TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO Guia2

Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 1 Abril, 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

MENCIÓN BÁSICA GENERAL UNIDAD CURRICULAR: TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO

PROFESORA YANNITSA FERNÁNDEZ

GUÍA DE ESTUDIO N° 2.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

Utilizar conceptos básicos de la geometría plana en el estudio de la trigonometría.

En esta guía N° 2 trataremos contenidos relacionados con el Teorema de

Pitágoras, triángulo rectángulo, circunferencia y ángulos en el sistema de

coordenadas rectangulares. Estos temas serán fundamentales durante el estudio

de la Trigonometría.

Nota Histórica

En la antigüedad antes del año 100 a. C., inventaron los griegos la Trigonometría

para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía. La palabra

“Trigonometría” viene del griego y significa “medida de triángulo”. En su forma

más básica, la Trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los

lados de un triángulo rectángulo.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es un ángulo recto, esto

es, un ángulo de 90°. Los otros dos ángulos son necesariamente ángulos agudos

(menores que 90°) ya que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es

180°. Sea la letra griega que denota uno de esos ángulos agudos. Se pueden

clasificar los tres lados relativos a : cateto adyacente, cateto opuesto e

hipotenusa, como se muestra en la figura


Figura 1

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Figura 2

Dado que el triángulo es un triángulo

rectángulo, el teorema de Pitágoras

dice que

En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma

de los cuadrados de los catetos.

De la igualdad:

se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros:

En todo rectángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la

hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto.


De la igualdad:

Despejando los catetos:

Extrayendo raíz cuadrada:

FÓRMULA DE DISTANCIA

Considere dos puntos arbitrarios

, y , (como en la

figura 3) que no están en la misma

recta vertical u horizontal. Determinan

un triángulo rectángulo cuyos catetos

tienen longitudes | | | |.

Por el Teorema de Pitágoras,

, | | | |

A esta fórmula se le conoce como la

fórmula de distancia.

Figura 3


ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Considere una circunferencia de radio

con centro en , , como el de la

figura 4. Para encontrar su ecuación,

tome un punto arbitrario en la

circunferencia con coordenadas , .

Según la fórmula de distancia, debe

satisfacer la ecuación

o, de manera equivalente, Figura 4

A partir de esta ecuación se puede construir la ecuación de una circunferencia de

radio 1 con centro en el origen 0, 0 . Para ello se utiliza la ecuación anterior con

0, 0 y 1. Esto da

Representación gráfica

Figura 5


Esta circunferencia de radio 1 con centro en el origen de un sistema de

coordenadas cartesianas, es denominada círculo unitario. Dicha circunferencia se

utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas,

mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Se dice que un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen

de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el lado

positivo del eje . Vea la figura 6

Figura 6

Cuando un ángulo está en posición estándar, el lado terminal estará ya sea en

un cuadrante, en cuyo caso se dice que está en ese cuadrante, o bien sobre el

eje o el eje ; entonces, se dice que es un ángulo cuadrantal. Por ejemplo, el

ángulo de la figura 7a) está en el II cuadrante, el ángulo de la figura 7b) está

en el IV cuadrante y el ángulo de la figura 7c) es un ángulo cuadrantal.

Figura 7


EJERCICIOS

Si es la hipotenusa y son los catetos de un triángulo rectángulo, calcula el lado que falta:

1) 6 , 10 2) 20 , 32

3) 40 , 30 4) 80 , 100

5) 12 , 32

Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si el valor del cateto es:

6) 4 7) 6 8) 15

9) 9 10) 11

Halla la altura de un triángulo equilátero si el lado vale:

11) 12 12) 8

Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale:

13) 3 14) 15

Halla la diagonal de un rectángulo si los lados miden lo que se indica:

15) 2 , 4 16) 7 , 9 17) 10 12

18) Una escalera de 7 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la

escalera dista 3 m de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de

la escalera en la pared?


Encuentra la , , donde tienen las coordenadas dadas

19) 2, 1 , 5, 3 20) 4, 2 , 2, 4 21) √3, 0 , 0, √6

22) 1, 5 , 6, 7 23) √2, 0 , 0, √7 24) 2, 1 , 7, 13

25) Utiliza la fórmula de distancia para mostrar que el triángulo cuyos vértices

son 2, 4 , 4, 0 8, 2 es un triángulo rectángulo.

Construye la ecuación de la circunferencia con el centro y el radio que se dan:

26) 0, 0 , 6 27) 2, 1 , √7

28) , , 29) 2, 3 , 3

30) Construye la ecuación de la circunferencia con centro en 3, 2 y que

pasa por el punto 4, 3 .

31) Tres círculos de radio 2 tienen su centro en los vértices de un triángulo

cuyos lados tienen longitudes 8, 11 y 12. Encuentra la longitud de la banda

que encaja exactamente alrededor de los tres círculos.

Dibuja cada ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares e indica en cual

cuadrante está ubicado:

32) 30° 33) 135° 34) 450°

35) 120° 36) 37)

38) 39) 40)


El material presentado fue tomado de los libros que se mencionan a continuación.

Para profundizar en los aspectos descritos anteriormente, te invito a que revises

las referencias bibliográficas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

LIBROS

• Baldor (2009). Geometría y Trigonometría (2a ed.). México: Grupo Editorial Patria.

• Méndez (2006). Matemáticas 2 (1a ed.). México: Santillana, S. A.

• Suvillan y Hernández (2006). Álgebra y trigonometría (7a ed.). Editorial Pearson Educación.

• Walter, Fleming y Dale Varberg (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3a ed.) México: Pretince – Hall Hispanoamericana, S.A.

PÁGINAS WEB

http://books.google.co.ve/books?id=44-

YnoUhxOoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=o

nepage&q&f=false

http://www.vitutor.net/2/1/23.html

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