TRIGONOMETRÍA Guia1rev

Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 1 Abril, 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

MENCIÓN BÁSICA GENERAL UNIDAD CURRICULAR: TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO

PROFESORA YANNITSA FERNÁNDEZ

GUÍA DE ESTUDIO N°1.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

Utilizar conceptos básicos de la geometría plana en el estudio de la trigonometría.

El estudio de la geometría en la enseñanza primaria y media general es una de las

áreas así como la trigonometría que tiene elevado uso durante el tratamiento de

temas más avanzados de las matemáticas. Por tal motivo, es de interés en esta

unidad curricular repasar algunos conceptos geométricos necesarios para el

exitoso abordaje del conocimiento Trigonométrico.

ÁNGULO.

Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.

Las semirrectas se llaman lados. El ángulo se designa por una letra mayúscula

situada en el vértice. A veces se usa una letra griega dentro del ángulo. También

podemos usar tres letras mayúsculas de manera que quede en el centro la letra

que está situada en el vértice del ángulo. En la figura 1 se representan los ángulos

PNMoMNPyA α,

Figura 1


CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.

Podemos clasificar los ángulos según su medida, su posición o suma de sus

medidas.

Según su medida

Ángulo agudo. Es aquel ángulo que mide menos de 90°.

Ángulo Recto. Es el que mide 90°.

Ángulo obtuso. Es mayor de 90°, pero menor que 180°.

Ángulo Llano. Es aquel en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180°.

Ángulo cóncavo. Es mayor a 180°, pero menor a 360°.

Perigonal o de una vuelta. Es igual a 360°, es decir, una vuelta completa.

Figura 2


Según su posición

Ángulos Adyacentes. Son los que están formados de manera que un lado es

común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. Observa que en la figura

3 (ángulos adyacentes) el ∠ es adyacente al ∠β porque tienen en común el lado

AC.

Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos tales que los lados de uno de

ellos son las prolongaciones de los lados del otro. Observa que en la figura 3

(ángulos opuestos por el vértice) el ∠ y el ∠β son iguales porque son opuestos

por el vértice, al igual que los ángulos θ y ω.

Figura 3

Según su suma

Ángulos Complementarios. Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto,

es decir, 90°.

Ángulos Suplementarios. Son dos ángulos que sumados valen dos ángulos rectos,

es decir, 180°.


Figura 4

ÁNGULO DESDE EL PUNTO DE VISTA TRIGONOMÉTRICO

Supongamos que la semirrecta gira alrededor del punto O, en sentido contrario

a las agujas del reloj. Entonces, en cada posición origina un ángulo: el ángulo

AOB (ver figura 5) por ejemplo. Cuando coincide con , el ángulo es nulo;

cuando comienza a girar, el ángulo aumenta a medida que gira. Al coincidir

de nuevo con produce un ángulo completo (360°), pero puede seguir

girando y crear un ángulo de un valor cualquiera.

Figura 5

ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS

Arbitrariamente se ha convenido que los ángulos engendrados en sentido contrario

a las agujas del reloj se toman como positivos, y los ángulos engendrados en el

mismo sentido de las agujas del reloj se consideran negativos.


es un ángulo positivo

es un ángulo negativo

Figura 6

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de

otro punto llamado centro. La figura 7 representa una circunferencia de centro O.

Los puntos A, B, C son puntos de la circunferencia, y los segmentos:

se llaman radios.

Figura 7


Circulo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a

la misma.

Figura 8

ÁNGULOS Y ARCOS

Para la solución de triángulos rectángulos (que involucran ángulos agudos) se

requiere solamente la noción familiar y simple de ángulo adquirida de la geometría

de la escuela secundaria. Pero para el desarrollo más extenso de la trigonometría,

se necesita una nueva perspectiva sobre los ángulos. No sólo se permiten ángulos

arbitrariamente grandes sino que también se hace una distinción entre ángulos

positivos y negativos. Conocer un ángulo en trigonometría es saber cómo fue

originado el ángulo. Es conocer el lado inicial, el lado final y el tipo de rotación que

produjo al ángulo.

Figura 9


Medida en grados.

Se toma un círculo y se divide su circunferencia en 360 partes iguales. El ángulo

con vértice en el centro determinado por una de estas partes tiene una medida de

un grado (escrito 1°). Esta manera de medir ángulos se debe a los antiguos

babilonios; hay un refinamiento, que evitamos. Los babilonios dividían cada grado

en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

Es importante estar familiarizado con la medición tanto de ángulos positivos y

negativos como de ángulos que resulten de rotaciones grandes.

Medida en radianes.

La mejor manera de medir ángulos es en radianes. Se toma un circulo de radio r.

la fórmula 2 dice que la circunferencia tiene 2 (aproximadamente 6.28)

arcos de longitud r alrededor de él. El ángulo con vértice en el centro de un círculo

determinado por un arco de longitud igual a su radio mide un radián (ver figura

10).

