Actividad de aprendizaje 12. Problemas de la hipérbola

Jaimes Romero Pablo Zaid.

1. Grafica las siguientes ecuaciones y escríbelas en su forma general; en cada caso incluye, en la gráfica, los elementos geométricos: vértices, focos, centro, extremos de semiejes y las ecuaciones de las asíntotas.

A.- 4(x-5)2 =64+16(y+1)

4(x-5)2 – 16(y+1)=644(x2+2(x) (-5) +25)-16y-16=644x2 -10x+25)-16y -16=64x2 -40x+100-16y-16=644x2 -16y-40x=64-100+164x2 -16y-40x=-20Es una parbola ya que el coeficiente “C” es igual a cero. ya la ecuacion general de las conicas. Los coeficientes son A,,C,D,E,F tal como se muestra.Ax2+cy2+dx+ey+f=0

B.- 5(x-2.1)2 -5(y-3.1)2=125.5

Se desarrollan los binomios y se simplifica hasta poder igualarlo a cero y de esa manera se obtiene la ecuacion en su forma general:

5(x2-4.2x+4.41)-5(y2-6.2y+9.61)=125.55(x2-21x+22.05-5y2+31y-48.05=125.55(x2-5y2-21x+31y=151.55(x2-5y2-21x+31y=151.5=0

Los binomios ya están despejadosEn la canónica la ecuación está igualada a uno, se puede conseguir esto dividiendo ambos lados de la ecuación entre 125.5:5(x-2.1) 2 - 5(y-3.1) 2 = 125.5125.5 125.5 125.5

Es una hipérbola horizontal

C= (h,k) = (2.1,3.1) a2= 25.1 y b2 = 25.1

A= =5.00 b = =5.00

C=

C= => c=7.08

Encontremos las coordenadas de los vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas.Vertices: V(h+a,k) V(h-a,k) => V (7.109,3.1) V (-2.909,3.1)

Focos : F(h+c,k) F(h-c,k) => F(9.18,3.1) F(-4.98,3.1)

Fórmula que es para la hipérbola horizontal

C.- (x-32)2 =50+(y+50)2

Se desarrollan los binomios y se simplifica hasta poder igualarlo a cero y de esa manera se obtiene la ecuacion en su forma general(x-32)2-(y+50)2 =50(x2 -y2-64x+1024)-(y2+100y+2500)=50x2 -y2-64x+1024-y2-100y-2500=50x2 -y2-64x-100y=50-1024+2500x2 -y2-64x-100y=1526x2 -y2-64x-100y-1526=0

En la canónica la ecuación está igualada a uno; podemos conseguir esto dividiendo ambos lados de la ecuación entre 50:

La cual es una hipérbola horizontal:

Obtenemos así:

A y B son los extremos de los Semiejes.

Por lo tanto,

Sustituimos en

c=10

Encontremos las coordenadas de los vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas.

Vertices:

Focos:

Para encontrar las asíntotas se utilizara la siguiente fórmula que es para la hipérbola horizontal

D. y2-9(x-1092 =225

Se desarrollan los binomios y se simplifica hasta poder igualarlo a cero y de esa manera se obtiene la ecuacion en su forma general:Y2-9(x-10)(x-10) =225Y2-9(x2-10x-10x+100)=225Y2-9(x2-20x+100)=225Y2-9x2 +180x-900=225-9x2+y2+180x= 225+900-9x2+y2+180x=1125-9x2+y2+180x=09x2-y2-180x+125=0La expresión sea igual a la forma canónica:

Y 2 - (x-10) 2 =1225 25

La cual es una parábola vertical por ser positivó el termino con valor “y”Obtenemos así:

Por lo tanto,

Sustituimos en

c=15.8

Encontremos las coordenadas de los vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas.

Vértices:

Focos:

Para encontrar las asíntotas se utilizara la siguiente fórmula que es para la hipérbola vertical:

Y-(0) = +15/5(x-(+10)) Y-(0) = -15/5(x-(+10))y=3(x-10) y=-3(x+10)y=3x-30 y=3x+30

2. Escribe una serie de instrucciones para explicarle a alguien mas cómo resolver el problema “dada la gráfica de la hipérbola, encuentra la ecuación…”.

Observamos la escala se tienen la gráfica en la cual encontraremos su ecuación, ubicaremos los vértices, el centro y la longitud del semi-eje mayor. Ya que dependiendo de la grafica que tengamos se sustituyera la ecuación canónica de la hipérbola para observar que parámetro nos hace falta. Al encontrar un valor, recurrimos a la gráfica para obtener las coordenadas de un punto más, puede ser el que sea de la hipérbola, aunque sería mejor de una vez elegir las coordenadas lo más exactas posibles para si facilitarnos el problema. Sustituimos en la ecuación canoníca que teníamos, por ultimo se convierte en su forma general y esa será la ecuación que buscamos.

3. Ahora practica los pasos que mencionaste en el punto anterior para encontrar las ecuaciones de las siguientes gráficas.

Se ubica el centro de la hipérbola en C= (0,5) y los vértices en De

esta forma la longitud del semieje menor es b= 15

Ahora se sustituye en la ecuación canónica de la hipérbola vertical, y así veremos que parámetro nos hace falta.

Es necesario encontrar el valor de b. Así que elegimos un punto cualquiera de la hipérbola, en este caso elegí P=(0,20), se sustituye en la ecuación anterior y resolvamos para b:

Con lo cual nuestra ecuación canónica queda así:

Y la Convertimos a su forma general quedando así:.

Se ubica el centro de la hipérbola en C= -20,-50) y los vértices en

De esta forma la longitud del semieje mayor es a= 5

Ahora se sustituye en la ecuación canónica de la hipérbola horizontal, y así veremos que parámetro nos hace falta.

Es necesario encontrar el valor de b. Así que elegimos un punto cualquiera de la hipérbola, en este caso elegí P=(-12,-46), se sustituye en la ecuación anterior y resolvamos para b:

Con lo cual nuestra ecuación canónica queda así:

Convertida en su forma general:

Ésta es la ecuación general .

4. Encuentra la gráfica y la ecuación general de la hipérbola, si sabes que el centro es C=(-15,3), que uno de sus focos está en F=(10,3) y que su excentricidad es 2.5.

c = | -15 - 10 |c = | -25 |c = 25 "E" es de 2.5e = 2.5e = 5 / 2La excentricidad es el cociente entre "C" y "A", entoncesc / a = 5 / 225 / a = 5 / 250 / a = 550 = 5a50 / 5 = a10 = a

c² = a² + b²Entoncesb² = c² - a²b² = 25² - 10²b² = 625 - 100b² = 525la ecuación canónica de la hipérbola horizontal buscada es

(x - h)² (y - k)² = 1a2 b2

[ x - (-15) ]² (y - 3)² =1 100 525

(x + 15)² (y - 3)² =1 100 525El mínimo común denominador entre 100 y 525 es 2100

21(x + 15)² - 4(y - 3)² = 1

210021(x + 15)² - 4(y - 3)² = 210021(x² + 30x + 225) - 4(y² - 6y + 9) = 210021x² + 630x + 4725 - 4y² + 24y - 36 = 210021x² - 4y² + 630x + 24y + 4689 = 210021x² - 4y² + 630x + 24y + 2589 = 0