Trigonometría-Pamer

Capítulo Pág.

1. Sistemas de medición angular ......................................................................................... 133

2. R. T. de un ángulo agudo ................................................................................................ 141

3. Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricasde los ángulos agudos .................................................................................................... 147

4. Repaso ......................................................................................................................... 157

5. Cálculo de lados - aplicación....................................................................................... ..... 161

6. Ángulos verticales .......................................................................................................... 169

7. R.T. de ángulos de cualquier magnitud I ........................................................................... 175

8. R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II ...................................................................... 183

PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA

ÍNDICE


Sistemas de medición angular

Capítulo I

• Ángulo trigonométricoSe genera por la rotación de un rayo alrededor de un

punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicialhasta llegar a una posición final (todo en un mismo plano).

figura(1)

figura(2)

ladofinal

lado inicial

lado inicial

vértice

vértice

α

β

0

0'

ladofinal

Los ángulos "α" y "β" son ángulos trigonométricos convértices en 0 y 0' respectivamente.

El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativoo nulo

En efecto, si la rotación se realizara en sentido antihorariose generará (por convención) un ángulo positivo, y si larotación se realizara en sentido horario el ángulo resultaser negativo.

De la figura (1), "α" es un ángulo positivo (rotaciónantihoraria) y de la figura (2) "β" será un ángulo negativo(rotación horaria). Si no hubiera rotación alguna, estaremoshablando de un ángulo nulo.

• Sistemas de medidas angulares

Sistema sexagesimal (inglés)

* Unidad: 1° (grado sexagesimal)

tal que:360

vuelta11

∠=° → ∴ ∠ 1 vuelta = 360°

* Sub - unidades: 1' (minuto sexagesimal)

1" (segundo sexagesimal)

tal que: 1° = 60' y 1' = 60"

En consecuencia: 1° = 3600"

Sistema centesimal (francés)

* Unidad: 1g (grado centesimal)

tal que:400

vuelta11g

∠= → ∴ ∠ 1 vuelta = 400g

* Sub - unidades: 1m (minuto centesimal)

1s (segundo centesimal)

tal que: 1g = 100m y 1m = 100s

En consecuencia: 1g = 10000s

Sistema radial o circular (o sistema internacional)

* Unidad: 1 rad (radián)

Donde el radián es la medida de un ángulo central quesubtiende un arco cuya longitud es igual al radio de lacircunferencia que contiene dicho arco.

RL

A

B

RR

0

θ

R

L

Si

:

:

:

:

número de radianes del ángulo central

radio de la circunferencia

longitud del arco que subtiende "

L = R = 1 rad

θ

→ θ

"

Además: 1 vuelta = 2 radπ ∠

θ

Observaciones:

Comparando los tres sistemas de medición angular seconcluye:

1. 1 rad > 1° > 1g

2. 360° = 400g = 2πrad 180° = 200g = πrad3. Como: 180° = 200g 9° = 10g

Conversión entre sistemas:

Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulose expresa en otras unidades diferentes a la que posee.Para ello, procederemos como en los ejemplos siguientes:

a. 30° a radianes

rad6180

rad.30

π=α⇒

°π

°=α

b. 72° a centesimales:

gg

809

10.72 =β⇒

°°=β

c. rad20π

a sexagesimales

rad180

.rad20 π

°π=θ = 9°

d. 60g a radianes

rad103

200

rad.60

gg π

=φ⇒π

=φ

1. Interpretar "x" en función de " " y "β".

A B

C

β

αx0

Resolución:

En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentesaparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentidoantihorario. Por lo tanto el gráfico queda así:

β

α-x

-

Por lo tanto:

- x = - +β α

x = -β α

A B

C0

2. Halle "x", en función de "α", "β" y "θ".

β αx

θ

A

B

C

D0

Resolución:

Según las recomendaciones anteriores, trataremos decolocar los ángulos en sentido antihorario.

β αx

Por lo tanto:

- = x - +θ α β

x = - -α β θ

θA

B

C

D0

-

-

3. Indicar la relación que se cumple entre "α" y "β".

B

C

A0

β

α

Resolución:

Ordenando el gráfico:

Por lo tanto:

α β - = 90°

B

C

A0

β

α

-

4. Del gráfico mostrado, indicar la relación que existe entre" ", " " y " ".

β

D

C B

A0αθ

Problemas resueltos

Resolución:

Replanteando el gráfico a nuestra conveniencia.

Por lo tanto:

β

D

C B

A0αθ- -

β α θ - - = 180°

5. En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de "x"?

B

A

C

0x

θ

Resolución:

Un nuevo gráfico:

Por lo tanto:

- + x - 90° = 360°θ

B

A

C

0x

θ

x = 450° + θx - 90°-

6. Convertir 36° a grados centesimales.

Resolución:

Utilizamos: 9° = 10g, entonces: 36° x 109°

g

= 40g4

1

7. Convertir 15° a (rad)

Resolución:

Utilizamos: 180° = πrad, entonces:

15° x π rad180° = π

12rad

12

8. Convertir 80g a (rad)

Resolución:

Utilizamos: 200g = rad, entonces:

80 xg π r a d2 0 0 g = 2

5π rad

9. Del gráfico mostrado, hallar "x".

(5x - 9)°160g

A

B

0

Resolución:

(5x - 9)° = -160 xg 9°10g

5x - 9 = -144 5x = -135→

x = -27

10.Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo"B" en radianes.

A

B

C

9x°

π x30

rad10x3

g

Resolución:

°=π

°π=

π=

°=

°=°

==

x6rad

180.rad

30

xrad

30

xC

x9B

x310

9.

3

x10

3

x10A

g

gg

→ A + B + C = 180°

→ 3x° + 9x° + 6x° = 180° x = 10

Como: B = 9x° → B = 90° .°

π

180

radrad

2B

π=∴

Medidas angulares (grados y radianes)Consideremos las unidades de medida de los ángulos.

Veamos su origen en primer lugar. ¿Por qué se emplea unaunidad de ángulo que subdivide una vuelta completa en360 partes? Existen muchas explicaciones, y hay una queparece ser especialmente aceptable. Los babiloniosempleaban en muchos casos la subdivisión duodecimal osexagesimal (es decir, en 12 o en 60 partes iguales).Considerando la duración de la rotación diurna (aparente)del Sol subdividida en 12 partes y haciendo corresponder acada una, una desviación angular de 15 unidades (la cuartaparte de 60) se obtiene en total un valor de 180 unidadespara la mitad de giro completo del astro luminoso alrededorde la Tierra. Es decir, que 360 unidades corresponden auna rotación completa.

La unidad angular común, el grado no esnecesariamente la mejor para medir ángulos. No esconveniente emplear unidades de medida no relacionadaspara la longitud o distancia, y la dimensión angular. Cuandose establece un sistema de coordenadas, los ejes se marcanen "unidades de longitud". Dichas unidades se determinansegún el caso, pero todos los ángulos mencionadosanteriormente se expresaron en "grados". Si se hubieranempleado unidades relacionadas para las medidas linealesy angulares, el análisis hubiese resultado independiente dela unidad utilizada. Esto es, de hecho, lo que se hace en

matemáticas superiores, y en general, en los trabajoscientíficos, donde se utiliza exclusivamente la unidadllamada radián.

El llamado transportador es el instrumento usual paramedir ángulos. Es simplemente un arco (o el círculocompleto) de una circunferencia que ha sido dividida en360 partes iguales llamadas grados. Un transportador sueletener diferentes tamaños, desde los pequeños para usoescolar; hasta el modelo grande (generalmente de madera)para empleo en el pizarrón y que se utiliza en los salonesde clase. Si se dispone de un transportador de tamañocómodo podría entonces calcularse su circunferencia, y lamagnitud lineal de las unidades de arco que se marcan endicho instrumento solamente dependerá del radio elegido.Para definir el radián se emplea una circunferencia de radioigual a 1 y que se denomina circunferencia unidad (ounitaria). El radián es el ángulo que intercepta un arco igualal radio en longitud. A la circunferencia total correspondene n t o n c e s 2 radianes, de modo que 2 representa una vueltacompleta o revolución (ángulo de 360°). La mitad de unarevolución (ángulo de 180°) representa radianes, y en formasemejante, cualquier ángulo se puede expresar de estamanera. En el caso de un ángulo cualquiera, el arcointerceptado es proporcional al perímetro de la circunferencia,y la medida de dicho ángulo será proporcional también a laamplitud de una revolución. De modo que:

360

gradosen""ángulo

2

radianesen""ángulo θ=

π

θ

Abreviando;360

)(

2

)rad( °=

π o bien:

180

)()rad( °=

π

π

(rad)

180°

(°)

Cualquier número real puede ser la medida en radianesde un ángulo, y en este caso se expresa como una cantidaden tales unidades angulares. Por ejemplo, 180° se expresacomo π radianes, y π/2 radianes equivale a 90°. Si no seespecifica ninguna unidad, se supone que se trata de radianes.

Bloque I

1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a losángulos trigonométricos mostrados.

A

B

C β

αθ0

a) α + β + θ = 360° b) α - β - θ = 360°c) β - α - θ = 360° d) β + α - θ = 360°e) θ - α - β = 360°


α

B A

C D

β

a) α - β = 90° b) β + α = 90°c) β - α = 270° d) α - β = 270°e) α + β = 270°

3. En el gráfico mostrado, hallar "x".

x α

a) 90° - α b) 90° + α c) 180° - αd) 180° + α e) α - 90°

4. Del gráfico mostrado, hallar "x".

120g

(5x + 18)°

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

5. Calcular:

rad15

930A

g

π°+

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?

a) 35° b) 36° c) 37°d) 38° e) 39°

7. Hallar:

'331

'63M

°

°=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Siendo "x", "y" "z" números enteros, que cumplen la

igualdad: rad17π

= x° y' z"; obtener: 3 zyxQ −+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Si:21π

rad = a° "c1'b3

Calcular:ca

bR

−=

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10.Si un ángulo se expresa como °ab y también como

;0)1a(g

+ calcular: a + b

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 8

Bloque II


120°

αθ

a) θ - α = 360° b) θ - α = 240°c) θ + α = 360° d) θ + α = 240°e) - θ = 240°

Problemas para la clase


α

β

a) β - α = 270° b) α - β = 270°c) β + α = 270° d) β - α = 180°e) α - β = 90°

3. En el gráfico mostrado, hallar "x".

C

B

A

αx

β

a) 270° - α + β b) α + β - 270°c) β - α - 270° d) α - β - 270°e) 270° + α - β

4. En la figura, hallar "x"

π7x + 1

x°

rad

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular:

rad2

5440K

g

π°+

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden80g y 70°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?

a) 35° b) 36° c) 37°d) 38° e) 39°

7. Hallar:

'191

'165M

°

°=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. S i e n d o " x " , " y " "z" números enteros los cuales cumplenla igualdad:

rad7

π= x°y'z" ; obtener: 7zyQ ++=

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

9. Si: "c4'0ba1rad13

°=π

Calcular: bca

R−

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Un ángulo se expresa como°

ab y también como

g

04b

. Calcular: a + b

a) 7 b) 9 c) 11d) 6 e) 8

Bloque III

1. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A

a) 32 b) 33 c) 48d) 47 e) 40

2. Un mismo ángulo es medido por dos personas: Marcos

encontró

o

2

1x7

−y Luis encontró .rad

360

1x2π

+ Halle

dicho ángulo en minutos centesimales.

a) 70 b) 80 c) 90d) 100 e) 10

3. Se ha creado un nuevo sistema tal que 50 grados "y"equivalen a un ángulo recto. ¿A cuántos minutos ysegundos en el sistema sexagesimal equivalen 28,125grados "y"?

a) 50°37'30" b) 50°39'15"c) 50°40'17" d) 51°37'45"e) 50°11'14"

4. Un ángulo mide45

k2 π radianes. Calcule el ángulo en

grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento dedicho ángulo es 4k grados centesimales.

a) 160° b) 60° c) 70°d) 144° e) 172°

5. Siendo m° y ng ángulos suplementarios quienes seencuentran en la relación de dos a tres respectivamente.Calcule el valor de:

7m3

n4E −+=

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

6. Siendo:α = (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g

Además: α + β = 3πrad. Hallar "β" en radianes.

a) 1,79πrad b) 1,80π c) 1,81πd) 1,82π e) 1,83π

7. Hallar el menor valor positivo de "a", si verifica:

0nym;'n9

nm

'm10

nma

ggg

>

°++

+°=

°

a) 21°48' b) 22°48' c) 20°48'd) 23°48' e) 24°48'

8. Hallar "x", a partir de la siguiente condición:°

=

°= ∑ )

'n

'nn(x

27

1n

g

a) 1800° b) 1810° c) 1820°d) 1830° e) 1840°

9. Siendo: x = 1°2' + 2°3' + 3°4' + 4°5' + ...

Calcule el mayor valor de "x", si es menor que: rad3

2π

a) 106°59' b) 107°59' c) 108°59'd) 109°59' e) 110°59'

10.Hallar la medida de tres ángulos en radianes, si la suma delos números de grados sexagesimales de los dos primeroses 36, la suma de los dos números de radianes del segundo

y tercero es40

7π y la suma del número de grados

centesimales del primero y tercero es 25. (indicar el mayor)

a) rad15

πb)

15

2πc)

30

4π

d)40

5πe)

40

π

La pervivencia del sistema sexagesimal

Reconozco mi vieja perplejidad ante el hecho de que eltiempo y los ángulos se midan por un arcaico sistemasexagesimal, y máxime cuando es consubstancial a materiasque van desde el electromagnetismo a la mecánica cuántica.Precisamente por conocer que este sistema proviene de lacuna de nuestra civilización, Mesopotamia, no entendíacómo no lo había desplazado el sistema decimal, irradiadoen el mundo por los revolucionarios franceses tras el triunfode la Ilustración. Puesto que ahora creo poseer algunasrespuestas, me parece procedente comunicarlas.

