Trompos esféricos simétricos y...
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Trompos simétricos y
asimétricos
Integrantes:
Castro Posadas Ángel Alberto
González Becerra Nayeli Itzel
Lavias Hernández Pedro
Rodríguez Guzmán Alejandro
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Rotor rígido
El rotor rígido es un sistema formado por dos cuerpos m1
y m2 unidos por una barra sin masa, de la largo R, ygirando en cualquier dirección pero con el centro demasa fijo.
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La ecuación de Schrödinger es:
Si usamos coordenadas esféricas
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Separación de variables
• Soluciones
b) Es de la misma forma que para una partícula libre
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a) Mas complicada, sustituyendo
La energía se cuantiza
Soluciones de Θ(θ) funciones asociadas de Legendre. Las funciones
de onda completas para el rotor rígido se llaman armónicos esféricos
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Cuantización del momento angular
Para el rotor rígido
Los autovalores del operador L² son 1(1+1)ћ²
Igualmente podemos aplicar el operador componente z del momento angular.
Para el rotor rígido los autovalores del operador Lz son mћ
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La orientación de L con respecto
a los ejes x, y está
indeterminada, puede ser
cualquiera de las orientaciones
definidas por los conos de
rotación alrededor del eje z.
Esto es debido a que las
funciones de onda del rotor
rígido no son funciones propias
de los operadores .
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¿Qué es un trompo?
Es un objeto que esta girando en torno a sí mismo con
respecto a su eje de simetría
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Los sólidos rígidos se pueden clasificar de acuerdo a los
valores principales de inercia como:
• Lineales: uno de los principales momentos de inercia 0.
Ia = 0, Ib = Ic ≠ 0. Ejemplo: HCN
• Trompos esféricos: Ia = Ib = Ic. Ejemplo: CH4, SF6
• Trompos simétricos alargados: Ia < Ib = Ic. Ejemplo: CH3Br
• Trompos simétricos achatados: Ia = Ib < Ic. Ejemplo: C6H6
• Trompos asimétricos: Ia < Ib < Ic. Ejemplo: H2O
En el sistema de ejes principales de inercia de tiene que:
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Para cualquier trompo se deben cumplir las siguientes
ecuaciones de autovalores.
Donde las dos ultimas ecuaciones resultan de la teoría
general de momento angular.
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De izquierda a derecha y de arriba a abajo: CH4 (trompoesférico). HCN (trompo simétrico alargado). C6H6 (trompo
simétrico achatado) y H2O (trompo asimétrico).
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El trompo esférico
Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto
completo de operadores compatibles.
La energía de rotación será:
donde B es la única constante rotacional. Vemos que K y M no
afectan a la energía, de modo que un nivel J tendrá una
degeneración gJ = (2J + 1)2.
El resultado se parece a la rotación de las diatómicas, excepto en
la degeneración. Generalmente, las moléculas son trompo
esféricas porque presentan dos o mas ejes de simetría.
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El trompo simétrico achatado
En este caso Ia = Ib < Ic o, equivalentemente, A = B > C. El hamiltoniano
es:
Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto completo de
operadores compatibles.
La energía de rotación será:
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El trompo simétrico alargado
Ia < Ib = Ic o A > B = C. El operador de Hamilton es:
Las moléculas lineales son un caso limite del trompo simétrico
alargado cuando Ia → 0 (A →∞ ) y, por tanto, K = 0
permanentemente.
El espectro rotacional de absorción de los trompos simétricos esta
formado por transiciones que cumplen:
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El trompo asimétrico
Para Ia ≠ Ib ≠ Ic (trompo asimétrico) el calculo de los niveles de energía
es imposible en forma general.
Para calcularlos hay que resolver la ecuación de Schrödinger en
forma matricial.
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Un trompo asimétrico (A > B > C) puede considerarse como
intermedio entre un trompo simétrico alargado (A > B = C) y achatado
(A = B > C), pudiendo construirse un diagrama de correlación para
sus niveles de energía.
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Gracias por su atención
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Bibliografía
• P. Atkins. Physical Chemistry, 6th edition, W. H. Freeman and Co., 1999.
• Lowe P. Quantum chemistry, 3th editión.
• Landau y Lifshiztz, Teoria cuantica (no-relativista), 2ª edición.
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