Prof. Ediguer Enrique Franco G.Depto. de Energtica y Mecnica

ELEMENTO TRUSS

CursoIngeniera Asistida por Computador

Barra cargada axialmenteBarra cargada axialmente

AP

= E=

= Lo dx

EAPL

= LEAP =

P=k

F=kxk= EAL

Entonces, una barra cargada axialmente es simplemente unElemento resorte (spring) con constante elsticak=AE/L.

Curva esfuerzo-deformacinCurva esfuerzo-deformacinRelacin fuerza-deformacin para la barra con carga axial

=

2

1

2

1

uu

1111

LEA

ff

{F }= [K ]e {u }

=

1111

LEAKe

jiij KK =

La matriz de rigidez es simtrica:

Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas

u=u1 cos +v1 sen

v=u1sen +v1 cosDonde:

u Desplazamiento horizontalv Desplazamiento vertical

Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas

[ uv ]=[cos sen sen cos ] [u1v1 ]El ngulo se puede determinar usando las coordenadas de los nodos de la estructura:

LXXcos 12 =

LYYsen 12 =

Expandiendo para un elemento con dos nodos:

[ u1v 1u2v2 ]=[T ] [u1v1u2v 2

]=[cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen 0 0 sen cos ]{u }e=[T ]e {u }e

Donde [T] es la matriz de transformacin, que siempre es ortogonal.

[ f 1xf 1yf 2xf 2y ]= [T ] [f 1xf 1yf 2xf 2y

]=[ cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen 0 0 sen cos ][f 1xf 1yf 2xf 2y

]De forma similar podemos escribir la matriz de fuerzas nodales:

{ f }e=[K ]e {u }eRetomando la ecuacin y reescribindola con la transformacin:

[T ] {f }e= [K ]e [T ] {u }e

Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas

{ f }e=[T ]e { f }e

Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas

[T ]1 [T ] {f }e= [T ]1 [K ]e [T ] {u }e

Multiplicndola por: [T ]1

Para matrices ortogonales, la transpuesta es igual a la inversa: [T ]1= [T ]T

{ f }e=[T ]T [K ]e [T ] {u }e

[K ]e= [T ]T [K ]e [T ]

Entonces, la matriz de rigidez para el elemnto rotado es:

Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas

[K ]e=EAL [ T b T bT b T b ]

Expresando esta matriz de forma reducida:

[ ]

=

22

22

22

22

coscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscos

sensensensensensen

sensensensensensen

LEAK e

[T b ]=[cos2 sen cos sen cos sen 2 ]

Solucin del problemaSolucin del problema

{ f }=[K ] {u }

{ f } : Vector de cargas( fuerzas, temperaturas, etc .)[K ] : Matriz de rigidez global{u }: Resultado de los grados de libertad ( incognitas ) o vector de desplazamientos

Conocidos Desconocido

{u }= [K ]1 { f }

EjemploEjemplo

Determinar el desplazamiento horizontal y vertical del nodo 1 y los valores de esfuerzos para cada una de las barras de la armadura mostrada en la figura. Para su solucin tenga en cuenta que:

F=10,000lb A=2in2 E=30x106psi L=10ft=120in

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