempre se obtienen, si nos circunscribimos al primer giro:
DOS ÁNGULOSUNO EN UN CUADRANTEOTRO EN OTRO CUADRANTE
LA CALCULADORA con las funciones “arc..”SÓLO ENTREGA UNO DE ESTOS DOS ÁNGULOS, es “tarea humana” hallar el otro ángulo
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 64
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
arc sen x de un número positivo
La calculadora responde sólo con el ángulo del primer cuadranteEj:arc sen 0,5responde 30º
α1
La respuesta correcta es: α1= 30º y α2 = 150º
α2
α1 α1
33
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 65
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comarc sen x de un número negativo
Y responde sólo con un ángulo del IV, pero negativoEj:arc sen (‐0,5)responde ‐30º
ββ
La respuesta correcta es: α1= 210º y α2 = 330º
α1 α2
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 66
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
arc cos x de un número positivo
La calculadora responde sólo con el ángulo del primer cuadrante.Ej:arc cos 0,5responde 60º
β
La respuesta correcta es: α1= 60º y α2 = 300º
α1
α2
34
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 67
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comarc cos x de un número negativo
La calculadora responde sólo con el ángulo del segundo cuadrante.Ej:arc cos (‐0,5)responde 120º
La respuesta correcta es: α1= 120º y α2 = 240º
α1
α2
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 68
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
arc tg x de un número positivo
α1
α2
La calculadora responde sólo con el ángulo del 1ºcuadrante.Ej:arc tg (raíz(3))responde 60º
La respuesta correcta es: α1= 60º y α2 = 240º
35
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 69
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.comarc tg x de un número negativo
α1
α2
La calculadora responde sólo con el ángulo del segundo cuadrante.Ej:arc tg (‐raíz(3))responde ‐60º
La respuesta correcta es: α1= 120º y α2 = 300º
www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 70
Idea y elaboración:Ing. Pablo G
onzalez–
pmgonzalez@
yahoo.com
Nosotros
Innovación y Sociedad es un emprendimiento que se sustenta en tres ejes
La sociedadEl Bien ComúnLa innovación
Más información en nuestro sitio web:www.innovacionysociedad.com.ar
Contacto InnSoc:[email protected]
Autor del documento:[email protected]
Y por si todo lo anterior falla…[email protected]