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z Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Matemática, Física y Computación Departamento de Matemática TÍTULO: ESTUDIO DEL TRANSPORTE HIDRODINÁMICO DEL NITRATO COMO CONTAMINANTE DE LOS RÍOS Tesis presentada en opción al título académico de Licenciatura en Matemática Autora: Roxana Pérez García Tutores: Dra. C Yanelis Estrada Hernández Dr. C Lorgio Félix Batard Martínez Colaborador: Lic. Jorge Alberto Cárdenas Pestana Santa Clara, 2017
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z
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Matemática, Física y Computación
Departamento de Matemática
TÍTULO: ESTUDIO DEL TRANSPORTE HIDRODINÁMICO DEL
NITRATO COMO CONTAMINANTE DE LOS RÍOS
Tesis presentada en opción al título académico de Licenciatura en
Matemática
Autora: Roxana Pérez García
Tutores:
Dra. C Yanelis Estrada Hernández
Dr. C Lorgio Félix Batard Martínez
Colaborador:
Lic. Jorge Alberto Cárdenas Pestana
Santa Clara, 2017
Dedicatoria
A mis abuelos Gladis y Cundo que, sin ellos, sin su dedicación, amor y
esfuerzo no sería quien hoy soy. Espero que desde el cielo mi abuelo me
vea y comparta conmigo la alegría de este día.
A mi mamá por darme la vida y a pesar de no compartir el amor por
las matemáticas-todo lo contrario- siempre me alentó a seguir adelante
y dar lo mejor de mí.
A mi hermanito para que se inspire a seguir adelante adentrándose en
el mundo tan maravilloso de los números.
A mi papá, a mi tía Magalis, a mi abuelo chino, a mis padrinos, a mi
novio… en fin, a esta familia maravillosa unos de sangre otros de amor
pero que juntos son mi roca y mi razón de ser.
2
Agradecimientos
A mi familia por apoyarme y guiarme en cada paso de mi vida…
A mis tutores la Dra. Yanelis Estrada y el Dr. Lorgio Batard por su
apoyo incondicional y su amistad.
Al Dr. Carlos Rafael Fadraga y al licenciado Jorge Alberto Cárdenas
por su apreciada ayuda en todo momento.
A la Revolución por permitirme forjarme como matemática.
I
Resumen
Los problemas de contaminación son cada vez más debatidos en el ámbito internacional
debido a los trastornos que les pueden causar a la ecología y a la biodiversidad. El presente
trabajo tiene como objetivo resolver el caso no estacionario unidimensional de una ecuación
de dispersión-advección que incluye términos de reactancia químico-biológica y de cargas
de vertimiento. Para la consecución de tal propósito se ofrecen los fundamentos teóricos
sobre los cuales se basa el estudio. Se encuentra la solución en cuadraturas para problemas
de tipo parabólico que modelan la concentración del nitrato como contaminante del río,
valorando una sola fuente de contaminantes en el semieje derecho. Por tener solución única
el problema y así mismo mayor aplicación práctica, solo se ofrece la solución analítica para
los casos de índice cero del coeficiente del problema de Riemann.
Palabras claves: ecuación de dispersión-advección, ecuación parabólica.
II
Abstract
The problems of contamination are more and more debated in the international environment
due to the dysfunctions that can cause to the ecology and the biodiversity. The present work
has as objective to solve the case of non-stationary one-dimensional equation of dispersion-
advection that includes terms of chemical-biological reactance and loads that may be spilled.
For the attainment of such purpose were offered the theoretical basics on which this study is
based. It is the solution in quadratures for the problems of parabolic type that model the
concentration of the nitrate like pollutant of the river, valuing a single source of pollutants in
the right semi-axis. To have a unique solution the problem and likewise bigger alone practical
application offers the analytic solution for the cases of index zero of the coefficient of the
problem of Riemann.
Key Words: equation of dispersion-advection, parabolic equation
3
Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 5
1.1 Modelos de la calidad de aguas superficiales. El estudio del nitrato como
contaminante. ...................................................................................................................... 9
1.2 Historia de la modelación de la calidad del agua en Cuba ......................................... 13
1.3 Problema de Riemann: Reseña histórica, algunas definiciones y resultados auxiliares.
.......................................................................................................................................... 14
1.4 Resultados más recientes sobre el problema de Riemann .......................................... 15
1.5 Resultados del grupo de ecuaciones diferenciales de la Universidad Central “Marta
Abreu” de Las Villas ........................................................................................................ 16
1.6 Conclusiones del capítulo ........................................................................................... 17
CAPÍTULO II: ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
DE RIEMANN NECESARIOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CONTORNO
DE LA FÍSICA MATEMÁTICA. ........................................................................................ 18
2.1 Algunos conceptos y definiciones básicas ................................................................. 18
2.1.1 Transformada de Fourier ..................................................................................... 18
2.1.2 Índice ................................................................................................................... 18
2.1.3 Clases de funciones ............................................................................................. 19
2.2 Planteamiento del problema no homogéneo. .............................................................. 20
2.3 Reducción a un problema de Riemann ....................................................................... 22
2.4 Adaptación de las condiciones de contorno (2.1.3) y (2.1.4) para la aplicación de la
Transformada de Fourier .................................................................................................. 22
2.5 Aplicación de la Transformada de Fourier a las nuevas condiciones de contorno ..... 23
2.6 Obtención de una ecuación funcional en la cual las únicas funciones desconocidas
son 𝑭+(𝒙) 𝒚 𝑭−(𝒙) ...................................................................................................... 23
2.7 Condiciones de solubilidad del Problema de Riemann obtenido a partir del problema
de contorno parabólico ..................................................................................................... 24
2.8 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición i .............. 25
2.9 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición ii ............... 26
2.10 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición iii ........... 27
)(xD
)(xD
)(xD
4
2.11 Determinación de las condiciones para que el término independiente de (2.2.12) sea
elemento de𝐿2𝜆(ℝ). ........................................................................................................... 27
2.12 Cálculo del índice del coeficiente del problema de Riemann .................................. 27
2.13 Casos de índice cero ................................................................................................. 28
2.14 Solución del problema de Riemann para los casos de índice cero ........................... 28
2.15 Conclusiones del capítulo ......................................................................................... 34
CAPITULO III: TRANSPORTE HIDRODINÁMICO DE CONTAMINANTES. CASO
NO ESTACIONARIO .......................................................................................................... 34
3.1 Los nitratos como principal fuente de contaminación difusa de los ríos.................... 34
3.2 Breve introducción a la hidrodinámica. ...................................................................... 39
3.3 Ecuación general unidimensional ............................................................................... 42
3.4 Características de los fluidos ...................................................................................... 42
3.5 Obtención del sistema de ecuaciones que modelan la concentración de contaminantes
en un río para el caso no estacionario. .............................................................................. 44
3.6 Reducción a la forma canónica ................................................................................... 46
3.7 Condiciones de contorno ............................................................................................ 48
3.8 Planteamiento del problema ....................................................................................... 50
3.9 Trabajo con las condiciones de contorno ................................................................... 51
3.10 Solución de los casos ................................................................................................ 54
3.11 Conclusiones del capítulo ......................................................................................... 57
CONCLUSIONES ............................................................................................................ 59
RECOMENDACIONES .................................................................................................. 60
Referencias bibliográficas .................................................................................................... 61
5
INTRODUCCIÓN
Los problemas de contaminación son cada vez más debatidos en el ámbito internacional
debido a los trastornos que les pueden causar a la ecología y a la biodiversidad. Parafraseando
las palabras de Arthur-Bertrand “El ser humano, propiciador de la mayor polución, no está
exento como especie de las consecuencias que de sus acciones sobre el medio ambiente se
deriven”. Aún se recuerda el discurso previsor del Comandante Fidel Castro Ruz en la
Cumbre de Río de 1992 cuando afirmó: “una importante especie biológica está en riesgo de
desaparecer por la rápida y progresiva liquidación de sus condiciones naturales de vida: el
hombre”.
En el territorio nacional en los mayores niveles jurídicos y gubernamentales se encuentra la
implementación de la protección al medio ambiente. Así, se aprecia la preocupación
constante del cuidado al mismo en la Constitución de la República de Cuba y en la Ley 81
del Medio Ambiente. Según los datos de la Estrategia Ambiental Nacional del país los
principales problemas medioambientales que nos afectan son:
Degradación de los suelos.
Deterioro de saneamiento y de las condiciones ambientales en asentamientos
humanos.
Contaminación de las aguas terrestres y marinas.
Deforestación.
Pérdida de la diversidad biológica.
La contaminación del agua como uno de los puntos vulnerables en los problemas
medioambientales que presenta Cuba, constituye una línea de investigación muy amplia. Si
elegimos los ríos entre sus principales contaminantes se destacan: el oxígeno disuelto, la
demanda biológica del oxígeno, el nitrato, los fósforos entre otros. La realización de
exámenes de laboratorio es muy costosa y aporta resultados de un momento de tiempo
determinado pero la concentración del contaminante en el río varía con respecto al tiempo
por lo que si se desea saber el nivel de concentración de determinado contaminante en un río
en cualquier instante de tiempo se hace necesaria su modelación mediante herramientas
matemáticas.
6
En la actualidad los nitratos se han convertido poco a poco en una de las principales fuentes
de contaminación difusa debido al aumento de los fertilizantes nitrogenados y a la propia
acción del hombre de arrogar desechos a los ríos. Su incremento desmedido puede llegar a
ser perjudicial tanto para el propio río y las especies que en el habitan como para el hombre
si esas aguas son empleadas en regadíos o se comunican con sistemas de abastecimiento de
agua potable. Por ello es necesario su control mediante la modelación matemática. Dicha
modelación contribuiría a otros estudios o planes para la reversión de la contaminación en
las aguas. Con ella se lograría un mayor acercamiento a un enfoque físico-matemático del
problema de contaminación en los ríos, lo cual pudiera revertir en un beneficio para la
sociedad al brindar información científicamente sustentada de la propagación de la polución
en ellos.