La primera referencia literaria al día, noche, mes y año,provienen del poema Gilgamesh, escrito en caracterescuneiformes y que narra las míticas aventuras de estepríncipe de la ciudad sumeria de Uruk, que vivió sobre elaño 2750 a. de C. La escritura la habían inventado lossumerios sobre el 3300 a. de C. Posteriormente, en la Bibliahay además referencias a la semana y a la hora, yconocemos que los babilonios ya dividían el arco en gradosy minutos.

Hay que pensar que la medición de los ángulos y deltiempo en el mismo sistema sexagesimal proviene de unproceso convergente en el que la observación astronómica,en la que los primitivos pueblos agrícolas eran maestros,ocupa un lugar destacado, tal y como nos muestran lasreliquias megalíticas supervivientes de esos pueblos, comolas de Stonhengen en Inglaterra, empezado a construir hace5000 años, las pirámides egipcias, mayas y aztecas o elintihuatana inca de Machu Picchu.

En primer lugar, hay que destacar la razón de ser deestas construcciones en su aplicación de calendarios, yaque un pueblo agrícola sin escritura necesitó conocer conexactitud la duración del año y de las estaciones, al objetode prever labores tan vitales como la siembra y larecolección, lo cual no es difícil comprobando, al observarel Sol, que en los equinoccios el día tiene una duraciónigual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo ydel 22 al 23 de septiembre), mientras que en los solsticios,las duraciones del día son máximas respecto a las de lanoche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas(21 al 22 de diciembre). La duración exacta del día y de sunoche podía observarse por la posición de las estrellas enel firmamento, pues hay un momento en la noche en elque las estrellas ocupan el mismo lugar a lo largo de todoel año, o día sideral, cuya duración es de 23 horas y 56minutos; y para conocer los espacios del día, los sumeriosempleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del gnomon, obarra clavada en el suelo.

Al observar la Luna, resulta evidente comprobar quecada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días),existe luna llena. A este período lo llamaron mes. Un añocomprendía 12 períodos de lunas llenas o meses, por loque su duración era de 360 días. Aunque en realidad era

Opinión

algo más de 365 días, había cuatro días al año en los quereajustar el calendario, por lo que el error estaba siemprebajo control. El hecho de que los calendarios megalíticosprevean hasta la determinación exacta de la fecha de loseclipses, mucho más de lo necesario para determinar losciclos estacionales agrícolas, es debido a que al ligar lareligión y los dioses a los astros, los sacerdotes debíanconocer cuándo se ocultaban o manifestaban a los mortales,y cuál era el superior.

El problema a determinar es por qué los sumerios, quepartían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados,dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos,cuya respuesta exige remontarse a una época ágrafa en laque se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo lossistemas decimales, sino los de base duodecimal y los debase sexagesimal.

Hoy en día, existen artículos que en occidente se compranpor docenas, tales como los huevos o las ostras. GeorgesIfrah al observar a pueblos actuales que aún cuentan conlas falanges de los dedos de una mano en Egipto, Siria,Irak, Afganistán, Pakistán y algunas regiones de la India,mantiene la siguiente tesis: Si extendemos la palma de lamano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una delas tres falanges de los dedos meñique anular corazón eíndice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugarde las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos.Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la manoizquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar lacuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos tenemos laposibilidad de designar biunívocamente hasta 60 objetoscon sólo señalar los dedos correspondientes de la manoizquierda, y la falange determinada de un dedo de la manoderecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedanestablecidas.

Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculode 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 gradoscada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astroseran parte de su mística y sistema de medir el tiempo. Eranormal que el día lo dividieran en 12 horas, yposteriormente, en 24 (12 para el día y 12 para la noche).Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, la segundabase prestó su apoyo, por lo que se estableció en 60minutos, mensurables desde el año 2000 a. de C. gracias ala existencia de los relojes de arena y de agua.

La necesidad de medir segundos fue muy posterior, puesla trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. conHiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China unreloj astronómico con un error de 100 segundos por día.En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sóloanuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa elreloj de péndulo en el que se marca el segundo. No obstante,el reloj naútico de precisión para determinar la posicióndel buque no es operativo hasta 1680. Supongo que paralos sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas,el hecho de que la división sexagesimal del minuto casicoincida con la frecuencia del latido del corazón humano,les confirmaría en la validez de un sistema en el que lasapariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol,Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relacióncon el destino de la humanidad (astrología del zodíaco),con la vida del individuo y con las épocas de recolección ycultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico.De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaicosistema sexagesimal para medir el tiempo y las posicionesangulares, no sólo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia(hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal) y en eluso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambiosculturales.


R. T. de un ángulo agudo

Capítulo II

• DefiniciónSon los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto

a uno de sus ángulos agudos.Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:

seno de : sen =θ θcateto opuesto

hipotenusa

tangente de : tan =θ θcateto opuesto

cateto adyacente

secante de : sec =θ θhipotenusa

cateto adyacente

coseno de : cos =θ θcateto adyacente

hipotenusa

cotangente de : cot =θ θcateto adyacente

cateto opuesto

cosecante de : csc =θ θhipotenusa

cateto opuesto

Por ejemplo, de la siguiente figura:

A

C

B

b

c

a

θ

entonces:

b = a + c22 2

sen =θ ab

cos =θ cb

tan =θ ac

cot =θ ca

sec =θ bc

csc =θ ba

(Teorema de Pitágoras)θ α + = 90º

α

1. En un triángulo ABC (B = 90°);reducir: L = senA.cscA + cosA.secA

Resolución:

Graficando tenemos:

A

B C

cb

a

L = ab

. ba

cb

bc

→ L = 2+ .

Problemas resueltos 2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden13cm y 12cm. Calcular el coseno del mayor ánguloagudo.

Resolución:

Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, porlo tanto se puede graficar:

C

BA

13 x

12

β

α

i)

ii)

Pitágoras: 13 = 12 + x

169 = 144 + x x = 5

2 2 2

2

A menor lado se opone el menorángulo y viceversa, por lo tantoel mayor ángulo agudo es " "β

→

nos piden entonces: cos =β 513

3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble delotro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo.

Resolución:Graficando y respetando la condición:

C

BA

x a

2a

β

α

i)

ii)

iii)

Por Pitágoras: x = (a) + (2a)

x = a + 4a x = 5a x = 5a

2 2 2

2 2 2 2 2→ →

Mayor ángulo agudo " "β

Por lo tanto: sen = sen =→β β2a

a 5

2

5

4. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos =3

2;

determinar "sen ".

Resolución:Interpretando la condición:

cos =θ 23

C.A.H

=

∴ C.A. = 2a H = 3a, entonces llevando a un triángulorectángulo.

C

BA

3a x

2aθ

i)

ii)

Por Pitágoras: (3a) = (2a) + x

9a = 4a + x x = 5a x = 5 a

2 2 2

2 2 2 2 2

sen =θ

→

C.O.H

sen =θ→ 5a3a

sen =θ 53

→

5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de lados"a", "b" y "c", se cumple que:

8senCAsec

CtanAtan=

−

+, reducir: K = [cot2A + 2senA]cosC

Resolución:Interpretando la condición en función de los lados deltriángulo rectángulo.

A

C

Bc

ab

i)

ii)

reemplazando:

efectuando operaciones:

ac

ca+

bc

cb-

= 8

(a + c )bcac (b - c )

22

2 2 = 8

iii) Utilizando Pitágoras: a2 + c2 = b2 b2 - c2 = a2,entonces queda:

b .bcac.a2

2

= 8 ba

3

3 = 8 ba

21

=→

Comparando: b = 2n, a = n reemplazando en eltriángulo rectángulo inicial.

A

C

Bx

n2n

i)

ii)

Por Pitágoras: (2n) = (n) + x22 2

Reemplazando en "K":

3 n

4n = n + x 3n = x x = 3n→2 2 2 2 2

K = [cot A + 2senA]2 cosC

→

3nn

+ 2 n2n

22 n/2n

K = [( 3) + 2( )] K = 21/22 12

=

→

6. Del gráfico mostrado; calcular: L = tanα.tan

A B

C

Mα

θ

Resolución:Del gráfico, sea: BC = n AM = MB = m

A B

C

Mα

θ

m

n

m

i)

ii)

iii)

MBC : tan =θ mn

ABC : tan =α n2m

Reemplazando en "L":

L = L =n2m

mn

12→

7. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferenciade las medidas de la hipotenusa con uno de los catetoses 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangentedel mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

Resolución:Sea (a > b)

i)

ii)

iii)

A

C B

cb

a

θ

c - a = 8 a = c - 8→

c - b = 9 b = c - 9→

además:a + b = c2 2 2}

Reemplazando:

(c - 8) + (c - 9) = c c - 34c + 145 = 0→2 2 2 2

Factorizando:

c - 34c + 145 = 02

cc

-29-5

(c - 29) (c - 5) = 0 c = 29 a = 21→ ∧por lo tanto: b = 20

Entonces: tan =20

21

8. Calcular: tan2

θ

θ

5m + 2

A

C

B4m + 3

3m - 1

Resolución:

: (5m + 2) = (3m - 1) + (4m + 3)22 2

Efectuando:25m + 20m + 4 = 9m - 6m + 1 + 16m + 24m + 92 2 2

→ 2m = 6 m = 3

ABC

→

Entonces, la figura queda:

Q

C

BA17 15

17

θ/2 θ

8

tan = =θ2

832

14

9. En un cuadrado ABCD, se traza CFyBE ("E" en CD y"F" en );AD tal que: FD = 3AF y CE = ED, si: ∠ BEC = αy ∠ CFD = β; calcular: J = 2cotα + 3tanβ

Resolución:

A B

CD E

Fa

2aα

4aβ

3a

i)

ii)

iii)

2a

Como: CE = ED "E" : punto medio⇒

Además: FD = 3AF AF = a FD = 3a∧⇒

Reemplazando en "J":

J = 2 + 3 4a3a

2a4a

J = 5

10.En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "M", "N" y

"P" en AByAD,BC respectivamente, tal que:

2

ND

3

BP

4

MCAPBM ====

Si: ∠ PCD = α ∧ ∠ MNA = β, calcular: J = tanα + tanβ

Resolución:

i)

ii)

iii)

Interpretando el gráfico:

B C

DA

P Q

4a

3a

aR 2a2a

M

3a

aa

aα

β

BM = AP = = = a

BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a

Reemplazando:

J = + ; J = + 2 J =→

MC4

ND2

5a3a

4a2a

53

113

BP3

=

N

Bloque I

1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 1 y3 . Determinar la suma de los senos de sus ángulos

agudos.

a)2

13 +b)

2

1c)

2

3

d)2

13 −e) 3

2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 3y .2 Determinar la suma de los cosenos de susángulos agudos.

a) 1 b)3

27 −c)

3

7

d)3

72 +e)

3

2

3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble delotro. Calcular la secante del menor ángulo agudo.

a) 2 b)2

3c) 3

d)2

5e) 5

4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el triple deuno de sus catetos. Determinar la cotangente de sumenor ángulo agudo.

a) 1 b) 2 c) 2 2

d) 10 e) 2 10

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir:R = senB.senC.tanB.a2

a) a2 b) b2 c) c2

d) ab e) bc

6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir:S = tanA.tanC + senA.secC + cosA.cscC

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir:Q = cos2A + cos2C + csc2A - tan2C

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) -1

8. Siendo: senα =5

2; "α" es agudo, calcule "cotα"

a)15

29b)

25

29c)

23

21

d)2

21e)

5

21

9. Siendo: tanα =12

5; "α" es agudo, calcule "senα"

a)13

5b)

13

12c)

5

4

d)5

3e)

2

1

10.En un triángulo rectángulo, el seno de uno de susángulos agudos es el triple del seno del otro ánguloagudo. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo.

a)2

1b)

3

22c)

3

2


d)10

10e)

10

103

Bloque II

1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 5y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulosagudos.

a)61

10b)

61

11c)

61

14

d)61

16e)

61

17

2. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y2. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulosagudos.

a)3

2b)

3

132 +c)

3

53 +

d)3

25 +e)

3

133 +

3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple delotro cateto. Calcular la cosecante de su menor ánguloagudo.

a) 10 b)3

10c) 22

d)3

22e)

3

2

4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doblede uno de los catetos. Determinar la cotangente de sumenor ángulo agudo.

a)2

1b) 3 c)

3

3

d) 2 e)3

2

5. En un triángulo rectángulo, recto en "A", reducir:S = cosC.cotB.secB.b2

a) a2 b) b2 c) c2

d) ab e) bc

6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir:S = cotA.cotC + cosC.cscA + senA.secC

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°),reducir: Q = sec2A - cot2C + sen2A + sen2C

a) 1 b) -1 c) 2d) 0 e) -2

8. Siendo:4

3cos =α , "α" es agudo, calcule "cotα".

a)3

1b)

4

3c)

7

73

d)3

7e)

3

4

9. Siendo:15

8tan =α , "α" es agudo, calcular "cscα".

a)15

17b)

8

15c)

8

17

d)12

17e)

7

2

10.En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de susángulos agudos es el doble del coseno del otro ánguloagudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.

a)5

5b)

5

52c)

2

3

d)2

33e)

5

2

Bloque III

1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la

m e d i a n a AN ("N" en )BC , tal que: CAB = y ANB = .

