Prof. José Luis Gallardo TRIGONOMETRÍA Para 3°, 4° y 5° AñosTrigonometría General

Introducción:

Existe en Matemáticas, una relación muy utilizada, tanto en Geometría como en Ingeniería Civil (en la construcción de edificios y puentes, por ejemplo). Esta relación es la relación Trigonométrica, que estudia la relación de los triángulos (tanto rectángulos como oblicuángulos), dados sus lados y ángulos.

*Las Relaciones de un Triángulo Rectángulo es conocida como RAZÓN TRIGONOMÉTRICA.

*Las Relaciones de un Triángulo Oblicuángulo se estudia con los Teoremas del Seno y del Coseno. Que no se estudiará en este trabajo.

Para triángulos que no tiene un ángulo de 90°

Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo:

Si observamos en nuestro entorno, todo lo construido por nosotros (los seres humanos), presentan figuras geométricas y por tanto tienen ángulos.

Si doblamos una hoja de papel por una de sus diagonales; ¿Podemos saber el ángulo que se forma en su base, si en vez de usar un transportador para medir sus ángulos, solo contamos con una calculadora científica?

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Cateto Opuesto Hipotenusa

Cateto Adyacente

(Y)

Hoja de papel Doblo por una de sus diagonales Triángulo Formado (X)

El procedimiento es muy simple, medimos sus lados rectos (X e Y) y realizamos en nuestra calculadora la siguiente operación: presionamos la tecla SHIFT + la tecla TAN, paréntesis (medida Y dividido medida X) y la tecla igual (=).

El valor dado por la calculadora nos suministra un resultado en el sistema decimal (que es el sistema que trabaja toda calculadora), del cual tomamos solo la parte entera del resultado. En lenguaje simbólico: arc tan (Y/X).

Si queremos hallar el valor real en el sistema sexagesimal (sistema angular) debemos presionar luego del resultado obtenido, la tecla ° min seg .

Ejemplo:

Si la medida X = 22 cm y la medida Y = 12 cm, entonces, el valor obtenido será 28°

(En la calculadora: 28.61045967)

*Si miras una pared de tu entorno, sabes cuál es la medida de la diagonal que divide esta pared en dos triángulos rectángulos iguales?

Para poder calcularlo, debemos estudiar las RAZONES TRIGONOMÉTRICAS que relacionan los lados y ángulos de todo triángulo rectángulo. Por lo tanto, comencemos recordando lo siguiente:

1.- Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo igual a 90°, y los otros dos ángulos menores a 90°, y hay que tener en cuenta, que la suma de estos tres ángulos tiene que ser igual a 180° SIEMPRE!

2.- Todo ángulo está directamente relacionado con su lado opuesto: a menor ángulo menor lado y a mayor ángulo mayor lado. Y como el ángulo de 90° es el mayor de los ángulos en un triángulo, le corresponde el lado mayor, (que es la diagonal de un cuadrado o rectángulo), que a partir de ahora, llamaremos HIPOTENUSA.

Ahora veamos las Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo.

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Angulo Lado Nombre Símbolo

alpha a Cateto Opuesto CO

betha c Cateto Adyacente CA

gamma b Hipotenusa Hip.

Ahora Veamos las Relaciónes:

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Tarea: despejen de cada relación CO, CA y el ángulo alpha.

Ejercitación:

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A) Realicen los correspondientes gráficos detallados para cada ejercicio.

1. ¿Cuánto mide una pared (CO), en donde la sombra y el suelo (CA) forman un ángulo de 40°?

2. Del Problema anterior, ¿cuánto mide el largo del suelo donde toca la sombra (CA) hasta la pared?

3. Si el largo de una pared (CO) es de 2 mts, y el largo del suelo donde toca la sombra y la pared (CA) es de 6 mts. ¿Cuál será el ángulo?

4. Del Item anterior: y si la pared fuera de 6 mts.?

B) Completen el siguiente cuadro utilizando las relaciones trigonométricas correspondientes:

Ejercicio N° Función ÁnguloCateto

OpuestoCateto Adyac.