Dado los elementos expresados con anterioridad se formula la siguiente interrogante
científica: ¿Cómo solucionar matemáticamente el problema relacionado con el transporte del
nitrato como contaminante en los ríos? Enmarcándose el objeto de estudio en la aplicación
de las EDP lineales de segundo orden con coeficientes constantes en la modelación de los
fenómenos naturales y su campo de acción en el estudio de los modelos vinculados con los
lechos fluviales. De la interrogante científica se plantea como hipótesis de investigación que:
mediante la solución de un modelo matemático se puede conocer el tiempo que demoraría
una corriente contaminante en ocupar cierto sitio y el grado de polución en ellos.
El objetivo general de esta investigación es: resolver el caso no estacionario unidimensional
de una ecuación de dispersión-advección que incluye términos de reactancia químico-
biológica y de cargas de vertimiento para medir la concentración del nitrato en los ríos.
Para dar cumplimiento a este objetivo se proponen los siguientes objetivos específicos:
1. Determinar el modelo matemático idóneo para la solución del problema científico
2. Establecer de manera adecuada las condiciones complementarias del modelo.
3. Fundamentar la teoría aplicada relacionada con la solución del problema de Riemann.
4. Obtener el sistema de ecuaciones diferenciales que permite obtener la solución del
problema planteado.
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Se destaca como novedad científica de la tesis el haber encontrado la solución en cuadraturas
para problemas de tipo parabólico que modelan la concentración de contaminantes en un río
con una fuente de contaminantes en el semieje derecho.
Los resultados obtenidos constituyen un aporte teórico a la teoría de los problemas de
contorno de las ecuaciones diferenciales parciales relacionadas con la concentración de
contaminantes en los ríos porque por primera vez, según la bibliografía consultada, se reduce
el fenómeno estudiado a la solución de un problema de Riemann de índice cero que, por
tanto, tiene solución única.
El aporte práctico consiste en que la solución obtenida mediante cuadraturas permite que
los profesionales que utilizan modelos parabólicos e hiperbólicos en el análisis de la
contaminación de lechos fluviales, puedan encontrar la solución del problema planteado con
relativa facilidad conociendo solamente los coeficientes y funciones que describen el modelo,
sin que sea necesario que posean un dominio profundo de la teoría antes expuesta.
Para el desarrollo de este trabajo se han combinado diferentes métodos científicos. Los del
nivel teórico de análisis-síntesis e inductivo-deductivo se aplicaron en el estudio de las
fuentes de información, la extracción de regularidades y tendencias vinculadas con el objeto
de estudio y la discriminación lógica y diferenciación necesaria. También al modelar la
concentración de nitrato en un río y luego adaptar las condiciones de contorno para poder
obtener un problema de Riemann. El método histórico-lógico se utilizó en el análisis del
origen y la evolución histórica de la forma en que se aborda el estudio de la calidad del agua,
así como el estudio del nitrato como contaminante, atendiendo a las perspectivas y
necesidades planteadas por el problema científico en el contexto establecido por el objeto
práctico de investigación.
De los Métodos del nivel empírico el análisis documental se utilizó para la revisión
bibliográfica de un grupo relevante de documentos relacionado con el tema, el cual incluye
libros, datos de la práctica y sitios de Internet. Uno de los documentos más valiosos para la
conformación del trabajo ha sido la tesis de doctorado de la Doctora. Yanelis Estrada
Hernández.
8
El trabajo se compone de la siguiente manera: introducción, tres capítulos, conclusiones,
recomendaciones y referencias bibliográficas. En el capítulo I se hace referencia al estado
del arte de la modelación de la calidad del agua a partir de 1995 donde se incluyó el nitrato
como contaminante. Se expone una reseña histórica del problema de Riemann, así como los
resultados obtenidos por el grupo de ecuaciones diferenciales de la Universidad Central
“Marta Abreu” de Las Villas referido al tema. En el capítulo II se dan a conocer los
resultados fundamentales vinculados con la solución de problemas de contorno de la física
matemática y el problema de Riemann, obtenidos de la tesis de doctorado de la Dra. Yanelis
Estrada, que se utilizan como base fundamental para la solución del modelo. En el capítulo
III se da un breve resumen sobre la importancia del estudio del nitrato como contaminante.
Se procede a confeccionar el modelo matemático que describa la concentración del nitrato
en los ríos y se le da solución analítica al modelo mediante cuadraturas.
9
CAPÍTULO I. ESTADO DEL ARTE DE LA MODELACIÓN DE LA CALIDAD DEL
AGUA.
En este capítulo se hace referencia al estado del arte de la modelación de la calidad del agua
haciendo énfasis en la etapa posterior a la década de los 90. Además, se expone una reseña
histórica del problema de Riemann con el objetivo de dar a conocer los principales resultados
alcanzados en el tema por diferentes especialistas, así como los resultados obtenidos por el
grupo de ecuaciones diferenciales de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
referido al tema.
1.1 Modelos de la calidad de aguas superficiales. El estudio del nitrato como
contaminante.
El primer modelo matemático de un cuerpo de agua superficial fue el modelo de Streeter-
Phelps. Este trabajo corresponde a un hito histórico, pues presenta la primera modelación de
Oxígeno Disuelto y Demanda Bioquímica de Oxígeno (OD-DBO) para un río. Este modelo
puede considerarse el pionero de todos los modelos que posterior y actualmente se siguen
elaborando (Cárdenas, 2016). Durante décadas los modelos que se confeccionaron se
limitaron al estudio del (OD-DBO) así como otros procesos en menor escala que intervenían
en ellos. Durante el período de 1970 a 1975, los modelos de sistemas no lineales fueron
desarrollados e incluían los sistemas cíclicos del Nitrógeno y el Fósforo, el sistema del
fitoplancton y el zooplancton y se enfocaron en la relación entre tasa de crecimiento biológico
y los nutrientes, la luz solar y la temperatura y el fitoplancton y la tasa de crecimiento del
zooplancton. El método de diferencias finitas y el método de elementos finitos fueron
aplicados exitosamente a estos modelos de la calidad del agua debido a la relación no lineal
existente, para luego ser simulados usando modelos en una o dos dimensiones (Qinggai,
2013). El análisis de sensibilidad cobró gran importancia a la hora de examinar la
confiabilidad del modelo, pero no fue hasta después de 1995, donde debido a la seca y
húmeda deposición atmosférica, tales como los componentes orgánicos, los metales pesados
y los componentes de nitrógeno se mostraron efectos crecientes de ellos en la calidad del
agua de ríos.
A pesar de que los nutrientes y los materiales químicos depositados en aguas superficiales
han sido incluidos en el armazón de los modelos existentes previamente, estos no solo se
10
depositan directamente en las aguas superficiales, sino que también se pueden depositar en
tierras aledañas de una cuenca, para por distintos procesos, ser transferida secuencialmente
al cuerpo de agua, convirtiéndose esta vía en una fuente importante de contaminación
(Qinggai, 2013); de ahí que se incluyera en la modelación de la calidad del agua estos
distintos procesos externos en toda la cuenca hidrográfica (atendiendo al contaminante que
se quisiera modelar) que posibilitara una aproximación más acertada de la realidad,
aumentando el costo computacional y la complejidad de los modelos.
En esta etapa también se integraron algunos modelos de contaminación del aire a los
modelos de calidad del agua para evaluar directamente la contribución de la deposición de
contaminantes atmosféricos.
Además de los programas clásicos de simulación, se desarrollaron otros para simular
condiciones ambientales más complejas. Por ejemplo, P. G. Whitehead y colaboradores
desarrollaron un modelo de nitrógeno integrado semidistribuido (INCA) basado en los
efectos del nitrógeno que se encuentra en la atmósfera y en el suelo, al uso de la tierra y a la
hidrología. Más recientemente, Fan y colaboradores. integraron el QUAL2K y el HEC-RAS
para simular el impacto de los efectos de la marea en la simulación de la calidad del agua.
Para la integración de la fuentes puntuales y no puntuales, la US Environmental Protection
Agency (USEPA), desarrolló un sistema de análisis medioambiental multipropósito
(BASINS), lo cual hizo posible que se accediera a una gran cantidad de fuentes puntuales y
no puntuales La USEPA desarrolló QUAL I en 1970 (Qinggai, 2013).
En la tabla 1.1 se pueden apreciar los distintos programas de simulación que incluyen el
modelo de Streeter-Phelps como son: QUASAR, QUAL, WASP, CE-QUAL-W2, BASINS,
MIKE y EFDC; los cuales fueron usados ampliamente a nivel mundial. Por el año 2013,
Kennel y colaboradores concluyeron que estos modelos de dominio público (por ejemplo, el
QUAL2E, el WASP7 y el QUASAR) son los más adecuados para la simulación de OD a
través de ríos y corrientes (Qinggai, 2013).
Por lo general los países desarrollados presentan modelos mejores y más avanzados,
atendiendo a que presentan las condiciones socioeconómicas necesarias para su
implementación. Algunos modelos de calidad de aguas superficiales también han sido
establecidos en algunas universidades o institutos de China en esta etapa; pero estos modelos
11
no fueron ampliamente utilizados como los modelos MIKE, el modelo EFDC y los modelos
WASP.
