Trigonometria-texto

7/23/2019 Trigonometria-texto

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Trigonometría

INTRODUCCION

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre los ladosy ángulos de un triángulo.

Las dos ramas fundamentales de la Trigonometría son la Trigonometría Plana, que se ocupa de lasfiguras contenidas en un plano, y la Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera

Dentro de la tecnología moderna, la Trigonometría del triángulo mantiene su importancia en la

aplicación de los ectores en la mecánica y a la electricidad, además, fue ampliada a la TrigonometríaEsférica para utili!arla en la "aegación y #stronomía.

Las unidades de medida de un ángulo son el grado y el radian. El grado $%& que resulta de diidir uncirculo en '() partes, el grado se diide en ()partes iguales llamados minutos $*& que a su e! se diideen () partes iguales llamados segundos $**&. El radian es el ángulo central cuyo arco es igual al radio dela circunferencia.

Triángulos Rectángulos.

+ecordemos que en un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios, su lado mayor sellama ipotenusa y a los lados que forman al ángulo recto se les denominan catetos.

-

cateto a c ipotenusa

cateto b #



Teorema de Pitágoras./En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la ipotenusa es igual a la suma de los cuadrados desus catetos0.

E1emplo 2. 3alla el alor de la ipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 m y 2) m.

E1emplo 5. Encuentra la longitud de un cateto del un triángulo rectángulo si su ipotenusa mide 2' cmy un cateto mide 6 cm.

E1ercicio7 Encuentra el alor de la incógnita x en las siguientes figuras.

5 5 5

c a b= +a

b

c B

AC

(

8

x

x

54

9)

2 x +

x

5 x +



Funciones Trigonométricas de Ángulos AgudosLas funciones trigonométricas son los alores sin unidades que dependen :nicamente de la magnitud deun ángulo.

;ea L#< un ángulo agudo= por el punto - de #< tracemos - perpendicular al ángulo #, formandoasí el triángulo rectángulo #-. Tendremos entonces las siguientes definiciones de las ra!onestrigonométricas aplicadas a cualquiera de los ángulos agudos # o -.

<

-

# L

En todo triángulo rectángulo7

El seno de un ángulo agudo es la ra!ón entre el cateto opuesto y la ipotenusa.

El coseno de un ángulo agudo es la ra!ón entre el cateto adyacente y la ipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es la ra!ón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es la ra!ón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

La secante de un ángulo agudo es la ra!ón entre la ipotenusa y el cateto adyacente.

La cosecante de un ángulo agudo es la ra!ón entre la ipotenusa y el cateto opuesto.

c

a A ==

,ipotenusa

opuesto catetosen

c

b A ==

,ipotenusa

adyacentecatetocos

b

a A ==

adyacentecateto

opuestocatetotan

a

b A ==

opuestocateto

adyacentecatetocot

b

c A ==

adyacentecateto

,ipotenusasec

a

c A ==

opuesto cateto

,ipotenusacsc

Dadas sus respectias definiciones, tres funciones trigonométricas son las recíprocas de las otra tres7

csc 2 senA A = es decir2

csc A senA

=

tan cot 2 A A = es decir2

cot AtanA

=

cos s c 2 A e A = es decir2

s ccos

e A A

=

a

b

c B

AC



E1emplos. Encuentra las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos.

;en # >

os # >Tan # >

ot # >

;ec # >sc # >

;en - >

os - >

Tan - >

ot - >

;ec - >

sc - >

E1ercicio7 utili!a las siguientes figuras para calcular el alor de las funciones trigonométricas de losángulos de ')%, 94% y ()%.

# ;en # os # Tan # ot # ;ec # sc #

')%

94%

()%

'

(

B

A C

2)

54

B

AC

2

5

B

AC

2

94%

94%

B

A C D

'

2 2

5 5

()%

')%



Resolución de Triángulos Rectángulos.

+esoler un triángulo rectángulo significa encontrar la medida de los lados y ángulos que faltan. Paraesto, utili!amos las funciones trigonométricas.

E1ercicios7 +esuele correctamente cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.

#

-

2)

')%5)*

#

-

2)

9)%5)*

# -

6

'4%54*



Funciones Trigonométricas InversasLas funciones trigonométricas inersas se utili!an para allar la medida de un ángulo cuando se conoce

el alor de alguna de sus funciones trigonométricas.La inersa de seno es sen ?2, la de coseno es cos ?2 y la de tangente es tan ?2.

Eem!los"2. 3alla el alor del ángulo # si se sa@e que sen # > ).4'9

5. 3alla el alor del ángulo - si se sa@e que cos - > ).'96

'. 3alla el alor del ángulo D si se sa@e que cot D > 5.(6)

Eem!los" +esuele los siguientes triángulos rectángulos.

#

-

4

25

# -

54

'(



#

-

64

56%

# -

24

59%')*

#

-

2A

29

#

-

'A.6

58%

#

-

295

2)9



Aplicación a la Resolución de Problemas.

En esta sección resoleremos pro@lemas cuya solución depende de /resoler un triángulo rectángulo0, es por esto que es importante construir una figura que represente lo más posi@le el pro@lema en cuestión.