Calcular: K = tan .tan

a) 1 b) 2 c) 4

d)21

e)41

2. En un cuadrado ABCD se traza AE ("E" en )BC , talque: BAE = y EDC = . Calcular: K = tan + tan

a) 1 b) 2 c) 4

∧ ∧

∧ ∧

d)21

e) 8

3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tan ".

B

A D

CM

N

θ

a)21

b)32

c)43

d)52

e)61

4. Del gráfico, hallar: tan

A

B

C

M

N

m

n

φ

a)mnmn

+−

b)mnmn

−+

c)mnmn2

+−

d)mnmn

+−

e)mn2mn2

+−

5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se tienecomo datos: el lado "a" y la diferencia "m" entre lahipotenusa y el otro lado. Calcular "senC".

a) 22

22

ma

ma

+

−b) 22 ma

am2

+

c) 22 ma

am2

− d) ma

ma

−

+

e) ma

ma

+

−

6. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verificaque:

,5

7

ba

ba=

−

+ hallar: senA + senB.

a)7

37b)

37

375c)

37

377

d)37

1e)

37

5

7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se verifica:

AcotBcosc

b2a−=

−. Calcular "cscA"

a)3

32b) 2 c)

2

1

d) 2 e) 32

8. S i : A B = B C , c a l c u l a r : Q = c o t α - cscφ

0

A

B

C

5

3αβ

a) 2 b)2

2c) - 2

d) -2

2e) 1

9. Si " " es un ángulo agudo, tal que:51

cos =θ

Calcular: K = tan .tan2θ

+3

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente conradios "R" y "r" (R > r). Calcular el cuadrado de la cotangentedel ángulo formado por la recta tangente a ambascircunferencias y la recta que une los centros.

a) 2)rR(

Rr4

− b) 2)rR(

Rr4

+

c) 2)rR(

Rr2

− d) 2)rR(

Rr2

+

e) 2)rR(

Rr

−


Capítulo III• Triángulos rectángulos notables

Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendolas medidas de sus ángulos agudos, se puede saber laproporción existente entre sus lados. Van a destacarlos siguientes triángulos:

a. De 30° y 60°

C

A 30°

a2a

a 3B

60°

Ejemplos:

484

4 3 230° 30°

60° 60°3 2

3

b. De 45° y 45°

45°

C

BA a

aa 2

45°

Triángulos rectángulos de ángulos no-tables y propiedades de las razones

trigonométricas de los ángulos agudos

Ejemplos:

A A

C C

B B

3 53 2 5

345° 45°

45° 45°

2

52

c. De 37° y 53°

37°

C

BA4a

3a5a

53°

Ejemplos:

24 2837° 37°

53°30 3518 21

C C

B BA A

• Razones trigonométricas de ángulos notables (30°; 45°; 60°)

seno

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

30° 45° 60° 37° 53°

12

23

33

3

332

2

22

22

1

1

2

2

23

12

3

33

2

332

35

45

34

43

54

53

45

35

43

34

53

54

Observación:Una forma práctica para calcular las razones

trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es lasiguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en "C"). Siqueremos las razones trigonométricas de (A/2) entoncesprolongamos el cateto CA hasta un punto "D" tal que:AD = AB luego el triángulo DAB es isósceles, BDA = A/2.

D A

B

C

a

bcA/2

A/2

c

A

Por lo tanto:a

bc

2

Acot

+=

entonces:

AcotAcsc2

Acot

a

b

a

c

2

Acot +=→+=

análogamente:

AcotAcsc2

Atan

a

bc

bc

a

2

Atan −=→

−=

+=

consecuencia de lo concluido es:

24a 7a16° 8°

74° 82°25a 5 2a7a a

C C

B BA A

2a 3a53°/2 37°/2

5 a 10 aa a

C C

B BA A

• Propiedades de las razones trigonomé- tricas de ángulos agudos

* Razones trigonométricas recíprocas

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

sen =α

cos =α

tan =α

cot =α

sec =α

csc =α

abcbaccabcba

C

BA

b a

cα

111

sen.csc = 1

Ejemplos:

sen10°.csc10° = 1 ; sen20°.csc20° = 1; sen25°.csc25° = 1

s e n α.csc40° = 1 → α = 40°; sen50°.csc5α = 1 → α = 10°

tan.cot = 1

Ejemplos:

tan25°.cot25° = 1; tan15°.cot15° = 1; tan35°.cot35° = 1

tanα.cot50° = 1 → α = 50°; tan40°.cot8α = 1 → α = 5°

cos.sec = 1

Ejemplos:

cos5°.sec5° = 1; cos23°.sec23° = 1; cos17°.sec17° = 1

cos35°.sec7α = 1 → α = 5°; cos7α.sec70° = 1 → α = 10°

* Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Cualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual ala co-razón trigonométrica del ángulo complementario,si "a" es un ángulo agudo, entonces:

R.T.( ) = Co-R.T. (complemento de " ")

Ejemplos:

i) sen20° = cos70° ii) sen3

π = cos

6

π

iii) secθ = csc

θ−

π

2 iv) cos40° = sen50°

v) tan5

π = cot

10

3πvi) csc(90° - φ) = secφ

vii) tan10° = cot80° viii) csc8

π = sec

8

3π

ix) cotα = tan(90° - α)

)90csc(sec)90cot(tan)90cos(sen

α−°=αα−°=αα−°=α

1. Calcular: Q = sen230° + tan37°

Resolución:Reemplazando valores en la expresión:

1Q4

3

4

1Q

4

3

2

1Q

2

=∴→+=⇒+

=

2. Evaluar:

°

°+°=

30csc

60cos45senA

2

Resolución:Reemplazando valores en la expresión:

2

1A

22

1

2

1

A2

2

1

2

2

A

2

=∴→+

=→

+

=

3. Hallar: L = (sec53° + tan53°)cos60°

Resolución:Reemplazando valores:

2

3L

2

1

3

9L

2

1.

3

4

3

5L =∴→

=→

+=

4. Hallar: T = (tan260° + 5sen37°)sen30°

Resolución:Reemplazando valores:

( ) ( ) 3T21

33T21

.53

53T2

=∴→+=→

+=

5. En la figura adjunta, se sabe que:AB = 18m, CAD = 15° y el CBD = 30°, calcular lalongitud "CD".

D

CBA

15° 30°18 m

Resolución:Podemos observar que el ADB resulta: 15°, luego eltriángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto:BD = AB = 18m, en el triángulo BCD, se tiene:

Problemas resueltosm9CD

21

1821

.BDCD,30senBDCD

=∴→

==°=

D

CBA

15° 30°18

18915°

6. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 12m, CAD = 30°y el CBD = 45°. Calcular la longitud "CD".

D

CBA

Resolución:

D

CBA

30° 45°x12

x

Como en el BCD es isósceles: BC = DC = x

En el ACD; por definición:

cot30° = ACDC 3 = 12 + x

xx = 16,4 m→ →

7. Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radiosson "r" y "3r" respectivamente. Calcular el ángulo que formala recta que pasa por los centros de ambos círculos con unade las tangentes exteriores a ambos círculos.

Resolución:

3r

C

B

A

Q2r

3r01 02

r

r

rα

α

Se traza: 0 Q // AC,2 en el 0 Q02 1

sen =α 0 Q10 01 2

= 2r4r

sen =α 12

α = 30°→

8. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito en unacircunferencia, si "M" es el punto medio del arco AC y "N" elpunto medio del lado BC. Determinar el seno y tangente delángulo MNC.

Resolución:

B

A

M

CNθ

* Unimos los puntos "M" y "C", obteniendo el triángulo rectángulo MCN.

Sea: MNC =∠ θ

Luego: sen = tan =θ ∧ θMCMN

MCNC

De la geometría: MC = = R6 NC =32

= R 32

MN = MC + NC = R + =2 2 2 3R4

2R 72

Entonces:

sen = =θR R2 7

72 33R 7

2R 32

tan =θ⇒ =

⇒

9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanx".

B CF

E

DA

x37°

Resolución:

i)

ii)

iii)

iv)

ADE notable de 37° y 53°, entonces:AD = 16a ED = 12a∧

Por ser un cuadrado: AD = CD, entoncesEC = 4a

FCE notable de 37° y 53°, entonces:

CE = 4a, CF = 3a, entonces: BF = 13a

ABF: tanx = tanx =→ 13a16a

1316

:

10.En el gráfico mostrado, hallar "tanθ"

A

B

C

8 6

θ

135

Resolución:

A

B

C

13526

θ

45

Q

AQC: tan = tan =θ → θ28

14

2 2

2

11.Reducir:

°°°

°°°=

40cos.65sen.20csc

50sen.25cos.70secQ

Resolución:Aplicando razones trigonométricas de ánguloscomplementarios.

i) sec70° = csc20°ii) cos25° = sen65°iii) sen50° = cos40°

Por lo tanto:

1Q

sen50cos40.

cos25sen65.

sec70csc20

sen50.cos25.sec70Q =∴⇒

°°

°°

°°

°°°=

12.Reducir:

5

2tan.

24sen.

8sec

24

11cos.

8

3csc.

10cot

Aπππ

πππ

=

Resolución:

Por razones trigonométricas de ángulos comple-mentarios.

i) sec8

π = csc

8

3π ii) sen

24

π = cos

24

11π

iii) tan5

2π = cot

10

π

Por lo tanto:

1A

10cot

52tan.

2411cos

24sen.

83csc

8sec

2411cos.

83csc.

10cot

A =∴⇒=

πππ

πππ

πππ

13.Si:α = 15°, calcular: Q = senα.sen2α.sen3α.sen4α.sec5α

Resolución:

Q = sen15°.sen30°.sen45°.sen60°.sec75°

°

°

°=

15csc

75sec2

3

2

2

2

115senQ → ∴

8

6Q =

14.Si: secα = csc2φ.

Hallar: R = tan

φ+

α

2 + sec(330° - 3α - 6φ)

Resolución:

i) secα = csc2φ → α + 2φ = 90°

])2(3330[sec2

2tanR φ+α−°+

φ+α=

)]90(3330sec[2

90tanR °−°+

°=

R = tan45° + sec60° ∴ R = 3

15.Si: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°), "α" y " " son ángulosagudos

Calcular:)120tan()85(cot

2cot

4tan

A°−θ+α+°−θ+α

θ+α+

θ+α

=

Resolución:

sen(α - 20°) = cos(θ - 30°) → α - 20° + θ - 30° = 90° ∴ α + θ = 140°

Reemplazando:

)120140tan()85140cot(

2

140cot

4

140tan

A°−°+°−°

°+

°

=

1A70cot35tan70cot35tan

A20tan55cot70cot35tan

A =∴→°+°°+°

=→°+°°+°

=

16.Calcular el valor de la cotangente de "2

α" sabiendo que:

tanα = x57

x23

−

−; tanθ = ,

1x4

2x10

−

−

siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.

Resolución:

Como "α" y "θ" son ángulos complementarios tan = cotθ

)1x4)(x57()2x10)(x23(2x101x4

x57x23

−−=−−→−−

=−−

,

simplificando: x = -1

Entonces:

tan =α 3 - 2(-1)7 - 5(-1)

tan =α 512→

5

12

13

α

Luego:

α+α=α

cotcsc2

tan ;

52

tan5

12

5

13

2tan =

α∴→+=

α

17.Si: α = 7°30'Calcular:

α

α+

α

α+

α

α+

α

α+

α

α=

7cos

5sen

8sen

4cos

9cos

3sen

10sen

2cos

11cos

senR

Resolución:

Dato: α = 7°30' = 7,5°; reemplazando en "R":

°°

+°°

+°°

+°°

+°

°=

5,52cos5,37sen

60sen30cos

5,67cos5,22sen

75sen15cos

5,82cos5,7sen

R

i) sen7,5° = cos82,5°ii) sen22,5° = cos67,5°iii) sen37,5° = cos52,5°iv) cos15° = sen75°v) cos30° = sen60°

complemento

Reemplazando:

5R5,37sen5,37sen

30cos30cos

5,22sen5,22sen

15cos15cos

5,7sen5,7sen

R

=∴→°°

+°°

+°°

+°°

+°°

=

18.Si:Q = tan1° - cot1° + tan2° - cot2° + .... + tan89° - cot89°R = tan1° . tan2° . tan3° . .... . tan88° . tan89°S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + ... + sen89° - cos89°Hallar: M = Q + R + S

Resolución:

Q = tan1° + tan2° + tan3° + ... + tan89° -(cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°)

)89cot88cot87cot...3cot2cot1(cot

89tan88tan87tan...3tan2tan1tanQ

1tan2tan3tan

1cot2cot3cot

°°°

°°°

°+°+°++°+°+°−

°+°+°+°+°+°=

∴ Q = 0

°°°

°°°°°°=1cot2cot3cot

89tan.88tan.87tan....3tan.2tan.1tanR

∴ R = 1

S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + .... + sen89° - cos89°

S = sen1°+sen2°+ sen3°+... sen87° + sen88° + sen89° -

)89cos88cos87cos...3cos2cos1cos(1sen2sen3sen87sen88sen89sen

°°°°°°

°+°+°++°+°+°

Por lo tanto: S = 0 ; entonces:

1MSRQM010

=→++=

19.Siendo "α" y "θ" los menores ángulos positivos queverifican las relaciones:senα.sec(3α + θ) = 1 .... (I) tanθ . tan(2α + θ) = 1 ...... (II)Determinar el valor de: M = 2sen(4α - θ) + tan(2θ - α)