A pesar del desarrollo innegable de la computación y con esta, de los programas de
simulación, el desarrollo y utilización de los modelos clásicos de Streeter-Phelps no ha
dejado de utilizarse en problemas prácticos debido a su simplicidad y fácil manejo con
respecto a los programas de simulación. Muchos de los modelos de contaminantes no
conservativos de estado permanente (steady- state), utilizados para estimar la calidad del agua
en ríos, son extensiones de las ecuaciones clásicas propuestas por Streeter-Phelps (1925) y
son llamados modelos modificados de Streeter-Phelps.
Como se había expresado anteriormente, no todos los países presentan las condiciones
socioeconómicas y técnicas necesarias para el uso de programas complejos que requieren de
una gran cantidad de datos; por lo que recurren a una primera aproximación utilizando los
llamados modelos modificados de Streeter – Phelps con validez práctica.
Tabla 1: Principales modelos de agua superficial
Modelos Versión del modelo Características
Modelo de
Streeter-
Phelps
Modelo S-P; Thomas
Modelo OD-DBO;
O’Connor
Modelo OD-DBO
Dobbins – Camp
Streeter-Phelps estableció el primer modelo clásico de
OD-DBO. Los modelos de Streeter-Phelps se enfocan en
el balance de oxígeno y en la descomposición de primer
orden de la DBO, y todos son de modelos estacionarios
unidimensionales.
Modelos
QUAL
QUAL I
QUAL II
QUAL 2E
QUAL UNCAS
QUAL 2K
La USEPA desarrolló el modelo QUAL I en 1970. Los
modelos QUAL se usan para ríos dendríticos y fuentes no
puntuales de contaminación, incluyendo los modelos
dinámicos o estacionarios unidimensionales.
12
Modelos
WASP
Modelos WASP 1-7 La USEPA desarrolló el modelo WASP en 1983. Los
modelos WASP se usan para simular la calidad del agua
en ríos, lagos estuarios, zonas húmedas costeras y
embalses; incluyendo modelos en una, dos o tres
dimensiones.
Modelos
QUASAR
Modelo QUASAR Whitehead estableció este modelo en 1997. El modelo
QUASAR se usa para simular el OD en ríos grandes, y
es un modelo dinámico unidimensional que incluye
herramientas de PC_QUASAR, HERMES y
QUESTOR.
Modelos
MIKE
MIKE 11
MIKE 21
MIKE 31
El Instituto de Hidrología de Dinamarca desarrolló estos
modelos MIKE, los cuales se usan para simulaciones de
la calidad de las aguas en ríos, estuarios y zonas húmedas
con influencia de mareas; incluyendo modelos en una, dos
o tres dimensiones.
Modelos
BASINS
BASINS
BASINS
BASINS
BASINS
La USEPA desarrolló estos modelos en 1996. Los
modelos BASINS son sistemas multipropósito de análisis
medioambiental e integran fuentes puntuales y no
puntuales de contaminación. Estos modelos son usados
para análisis de la calidad del agua a escala de cuencas.
Modelos
EFDC
Modelo EFDC El Instituto Virginia de Ciencias Marinas desarrolló este
modelo. La USEPA, en 1997, lo había listado este modelo
como una herramienta para el manejo de la calidad del
agua. El modelo EFDC se usa para simular la calidad del
agua en ríos, lagos, embalses, estuarios y zonas húmedas;
incluyendo modelos en una, dos y tres dimensiones.
Por ejemplo, en el año 1990, Song y Brown usaron una forma modificada de las ecuaciones
de Streeter-Phelps para evaluar la incertidumbre con entradas asociadas usando análisis de la
13
sensibilidad, análisis del error y simulación del método de Monte Carlo en un río hipotético.
Canale y colaboradores (1995) también usaron un modelo modificado de Streeter – Phelps
para modelar el OD en el río Seneca, New York y encontraron resultados razonables. En el
2001 Gelda y colaboradores desarrollaron y calibraron un modelo dinámico bidimensional
de OD basado en la demanda de oxígeno por el mejillón cebra (DOC) (el cual es una de las
100 especies exóticas invasoras más dañinas del mundo) para un tramo de 2.3 km del río
Seneca. En 2005, Quinn y Jacobs usaron el modelo de Streeter – Phelps para determinar los
niveles críticos de OD y poder así trazar las estrategias de control en el río Joaquín (Hider,
2013). En este mismo año Jha y Ojha usaron el mismo modelo para simular el OD en el río
Kali, en India y en el 2007 lo refinaron para simular la DBO y el OD para fuentes puntuales
y no puntuales del mismo río Kali. Haider y Ali (2010) también usaron el modelo de Streeter
– Phelps en función del OD en el río Ravi, en Pakistán, pero con flujo altamente variable
(Cárdenas, 2016).
1.2 Historia de la modelación de la calidad del agua en Cuba
Desde la década del 80 del pasado siglo, en Cuba se reconoció la aplicabilidad del clásico
modelo de Streeter-Phelps para describir el proceso de autodepuración en corrientes cubanas.
J.M. García y J. Gutiérrez (1982) emplearon el modelo para estudiar el tercio inferior del
río Damují en Cienfuegos, J.M. García y colaboradores (1982) y Santiago (1984) lo usaron
para los ríos Martín Pérez y Cojímar de la ciudad de La Habana. J. M. García (1985) lo
utilizó para describir el comportamiento del OD y la DBO en el río de Sagua la Chica,
mientras que G. Ruiz y colaboradores (1992) aplicaron el modelo en los últimos tramos del
río San Juan en Matanzas (Cárdenas, 2016).
En 1989, J. M. García recopiló y sistematizó la información fundamental existente sobre las
características del proceso de autodepuración en corrientes cubanas y propuso una
metodología para el empleo del modelo simplificado de Streeter-Phelps y para el cálculo de
la carga máxima asimilable a partir de este.
Hay que tener en cuenta que en ninguna de las corrientes estudiadas el modelo fue validado
lo que limita su empleo en la planificación de estrategias de manejo del agua y los residuales,
y la elaboración de estrategias de saneamiento(Cárdenas, 2016).
14
En la presente década, la característica de la contaminación en los ríos cubanos es similar.
La componente carbonosa continúa siendo dominante y los residuales reciben en el mejor de
los casos tratamiento primario.
En el año 2002 E. Perigó y colaboradores emplearon la modelación de la calidad del agua
para estudiar la contaminación del río Casas. En este estudio aplicaron modelos matemáticos
conservativos obtenidos como resultado de la solución de la ecuación de balance de materia
por métodos numéricos. En ese mismo año, M. Pérez calibró modelos de calidad del agua
para la bahía de Matanzas. En el 2004 Judith Domínguez realizó un estudio en el río
Almendares con el empleo de trazadores radiactivos o radiotrazadores al igual que Valcárcel
y colaboradores en el río de Luyanó en el año 2010.
Yuliesky Garcés y Amílcar Calzada en el 2011 investigaron sobre la importancia del sistema
de ecuaciones de Saint-Venant para la obtención y aplicación de modelos hidrodinámicos
Oiltrack sobre campos de corrientes marinas en la bahía de Cárdenas, Matanzas (Cárdenas,
2016).
1.3 Problema de Riemann: Reseña histórica, algunas definiciones y resultados
auxiliares.
Con este epígrafe no se pretende abarcar todo lo relacionado al problema de Riemann, sino
incluir sólo aquellos resultados principales que son imprescindibles para el desarrollo de esta
investigación y que por su importancia no pueden dejar de mencionarse.
El grupo de investigación de ecuaciones diferenciales de la Facultad de Matemática, Física
y Computación de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas ha trabajado en la
solución de problemas abiertos de las ecuaciones en derivadas parciales mediante su
reducción a problemas de contorno de la teoría de funciones analíticas utilizando para ello la
transformada de Fourier, cuando el coeficiente y el término independiente del problema de
contorno de Riemann pertenecen a clases relacionadas con los espacios 𝐿𝑝 y cuando las
condiciones de contorno están dadas por semiejes.
El problema de Riemann se dio a conocer por primera vez en la obra de Riemann sobre
ecuaciones diferenciales con coeficientes algebraicos, a mediados del siglo XIX de la
siguiente manera (Gajov, 1980): Dado un contorno, 𝐿, con determinadas condiciones, que
15
divide el plano complejo en un dominio interior 𝐷+ y un dominio exterior 𝐷−, y dos
funciones complejas 𝐺 y 𝑔 definidas sobre 𝐿, que satisfacen ciertas condiciones se denomina
problema de contorno de Riemann [problema de Riemann-Hilbert, problema de Hilbert,
problema de Hilbert-Priválov, problema de Riemann-Priválov, problema de conjugación
lineal], al problema consistente en encontrar dos funciones, Φ+(z) analítica en el dominio
𝐷+, y Φ−(𝑧) analítica en el dominio 𝐷− incluido 𝑧 = ∞, que satisfagan sobre 𝐿 la condición:
Φ+(𝑡) = 𝐺(𝑡)Φ−(𝑧) (Problema homogéneo) (i)
Φ+(𝑡) = 𝐺(𝑡)Φ−(𝑧) + 𝑔(𝑡) (Problema no homogéneo) (ii)
Las funciones 𝐺 y 𝑔 se denominan coeficiente y término independiente del problema
respectivamente.
Si se considera 𝐿 cerrado y simple y 𝐺(𝑡) como una función seccionalmente constante, los
problemas (i) o (ii), se reduce a un caso particular del problema planteado por Riemann. Los
problemas (i) y (ii), se conocen también con el nombre de “Problema de Riemann”, nombre
que se utilizará en esta investigación (Musjelishvili,1966:147).