θ mide un radián (aproximadamente

57.3°)

Figura 10

Entonces un ángulo de 360° mide 2 radianes y un ángulo de 180° mide

radianes. Se abrevia lo anterior escribiendo

180°


Para convertir de grados a radianes, sólo se necesita recordar el resultado anterior.

Dividiendo por 2, 3, 4 y 6 respectivamente se obtienen las conversiones de varios

ángulos notables.

90°

60°

45°

30°

Si se divide la fórmula 180° por 180, se obtiene

1°

Y si se divide la fórmula 180° por , se obtiene

° 1 á

Se cumple así las siguientes reglas.

Para convertir de grados a radianes, se multiplica por 180⁄ .

Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180⁄

Por ejemplo

22° 22 0.38397

y

2.3 2.3°

131.78°

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA

Sea la medida en radianes de un ángulo con vértice en el centro de un círculo

de radio . Este ángulo recorta un arco de longitud que satisface la fórmula

simple .


Esto se sigue directamente del hecho de que un ángulo de un radián ( 1)

recorta un arco de longitud .

Una segunda fórmula útil es la del área de un sector circular mediante un ángulo

central de radianes. Obsérvese que el área de este sector, es el área de todo el

círculo como es a 2 , esto es, 2⁄⁄

12

Figura 11

El círculo unitario

La fórmula para longitud de arco toma una forma muy simple cuando 1, es

decir, . Al hacer énfasis en su significado tenemos que: en un círculo unitario,

la longitud de un arco es la misma que la medida en radianes del ángulo que lo

determina.

IDENTIFICACIÓN DE ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO

Un triángulo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a

dos.


Figura 12

Los puntos de intersección son los vértices del triángulo (A, B y C).

Los segmentos determinados son los lados del triángulo (a, b y c).

Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus tres lados.

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos.

Clasificación de los triángulos.

Atendiendo a sus lados:

Triángulo isósceles. Es el que tiene dos lados iguales; los ángulos opuestos a

dichos lados también son iguales.

Triángulo equilátero. Es el que tiene sus tres lados iguales; los tres ángulos

también son iguales.

Triángulo escaleno. Es el que tiene sus tres lados diferentes; sus ángulos también

son desiguales.

Atendiendo a sus ángulos:

Acutángulo. Es el que tiene los tres ángulos agudos.

Obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.

Rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.


Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres especiales:

Catetos son los lados que forman el ángulo recto.

Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto.

EJERCICIOS

Convierta cada una de las siguientes expresiones a radianes.

1) 120° 2) 225° 3) 240°

4) 150° 5) 210° 6) 330°

7) 420° 8) 660° 9) 540°

Convierta cada una de las siguientes expresiones a grados.

10) 11) 12)

13) 3 14) 3 15) 4.52

16) 17) 18)

Encuentre la medida en radianes de un ángulo en el centro de un círculo de 6 pulgadas de radio, el cual barre un arco de longitud

19) 12 20) 18.84

Encuentre la longitud barrida en un círculo de radio 3 pies por un ángulo en el centro de

21) 2 22)


Encuentre la longitud y el área del sector circular . Redondee las respuestas a tres decimales.

27) ¿A través de cuántos radianes debe pasar el minutero de un reloj en 1 hora?

Halla los complementos de los siguientes ángulos

28) 16° 29) 55° 30) 60°

Encuentra los suplementos de los siguientes ángulos

31) 111° 32) 95° 33) 79°

34) Si :

2

6

4

¿Cuánto mide cada

ángulo?

35) Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construye el triángulo y calcula

su perímetro.

36) Construye un triángulo que tenga un ángulo de 50° y los dos lados que lo

forman midan 5 cm y 3.5 cm.


37) Construye un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los dos lados

que lo forman midan 3 y 4 pulgadas.

38) Construye un triángulo que tenga un lado que mida 7 cm y los dos ángulos

adyacentes midan 30° y 70°.

39) Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm.

40) Construye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 8 cm y

cuya hipotenusa mida 10 cm.

41) Construye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un

ángulo agudo de 50°.

42) Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30° respectivamente. ¿Cuánto mide

el tercer ángulo?

43) Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 40° cada uno.

¿Cuánto mide el ángulo opuesto a la base?

44) ¿Puede ser obtuso el ángulo en la base de un triángulo isósceles?

45) ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?

El material presentado fue tomado de los libros que se mencionan a continuación.

Para profundizar en los aspectos geométricos descritos anteriormente, te invito a

que revises estas referencias bibliográficas.


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

LIBROS

• Baldor (2009). Geometría y Trigonometría (2a ed.). México: Grupo Editorial Patria.

• Méndez (2006). Matemáticas 2 (1a ed.). México: Santillana, S. A.

• Sullivan y Hernández (2006). Álgebra y trigonometría (7a ed.). Editorial Pearson Educación.

• Walter, Fleming y Dale Varberg (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3a ed.) México: Pretince – Hall Hispanoamericana, S.A.

PÁGINAS WEB

http://books.google.co.ve/books?id=44-

YnoUhxOoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=o

nepage&q&f=false

http://www.vitutor.net/2/1/23.html

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