Hipotenusa

1 Sen 30° 10

2 Sen 80° 20

3 Cos 45° 15

4 Cos 75° 25

5 Tan 10° 5

6 Tan 35° 8

7 Tan 4 7

8 Tan 10 10

2° Parte: LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNCIÓN DE LOS ÁNGULOS DE UN GIRO (360°)

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Para esta parte del tema, tomaremos como medida universal de la Hipotenusa como 1 (uno), que representa a la UNIDAD de medida de la CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA, llamada desde ahora RADIO TRIGONOMÉTRICO.

Como para esta parte del tema, la medida de la Hipotenusa es 1 (uno), redefinimos las relaciones que existen entre las razones y las funciones trigonométricas:

La Función Sen representa la MEDIDA del Cateto Opuesto (Eje Y).

La Función Cos representa la MEDIDA del cateto Adyacente (Eje X).

La Función Tan representa el COCIENTE entre las anteriores, CO/CA y la utilizaremos para hallar el valor angular de este cociente.

En esta relación entre estas funciones y los ángulos de un giro (360°), el RADIO TRIGONOMÉTRICO (HIPOTENUSA), “barre” por todo el sistema, como si fueran las manecillas de un reloj análogo, pero ésta gira en sentido contrario a las agujas de un reloj. Y este “barrido” del Radio Trigonométrico, a medida que pasa por cada ángulo, va alterando la medida de los catetos, si nos detenemos por un momento, veremos que esta forma un triángulo rectángulo “imaginario” que nos proporciona los valores de las medidas de los catetos.

Sitio web de esta imagen kalipedia.comSitio web de esta imagen mediateca.educa.madrid.org

Vemos cómo es esta relación:

¿Cómo demostramos que el Radio Trigonométrico es igual a 1?

Muy simple; con la calculadora científica operamos:Sen 90° = 1 y Sen 270° = -1 Medida del Eje YCos 0° = 1 y Cos 180° = -1 Medida del eje XPara ubicar una circunferencia que representa un giro de 360°, dentro de un par de ejes cartesianos, podremos ver que ésta circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales, llamadas CUADRANTES.

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Con referencia al cuadro, relacionándolo con la siguiente tabla, podemos ver la relación que existe.

Ángulos Cuadrante Signo Eje X Signo Eje Y

De 0° a 90° I + +

>90° a 180° II - +

>180° a 270° III - -

>270° a 360° IV + -

¿Cómo serán los signos de las funciones Sen, Cos y Tan en cada cuadrante?

Cuadrante Sen (Y) Cos (X) Tan (Y/X)

I - De 0° a 90° + + +

II - >90° a 180° + - -

III - >180° a 270° - - +

IV - >270° a 360° - + -

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Realicen las siguientes operaciones, para verificar esta relación entre las funciones trigonométricas y los ejes X e Y:

Ángulo Cuadrante Valor Sen a Valor Cos a Valor Tan a10°45°80°

120°210°265°300°355°

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3° PARTE: GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE:

Cómo las relaciones trigonométricas se basan en funciones trigonométricas, éstas se pueden graficar:

Función Seno: Sen a

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Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el Eje Y) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Seno.Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°

Valor

Cuadrante

Función Coseno: Cos a

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Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el Eje Y) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Coseno.

Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°

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Valor

Cuadrante

Función Tangente: Tan a

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Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el EjeY) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Tangente.Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°

Valor

Cuadrante

+ Bibliografía Consultada:

Autores Varios. Matemática 9. Buenos Aires. Editorial Puerto de Palos. 2001

Autores Varios. Matemática Activa 1. Buenos Aires. Editorial Puerto de Palos. 2001

+ Sitios de Internet Consultados:

www.fisicanet.com.ar . Septiembre 2010.http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_trigonometria.php

http://soko.com.ar . Septiembre 2010.http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm

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www.sectormatematica.cl . Septiembre 2010.http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

+ Gráficos:

Debajo de cada gráfico se detalla la dirección web del recurso utilizado.

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Matemáticas y Física

http://2010joseluis.blogspot.com