1.4 Resultados más recientes sobre el problema de Riemann
Diferentes temas relacionados con lo visto anteriormente se continúan trabajando; por lo que
pudiéramos citar algunos de los trabajos realizados recientemente, dando a conocer así,
algunos resultados alcanzados a nivel mundial:
En (Fokas, 2008) se resuelven ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer
orden utilizando la transformada de Fourier, así mismo (Huazhou & Tao, 2011) resuelve un
problema de EDP de primer orden con condiciones iniciales suponiendo que estas
condiciones iniciales ya son las soluciones del problema de Riemann. En (Francois, 2000)
se trabaja con sistemas hiperbólicos llevados a un problema de Riemann. (Pelloni, 2011)
modela problemas de ecuaciones diferenciales parciales de segundo y tercer orden, lineales
y no lineales y luego utilizando la transformada de Fourier lo lleva a un problema de
Riemann en las clases de Hölder. En todos estos artículos se trabaja en contornos cerrados.
En un trabajo muy interesante de (Its & Shepelsky, 2012), se resuelven problemas de
contorno de EDP no lineales con condiciones de contorno específicas, llamadas condiciones
16
de Robin. También vale mencionar los trabajos realizados por Elizabeth Its y Alexander Its,
(Its, 2007; Its, 2011; Its, 2003), los cuales trabajan en las aplicaciones del problema de
Riemann en diferentes campos. (Ivanov, 1958) estudia el problema de Riemann en dos
dimensiones. Luego (Kamvissis, 2003) lleva una ecuación de primer orden en derivadas
parciales a un problema de Riemann suponiendo también que las condiciones de contorno
son exactamente la solución del problema de Riemann transformado. (Jiequan L., 2009)
trabaja de forma muy similar al anterior para EDP de primer orden. En el libro de (Clancey
& Gohberg, 1981) se trabaja el problema de Riemann homogéneo de forma matricial y se
exponen una serie de definiciones en las clases 𝐿𝑝. Además, (Jvedelidze, 1958) hace un
resumen de todas las teorías relacionadas con el problema de Riemann y las clases de
funciones. Son muchos los trabajos donde se estudia el problema de Riemann en otras
variantes; se pudieran enunciar algunos de ellos referenciados en (Kamvissis & Rakhmanov,
2005; Kilian, 1994; Deift & Zhou, 1993; Estrada, 2015).
1.5 Resultados del grupo de ecuaciones diferenciales de la Universidad Central “Marta
Abreu” de Las Villas
El grupo de Ecuaciones Diferenciales de la Facultad de Matemática, Física y Computación
de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas ha estado trabajando desde finales
del siglo pasado en el problema de Riemann, se pudieran enunciar diferentes resultados que
inspiraron esta investigación: (Mederos, 1987) trabajó en el problema de Riemann con
desplazamiento, (Grau, 1986) ofreció la solución de ecuaciones diferenciales con
coeficientes seccionalmente constantes con el auxilio del problema de Riemann, el Dr.
Lorgio Batard realizó un estudio de la estabilidad y solución del Problema de Riemann en las
clases 𝐿2𝜆 (Batard, 1990; Mederos, 1990a; Mederos, 1990b) ,luego define las nuevas clases
de Funciones Generalizadas (Batard, 2001b) para después encontrar la solución del problema
de Riemann en las nuevas clases de Funciones Generalizadas antes definidas por él (Batard,
2001a). También determina la clase de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales
parciales que se reducen a un problema de Riemann utilizando la técnica de Cherski y las
condiciones que debe cumplir para que el problema esté bien planteado y poderlo reducir a
un problema de Riemann (Batard, 1990; Mederos, 1990b).
17
Luego a partir de todos estos resultados los doctores Lorgio Batard y Otilio Mederos
obtuvieron la solución al problema elíptico con condiciones de contorno diferentes por
semiejes en las clases 𝐿2𝜆 (Mederos, 2006). Más adelante (Estrada, 2008) obtiene la solución
de un problema de contorno de tipo parabólico con condiciones dadas por semiejes y la
solución de un problema de contorno de tipo hiperbólico con condiciones dadas también por
semiejes, ambos en la clase 𝐿2𝜆 (Estrada, 2015).
1.6 Conclusiones del capítulo
Mediante años de investigación dedicados por el grupo de ecuaciones diferenciales al
problema de Riemann se llegaron a dos tesis de alto valor teórico e importancia en la física-
matemática pues se les da solución analítica a los problemas de tipo parabólico, elíptico e
hiperbólico con condiciones de contorno partidas por semiejes para los casos más generales.
Estos tienen infinitas aplicaciones prácticas entre ellas encontrar la solución analítica en
cuadraturas de los modelos para medir la concentración de determinado contaminante en los
ríos que en la mayoría de los casos solo cuentan con soluciones numéricas pues es muy
engorroso y a veces imposible dar con las analíticas.
18
CAPÍTULO II: ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LA SOLUCIÓN DEL
PROBLEMA DE RIEMANN NECESARIOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DE CONTORNO DE LA FÍSICA MATEMÁTICA.
2.1 Algunos conceptos y definiciones básicas
Antes de comenzar es necesario exponer tres definiciones que utilizaremos a lo largo de
nuestra investigación: transformada de Fourier, índice y clases de Hölder.
2.1.1 Transformada de Fourier
Sea 𝑓: ℝ → ℂ, ∀𝑥 ∈ ℝ, si existe la integral ∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡+∞
−∞ se denomina entonces
transformada de Fourier al operador 𝐹(𝑥) = 𝑉𝑓(𝑡) =1
√2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞ y transformada
inversa al operador 𝑓(𝑡) = 𝑉−1𝐹(𝑥) =1
√2𝜋∫ 𝐹(𝑥)𝑒−𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥
+∞
−∞ (Kolmogorv, 1975).
Algunas propiedades de la transformada de Fourier de interés para esta investigación son:
a) Si 𝑓(𝑡) ∈ 𝐿2(ℝ) ⟹ ⋁𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑥) ∈ 𝐿2(ℝ) por lo tanto se puede decir que en
𝐿2(ℝ) está definida tanto la transformada como la antitransformada de Fourier.
b) Fórmulas para resolver ecuaciones en derivadas parciales: 𝑓 ∈ 𝐿1, 𝐿2, 𝐿2𝜆 , … y
𝐹 ∈ 𝐿1, 𝐿2, 𝐿2𝜆 , …
b.1) 𝑉 [𝜕𝑞
𝜕𝑦𝑞 𝑓(𝑥, 𝑦)] =𝑑𝑞
𝑑𝑦𝑞 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑞 ∈ ℕ
b.2) 𝑉 [𝜕𝑞
𝜕𝑥𝑞𝑓(𝑥, 𝑦)] = (−𝑖𝑥)𝑞𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑞 ∈ ℕ
2.1.2 Índice
Se tiene que si 𝐷(𝑥) es el valor de contorno de una función analítica en el semiplano superior
(inferior), con excepción quizás de un número finito de polos en este semiplano, entonces se
cumple la siguiente igualdad:
𝐼𝑛𝑑 𝐷(𝑥) = 𝑁 − 𝑃 (𝐼𝑛𝑑 𝐷(𝑥) = 𝑃 − 𝑁)
Donde 𝐼𝑛𝑑 𝐷(𝑥) denota el índice de 𝐷(𝑥) , y por 𝑁 y 𝑃 se denotan el número de ceros y
polos en el semiplano superior e inferior respectivamente considerando cada cero y polo
tantas veces como su orden de multiplicidad (Estrada, 2015).
19
2.1.3 Clases de funciones
Sea 𝑓 una función 𝑓: ℝ → 𝐾, se dice que 𝑓 pertenece a la clase de Hölder, si existen
constantes 𝐴 y 𝜆 , 𝐴 > 0 y 𝜆 ∊ (0,1] para las cuales se verifica:
1. |𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)| ≤ 𝐴|𝑥2 − 𝑥1|𝜆 ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ; ∃ 𝑁 > 0: 𝑠𝑖|𝑥1| > 𝑁, |𝑥2| > 𝑁
Se cumple que:
2. |𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)| ≤ 𝐴 |1
𝑥2−
1
𝑥1|
𝜆
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ
Las constantes 𝐴 y 𝜆 se denominan coeficiente e índice de Hölder respectivamente. La clase
de las funciones que satisfacen la condición de Hölder para un mismo índice 𝜆 se denotan
por 𝐻𝜆(ℝ).
Se dice que 𝑓: ℝ → 𝐾 es un elemento de 𝐿2(ℝ) si. ∫ |𝑓(𝑥)|2+∞
−∞𝑑𝑥 < +∞. Una de las
propiedades interesantes de la clase 𝐿2(ℝ), es que el producto de una función de 𝐿2(ℝ) por
una función acotada es de 𝐿2(ℝ), la cual es una demostración evidente. El espacio 𝐿2+(ℝ) es
el espacio de funciones 𝐹+(𝑥) de 𝐿2(ℝ) que son prolongables analíticamente al semiplano
superior 𝑦 > 0 y cumplen con:
∫ +∞
−∞|𝐹+(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑐𝑡𝑒 (la misma ∀ 𝑦 > 0).
De igual forma, 𝐿2−(ℝ) es el espacio de funciones de 𝐿2(ℝ) que son prolongables
analíticamente al semiplano inferior 𝑦 < 0 y cumplen con:
∫ +∞
−∞|𝐹−(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑐𝑡𝑒 (la misma ∀ 𝑦 < 0).
La clase de las funciones 𝑓 ∈ 𝐿2(ℝ) tales que 𝑓 ≡ 0 si 𝑥 < 0 (𝑥 > 0) se denotan por
𝐿2+(ℝ) (𝐿2−(ℝ)).