Resolución:

Como:

sen .sec(3 + ) = 1 sen = )3sec(1

θ+αsen = cos(3 + )

∴ α + 3α + θ = 90° → 4α + θ = 90° ...... (1)

Además:

)2cot(tan)2tan(

1tan1)2tan(.tan

θ+α=θ→θ+α

=θ→=θ+αθ

∴ θ + 2α + θ = 90° → 2α + 2θ = 90° ..... (2)

De (1) y (2): α = 15° θ = 30°Por lo tanto:M = 2 s e n ( 4 x 15° - 30°) + tan (2 x 30° - 15°)

M = 2sen30° + tan45° ∴ M = 2

20.Si: sen(x + senx) = cos(y + cosy)Calcular:

)ycossenxcsc(.)yxcos()yxcot(

)ycossenxtan()ycossenxcos(

)yx(senA

+++++

+++

=

Resolución:Del dato:

sen(x + senx) = cos(y + cosy) ⇒ x + senx + y + cosy =2

π

Ordenando:

22ycossenxyx

π=θ+α⇒

π=+++

θα

i) senα = cosθ ; ii) tanθ = cotαiii) cscθ = secα

Reemplazando en "A":

α

θα+α

θ+

θ

α=

sec

csc.coscot

tan

cos

senA

Por lo tanto: A = 3

Bloque I

1. Calcular "x" en la igualdad:

xsen30° + sec260° = 4xtan45° + tan445°

a)5

1b)

5

2c)

5

3

d)5

4e)

5

6

2. Sabiendo que " " es agudo y ademástanα = sen45°. Calcular:A = 4sec2α + sen2α

a)2

17b)

2

19c)

2

21

d)2

23e)

2

25


3. Del gráfico mostrado, calcular "tanα".

A B

C

D37°

α

a)3

1b)

3

2c) 1

d)3

4e)

3

5

4. Del gráfico, calcular "tanθ"

A

B

C

10

21θ53°

a)7

3b)

8

3c)

7

8

d)15

8e)

15

7

5. Calcular "tan " del gráfico:

4

3

θ

A

B

M

C

a)4

3b)

6

5c)

4

5

d)2

1e)

8

1

6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que:∠ A = 30°. Trazamos CM ("M" en )AB tal que: AM = 2MB..Si: ∠ CMB = , calcular "tan "

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

7. En un cuadrado ABCD, se traza ,AN ("N" en )CD tal que:

∠BAN = 53°. Si: ∠NMD = α, ("M" punto medio de )AD ,calcular "tanα".

a)2

1b) 2 c)

2

3

d) 1 e)3

2

8. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia de

centro "O" se traza la tangente ,PT tal que: OPT = 53°.

Calcular "tan ∠ OMT", si "M" es el punto medio de .PT

a)3

8b)

3

7c) 2

d)3

5e)

3

4

9. Del gráfico, calcular "tan ", si el triángulo ABC esequilátero.

A

B

D

C

2

5θ

a)23

b)33

c)43

d)53

e)63

10.Del gráfico, calcular: θα

tantan

; si los triángulos ABC y CDE

son equiláteros; además: AB = 4CD.

A

B

C

D

E

MN

θα

a)193

b)163

c)194

d)154

e)1312

Bloque II

1. Si: tan3x.cot(x + 20°) = 1Calcular: K = tan6x.tan(4x + 5°)

a) 2 b) 3 c)33

d) 3 e) 1

2. Si: sen4x.csc(x + 45°) = 1tan3x.cot2y = 1

Calcular: M = sen(x + y - 10°) cot (y - x)

a) 1 b) 2 c) 3d) 2,5 e) 3,5

3. Si: sen3x = cos2xCalcular: K = 4tan(2x + 1°) + 3tan(3x - 1°)

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Si: tan7x = cot(2x + 9°)sen4x.csc3y = 1

Calcular: K = cos5x.cot4y.cot(4x + 6°)

a) 1 b) 2 c) 3

d)23

e)21

5. Calcular "x", si:sen(2x+10°).sen(50°-x)=cos(x+5°).cos(40°+x)

a) 15° b) 10° c) 5°d) 20° e) 25°

6. Si: sen(x + y - 20°) . csc(70° - z) = 1Calcular:

xcsc

)zysec(

zcot

)yxtan(D

++

+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Sabiendo que:sen(2a+b).sec(12°-2c)=cos(a-2b).csc(78°+2c)Calcular: M = tan(2a + b + c). tan(a - 2b + c)

a) 1 b) 2 c)2

1

d) 3 e)3

1

8. Si: sen(40° - x) = tan(20°+α).cos(50° + x)

Obtener:

)10xcot(

)50xtan().5x2sec(K

°−−α

°+α+°−=

a)2

2b) 2 c) 1

d) 2 e) 3

9. Calcular el valor de cotangente de "2

α" sabiendo que:

2x

1xtan

2x

1xtan

+

+=θ∧

−

+=α

siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.

a) 103 − b) 103 + c) 223 +

d) 223 − e)3

2

10.Siendo: sen(40° - x) . sec(5x + 10°) = 1

Calcular: )kxtan(E8

1k∏=

=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 e) F.D.

Bloque III

1. Siendo "0" y "01" centros. Hallar "tan "

A

B0

01

θ

a)3

1b)

2

1c)

2

2

d) 2 e) 22

2. Siendo "0" centro y "P" punto medio de ,MN hallar "tanθ".

A

B0

θ

M NP

a)2

1b)

4

3c) 1

d)2

3e)

2

5

3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro,o b t e n e r e l v a l o r d e " t a n θ".

A

B0

θ

30°

N

a) 33 + b) 26 + c) 63 +

d) 263 + e) 32 −

4. Del gráfico mostrado, hallar "AD", si:MB = MC = 2 y AB = 2

C

DM

BA 30°

a) 26 + b) 26 + c) 36 +

d) 32 + e) 132 +

5. Del gráfico mostrado, calcular "tan ", si:AP = 8 2 y BC = 3.

A

P

B

CH

45° θ

37°/2

a)5

1b)

4

1c)

3

1

d)2

1e)

6

1

6. Si: sen2α.csc(θ + 30°) = 1tan(θ - φ) . tan(φ + α) = 1

Evaluar: A = sen(θ-10°)secθ+tan(α+5°)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Si: tan3x.sen(35°+ ).sec(55°-α)=cot2xCalcular: B = cos(2x-6°).sen(x+12°)

a)8

3b)

4

3c)

3

3

d)2

3e) 1

8. Si:

π=

π

4

abcos

4

absen .... (I)

a = sen3θ . sen3α ............. (II)

b

1= cos3θ . cos3α ............. (III)

Hallar el valor de:

)(

)(senC

α+θ

α+θπ=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Calcular: tanx.tan(x-y).tan(30°-y), si se cumple que:

)30xtan(

)z30tan(

)z60tan(

)y60tan(

°−

−°=

−°

−°

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 e) 22

10.Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y)Calcular:

)yxtan(

]y3tanx3[tan]y3tanx3[tanE

22

+

−−+=

a)3

34b)

3

32c)

3

3

d) 32 e) 34


Repaso

Capítulo IV


Bloque I

1. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, se puedeverificar que:

β

α

a) α - β = 0° b) α + β = 0°c) α - β = 90° d) α + β = 90°e) α + β = -90°

2. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden120g y /3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercerángulo?

a) 12° b) 18° c) 16°d) 6° e) 8°

3. Del gráfico, calcular:y90xS °+=

5yg 3xº

a) 3 b) 2 c)32

d)23

e)65

4. En un triángulo rectángulo, un cateto es el cuádrupledel otro. Calcular el producto de las secantes de losángulos agudos del triángulo.

a)8

17b)

417

c)8

15

d)415

e)215

5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); señale elequivalente de:

AtancbsenCbsenACtana

K++

=

a)caba

++

b)baca

++

c)cbba

++

d)bacb

++

e) 1

6. Si " " es agudo, tal que: cos =61

; calcular:

K = tan cot2θ

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

7. Si " " es agudo, tal que: cscθ = tan60°; calcular el valorde: K = (cos2θ - sen2θ) (2sec2θ - 1)

a) 1 b)31

c)32

d)23

e) 3

8. Del gráfico; calcular "tan "

A

C

B53º5

7

θ

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

9. Del gráfico, determine el valor de "sen "

A D C

B

φ 37º

a) 0,24 b) 0,12 c) 0,48d) 0,96 e) 0,36

10.Siendo " " un ángulo agudo, tal que:

°°+°°°°

=θ70cot20cot280tan10tan3

40sec50sencos

Calcular: S = tan tan2θ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.Si:

θ

π=

θ

πcot

4costan

4sen ; señale un valor de:

S = tan2 + cot2

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

12.Si: tan5x.tan(30° - x) = 1; calcular:S = sec23x + sec24x

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Bloque II

1. De acuerdo al gráfico, se puede verificar que:

θ

α

a) + = 180° b) - = 180°c) - = 90° d) - = 90°e) + = 0°

2. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden(7n + 3)° y (8n + 2)g. ¿Cuál es la medida circular delángulo desigual?

a)2π

rad b)3π

c)4π

d)5π

e)6π

3. Del gráfico, calcular: y15x

S+

=

6xº

15yg

a) 1,5 b) 1,75 c) 2,5d) 2,25 e) 2,75

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruplede un cateto. Calcular el producto del coseno ycotangente del menor ángulo agudo de dicho triángulo.

a) 2,25 b) 3,25 c) 2,75d) 3,75 e) 4,15

5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar:

CcosAcoscb

S−

=

a) b b) a c) cd) a + c e) b - c

6. Si " " es agudo, tal que: cos =71

; calcular:

S = tan tan2θ

a) 1 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

7. Si " " es un ángulo agudo, tal que:sen = tan30°; calcular:

S = (2cos2 - 1) (csc2 + 1)

a)32

b)34

c) 2

d) 4 e) 6

8. Del gráfico, determine el valor de "cot "

A

CB

150º β4

7 3

a) 35,3 b) 33 c) 35,4

d) 34 e) 35,5

9. Siendo " " un ángulo agudo, tal que:sec = 7tan20°tan70° - 3sen40°sec50°

Calcular: S = tan cot2θ

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

10.Si: sen[(15tan )°] = cos[(15cot )°];señale un valor de: S = tan2 + cot2

a) 34 b) 36 c) 25d) 23 e) 21

11.Si: tanx.tany = 1; calcular:

+

+

+

=6

yxtan

3yx

tan2

yxtanS

a) 132 − b) 13 −

c) 1332 − d) 1

33

+

e) 13 +

Bloque III

1. Se tienen tres ángulos tales que al ser agrupados de ados; las sumas de estas parejas resultan ser iguales a

80g,32π

rad y 50°. ¿Cuál es la media aritmética de las

medidas de los tres ángulos?

a) 30°15' b) 20°30' c) 40°20'd) 40°30' e) 20°20'

2. Señale el valor de:

++°

∑=

=1)'(k1)'(kk6

1kS

a) 71 b) 72 c) 81d) 82 e) N.A.

3. En el cubo mostrado, calcular:S = 3cot2 + 1 (CM = MD)

B

A

B'

A'

C

C'

D

D'M

θ

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

4. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx.coty

B

A

E C

D

x y

37º

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 16

5. Si " " y " " son ángulos agudos y complementarios;además:

α+β=

β+α=

csc2sec3

ny3

cossen2m

entonces:

a) m = n b) m > n c) m < nd) m + n = 2 e) m - n = 2

6. Si: x + y = 90°; además:sen(senx + cosy) = cos(senx + cosy)Calcular: S = tan(2senx) + cot(2cosy)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6


Cálculo de lados - aplicación

Capítulo V

• Cálculo de lados:Es el procedimiento mediante el cual se determinan loslados desconocidos de un triángulo rectángulo, enfunción de un lado conocido y un ángulo agudo tambiénconocido. Vamos a distinguir tres casos:

A L B

C

θ θ

θ

A

L

B

C

A

L

B

C

*L

BC= tan BC = Ltan

*LAB

= cot AB = Lcot

*L

BC = sen BC = Lsen

*LAC

= sec AC = Lsec

*LAC

=csc AC = Lcsc

*LAB

=cos AB = Lcos

AL

B

C

θ θ

θ

A B

C

A B

C

Lsecθ

Ltanθ

Lcotθ

Lcosθ

Lsenθ

Lcscθ

L

L

Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que

dividir tienesqueloquieresquelo

: R.T.(ángulo conocido); y de esta

igualdad se despeja el lado desconocido.

* Área de un triángulo:El área de un triángulo cualquiera se puede calcularcomo el semiproducto de dos de sus lados, multiplicadospor el seno del ángulo que forman dichos lados.

A

B

C

a

b

cS

S = senA

S = senB

S = senC

bc2

ca2

ab2

1. Determinar "x".

A

B C

D

x

aθ

Resolución:

BDC : BD = asenθ

BAD : AB = asen cosθ θ

2. Hallar "x".

A

D C

Bx

a

αβ

Problemas resueltos

A

B C

D

x

aθ

θasenθ

Resolución:

A

D C

BH

a

αβ

atanα

acotβ atanα

i)

ii)

iii)

DCB : CD = atanα

DHA : AH = acotβ

AB = atan + acotα β

a

3. Hallar "x".

r

x

θ

Resolución:

r

x

θ

Q

0A B

C

Drcscθ

xcotθ

i)

ii)

iii)

AQO : AO = rcscθ

CBA : AB = xcotθ

xcot = rcsc + rθ θ

x = r(csc + 1)θcotθ

r

4. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudosm i d e " " y el cateto adyacente a este ángulo mide "m".¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Resolución:Graficando de acuerdo al problema:

C

A

Bmθ

ABC: AB = mtanθ

AC = msecθperímetro : m + mtan + msecθ θ

5. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "2n" ylos ángulos congruentes miden " ". Hallar la alturarelativa al lado desigual.