E1emplo 2.alcula la altura de la palmera a la cuál se le amarró una cuerda de A.4m formando un ángulode 4)%')* con el piso.

E1emplo 5.Bna escalera se apoya contra la pared de un edificio formando con el piso un ángulo de 6)%.El pie de la escalera dista 4m del edificio. alcula la longitud de la escalera.

E1emplo '.Bna carretera tiene una inclinación de 6% Cuál es el aumento de la altura del automóildespués de a@er recorrido 5))) pies



E1emplo 9.En un colegio el asta @andera tiene 24m de alto. Cué som@ra proyectará ésta si el sol seencuentra a 5A%2)* so@re el ori!onte

24m

5A%2)*

E1emplo 4.El palo central de una tienda de campaFa de forma de cono circular mide (m y su parte

superior está sostenida por cuerdas de 25m de largo amarradas a estacas claadas en la tierra.Cuál es el ángulo que forman los ca@les con la tierra C# qué distancia están las estacas delmástil central

(m 25m



Ángulos de Elevación y Depresión

#ngulo de elevación7 Es el ángulo que forma la ori!ontal con la isual dirigida a un o@1eto que se alla por encima de la ori!ontal.

#ngulo de de!resión7 Es el ángulo que forma la ori!ontal con la isual dirigida a un o@1eto que se alla por de@a1o la ori!ontal.

Gisual ori!ontal

Hngulo de depresión Hngulo de eleación

3ori!ontal isual

Eem!los2. La antena de una radiodifusora tiene ')4m de altura, un o@serador se encuentra a 94)m de distancia

de la @ase.Cuál es el ángulo de eleación desde donde se encuentra el o@serador a la c:spide de laantena

')4m

x94)m

5. Desde un faro de 24)m se o@sera un @ote con un ángulo de depresión de 5A%. alcule la distanciadel @ote a la @ase del faro.



Ejercicios2. Bn edificio de 54m de alto proyecta una som@ra de '(.4m so@re el piso= encuéntrese el ángulo de

eleación

5. Bna arilla ertical de 5.4 m de longitud proyecta una som@ra de '.5 m= calcula la altura del sol al

ori!onte.'. Cué distancia de@e recorrer un eículo para su@ir (m, si la carretera tiene una inclinación de 6%

respecto al ori!onte

9. El pie de una escalera de 28 m esta a 4 m de una pared ertical en la cual se apoya. 3alla el ánguloformado por am@as.

4. Cuál es la altura del sol en el ori!onte en el momento del cual la longitud de la som@ra de unaarilla ertical sea el do@le de la longitud de la arilla

(. La escalera de un carro de @om@eros puede extenderse asta una longitud máxima de 59m cuandose leanta un ángulo máximo de (4%. ;i la @ase de la escalera está a 5m so@re el suelo, Cué altura

so@re este puede alcan!ar la escalera6. Desde el extremo de una torre de 95m de alto, el ángulo de depresión al extremo de otra es de

52%4)*. ;i entre am@as ay 65m, calc:lese la altura de la segunda torre.

A. Bn o@serador adierte que, desde cierta posición, el ángulo de eleación al extremo de un edificioes de 54%2)*= camina 4)m acia él y entonces el ángulo es de 45%. Cué distancia le falta para llegar al pie del edificio y cuál es la altura de éste, respecto al niel de sus o1os

8. Desde el extremo de un faro de 45m de altura se o@sera que los ángulos de depresión a dos @otesalineados con él son de 2(%2)* y '4%, respectiamente. Encuentra la distancia entre los @otes.

Eercicios relativos a !ol$gonos.

2). alcula el área de un terreno en forma de triángulo isósceles cuyos lados desiguales son de 254m ylos ángulos de la @ase son de 95%4)*

22. alcula la @ase del triángulo isósceles cuya altura es de 59cm y los ángulos de la @ase miden '5%5)*.

25. alcula el perímetro de un pentágono regular inscrito a una circunferencia de radio ( cm.

2'. alcula el perímetro de un exágono regular circunscrito en una circunferencia de radio 2Acm.



Triángulos Oblicuángulos.Lo que emos estudiado anteriormente nos permite encontrar alores en un triángulo rectángulo, Cserá posi@le acer lo mismo con los demás tipos de triángulo, es decir Cserá posi@le encontrar todos loselementos de cualquier triángulo La respuesta es sí. Para encontrar estos elementos se utili!an dos leyes7

Ley de senos

C sen

c

B sen

b

A sen

a

== en donde a, b y c son los lados opuestos a los ángulos #, - y respectiamente.

Ley de cosenos

Abccba cos5555−+=

Baccab cos5555−+= si queremos encontrar uno de los lados.

C abbac cos5555−+=

bc

acb A

5cos

555−+

=

ac

bca B

5cos

555−+

= si queremos encontrar uno de los ángulos.

ab

cbaC

5cos

555−+

=

Estas dos leyes se pueden utili!ar de manera com@inada en un mismo e1ercicio, pero Cómo sa@er cuál delas dos leyes utili!ar de primero. Bna manera fácil es la siguiente7

Si tenemos dos lados y el ángulo entre los lados: le% de cosenos. Si tenemos tres lados: le% de cosenos.

Si tenemos dos ángulos y un lado: le% de senos.

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