Continuando con el análisis de este tipo de clases de funciones podemos decir que se cumple
el siguiente teorema (Mederos, 2006): Para que la función 𝑓+(𝑥) sea elemento de 𝐿2+(ℝ) es
necesario y suficiente que su transformada 𝐹+(𝑡) = 𝑉{𝑓+(𝑥)} sea elemento de 𝐿2+(ℝ).
Para que la función 𝑓−(𝑥)sea elemento de 𝐿2−(ℝ) es necesario y suficiente que su
transformada 𝐹−(𝑡) = 𝑉{𝑓−(𝑥)} sea elemento de 𝐿2−(ℝ).
F
20
La clase de las funciones 𝐿2𝜆(ℝ)se define por 𝐿2
𝜆(ℝ) = 𝐿2(ℝ) ∩ 𝐻𝜆(ℝ).
La clase de las funciones 𝐿2(ℝ) que pertenece a una de las funciones de Hölder se denota
por el símbolo {{0}}, o sea, {{0}} = ⋃ 𝐻𝜆(ℝ) ∩𝜆𝜖(0,1] 𝐿2(ℝ).
Los espacios {0}𝑖 son aquellos de las funciones que tienen su transformada en 𝐿2𝜆(ℝ), o sea
𝑉{𝑓 (𝑥)}es elemento de 𝐿2𝜆(ℝ), si 𝑓 ∈ {0}𝑖
.
La clase de las funciones 𝑓 ∈ {0}𝑖 tales que 𝑓 ≡ 0 si 𝑥 < 0 (𝑥 > 0) se denota por
𝐿2+𝜆 (ℝ)(𝐿2−
𝜆 (ℝ)).
La clase de las funciones 𝐹± ∈ 𝐿2𝜆(ℝ) que son prolongables analíticamente al semiplano
superior (inferior) y que satisfacen que:
∫ |𝐹+(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑀, 𝑠𝑖 𝑦 > 0+∞
−∞ (∫ |𝐹−(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑀, 𝑠𝑖 𝑦 < 0
+∞
−∞),
donde 𝑀es independiente de 𝑦, se denota por 𝐿2𝜆+(ℝ)(𝐿2
𝜆−(ℝ)).
La clase de las funciones 𝑓 que no se anulan sobre ℝ y tales que 𝑓(± ∞) = 1 y 𝑓−1es
elemento de 𝐿2𝜆+(ℝ)(𝐿2
𝜆−(ℝ)) se denota por 𝐿2𝜆+(ℝ + 1)(𝐿2
𝜆−(ℝ + 1)).
Del teorema y de las definiciones anteriores se tiene el teorema siguiente: Una condición
necesaria y suficiente para que la función 𝑓 pertenezca a 𝐿2+𝜆 (ℝ)(𝐿2−
𝜆 (ℝ))es que su
transformada de Fourier 𝐹 pertenezca a 𝐿2𝜆+(ℝ)(𝐿2
𝜆−(ℝ)) (Estrada, 2015).
2.2 Planteamiento del problema no homogéneo.
Ahora estamos en condiciones de realizar el planteamiento del problema no homogéneo de
tipo parabólico con condiciones de contorno dadas por semiejes, el cual consiste en encontrar
una función 𝑢(𝑥, 𝑦) que satisfaga la ecuación en derivadas parciales, las condiciones de
contorno y que pertenezca a la clase S, donde:
𝑆 = {𝑢 ∈ 𝐹(Ω): 𝑢𝑥𝑥 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑢𝑦 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑢 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 0 < 𝑦 < +∞}
siendo 𝐹(Ω)es la clase de funciones que están definidas sobre el semiplano 𝛀
y 𝐿2𝑥(ℝ) es la clase 𝐿2(ℝ) con respecto a la variable 𝑥. Por lo tanto, se tiene
21
que:
Dada la ecuación diferencial parcial de tipo parabólico
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑘𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦), 𝑘 ≠ 0 (2.1.1)
en la región
Ω = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 < 𝑦 < +∞} (2.1.2)
Figura 2.1 Representación gráfica de la región Ω
Y las condiciones de contorno
𝛽00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛽10𝑢𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔11(𝑥), 𝑥 < 0 (2.1.3)
𝛾00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛾10𝑢𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0 (2.1.4)
Donde 𝛽𝑖𝑗 y 𝛾𝑖𝑗 𝑖 = 0,1̅̅ ̅̅ , 𝑗 = 0,1̅̅ ̅̅ son números reales y
𝑔(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑔11(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(−∞, 0) y 𝑔12(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(0, +∞)
y además se desea encontrar condiciones sobre los elementos conocidos de (2.1.1), (2.1.3) y
(2.1.4) para que la ecuación (2.1.1) tenga solución única en la región (2.1.2), que satisfagan
las condiciones (2.1.3) y (2.1.4).
El problema está bien planteado y se puede llevar a un problema de Riemann porque el
número de condiciones de contorno (2) es igual al orden de la ecuación diferencial con
respecto a (1), por el número de regiones (1), más uno. y
𝛀
x
y
0
22
Trabajando en el semiplano superior, no se pierde generalidad, pues utilizando
transformaciones conformes es posibles transformar una gran variedad de regiones, incluso
acotadas al problema aquí estudiado.
2.3 Reducción a un problema de Riemann
A continuación, se aplica la técnica de Cherski para reducir el problema planteado en 2.1.1 a
un problema de Riemann para el semiplano:
Aplicación de la transformada de Fourier a la ecuación (2.1.1)
Realizando esta operación se obtiene la ecuación diferencial ordinaria
𝑘𝑑𝑈(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦− 𝑥2𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥, 𝑦) (2.2.1)
Para encontrar la solución de la ecuación diferencial ordinaria paramétrica (2.2.1), donde en
este caso el parámetro es la variable 𝑥 , se utiliza la raíz de la ecuación característica:
𝑘𝑧 − 𝑥2 = 0 la cual tiene la forma 𝑧(𝑥) =𝑥2
𝑘 , ∀𝑥 ∈ ℝ, luego la solución general de (2.2.1)
es: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶(𝑥)𝑒 𝑧(𝑥)𝑦 + 𝑉(𝑥, 𝑦) (2.2.2)
Donde es una solución particular de (2.2.2) que viene dada por:
𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥2
𝑘𝑦
∫ 𝐺(𝑥, 𝑦) 𝑒−𝑥2
𝑘𝑦𝑑𝑦 (2.2.3)
En el caso de que el problema de contorno sea no homogéneo aparece la función V[𝑔(𝑥, 𝑦)]
para la cual tiene que cumplirse como condición suficiente que sea integrable con respecto a
𝑦, es decir V[𝑔(𝑥, 𝑦)] = 𝐺(𝑥, 𝑦) sea integrable con respecto a 𝑦, además, es una
función arbitraria que hay que determinar.
2.4 Adaptación de las condiciones de contorno (2.1.3) y (2.1.4) para la aplicación de la
Transformada de Fourier
Con ese objetivo se introducen las funciones y
𝑓+(𝑥) = {𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿2𝑥+(ℝ), 𝑥 ≥ 00, 𝑥 < 0
y
),( yxV
)(xC
f f
23
𝑓−(𝑥) = {0, 𝑥 > 0𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿2𝑥−(ℝ), 𝑥 ≤ 0
Estas funciones permiten escribir (2.1.3) y (2.1.4) en la forma
𝛽00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛽10𝑢𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔11−(𝑥) + 𝑓+(𝑥), |𝑥| < +∞ (2.2.4)
𝛾00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛾10𝑢𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔12+(𝑥) + 𝑓−(𝑥), |𝑥| < +∞ (2.2.5)
Donde:
𝑔11−(𝑥) = {𝑔11(𝑥), 𝑥 < 00 , 𝑥 ≥ 0
y 𝑔12+(𝑥) = {0 , 𝑥 ≤ 0𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0
2.5 Aplicación de la Transformada de Fourier a las nuevas condiciones de contorno
Realizando esta operación en (2.2.4) y (2.2.5) se obtiene:
𝛽00𝑈(𝑥, 0+) − 𝑖𝑥𝛽10𝑈(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝐺11− (𝑥) + 𝐹+(𝑥), (2.2.6)
𝛾00𝑈(𝑥, 0+) − 𝑖𝑥𝛾10𝑈(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝐺12+ (𝑥) + 𝐹−(𝑥), (2.2.7)
De acuerdo a la definición de 𝑓+ y 𝑓− las funciones 𝐹+(𝑥) y𝐹−(𝑥) se pueden considerar
como los valores límites de las funciones 𝐹+(𝑧) y 𝐹−(𝑧), analíticas en el semiplano superior
e inferior respectivamente, que satisfacen las condiciones:
∫ |𝐹+(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑀, 𝑠𝑖 𝑦 > 0+∞
−∞ 𝑦 ∫ |𝐹−(𝑥 + 𝑖𝑦)|2𝑑𝑥 < 𝑀, 𝑠𝑖 𝑦 < 0
+∞
−∞
Respectivamente, donde 𝑀 es el mismo para todas las 𝑦.