Resolución:

B

A C

h

n2n

βH

β

BHC : BH = ntanβ

h = ntanβ

n

6. En un rectángulo, las diagonales forman un ánguloagudo "2 " y miden "L". ¿Cuál es el perímetro delrectángulo?

Resolución:

B

A

C

D

L/2

cosβ

ββ L

2

2β

L/2

L/2L/20

β

OQC: QC = senβL2

OQ = cosβL2

perímetro:

2L(sen + cos )β β

senβ

senβ

L2

L2

Q

Lcosβ

→ ∧ βCD = Lsen AD = Lcosβ

7. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9AB.Hallar "tan + cot "

P

R

A B

QD C

α

Resolución:

P

R

A B

QD C

α

a

9a

aa a

α

α

i)

ii)

BCQ : CQ = acotα

ADP : PD = atanαcomo: PQ = 9AB

→ atan + a + acot = 9aα α

tan + cot = 8α α

8. Hallar "tan ", si: AB = DE

D

C

BEA37°

θ

Resolución:

D

C

BEA 37°

θ

4atanθ 5atanθ

3atanθ

5a 3a

4a

F

37°

DE = 4atan + 3a ; AB = 4aθ

4atan + 3a = 4aθ

tan =θ14

9. Del gráfico, hallar "sen ".

A B

CD E3

5

1

θ

Resolución:

A B

CD E3

5

1

θ

3426

Q

5

i)

ii)

S = AB . EQAEB

S = (4) (5) (forma geométrica)AEB

1212

S = EB . AE . senθAEB

S = 26 . 34 . sen (forma trig.)AEB θ

1212

Igualando:

34.26

20sen

sen)34()26(21

)5()4(21

=θ∴→

θ=

10.Hallar "BD".

A

B

CD

237° 4 2

Resolución:

A

B

CD

237° 4 253°

i)

ii)

iii)

∆ ABD : S = ( 2) (BD) sen53°ABD

∆ DBCDBC : S = (4 2) (BD)sen37°

S = S + SABC ABD DBC

12

12

Entonces:

425

BD

)24)(2(21

37sen)BD)(24(21

53sen)BD)(2(21

=∴→

=°+°

Bloque I

1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:A B = m y CAB = . Hallar el perímetro del triángulo.

a) m(sen + cos + 1)b) m(sec + tan + 1)c) m(csc + cot + 1)d) m(cos + tan + 1)e) m(sen + cot + 1)

2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:BC = n y BAC = . Hallar el área del triángulo.

a) αcos2n2

b) αsen2n2

c) αcot2n2

d) αtan2n2

e) αsec2n2

3. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden"L" y los ángulos congruentes miden " ", cada uno. Halleel lado desigual.

a) 2Lcos b) Lcos c) 2Lsend) 2Lsec e) Lsec

4. En el rectángulo mostrado, halle su área.

B

A

C

DL

θ

a) L2tan b) L2tan2θ

c) 2L2tan d)2L2

tan2θ

e)2L2

sen2θ

5. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado PQRS en funciónde "L" y " ".

A

Q

B

R

CP S

L

θ θ

a) 1cotL

+θ b)1cot

L2+θ

c)1cot2

L+θ d)

1cot2L2

+θ

e)2cot

L+θ

6. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden" L " c a d a u n o ; y l o s á n g u l o s c o n g r u e n t e s m i d e n " ". Hallarel inradio de dicho triángulo.

a) Lsen tan2θ

b) Lsen cot2θ

c) Lcos tan2θ

d) Lcos cot2θ

e) Lsec tan2θ

7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".

A D B

C

5 2

θ

α

a)72

tan b)72

cot c)73

tan

d)72

cos e)72

sen


A

B M C

φβ

a) θθ−θ

cossensec2

b) θθ−θ

sencossec2

c) θθ−θ

cossencsc2

d) θθ−θ

sencoscsc2

e) θθ−θ

sencoscot2

9. En un triángulo ABC; se sabe que: AB = 8 y BC = 4;además CBA = 30°. Calcular el área del triángulo.


a) 12 u2 b) 24 c) 16d) 8 e) 32

10.Del gráfico, hallar el área de la región sombreada.

A

B

C

D

E

27

41

θ

a) 17sen b) 14sen c) 21send) 28sen e) 16sen

Bloque II

1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:AB = n y ACB = . Halle el perímetro del triángulo.

a) n(sen + cos + 1)b) n(sec + tan + 1)c) n(csc + cot + 1)d) n(cos + cot + 1)e) n(sen + tan + 1)

2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "L" ycada uno de los ángulos congruentes mide " ". ¿Cuáles el perímetro del triángulo?

a) L(1 + cos ) b) L(1 + sec )c) L(1 + sen ) d) L(1 + csc )e) L(1 + cot )

3. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden"L" cada uno y el ángulo desigual mide "2 ". Halle elperímetro del triángulo.

a) 2L(1 + sen ) b) L(1 + sen )c) 2L(1 + cos ) d) L(1 + cos )e) 2L(1 + tan )

4. En el rectángulo mostrado, halle su área.

B

A

C

L

D

2α

a) L2cot b)2L2

cot

c) 2L2cot d) L2tan

e)2L2

tan

5. Del gráfico hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es"L".

A

Q R

B

CP S

L

θ θ

a) Lsen +2L

cos b)2L

sen + Lcos

c) Lsec +2L

csc d)2L

sec + Lcsc

e) Ltan +2L

cot

6. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ánguloscongruentes miden " " cada uno. Halle uno de los ladoscongruentes.

a) r(cot + cot2θ

) b) r(cot2θ

+ tan )

c) r(csc + cot2θ

) d) r(sec + tan2θ

)

e) r(tan + tan2θ

)


A B

C

7 2Dβθ

a) 3,5tan b) 4,5tan c) 5,5tand) 4,5cot e) 3,5cot


A

C

BD2 1

H

φβ

a) ββ−β

sen2cos2sec3

b) ββ−β

sencos2sec3

c) ββ−β

sencos3sec2

d) ββ−β

sen2cos3sec2

e) ββ−β

cos2sen2csc3

9. En un triángulo ABC: AB = 4, BC = 38 y ABC = 60°.Hallar el área del triángulo.

a) 8 u2 b) 12 c) 24d) 32 e) 64

10. D e l g r á f i c o , h a l l a r : S 2 - S1

A

F

B

E

G

C

S2

S1

2 1

1

4

5

3D

θ

a) sen b) 2sen c) 3send) 4sen e) 6sen

Bloque III

1. Del gráfico, calcular "x".

23 cm

A 21º

C

B

x

a) 8,2425 cm b) 8,7234c) 9,1724 d) 5,7432e) 12,2312


17 cm

A32º

C

Bx

a) 14,4168 cm b) 17,5142c) 13,1624 d) 6,2354e) 12,5216


20 cmA12º

C

B

x

a) 32,1732 cm b) 20,4468c) 30,2514 d) 26,8442e) 24,1634


12 cm

A20º

C

B

x

a) 31,2507 cm b) 43,2104c) 28,3007 d) 32,4306e) 35,0857


10 cm

A 10º

C

BD52º

x

a) 42,9 cm b) 47,9 c) 51,2d) 61,2 e) 48,9


A

B

C

14 cm

Hx

20º50º

a) 32,3217 cm b) 46,1823c) 50,2121 d) 53,1724e) 59,2131

7. Del gráfico, calcular la altura "h" de la torre; si "M" essu punto medio.

d

θ α

a) θ+α cot2cotd

b) θ+α cot2cotd2

c) α+θ cot2cotd2

d) α+θ cot2cotd

e) θ+α cotcotd2

8. Del gráfico, hallar la altura "H" del poste vertical; si:QM = 2MP.

d

α β

S L Q

A BP

M

a) β+α−

cotcot2)Ld(2

b) β+α−

cot3cot)Ld(3

c) β+α−

cotcot2)Ld(3

d) β+α−

cot2cot3)Ld(3

e) β+α−

cotcot3)Ld(3

9. Del gráfico, hallar la longitud de la piscina "P" en funciónde los datos mostrados.

P

θ

φ

h

Ld

a) Lcos + d + (h + Lsen )cotb) Lcos + d + (h + Lsen )tanc) Lsen + d + (h + Lcos )tand) Lsen + d + (h + Lcos )cote) Lsec + d + (h + Lsen )cot

10.Del gráfico, hallar "R" en función de los datos mostrados.

α

d

Rh

a) 1cscdhcot

+α+α

b) 1cscdtanh

+α+α

c) α+α+

sec1tandh

d) α+α+

sec1cotdh

e) 1secdcoth

+α+α


Ángulos verticales

Capítulo VI

Definición:Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; yque en la práctica son formados por una línea visual yuna línea horizontal; como resultado de haberseefectuado una observación. En el gráfico tenemos:

αlinea visual

linea horizontalβ

linea visual

Línea visual: Une el observador con el objeto aobservar.

Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y esparalela al nivel del suelo.

Del gráfico anterior:

ángulo de elevación ángulo de depresión

Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa loalto de un edificio de altura "H" con un ángulo deelevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráficosería:

20º

2 m

40 m

H

Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo dedepresión de 40°. (Complete)

1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuáles la distancia a la que se encuentra el punto deobservación de la base del poste?

Resolución:

Graficando:

24º

20 m

x

x = 20cot24ºx = 20tan66ºx = 20(2,246)

x = 44,92 m

2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierraa un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión" " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle ladistancia que separa a los objetos.

Resolución:

Hcotα x

β

Hcotβ

α

H

αβ

Del grafico:

Hcot - Hcot = x

x = H(cot - cot )

β α

β α

Problemas resueltos

3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torrecon un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamosuna distancia igual a la mitad de la altura de la torre, elángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ"

Resolución:Graficando:

37º θA1 B

C

6

3 5

i)

ii)

Sea: BC = 6 A B = 8⇒ 1

Pero: A A = 3....21BC2

tan = = 1,2θ

y = arctan = 50,1944285ºθ

θ θ = 50º11'40" y tan = 1,2

65

65

A2

Determinación del ancho de un río.

4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazandosu tránsito en un punto "C" en un borde del río yvisualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véasefigura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", sedesplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide elángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el anchodel río?

A

BC = 20°

a = 200m

b

Resolución:Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b",por lo que usamos la relación:

tan =a

b para obtener: tan20° =

200

b

⇒ b = 200tan20° ≈ 72,79 metros el ancho es 72,79 m

Determinación de la inclinación del sendero de unamontaña.

5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce deun hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador,cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del senderoes de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero?

Resolución:

La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ",como muestra la figura.

14100

3100sen =β con una calculadora determinamos que:

°≈β 7,12La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7°

Determinación de una altura mediante el ángulo deelevación.

6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora,un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véasela figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación yencuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tanalta es la torre?

Resolución:

Hotel

sendero14100 pies

mirador11100 pies

3100 pies

elevación8000 pies

Hotel

2m

La figura muestra un triángulo que replica la ilustraciónde la figura dada en el problema. Para encontrar lalongitud "b", usamos la relación: tan = b/a. Entonces:b = atan = 300tan40° = 251,73 metros

La altura real es: 251,73 + 2 = 253,73 m

Determinación de la altura de una estatua sobre unedificio.

7. Sobre la azotea del edificio de la Cámara de Comerciode Chicago, se encuentra una estatua de la diosa griegaCeres, diosa de la agricultura. Se hacen dosobservaciones desde el nivel de la calle y a 400 piesdesde el centro del edificio. El ángulo de elevación hastala base de la estatua resulta ser de 45,0° y el ángulomedido hasta la parte superior de la estatua resulta serde 47,2°. Véase la figura. ¿Cuál es la altura de la estatua?

45°47,2°

β = 45° β' = 47,2°400 pies

Resolución:

45°47,2°

β = 45° β ' = 47,2°

b b '

a = 400 pies a = 400 pies

La figura muestra dos triángulos que replican la figuraanterior. La altura de la estatua será: b' - b. Paraencontrar b y b':

400'b

2,47tan400b

45tan =°∧=°

b = 400tan45° = 400 b' = 400tan47,2° = 431,96

La altura de la estatua es aproximadamente de 32 pies.

Cuando no es posible alejarse de la base del objetocuya altura se busca, se requerirá de un procedimientomás imaginativo.

Determinación de la altura de una montaña

8. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo tomados visuales de la cima desde dos posiciones separadasentre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña.Véase la figura. La primera observación da un ángulode elevación de 47° y la segunda uno de 35°. Si eltránsito está a 2 metros del suelo, ¿cuál es la altura "h"de la montaña?