2.6 Obtención de una ecuación funcional en la cual las únicas funciones desconocidas
son 𝑭+(𝒙) y 𝑭−(𝒙)
A partir de (1.2.1) se obtiene fácilmente
𝑑𝑈(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦= 𝑧(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒 𝑧(𝑥)𝑦 +
𝑑𝑉(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦 (2.2.8)
Sustituyendo (2.2.2) y (2.2.8) en (2.2.6) y (2.2.7), y efectuando las operaciones necesarias se
obtiene el sistema:
24
𝑃1(𝑥)𝐶(𝑥) − 𝐹+(𝑥) = 𝐻1(𝑥) (2.2.9)
𝑃2(𝑥)𝐶(𝑥) − 𝐹−(𝑥) = 𝐻2(𝑥) (2.2.10)
Donde:
𝑃1(𝑥) = 𝛽00 − 𝑖𝑥𝛽10 +𝑥2
𝑘𝛽01 𝑦 𝑃2(𝑥) = 𝛾00 − 𝑖𝑥𝛾10 +
𝑥2
𝑘𝛾01
𝐻1(𝑥) = 𝐺11− (𝑥) − (𝛽00 − 𝑖𝑥𝛽10)𝑉(𝑥, 0+) − 𝛽01
𝑑𝑉
𝑑𝑦(𝑥, 0+)
𝐻2(𝑥) = 𝐺12+ (𝑥) − (𝛾00 − 𝑖𝑥𝛾10)𝑉(𝑥, 0+) − 𝛾01
𝑑𝑉
𝑑𝑦(𝑥, 0+)
y a partir de (2.2.3) se tiene:
𝑉(𝑥, 0+) = lim𝑦→0+
∫ 𝐺(𝑥, 𝑦) 𝑒−𝑥2
𝑘𝑦𝑑𝑦.
Si 𝑉(𝑥, 0+), 𝑥𝑉(𝑥, 0+)y𝑑𝑉
𝑑𝑦(𝑥, 0+) pertenecen a 𝐿2𝑥(ℝ) , es evidente que 𝐻1(𝑥)
y 𝐻2(𝑥)
pertenecen a 𝐿2𝑥(ℝ). De (2.2.9) se obtiene:
𝐶(𝑥) =𝐹+(𝑥)
𝑃1(𝑥)+
𝐻1(𝑥)
𝑃1(𝑥) (2.2.11)
sustituyendo (2.2.11) en (2.2.10) se obtiene el problema de Riemann
𝐹+(𝑥) = 𝐷(𝑥)𝐹−(𝑥) + 𝐻(𝑥) (2.2.12)
donde 𝐷(𝑥) =𝑃1(𝑥)
𝑃2(𝑥) 𝑦 𝐻(𝑥) =
𝑃1(𝑥)
𝑃2(𝑥)𝐻2(𝑥) − 𝐻1(𝑥) .
2.7 Condiciones de solubilidad del Problema de Riemann obtenido a partir del
problema de contorno parabólico
En este epígrafe se determinan condiciones necesarias y suficientes sobre los coeficientes de
(2.1.1), (2.1.3) y (2.1.4), para que el coeficiente y el término independiente de (2.2.12)
satisfagan las condiciones correspondientes al problema de Riemann.
25
Para obtener la solución de (2.2.12) en la clase 𝐿2𝑥𝜆±(ℝ̅)(𝐿2𝑥
± (ℝ)), se requiere que
pertenezca a la clase 𝐿2𝑥𝜆 (ℝ̅ + 1) y el término independiente pertenezca a 𝐿2𝑥
𝜆 (ℝ̅)(𝐿2𝑥(ℝ));
siendo 𝐿2𝑥𝜆 (ℝ̅ + 1) la clase de las funciones que satisfacen las condiciones siguientes:
i) 𝑓 no tiene ni ceros, ni polos sobre ℝ
ii) lim|𝑥|→+∞
𝑓(𝑥) = 1
iii) (𝑓−1) ∈ 𝐿2𝑥𝜆 (ℝ̅)
donde 𝐿2𝑥𝜆±(ℝ̅), 𝐿2𝑥
± (ℝ) y 𝐿2𝑥(ℝ) son las clases de funciones 𝐿2𝜆±(ℝ̅), 𝐿2
±(ℝ) y 𝐿2(ℝ) con
respecto a la variable 𝑥.
Se utilizará esta notación durante todo el trabajo.
2.8 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición i
Se tiene que: 𝐷(𝑥) =𝑃1(𝑥)
𝑃2(𝑥) , luego, se puede escribir:
𝐷(𝑥) =𝑘𝛽00−𝑖𝑘𝑥𝛽10+𝑥2𝛽01
𝑘𝛾00−𝑖𝑘𝑥𝛾10+𝑥2𝛾01 (2.3.1)
Si se separa la parte real y la parte imaginaria en el numerador de (2.3.1) e igualamos a cero,
se obtiene el sistema:
𝑥2𝛽01 + 𝑘𝛽00 = 0 (2.3.2)
𝑘𝑥𝛽10 = 0 (2.3.3)
Como 𝑘 ≠ 0, el sistema (2.3.2), (2.3.3) tiene evidentemente raíces reales solamente en las
siguientes variantes:
𝛽00 = 0, hay raíz en 𝑥 = 0, 𝛽01 ≠ 0, 𝛽10 = 0,𝑘𝛽00
𝛽01< 0; hay dos raíces reales del
tipo 𝑥 = ±√−𝑘𝛽00
𝛽01 .
Se cumple entonces el siguiente Teorema:
)(xD
f
)(xD
26
Teorema 2.1: El numerador (denominador) de no tiene ni ceros (ni polos) para 𝑥 ∈ ℝ,
si y solo si, se cumple una de las condiciones siguientes: 𝛽00𝛽10 ≠ 0(𝛾00𝛾10 ≠ 0)
𝛽10 = 0, 𝑘𝛽00𝛽01 > 0(𝛾10 = 0, 𝑘𝛾00𝛾01 > 0) ver (Estrada, 2015).
2.9 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición ii
Como lim|𝑥|→+∞
𝐷(𝑥) = lim|𝑥|→+∞
𝑘𝛽00−𝑖𝑘𝑥𝛽10+𝑥2𝛽01
𝑘𝛾00−𝑖𝑘𝑥𝛾10+𝑥2𝛾01 (2.3.4)
se tiene trivialmente el siguiente Teorema:
Teorema 2.2: El límite del segundo miembro de (2.3.4) existe y es distinto de cero, si y solo
si, se cumple una de las condiciones siguientes:
𝛽01𝛾01 ≠ 0 , en este caso el límite indicado en (2.3.4) es l =𝛽01
𝛾01.
𝛽01 = 𝛾01 = 0, 𝛽10𝛾10 ≠ 0 en este caso el límite indicado en (2.3.4) es l =𝛽10
𝛾10
𝛽01 = 𝛾01 = 𝛽10 = 𝛾10 = 0, 𝛽00𝛾00 ≠ 0 en este caso el límite indicado en (2.3.4) es l =𝛽00
𝛾00.
La demostración de este Teorema que aparece en (Estrada, 2015) es trivial.
Si 𝑙 ≠ 0, entonces multiplicando (2.2.12) por1
𝑙 se obtiene:
𝐹+(𝑥)
𝑙=
𝐷(𝑥)
𝑙𝐹−(𝑥) +
𝐻(𝑥)
𝑙
Considerando entonces las funciones:
𝐹1+(𝑥),
𝐹 +(𝑥)
𝑙 , 𝐹1
−(𝑥) = 𝐹 −(𝑥) 𝑦 𝐷1(𝑥) =
𝐷(𝑥)
𝑙 (2.3.5)
Se obtiene la ecuación funcional: 𝐹1+(𝑥) = 𝐷1(𝑥) 𝐹1
−(𝑥) +𝐻(𝑥)
𝑙 (2.2.12’)
para la cual se cumple lim|𝑥|→+∞
𝐷1(𝑥) = 1. Luego de (2.3.5) y (2.2.12’) se obtendría la
solución del problema original.
)(xD
)(xD
27
2.10 Determinación de las condiciones para que satisfaga la condición iii
Se cumple que 𝐷𝐴(ℝ) ⊂ 𝐻1(ℝ) ⊂ 𝐻𝜆2(ℝ) ⊂ 𝐻𝜆1
(ℝ) ⊂ 𝐶(ℝ), para , donde
por 𝐷𝐴(ℝ) se entiende la clase de las funciones 𝑓: ℝ → ℝ con derivadas acotadas sobre ℝ
que cumplen: lim|𝑥|→+∞
𝑓(𝑥) = lim|𝑥|→−∞
𝑓(𝑥)
Teorema 2.3: Si se cumple simultáneamente una de las condiciones del Teorema 1 y una
de las condiciones del Teorema 2, entonces(𝐷(𝑥) − 1) ∈ 𝐿2𝑥𝜆 (ℝ̅). La demostración aparece
en (Estrada, 2015).
2.11 Determinación de las condiciones para que el término independiente de (2.2.12) sea
elemento de 𝑳𝟐𝒙(ℝ).
Teorema 2.4: Si se cumple simultáneamente una de las condiciones del Teorema 1 y una
de las condiciones del Teorema 2, y además, , ,y pertenecen a
𝐿2𝑥(ℝ), entonces el término independiente de (2.2.12) pertenece a 𝐿2𝑥(ℝ) la demostración
aparece en (Estrada, 2015).
Corolario del Teorema 4: Si se cumple simultáneamente una de las condiciones del
Teorema 1 y una de las condiciones del Teorema 2, entonces el término independiente de
(1.2.12) pertenece a 𝐿2𝑥(ℝ).
2.12 Cálculo del índice del coeficiente del problema de Riemann
El análisis está dado a los casos en que se cumplen simultáneamente una de las condiciones
del Teorema 1 y una de las condiciones del Teorema 2. Recordemos que se cumple
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐷(𝑥) = 𝑁 − 𝑃 (𝑃 − 𝑁), para el semiplano superior (inferior), donde 𝑁 y 𝑃, son la
cantidad de ceros y polos incluyendo multiplicidades, en este caso
, lo cual es un cociente de polinomios, como las raíces de
y vienen dadas respectivamente por las expresiones:
y
)(xD
10 21
),( yxV )0,( xxVdy
xdV )0,(
0010
2
01
0010
2
01)(
kxikx
kxikxxD
)(1 xP )(2 xP
01
0001
2
10
2
10
2
4
kkik
01
0001
2
10
2
10
2
4
kkik
28
Estudiaremos en especial los casos de índice cero por conducir a una solución única del
problema.