35°

900 m

h

47°

Resolución:

35° 47°

900 m

h

β' = 35° β = 47°

La figura muestra dos triángulos que replican lailustración de la figura. A partir de los dos triángulosmostrados, encontramos que:

a

b47tan

900a

b35tan

a

btan

900a

b'tan

=°+

=°

=β+

=β

Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos variables,"a" y "b". Puesto que buscamos "b", escogemos despejarel valor de "a" en la ecuación de la derecha y sustituir elresultado, a = b/tan47° = bcot47°, en la ecuación de laizquierda. Obtenemos:

90047cotb

b35tan

+°=°

b = (bcot47° + 900)tan35°

b = bcot47°tan35° + 900tan35°

b(1 - cot47°tan35°) = 900tan35°

1816

47tan

35tan1

35tan900

35tan47cot1

35tan900b =

°

°−

°=

°°−

°=

La altura del pico desde el nivel del suelo es por tanto:1816 + 2 = 1818 metros

Bloque I

1. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de la base deuna torre, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación de 40°. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 33,56399 m b) 42,5541c) 38,2172 d) 26,3147e) 29,1723

2. Desde lo alto de un acantilado se divisa un objeto en elsuelo con un ángulo de depresión de 54°, a una distanciade su base aproximadamente igual a 410 m. ¿Cuál es laaltura del alcantilado?

a) 574,3279 m b) 564,3166c) 610,1243 d) 528,2631e) 617,2432

3. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste dealtura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nosacercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es" ". Hallar "D".

a) h(tan - tan ) b) h(cot - cot )c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen )e) h(sec - sec )

4. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direccionesopuestas con ángulos de depresión " " y " ". Si la alturadel faro es "h"; halle la distancia que separa a los barcos.

a) h(cos + cos ) b) h(sen + sen )c) h(tan + tan ) d) h(cot + cot )e) h(sec + sec )

5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 53° y su parte baja con unángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 10 m b) 12 c) 18d) 9 e) 8

6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja deun árbol con un ángulo de depresión de 45° y 53°. Si laaltura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol.

a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) 10

7. Desde un punto en tierra se ve la parte alta del sextopiso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°.Calcular aproximadamente el ángulo de elevación conque se vería lo alto del noveno piso.

a) 47°25'32" b) 46°31'28"c) 48°21'59" d) 49°17'38"e) 54°21'38"

8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio conun ángulo de elevación de 20°. Si nos acercamos unadistancia igual a la altura del edificio, el ángulo deelevación es:

a) 32°27'45" b) 29°46'50"c) 40°18'35" d) 28°24'18"e) 26°42'50"

9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste conun ángulo de elevación " ". Nos acercamos unadistancia igual a la altura del poste y el ángulo deelevación es "90° - ". Calcular: K = cot2 + tan2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10.Desde el punto medio de la distancia que separa lasbases de dos edificios, los ángulos de elevación soncomplementarios. Calcular el producto de las cotan-gentes de los ángulos de elevación con que se ve lo altode cada edificio desde la base del edificio opuesto.

a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 16

Bloque II

1. Desde un punto en tierra ubicado a 18 m de la base deun edificio, se ve su parte más alta con un ángulo deelevación de 70°. ¿Cuál es la altura del edificio?

a) 49,4546 m b) 46,3218c) 39,2872 d) 52,1728e) 54,3624

2. Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en elsuelo con un ángulo de depresión de 20°; a una distan-cia de su base igual a 32 m. ¿Cuál es la altura de latorre?

a) 8,3216 m b) 11,1220 c) 11,6470d) 10,2132 e) 14,2136

3. Desde un punto del suelo se ve una torre de altura "h"con un ángulo de elevación " ". Si nos alejamos unadistancia "x", el ángulo de elevación es " ". Hallar "x".

a) h(cot - cot ) b) h(tan - tan )c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen )e) h(tan + tan )


4. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él conun ángulo de depresión " "; después de que el móvilrecorrió "L" y está ubicado al otro lado del poste el ángulode depresión es " ". Hallar la altura del poste.

a) L(tan + tan ) b) L(cot + cot )

c) β+α cotcotL

d) β+α sensenL

e) β+α tantanL

5. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura, se ve laspartes alta y baja de un edificio con ángulos de elevacióny depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es laaltura del edificio?

a) 19 m b) 20 c) 21d) 23 e) 29

6. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja deun muro con ángulos de depresión de 37° y 45°respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mideel muro?

a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) 10

7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ángulo de elevación de 45°. Si nos alejamos unadistancia igual al triple de la altura de la torre, el ángulode elevación sería:

a) 14°2'10" b) 16°2'18" c) 13°2'12"d) 10°10'4" e) 8°21'30"

8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un muro conun ángulo de elevación de 50°. Si nos alejamos unadistancia igual al doble de la altura del muro, el ángulode elevación mide:

a) 18°21'42" b) 9°24'13"c) 20°21'43" d) 19°21'42"e) 18°32'14"

9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste conun ángulo de elevación " ". Nos alejamos una distanciaigual a la altura del poste y el ángulo de elevación es90° - . Calcular: K = tan2 + cot2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

10.Si desde un punto en tierra se ve las partes altas delcuarto y noveno piso de un edificio con ángulos deelevación "α" y "90° - α" respectivamente, calcular: tanα

a)32

b)23

c)34

d)43

e)31

Bloque III

1. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fuela torre más alta hasta que inició la era de las torres detelevisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel (sin elmástil de televisión instalado en su parte superior)usando la información dada en la figura.

85,361°

50 pies

2. Un barco, cerca de un acantilado vertical de 100 pies dealtura, hace una lectura del borde del acantilado. Si elángulo de elevación es de 25°, ¿qué tan lejos está elbarco de la costa?

3. Suponga que se dirige hacia una meseta de 50 metrosde altura. El ángulo de elevación a la meseta es de 20°.¿Qué lejos está usted de la base de la meseta?

4. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desdeél se toma una visual a la estatua de la libertad, quetiene aproximadamente 305 pies de altura. Si el ángulode elevación a la parte superior de la estatua es de 20°,¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua?

5. Para medir la altura de un edificio, se toman dos visualesdesde dos puntos situados a 50 pies entre sí. El ángulode elevación de la primera es de 40° y el de la segundaes de 32°. ¿Cuál es la altura del edificio?

6. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la granpirámide de Keops fue construida alrededor del año 2580a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas,pero debido a la pérdida de sus bloques superiores, esahora algo más baja. Encuentre la altura actual de lagran pirámide a partir la información dada en la figura.

200 pies

40,3°

46,27°

7. Se debe hacer pasar un rayo láser a través de unpequeño agujero en el centro de un círculo de 10 piesde radio. El origen del rayo está a 35 pies del círculo(véase la figura). ¿Con qué ángulo de elevación debedirigirse el rayo para que pase por el agujero?

8. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo deelevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° yel otro de 40° (véase la figura). Si los observadoresestán a 100 pies uno del otro y el helicóptero seencuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuelael helicóptero?

9. Un alambre sujetador de 80 pies de longitud está unidaa la parte superior de una torre formando un ángulo de25° con el terreno. ¿Qué tan alta es la torre?

10.Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies delpiso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libreque está a 15 pies del centro del borde de la canasta.(Véase la figura). ¿Cuál es el ángulo de elevación de losojos del jugador al centro del borde? (Sugerencia: elborde está a 10 pies arriba del suelo)

11.Un carpintero va a techar un garaje de 20 x 40 x 20pies. Coloca una columna de soporte de acero de 46pies de altura en el centro del garaje. Para apoyar eltecho, una viga se unirá a la parte superior de la columna(veáse la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la viga?En otras palabras, ¿qué inclinación tendrá el techo?

viga

20 pies

46 pies

40 pies

20 pies

12.Determinación de distancias desde el mar. El navegantede un barco visualiza dos faros separados 3 millas entresí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determinaque los ángulos formados entre las dos líneas visualesa los faros y la visual dirigida perpendicularmente a lacosta miden 15° y 35°. Véase la figura.

a) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa?b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "A"?c) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "B"?

15°35°

A P B3 millas


R. T. de ángulos de cualquiermagnitud

Capítulo VII

• Posición de un punto en un planoAntiguamente los egipcios, y más tarde los romanos,

señalaban la posición de los edificios dando sus distanciasa ciertas rectas determinadas. Esas distancias (a rectasperpendiculares) se conocen hoy bajo el nombre decoordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendicularesentre sí reciben el nombre de ejes. El eje horizontal seconoce como eje "X", el eje vertical como eje "Y" y supunto de intersección como origen. Dichos ejes dividen alplano en cuatro cuadrantes que se enumeran como semuestra en la figura.

y

x

cuadrante Icuadrante II

cuadrante IVcuadrante III

0

Obsérvese que los cuadrantes se enumeran siempreen el sentido contrario al de las manecillas del reloj.

(1) Las medidas se consideran positivas cuando se tomanhacia la derecha del eje vertical o hacia arriba del ejehorizontal.

(2) Las medidas se consideran negativas cuando se tomanhacia la izquierda del eje vertical o hacia abajo del ejehorizontal.

La posición exacta de cualquier punto del plano seacostumbra indicar por medio de dos números reales consigno (es decir, números precedidos por el signo + o elsigno -). Debe sobrentenderse que el primero de dichosnúmeros indica siempre una medida hacia la derecha ohacia la izquierda del eje vertical, mientras que el segundonúmero indica una medida hacia arriba o hacia abajo deleje horizontal. Tal como sucede en álgebra, si un númerono va precedido de signo se considera positivo.Consecuentemente, una pareja ordenada de númerosconstituye las coordenadas de un cierto punto; cada unade las coordenadas recibe un nombre particular.

La primera de estas medidas, hacia la derecha o haciala izquierda del eje vertical, se conoce con el nombre deabscisa del punto, que es una palabra latina usada paradesignar un segmento de recta que "corta" a otra recta delongitud indefinida (del latín: ab, "desde" y scindere, "cortar")

La segunda de estas medidas, hacia arriba o hacia abajodel eje horizontal, se conoce con el nombre de ordenada delpunto. Es posible que a dicha medida se le asignara el nombrede ordenada debido a que se toma paralela al eje vertical

(los matemáticos del medievo llamaban a una recta paralelaa otra línea applicata ordinata, "recta colocada en orden")

y

abscisa de P

abscisa de S

abscisa de Q

orde

nada

deR

orde

nada

deQ

orde

nada

deS

x

P

S

R

Q

abscisade R

orde

nada

deP

0

En un sistema de coordenadas rectangulares:

el origen es el punto de intersección de los ejes,la abscisa es la distancia perpendicular trazada desdeun punto al eje vertical o eje "Y";la ordenada es la distancia perpendicular trazada desdeun punto al eje horizontal o eje "X".

Antes de introducir a la trigonometría esas palabrasabscisa y ordenada, debemos comprender claramente losprincipios establecidos anteriormente. Las figuras nosilustran sobre ellos y deben ser estudiadas cuidadosamente.

Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de abscisa +2

Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de ordenada -4

Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de ordenada +4

Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de abscisa -3

0

y

x

P(-3,+4) Q(+2,+4)

R(-3,-4) S(+2,-4)

0

y

x

4

-3 2

-4

• El ángulo de cualquier magnitud

Para una mejor comprensión de la trigonometría, serequiere una definición más amplia de ángulo que laconocida de la geometría elemental: "es la figura formadapor dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice".Consideremos un rayo OC girando alrededor de un puntofijo "0" que pertenece también al eje de abscisas (eje x)

x

x

C

E

0

0

Figura "a" Figura "b"

y y

La magnitud del giro de OC, desde su posición originalen OX, recibe el nombre de ángulo. Cuando el giro es en elsentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo espositivo; cuando el giro es en el sentido de las manecillasdel reloj, el ángulo es negativo. La figura "a" muestra unángulo positivo y la figura "b" muestra un ángulo negativo.

El lado del ángulo, a partir del cual empieza el giro, sellama lado inicial. El lado cuyo movimiento genera el ánguloy determina su tamaño por la posición que ocupa aldetenerse el giro, recibe el nombre de lado final (OC en lafigura "a", OE en la figura "b"). Estos ángulos así obtenidosse van a denominar ángulos en posición normal o en posicióncanónica.

Se dice que un ángulo pertenece a un determinadocuadrante cuando el lado final detiene su movimiento endicho cuadrante. Si el lado final coincide con uno de losejes, a 90°, 180°, 270° ó 360°, se dice que es un ángulocuadrantal.

• Ángulos coterminales

En trigonometría se trabaja con frecuencia con ángulosmayores de una vuelta (mayor que dos ángulos llanos). Porconsiguiente, el lado final de cualquier ángulo coincide con elde muchos otros ángulos. Consideremos un ángulo de 400°como el de la figura. El lado final de dicho ángulo está en lamisma posición que el de un ángulo de 40° ó 760° (40° +360° + 360°) ó 40° más un número cualquiera de revolucionescompletas. Tales ángulos reciben el nombre de ánguloscoterminales. Se observará que, excepto por el total derevoluciones que intervienen en la generación del ángulo, laspropiedades de todos los ángulos coterminales son las mismas. Es fácil ver que un ángulo de -320° es coterminal con losángulos de 40°, 400° y 760° mencionados arriba.

0

y

x

• Definición de las razones trigonométri-cas de un ángulo en posición normal.

Nota: En trigonometría, se emplean, con frecuencia,letras del alfabeto griego para representar, de un modogeneral, el número de grados de un ángulo. Cuando sehace uso de ellas, el símbolo de grados (°) no necesitaañadirse. Algunas letras griegas son: α(alfa), β(beta),γ(gama), θ(theta), φ(fi), ω(omega)

Supongamos una recta OR sobre el eje horizontal, talcomo se muestra en la figura "a". Cuando el lado inicialestá en dicha posición se dice que el ángulo está en posiciónordinaria. Ahora, si se gira en torno de "0", en sentidocontrario al de las manecillas del reloj, determinará unángulo positivo "θ" (figura "b")

0 0θ

R

Figura "a" Figura "b"

y

x

y

x

Desde "R", un punto cualquiera del lado final, trazamosRP perpendicular al eje horizontal, de esta manera se formaun triángulo rectángulo en el cual el lado OP es la abscisadel punto "R", RP es la ordenada y OR se conoce comodistancia del origen al punto o como radio vector. Si el punto"R" se tomara en la posición R1 o R2, las longitudes de loslados del triángulo variarían, pero las razones de ladoshomólogos continuarían siendo las mismas, puesto que lostriángulos son semejantes para cualquier ángulo dado, "θ".La figura II muestra un ángulo en cada uno de los cuatrocuadrantes y en cada caso se ha trazado una perpendicularRP desde un punto cualquiera "R" del lado final, al ejehorizontal. El triángulo formado por la abscisa, la ordenaday el radio vector, como se muestra en cada uno de loscuadrantes, recibe el nombre de triángulo de referencia.Considerando las razones entre dichos segmentos,definiremos las seis funciones trigonométricas para unángulo de cualquier magnitud.

0

RR1

R2

P P1 P2

θ

R

R

R

R

P

P

P

P

0

0

0

0

θ

θ

θ

θ

)Rde(ordenada

vectorradio

PR

ORcsc

)Rde(abscisa

vectorradio

OP

ORsec

)Rde(ordenada

)Rde(abscisa

PR

OPcot

)Rde(abscisa

)Rde(ordenada

OP

PRtan

vectorradio

)Rde(abscisa

OR

OPcos

vectorradio

)Rde(ordenada

OR

PRsen

=

=θ

=

=θ

=

=θ

=

=θ

=

=θ

=

=θ

Estas definiciones nos permiten escribir expresionespara las funciones de ángulos de cualquier magnitud, yaque cualquiera que sea la posición del radio vector setendrán los mismos valores para la abscisa y la ordenada.

• Signos de las razones trigonométricaspara cualquier ángulo

Tan pronto como aplicamos estas definiciones a ángulosdiferentes de los agudos, debemos considerar los signosya que, con excepción del primer cuadrante, la abscisa, laordenada o ambas coordenadas son negativas. El radiovector se considera siempre positivo.

En el segundo cuadrante la abscisa es negativa, de talmodo que la razón que utilice la abscisa con la ordenada oel radio vector será negativa. En todas las funciones, exceptoel seno y la cosecante interviene la abscisa, bien sea en elnumerador o en el denominador de la razón. Porconsiguiente, en el segundo cuadrante, el seno y lacosecante son positivas y todas las demás funciones sonnegativas. De modo análogo, en el tercer cuadrante, en elcual tanto la abscisa como la ordenada son negativas, sólola tangente y la cotangente son positivas. En el cuartocuadrante, donde sólo la ordenada es negativa, el cosenoy la secante son las únicas funciones que son positivas. Lasilustraciones de la figura II muestran los signos del seno,del coseno y de la tangente de ángulos que pertenecen adiferentes cuadrantes. Los signos de la cosecante, de lasecante y de la cotangente serán, naturalmente, los mismosque los de sus correspondientes recíprocas seno, coseno ytangente.

solamente sencsc + Todos +

solamente tancot solamente cos

sec ++

Figura I

Figura II

Figura I

sen = +θ

sen = -θ

sen = +θ

sen = -θ

cos = -θ

cos = -θ

cos = +θ

cos = +θ

tan = -θ

tan = +θ

tan = +θ

tan = -θ

35

35

35

35

45

45

45

45

34

34

34

34

y

y

y

y

x

x

x

x

+3

-3

+3

-3

+5

+5

+5

+5

-4

-4

+4

+4

Cuadrante III

Cuadrante II

Cuadrante IV

Cuadrante I

θ

θ

θ

θ

1. Si el punto P(-3;2) pertenece al lado final de un ángulocanónico "θ"; calcular: A = senθ.cosθ

Resolución:

i)

ii)

iii)

ordenada = opuesto

abscisa = adyacente

r.v. = ord + abs22

A = 213

-3x A =13

⇒ -613

A

C

B

13 2

-3θ

2. Si el punto P(-3;-4) pertenece al lado final del ángulocanónico "β", calcular: C = secβ + tanβ

Resolución:

i)

ii)

iii)

ordenada = opuesto

abscisa = adyacente

r.v. = abs + ord22

C = 5-3

-4 C =-3⇒ -1

3

A

C

B

5 -4

-3β

+

3. Si el punto P(2;-5) pertenece al lado final del ángulocanónico "β", calcular: C = tanβ + cotβ

Resolución:

C = -52

2 C = -2,9-5⇒29 -5

2β

+

4. Si el punto P(2;-1) pertenece al lado final del ángulo enposición normal "α", calcular: Q = secα.tanα

Resolución:

Q = 52

-1 Q =2⇒5 -1

2α

x - 54

Problemas resueltosFigura II

5. Si: senβ > 0 cosβ < 0, entonces "β" pertenece al:

Resolución:

i) Como: senβ > 0 → senβ: positivo, por lo tanto:β ∈ 2°C ó 1°C

ii) Además: cosβ < 0 → cosβ: negativo, por lo tanto:β ∈ 2°C ó 3°CComo deseamos que ambas condiciones se cumplan,entonces: 2°C

6. Si: cosα < 0 tanα > 0; entonces "α" pertenece al:

Resolución:

i) Como: cosα < 0 → cosα: negativo, por lo tanto:α ∈ 2°C ó 3°C

ii) Además: tanα > 0 → tanα: positivo, por lo tanto:α ∈ 1°C ó 3°CEntonces: α ∈ 3°C

7. Si: ,CII,3

1sen ∈β=β calcular "cosβ"

Resolución:

3 1

-2 2β

Como: IIC abs = (-)β ∈ →ord = (+)

Por lo tanto: cos =β -2 23

8. Si: ,IVC;3

1cos ∈β=β calcular "tan "

Resolución:

3 -2 2

1β

Como: IVC abs = (+)β ∈ →ord = (-)

Por lo tanto: tan = -2 2β

9. Señale el signo de:

°°

°°=

250cot.190sen

310cos.200tanQ

Resolución:

i) 200° ∈IIIC → tan200° : (+)ii) 310° ∈IVC → cos310° : (+)iii) 190° ∈IIIC → sen190° : (-)iv) 250° ∈IIIC → cot250° : (+)

Por lo tanto:

)(Q)()(

)()(Q −=∴→

+−

++=

10.Si: β ∈ IIC; IIIC y θ ∈ IVCSeñale el signo de:

θ+β

β−α=

tantan

sensenC

Resolución:

i) II C → sen : (+) tanβ : (-)ii) IIIC → sen : (-)iii) IVC → tan : (-)

Reemplazando:

)()(

)(

)()(

)()(C +=

−

−=

−+−

+−−=

Bloque I

1. Del gráfico mostrado, calcular:E = senφ.cosφ

y

x

( 3, y)

0

5

φ

a)2

6b)

5

3c)

5

6

d)10

6e) 1

2. Del gráfico mostrado, calcular:E = cscα + cotα

α

y

x

(-7; -24)


a)4

3b) -

4

3c)

3

4

d) -3

4e) -

2

3

3. Del gráfico mostrado, calcular:E = tanθ + cotθ

θ

6

x

y

( 2; y)

a)4

23b) -

4

23c)

2

23

d) -2

23e)

3

2

4. Si el punto P(-12;5) pertenece al lado final de un ánguloc a n ó n i c o " "; calcular: M = sec + tan

a) 1 b) 1,5 c) -1,5d) 2,5 e) -2,5

5. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal"θ" pasa por el punto (-1;2), hallar el valor de:

θ+θ= tansen5E

a) 4 b) 0 c) -4d) 2 e) -2

6. Si: cscθ > 0 y secθ < 0. ¿En qué cuadrante está "θ"?

a) I b) II c) IIId) IV e) Es cuadrantal


°°−°

=110tan

200cos140senJ

a) (+) b) (-) c) (+) ó (-)d) (+) y (-) e) No se puede precisar


°+°°°−°°

=216sen290cos300sen140tan100cos200sen

J


9. Si: sen = -0,6; IV C. Calcular: K = sec + tan

a) 2 b) -2 c)21

d) -21

e) 3

10 S i : c o t φ = 0,25 φ ∈ IIIC, hallar el valor de:

E = 17 cosφ + tanφ

a) 5 b) -5 c) -3d) 3 e) 6

Bloque II

1. Del gráfico mostrado, calcular: E = secθ + tanθ

(x; 5)

13θ

a)2

3b) -

2

3c)

4

3

d) -4

3e) -

3

4

2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cotβ - cscβ

β17 (15; y)

a)2

1b) -

2

1c)

4

1

d) -4

1e) -4

3. Del gráfico mostrado, calcular: E = senα + cscα

(x; 3)

2

α

y

x

a)4

37b) -

4

37c)

3

67

d)6

37e) -

6

37

4. Si el punto (-9;-40) pertenece al lado final de un ángulonegativo en posición normal "α". Hallar el valor de:E = cscα + cotα

a)5

4b) -

4

5c) -

5

4

d)4

5e) -

3

4

5. Si el punto P(-5; 12) pertenece al lado final del ánguloc a n ó n i c o " "; calcular: K = sec - tan

a)51

b) -51

c) 5

d) -5 e) -52

6. En qué cuadrante se ubica " ", si: sen > 0 y cot < 0

a) I C b) II C c) III Cd) IV C e) No se puede determinar


°°+°

=300tan

110cos200senJ



°+°°−°°

=100cos290sen130sen1200tan100cos

J


9. Si: senθ =3

1∧ θ ∈ IIC, hallar el valor de:

E = tanθ - secθ

a) 2 b)2

2c) - 2

d) -2

2e) 1

10.Si: senβ = -3

2β ∈ IVC. Hallar el valor de:

)tan(sec5E β−β=

a) 1 b) -1 c) -5

d) 5 e) 5

Bloque III

1. "c" es el radio vector de un punto P(a;b) tal que:asenθ + bcosθ = c, si "θ" es la medida de un ángulo enposición normal, hallar: M = tanθ + cotθ

a) M = 2 b) M = 4 c) M = 3d) M = 5 e) M = 1

2. "d" es el radio vector de un punto P(x;y) que perteneceal lado final de un ángulo en posición normal "θ" tal

que: xyxcossec 22 −+=θ−θReducir: I = tanθ(cscθ + cotθ)

a) I =4

db) I =

2

dc) I = d

d) I = -d e) I =3

d

3. El punto P(x;y) está en el lado final de un ángulo enposición normal "θ" siendo "d" su radio vector, tal que:senθ + cosθ = d

Calcular el radio vector del punto:

−−

2

1y;

2

1x

Q

a)2

23b)

2

35c) 2

d) -2

3e)

2

2

4. "θ" y "φ" son las medidas de dos ángulos en posiciónnormal situados en diferentes cuadrantes, tal que:

tanθ < cosφ < -cosφ < senφ

Hallar el signo de:

)csc()cot(

)cos(.)(senA

)270tan(

)180sec(.senP

θ−+φ−

φ−θ−=

φ+°

φ+°θ=

a) (+),(+) b) (-),(-) c) (+),(-)d) (-),(+) e) N.A.

5. Si:15

12

6

1

2

1

cos

1=+++

θ y IIC.

Hallar "x", si además:

xcos

xsencot

+θ

+θ=θ

a) -13

7b) -

13

6c) -

11

5

d) -15

7e)

13

7

6. Hallar el signo de la expresión:

θθθ+θ

θ= cossen

csc|sec|

tanK

3

a) (+) b) (-) c) (+) o (-)d) (+) y (-) e) N.A.

7. Si se cumple:

0cossec0tancotsen 2 <θ−α∧>θ−αθHallar el signo de: M = senα.cosθ + cotθ.tanα

a) (-) b) (+) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.

8. Dadas las siguientes relaciones:

0seccscsec

0tancotcot

>β−φβ

<β−φφ

Obtener el signo de:

φ−β

β+φ=

tancos

sentanQ

a) (+) b) (-) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.

9. Si:

0cos....35

1

5

1

3

1sen

osmintér"n"

<θ∧−−−−=θ

Hallar el valor de:

)sec(tan1n3

1nE θ−θ

+

+=

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

10.Del gráfico mostrado, hallar "tan tanβ", en términos de"a" y "b", siendo ABCD un cuadrado.

β

C

D

A(-a;0)

B(0;b)

θ

y

x

Rpta:

+

+

a2b

b2a

b

a


R. T. de un ángulo de cualquiermagnitud II

Capítulo VIII• Ángulo cuadrantal

Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTALcuando su lado final coincide con un semieje. Enconsecuencia no pertenecen a ningún cuadrante.

Los principales ángulos cuadrantales son 0°; 90°; 180°;270° y 360°; y todo ángulo cuadrantal tiene como medidaun múltiplo de 90°.

90°

180° 360°

270°

0°

III

III IV

Si es cuadrantal

= 90º.n; n Z

" "θ

⇒ θ ∈

• R.T. de ángulos cuadrantales

Como ejemplo vamos a calcular las R.T. de 90°,análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0°; 180°;270° y 360°.

o

(x;y)

Y

X90°r

Del gráfico, observamos que: x = 0 r = y; por tanto:

o

(0;y)

Y

X90°y

sen90° =r

y = y

y = 1

cos90° =r

x = y

0 = 0

tan90° =x

y =

0

y = no definido

cot90° = y

x = y

0 = 0

sec90° =x

r =

0

y = no definido

csc90° = y

r = y

y = 1

Análogamente:

SEN

COS

TAN

COT

SEC

CSC

0°

0

1

0

ND

1

ND

90°

1

0

ND

0

ND

1

180°

0

-1

0

ND

-1

ND

270°

-1

0

ND

0

ND

-1

360°

0

1

0

ND

1

ND

• Ángulos coterminales

Dos ángulos en posición normal se llamaránCOTERMINALES o COFINALES si sus lados finales coinciden.