2.13 Casos de índice cero
a. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
b. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 < 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 < 0, 𝛽10𝛽01𝛾10𝛾01 < 0
c. 𝛽01 = 𝛾01 = 0, 𝛽00𝛽10 < 0, 𝛾00𝛾10 < 0
d. 𝛽01 = 𝛾01 = 0, 𝛽00𝛽10 > 0, 𝛾00𝛾10 > 0
e. 𝛽10 = 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
f. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 = 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
g. 𝛽10 = 𝛾10 = 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
h. 𝛽01 = 𝛽10 = 𝛾01 = 𝛾10 = 0, 𝛽00𝛾00 ≠ 0
Estos casos permiten y garantizan que le problema físico tenga validez y se acerque a la
realidad. De ahí que sean los casos que se tendrán en cuenta a lo largo del proceso de esta
investigación.
2.14 Solución del problema de Riemann para los casos de índice cero
Se buscará la solución del problema de Riemann (2.2.12) para los casos de índice cero
establecidos en el epígrafe anterior, donde 𝐷(𝑥) cumple simultáneamente una de las
condiciones del Teorema 1 y una de las condiciones del Teorema 2.
Solución de los casos a), e), f) y g)
Para estos casos el problema de contorno a resolver queda de la siguiente manera:
Ω = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 < 𝑦 < +∞}
𝛽00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔11(𝑥), 𝑥 < 0
0k ),,(),(),( yxgyxkuyxu yxx
29
𝛾00𝑢(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑢𝑦(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0
donde 𝑔(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑔11(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(−∞, 0) 𝑦 𝑔12(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(0, +∞) .
Para estos casos el problema de Riemann toma la forma:
(2.5.1)
donde , , y , y
La expresión (2.5.1) se puede escribir en la forma:
(2.5.2)
pues se está buscando funciones que sean prolongables analíticas al semiplano superior e
inferior, respectivamente, haciendo:
, y
; donde:
queda el problema de salto:
(2.5.3)
)()())((
))(()(
))((
))(()( 12
01
01
01
01 xHxHdixcix
bixaixxF
dixcix
bixaixxF
0a 0b 0c 0d ba dc
)()(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(12
01
01
01
01 xHbix
dixxH
cix
aixxF
cix
aixxF
bix
dix
)()(
)()(1 xF
bix
dixxF
)(
)(
)()(
01
011 xF
cix
aixxF
)()(
)()(
)(
)()( 12
01
013 xH
bix
dixxH
cix
aixxH
)0,()0,()()()( 011000111
xdy
dVxVixxGxH
)0,()0,()()()( 011000122
xdy
dVxVixxGxH
)()()( 311 xHxFxF
30
Teorema 2.5: Si y , , y pertenecen a 𝐿2𝑥(ℝ), entonces el
problema de contorno para estos casos tienen solución única en la clase 𝑺 dada por 𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑉−1[𝑈(𝑥, 𝑦)] (Estrada, 2015)
Donde está dada por las fórmulas (2.2.2), (2.2.11) y
(2.5.4)
siendo
Justificación de los pasos:
Como se desea encontrar la solución 𝑢(𝑥, 𝑦) en la clase
𝑺 = {𝒖 ∈ 𝑭(𝛀): 𝒖𝒙𝒙 ∈ 𝑳𝟐𝒙(ℝ), 𝒖𝒚 ∈ 𝑳𝟐𝒙(ℝ), 𝒖 ∈ 𝑳𝟐𝒙(ℝ), 𝟎 < 𝑦 < +∞}
Hay que demostrar que cada uno de los pasos realizados para encontrar 𝑈(𝑥, 𝑦) son tales que
se pueda garantizar su antitransformada que sería 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑉−1[𝑈(𝑥, 𝑦)], la solución de este
problema de contorno, por lo tanto se debe garantizar en primer lugar que 𝑈(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ)
es conocido que 𝐹+(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥+ (ℝ), pues es la antitransformada de
𝑓+(𝑥) = {𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿2𝑥+(ℝ), 𝑥 ≥ 00, 𝑥 < 0
, 𝐻1(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥− (ℝ), ya que tiene la
forma:
siendo , 𝑔11(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(−∞, 0), por suposición; donde 𝑔11−(𝑥) = {𝑔11(𝑥), 𝑥 < 00 , 𝑥 ≥ 0
y utilizando el Teorema 5, ya se puede garantizar que 𝐻1(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥− (ℝ), como la exponecial
está acotada para 𝑘 < 0, con 0 < 𝑦 < +∞, además el producto de una función de 𝐿2𝑥(ℝ)
por una acotada es de 𝐿2𝑥(ℝ), entonces 𝑼(𝒙, 𝒚) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ) y esto implica que 𝑢(𝑥, 𝑦) ∈
𝐿2𝑥(ℝ).
0k ),( yxV )0,( xxVdy
xdV )0,(
),( yxU
0
3 )(2
1)( dteth
dix
bixxF ixt
][ 3
1
3 HVh
)0,()0,()()()( 011000111
xdy
dVxVixxGxH
31
Para demostrar que 𝑢𝑥𝑥 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), es muy sencillo pues ya se tiene que 𝑼(𝒙, 𝒚) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ) y
como 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑉[−𝑥2𝑈(𝑥, 𝑦)] y 𝑥2𝑈(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ) entonces 𝑢𝑥𝑥 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ) y por
último quedaría demostrar que 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2𝑥 , esto es; como 𝑑𝑈(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦∈ 𝐿2𝑥(ℝ) pues
𝑼(𝒙, 𝒚) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), entonces se cumple; pues 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑉[ 𝑑𝑈(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦].
Por lo tanto se encuentra la solución en la clase 𝑆 y tiene la forma:
𝑢(𝑥, 𝑦) =1
√2𝜋∫
𝐹+(𝑡) + 𝐻1(𝑡)
(𝑡 − 𝑎𝑖)(𝑡 − 𝑏𝑖)𝑒
𝑡2
𝑘𝑦𝑒−𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 +
1
√2𝜋∫ 𝑉(𝑡, 𝑦)𝑒−𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
+∞
−∞
donde finalmente la solución del problema de contorno para los casos a), e), f) yg) es:
𝑢(𝒙, 𝒚) = ∫𝑭+(𝒕) + 𝑯𝟏(𝒕)
(𝒕 − 𝒂𝒊)(𝒕 − 𝒃𝒊)𝒆
𝒕𝟐
𝒌𝒚−𝒊𝒙𝒕𝒅𝒕 +
𝟏
√𝟐𝝅∫ 𝑽(𝒕, 𝒚)𝒆−𝒊𝒙𝒕𝒅𝒕
+∞
−∞
+∞
−∞
Para el caso homogéneo, es decir para se tiene el siguiente teorema similar al
Teorema 5:
Corolario del Teorema 5: Si , entonces el problema de contorno para estos casos tiene
solución única en la clase 𝑺 dada por , es decir: 𝑢(𝑥, 𝑦) =
1
√2𝜋∫
𝐹+(𝑡)+𝐻1(𝑡)
(𝑡−𝑎𝑖)(𝑡−𝑏𝑖)𝑒
𝑡2
𝑘𝑦𝑒−𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞ la demostración aparece en (Estrada, 2015)
Solución del caso b)
En este caso hay dos posibilidades:
a) Todas las raíces de y están en el semiplano superior (esto ocurre cuando
, si se cumple además, y )
b) Todas las raíces de y están en el semiplano inferior (esto ocurre cuando
, si se cumple además, y )
Solución del subcaso a): La expresión (2.2.12) toma la forma
0),( yxV
0k
)],([),( 1 yxUVyxu
)(1 xP )(2 xP 0k
00110 00110
)(1 xP )(2 xP 0k
00110 00110
32
pero ahora a, b, c y d son números complejos con parte imaginaria mayor que cero si
y , o números imaginarios sobre el eje imaginario
positivo si y . (También se puede obtener un caso
mixto). Haciendo:
(2.5.5)
y
Queda el problema de salto: .Luego por un análisis similar al
realizado en la demostración del Teorema 5 y Corolario del Teorema 5, resulta evidente
un teorema con enunciado similar al anterior pero con en lugar de y
donde , luego de (2.2.2) y (2.2.11) se obtiene:
, para el caso no homogéneo y 𝑈(𝑥, 𝑦) =
𝐹+(𝑥)+𝐻1(𝑥)
(𝑥−𝑎𝑖)(𝑥−𝑏𝑖)𝑒
𝑥2
𝑘𝑦
, para el caso homogéneo, siendo 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑉−1[𝑈(𝑥, 𝑦)].
La solución del subcaso b) aparece en el Anexo (A4.1) de (Estrada, 2015), por poseer una
técnica similar de solución que el caso anterior.
Solución de los casos c) y d)
En estos casos el problema de Riemann (2.2.12) adopta la forma
(2.5.6)
)()())((
))(()(
))((
))(()( 12
01
01
01
01 xHxHdixcix
bixaixxF
dixcix
bixaixxF
2
10
2
00014 kk 2
10
2
00014 kk
2
10
2
00014 kk 2
10
2
00014 kk
)()(1 xFxF
)())((
))(()(
01
011 xF
dixcix
bixaixxF
)())((
))(()(
))((
))(()( 12
01
014 xH
bixcix
dixaixxH
dixcix
bixaixxH
)()()( 411 xHxFxF
4H3H
0
4 )(2
1)( dtethxF ixt
][ 4
1
4 HVh
),())((
)()(),(
2
1 yxVebixaix
xHxFyxU
yk
x
)()()(
)()(
)(
)()( 12
01
01
01
01 xHxHcix
aixxF
cix
aixxF
33
Para el caso c)
(2.5.7)
para el caso d), de (2.5.6) y (2.5.7) se llega a los problemas de salto:
(2.5.8)
(2.5.9)
donde , y
en el caso (2.5.8) y
, y
en el caso (2.5.9).