Ejemplos:

1.

β

Y

X

Y

X

θ

α

φ

" " " "α β y son coterminales

" " " "φ θ y son coterminales

2.Y

X

Y

X

410° y 50° son coterminales

120° y -240° son coterminales

50°

410°

-240°

120°

Propiedad

La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminalessiempre nos dará como resultado un número entero positivode vueltas.

Si " " y " " son coterminales tal que: > entonces secumple que:

- = k(360°) ; k ZZ

Ejemplos:

1. 750° y 30° son coterminales porque:750° - 30° = 720° = 2 vueltas

2. 330° y -30 son coterminales porque:330° - (-30°) = 360° = 1 vuelta

3. 2200° y 40° son coterminales porque:2200° - 40° = 2160° = 4 vueltas

4. 80° y -1000° son coterminales porque:80° - (-1000°) = 1080° = 3 vueltas

5. 450° y -90° no son coterminales porque:450° - (-90°) = 540° ≠ # vueltas

• Razones trigonométricas de ángulos co-terminales

Y

X

r

(x;y)

α

β

" " y " " son coterminales, entonces se cumple que:

β=α⇒=β∧=α

β=α⇒=β∧=α

β=α⇒=β∧=α

tantanx

ytan

x

ytan

coscosr

xcos

r

xcos

sensenr

ysen

r

ysen

Análogamente:

cot = cot

sec = sec

csc = cscEjemplos:

1. 750° y 30° son coterminales sen750° = sen30°2. 330° y -30° son coterminales cos330° = cos(-30°)3. 2200° y 40° son coterminales tan2200° = tan40°4. 80° y -1000° son coterminales cot80° = cot(-1000°)5. 400° y 20° no son coterminales sec400° ≠ sec20°

En general:

Si " " y " " son coterminales entonces se cumple que:

R.T. ( ) = R.T. ( )

Propiedad

Si " " y " " son coterminales, tal que: > entonces:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ....... (I)pero: - = k(360°)

= k(360°) +

Reemplazamos en (I):

R.T. [k(360°) + ] = R.T.( )

Ejemplos:

1. sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° =2

2

2. cos630° = cos(360° + 270°) = cos270° = 0

3. tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0

4. sen125 = sen(124 + ) = sen = 0

5. cos232

π =

π+π

2

310cos =

2

3cos

π = 0

6. tan12345 = tan(12344 + ) = tan = 0

1. Calcular el valor de:

°° °+°

°−°= 270cot90sen )180(sec

0cos

360tan)270(cosE

Resolución:

Aplicando las razones trigonométricas de ánguloscuadrantales

1E)1()1(

)0()0(E 0)1( =∴→−+−=


)]sencos[tan()]2

(cossentan[E π−π

=

Resolución:

Aplicando las razones trigonométricas de ánguloscuadrantalesE = tan[sen(0)] - cos[tan(0)]E = tan[0] - cos[0] E = 0 - (1) ∴ E = (-1)

3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la sumade ambos es 2480° y el menor de ellos estácomprendido entre 304° y 430°.

Resolución:Como son ángulos coterminales, entonces: - = 360°npor condición:

n36024802:restando...(2)n360...(1)2480

°−°=β

°=β−α°=β+α

entonces:

304° < 1240° - 180°n < 430°°−

°−<<

°−

°−

180

936n

180

810

∴ 4,5 < n < 5,2 n = 5

reemplazando en (1) y (2):

°=α

°=β−α°=β+α

2140:sumando18002480

4. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que estánen la relación de 3 a 5 y la suma de ambas estácomprendida entre 4032° y 4608°.

Resolución:Sean los ángulos coterminales " " y " "

- = 360°n .... (1); por condición: )2(....5

3=

α

β

Además: 4032° < + < 4608° .... (3)

De (2): =5

3, reemplazando en (1):

-5

3 = 360°n = 900°n

reemplazando en (3) : 4032°<900°n +5

3 900°n<4608°

4032° < 1440°n < 4608° 2, ... < n < 3, ... ∴ n = 3

Como: = 900°n = 900°(3) = 2700°

=5

3 =

5

3(2700°) = 1620°

5. Si: " " y " " son ángulos coterminales y suman 90°. Hallar

,""β

α cuando: 220° < < 260°

Resolución:

)3...(45k180:sumando)2(...k360)1(......90

°+°=α

°=β−α°=β+α

por condición: 220° < < 260° 220° < 180°k + 45° < 260° ∴ 0, ... < k < 1, ...

de donde:k = 1, en (3): = 180° (1) + 45° = 225° ; = -135°,de donde:

3

5−=

β

α

6. Siendo " " un ángulo en posición normal del IIC, calcularel valor de: E = 2sen - 3 sec , sabiendo que secumple:

3

14

13

14

1

2

3sec5,1

++

++=θ−

Resolución:Reduciendo la fracción ilimitada

3

14

13

14

1P

++

+=

Problemas resueltos

n1801240n36024802:restando...(2)n360...(1)2480

°−°=β∴→°−°=β

°=β−α°=β+α

P = 1

4 + 13 + P

resolviendo la ecuación:

P = - 32

+ 3

P = - - 332

(absurdo)

Luego se tendrá:

++

++

+=θ−

3

14

13

14

1

2

3sec5,1

332

sec323

23

sec5,1−

=θ∴→

+−+=θ−⇒

Graficando:

reemplazando:

E = 2sen - 3 secθθ

E = 2 - 3 E = 3→12A

C

B

2

- 3θ

1

2- 3

. .

7. En la figura mostrada, ABCD: cuadrado, determinar:K = cot + tan

D

C

B

A X

Y

α

β

Resolución:

(0;a)

(b;0) X

Y

α

β

(-a;a+b)

(-(a+b);b)

a

b

a

a

b

b

reemplazando: )ba(

b

ba

aK

+−+

+

−=

1K)ba(

)ba(K −=∴→

+

+−=

8. Si: sec10° = a, entonces: tan(-2060°) es igual a:

Resolución:tan(-2060°) = -tan(2060°)

= -tan(260° + 1800°) = -tan(260°)

=

−−

1a

12

1a

1)2060tan(

2 −−=°−∴

260°

(- a -1;-1)2

10°

a 1

- a -12

9. Si: cos3 =b

a. ¿A qué es igual: E = csc3 - cot3?

Resolución:

cos3 =b

a, notando que: 3 IIC

(a; b -a )22

3

Y

Xb

E = csc3 - cot3

E =b

b - a2 2-

b - a2 2

E =

a

b - ab + a

10.Si " " y " " son dos coterminales y complementarios,tal que " " toma su máximo valor negativo, calcular:

φ

θπ= 6,0cosE

Resolución:

i) por ser coterminales: - = 2n ; ii) + =2

π

sumando: 2 = 2n +2

π∴ = n +

4

π

* Pero " ", adopta su máximo valor negativo, que seobtiene dando a "n" el primer valor negativo.

45

43

22)ii(en

,43

41n

π=θ∴→

π

−−π

=φ−π

=θ

π−=

π+π−=φ→−=∴

Reemplazando:

1E)(cos

4

34

5

.5

3cosE −=∴→π−=

π−

ππ

=

Bloque I


°° °−°

°+°= 180sec90csc )270(csc

180cos

)270cot()270sen(E

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2


)]sencos[tan()]2

[tan(cossenE π−π

=

a) 2 b) 0 c) -2d) 1 e) -1

3. La expresión: α−+−α= 21E

Es real, hallar el valor de: M = cos - sen - cotcuando " " es ángulo cuadrantal.

a) -1 b) -2 c) 2d) -3 e) 0

4. Si: 1sen1coscos1 +φ=−θ+θ−Hallar el valor de: E = tan + cot

a) 0 b) -2 c) -1d) 2 e) 1

5. Reducir:

°

°−+°+=

270absen

180cos)ba(90sen)ba(L

322

a) 1 b) -1 c) 4d) -4 e) -ab

6. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la sumade ambas es 1320° y el mayor de ellos está comprendidoentre 900° y 1200°.

a) 240° b) 260° c) 300°d) 320° e) 340°

7. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, queestán en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambosestá comprendida entre 1200° y 1500°.

a) 2016° y 576° b) 3600° y 1400°c) 900° y 580° d) 1400° y 100°e) 1500° y 360°

8. Si "k" es un número entero positivo, calcular el valorde:

}4

)1k16sec{(

}6

)1k24tan{(E

π+

π+

=

a)6

3b)

3

6c)

6

6

d)2

6e)

4

3

9. Si " " y "φ" son ángulos cuadrantales. Hallar cuántosvalores diferentes adopta:

)](2

3cos[ φ+θ

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10.Del gráfico, calcular:

|tan|tan)cos(

|sen|sensen

Rβ

αβ−α+

αβ+α

=

y

xα

β


a) 3 b) -3 c) 1d) -1 e) 2

Bloque II

1. S i : a = c o s ( t a n ( s e n 2 )) + sec(sen(cos ))2

π

y P (-a; 5 ) pertenece al lado terminal, del ángulo " "

en posición normal, hallar el valor de: A = 3cos + 2

a) 0 b) 1 c) 2

d)2

3e) 3


°° °+°

°+°= 3603sen2

2270sen2 )90(csc

180cos

90cot)90sen(K

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. La expresión: θ−+−θ= 42E es real, hallar el valor

de: M = sen + tan + cos cuando " " es ángulocuadrantal.

a) 1 b) -1 c) -2d) 2 e) 3

4. Si: 1cos1sensen1 +φ=−θ+θ−" " y " " son positivos y menores que 1 vuelta, calcular:

φ−φ+θ

=sen1coscsc

K2

a) 1 b) 2 c) 3

d)21

e)32

5. Calcular:

°+°

°−−°+=

270cosb90asen

180cos)ba(90sen)ba(Q

34

222

a) 4ab b) 4 c) 4ad) 4b e) b

6. Halle el mayor de dos ángulos coterminales si su sumaes 1520° y el menor está comprendido entre 200° y 250°.

a) 1100° b) 1200° c) 1300°d) 1750° e) 1800°

7. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a1. Si su diferencia está comprendida entre 1000° y1200°, ¿cuánto suman los ángulos?

a) 1400° b) 1420° c) 1310°d) 1520° e) 1520°

8. Si "n" es un número entero positivo, calcular el valorde:

}4

)1n56cos{(

}3

)1n48{(senS

π+

π+

=

a)2

3b)

2

6c)

3

6

d)4

6e)

6

3

9. Si " " y " " son cuadrantales; cuántos valores toma:sen( + ).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Del gráfico mostrado, hallar el valor de:

E = tan + tan - tan( - )

α(-20;21)

β

y

x

a) 2,1 b) -2,1 c) 4,1d) -4,1 e) 0

Bloque III

1. Sabiendo que " " y " " son ángulos en posición normalmayores no positivos y cumplen la condición:sen + sec = 0Calcular:

3sen

)(tan44

sensecK

α−

β+

β=

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

2. Calcular la suma de senos y cosenos de todos los ángulos

cuadrantales positivos y menores a7

1110π

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

3. Si " " es un ángulo en posición normal del IVC, donde:tan4 - 7tan2 + 1 = 0, además " " y " " son ánguloscoterminales. Calcular: E = | |tan | - |cot | |

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 7

4. Siendo "x", "y", "z" ángulos cuadrantales positivosmenores o iguales que 360°; además son distintos entresí, se cumple:

|3zcot||xcos|3)ii

ysecycos2ysecycossenx1)i

−=+

−−=++−−

Calcular: x + y + z

a) 180° b) 360° c) 540°d) 720° e) 1080°

5. Sabiendo que: "a", "b" y "c" son positivos, donde:a > b, además: acot - c = b|cot |Hallar "tan " en términos de "a","b" y "c"

a)c

ba −b)

c

ab −c)

b

ca −

d)b

ac −e) cb

ca

−

−

6. Siendo: 0 < x < y < 2 , además:cosy + cscx = 0, calcular:

x3senx2sensenx2

xsen

y16tany8tany4tan4

ytan

Q

+++

+++=

a) 1 b) 2 c) - 2

d) -1 e) 3

7. Siendo: |tan + cot | = 5|tan | además: " 1", " 2"," 3", " 4" son los valores de " " que cumplen con lacondición anterior, donde:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 2

Calcular: A = sen 1cos 2tan 3cot 4

a) -5

2b) -

5

3c)

5

2

d)5

3e)

5

4

8. D e l a f i g u r a , h a l l a r " t a n ".

α

y

x

Q(a;b)

a)ba

ba

−

+b)

ba

b

−c)

ba

a

+

d)ab

ab

+

−e)

ba

ba

+

−

9. Si: cos(- ) = -3

1, hallar "cotβ", si: β ∈ IIIC " " y " "

son coterminales.

a)2

2b) 2 c)

3

2

d)4

2e) 22

10.El lado terminal del ángulo (- ) en posición normal pasapor el punto (-4;-6). Hallar el valor de la expresión:

°+θ−

°−+θ=

420cos52

2)(sen

)30(sen52

2cos

E

a) 3 b) -2 c) -1d) 1 e) 2

Departamento de Publicaciones - TrilceCOSI5SLITR1B-04

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