Luego de forma evidente se cumple un teorema con enunciado y demostración similar al
Teorema 5 con en lugar de y en el caso c); y en
lugar de , siendo en el caso d). Luego de (2.2.2) y
(2.2.9) se obtiene
.
El caso h) no se considera por carecer de importancia práctica.
)()(
)()()()(
)(
)(12
01
01
01
01 xHaix
cixxHxFxF
aix
cix
)()()( 611 xHxFxF
)()()( 711 xHxFxF
)()(1 xFxF )(
)(
)()(
01
011 xF
cix
aixxF
)()()(
)()( 12
01
016 xHxH
cix
aixxH
)()(
)()(1 xF
aix
cixxF
)()(
01
011 xFxF
)()(
)()()( 12
01
017 xH
aix
cixxHxH
6H 3H
0
6 )(2
1)( dtethxF ixt
7H
3H
0
7 )(2
1
)(
)()( dteth
cix
aixxF ixt
),()(
)()(),(
2
1 yxVeaix
xHxFyxU
yk
x
34
2.15 Conclusiones del capítulo
Se plantea el método de solución en cuadraturas de un problema parabólico con condiciones
de contorno diferentes por semiejes, para una ecuación homogénea. La técnica utilizada
consiste en reducir el problema original con el auxilio de la transformada de Fourier a un
problema de Riemann con solución conocida, y luego se encuentra la solución del problema
original en cuadraturas con el auxilio de la transformada inversa. La solución analítica se
obtiene para los coeficientes de índice cero del problema de Riemann.
CAPITULO III: TRANSPORTE HIDRODINÁMICO DE CONTAMINANTES.
CASO NO ESTACIONARIO
3.1 Los nitratos como principal fuente de contaminación difusa de los ríos.
Los nitratos actualmente constituyen la principal “fuente de contaminación difusa” de las
aguas (superficiales y subterráneas), que se caracterizan por una gran cantidad de puntos de
entrada de la contaminación en el terreno y por la dificultad que supone hacer una
localización precisa de las zonas donde se produce la entrada de los contaminantes; tienden
a adquirir cada vez mayor protagonismo en la degradación de los recursos hídricos, ya que
cuanto mayor es el grado de depuración y limitación de los vertidos puntuales, mayor es el
peso relativo de este tipo de contaminación, sobre todo si se tiene en cuenta que en
determinadas cuencas hidrográficas la aportación de nitrógeno de origen difuso representa
más del 50 % del total de la cuenca (Martínez Gaspar F. J, 2011).
Un exceso de nitrógeno, que es fertilizante, tiene innegables repercusiones en el medio
ambiente, amenazando el equilibrio en tierra, mar y aire. De entrada, altera el equilibrio de
las especies vegetales terrestres: las que asimilan mejor el nitrógeno crecen más rápidamente
y predominan, mientras que otras desaparecen.
La situación se agrava en los sistemas acuáticos (ríos, lagos y costas es donde van a parar los
excedentes de nutrientes y demás residuos). La presencia en la atmósfera de gases ricos en
nitrógeno también se deja sentir en el ambiente: el óxido nítrico es causante de fenómenos
como el smog o la lluvia ácida, y el óxido nitroso es sospechoso de producir efecto
invernadero.
35
Como vemos, el exceso de nitrógeno puede tener efectos tan devastadores como los gases de
efecto invernadero.
Los compuestos nitrogenados agregados al suelo, como los fertilizantes, abonos y residuos
orgánicos, son degradados mediante la acción microbiana, produciendo (entre otros
compuestos inorgánicos) nitratos, los cuales son esenciales para la nutrición vegetal, pero a
la vez pueden ser contaminantes del medio ambiente.
Los nitratos son altamente solubles y no son retenidos por las cargas negativas de los coloides
del suelo, de modo que se mueven libremente con el agua de drenaje, a través del perfil, hacia
los acuíferos. El movimiento de estos compuestos nitrogenados solubles desde el suelo hacia
sistemas acuáticos afecta el equilibrio de estos últimos y conduce a una disminución en el
nivel de oxígeno del agua, con la consecuente muerte de peces u otras especies acuáticas y
pérdida de la biodiversidad. Las sales de nitrato son muy solubles, por lo que la posibilidad
de que se produzca la lixiviación del anión es elevada, y más teniendo en cuenta el bajo poder
de adsorción que presenta la mayoría de los suelos para las partículas cargadas negativamente
El problema ambiental más importante relativo al ciclo del nitrógeno es la acumulación de
nitratos en el subsuelo que, por lixiviación, pueden incorporarse a las aguas subterráneas o
bien ser arrastrados hacia los cauces y reservorios superficiales. En estos medios los nitratos
también actúan como fertilizantes de la vegetación acuática de tal manera que, si se
concentran, pueden originarse la eutrofización del medio. En un medio eutrofizado se
produce la proliferación de especies como algas y otras plantas verdes que cubren la
superficie, esto trae como consecuencia un elevado consumo de oxígeno y su reducción en
el medio acuático, asimismo dificulta la incidencia de la radiación solar por debajo de la
superficie. Estos dos fenómenos producen una disminución de la capacidad autodepuradora
del medio y una merma en la capacidad fotosintética de los organismos acuáticos.
La cantidad de nitratos que se lixivia hacia el subsuelo depende del régimen de pluviosidad
y del tipo del suelo. La mayoría de los suelos poseen abundantes partículas coloidales, tanto
orgánicas como inorgánicas, cargadas negativamente, con lo que repelerán a los aniones, y
como consecuencia estos suelos lixiviarán con facilidad a los nitratos. Por el contrario,
muchos suelos tropicales adquieren carga positiva, y por tanto manifiestan una fuerte
36
retención para los nitratos. La textura de los suelos es un factor importante en relación con la
lixiviación. Cuanto más fina sea la textura, más capacidad de retención presentarán. Por otra
parte, para una misma dosis de fertilizante nitrogenado, por ejemplo 200𝑘𝑔 ∙ ℎ𝑎−1, la
lixiviación es mayor cuando el suelo presenta un drenaje más alto. Asimismo, podemos
evaluar el exceso de N que se puede producir en función de la cantidad de N fertilizante
aplicado y del drenaje del suelo.
Los ecosistemas tienden a ser fuente de nitratos si son intensamente fertilizados o muy
disturbados. Se duplicó la tasa de ingresos de nitrógeno en los sistemas terrestres y aún
continúa aumentando; gran parte de este incremento proviene de la aplicación de fertilizantes
y del uso de cultivos de leguminosas. Altos niveles de nitratos en el suelo pueden conducir a
niveles relativamente altos de nitratos en el agua de consumo, lo cual afecta en gran medida
a la salud humana. El consumo de agua con nitratos produce metahemoglobinemia, una
enfermedad mortal para los lactantes, y más recientemente se ha asociado con el desarrollo
del linfoma de no-Hodgkin. (Martínez Gaspar F. J, 2011).
Sin embargo, la presencia de nitratos en el suelo tarda algunas décadas en contaminar el agua
subterránea, según un experimento realizado por científicos del suelo e hidrológicos del
Laboratorio Nacional de Cultivo de Suelo, perteneciente al Servicio de Investigación
Agrícola. Para el estudio, los expertos han aplicado fertilizante en el suelo en cantidades tres
veces mayores de lo normal. La concentración de nitrato del suelo se rastreó durante la década
posterior.
Los resultados indican que los nitratos en el agua subterránea se incrementaron en 25 % en
una década. La filtración de nitrato de fertilizantes agrícolas se ha asociado con
preocupaciones sobre la calidad del agua potable y la condición conocida como hipoxia, en
la que los cuerpos de agua contienen niveles bajos de oxígeno (Pacheco J., 2003). De aquí la
importancia de monitorear los niveles de nitratos en los pozos o en cualquier otra fuente de
suministro de agua para consumo.
La concentración límite de nitrato para el agua de consumo humano fijada por el Servicio de
Salud Pública de EE.UU. es de 10𝑚𝑔 𝑁−𝑁𝑂3−𝐿−1. A su vez, los nitratos también afectan el
37
medio ambiente a través de la eutrofización de estuarios y ecosistemas costeros (Ryther &
Dustan, 1996).
La concentración de nitratos en el agua subterránea es un tópico común de muchas
discusiones acerca de la calidad del agua, ya que es de importancia tanto para humanos como
para animales. Debido a sus propiedades físicas, no pueden olerse ni sentirse y su presencia
en concentraciones potencialmente peligrosas es detectada cuando se manifiesta un problema
de salud. A menudo es difícil precisar el origen de la contaminación, debido a que puede
provenir de muchas fuentes.
La entrada de los nitratos en aguas subterráneas es un resultado de procesos naturales y del
efecto directo o indirecto de las actividades humanas. Los procesos naturales incluyen la
precipitación, el intemperismo de los minerales y la descomposición de la materia orgánica.
Los nitratos provenientes de las actividades humanas incluyen la escorrentía de terrenos
cultivados, los efluentes de lagunas y tanques sépticos, la fertilización excesiva de nitrógeno,
la deforestación y el cambio en la materia orgánica del suelo como resultado de la rotación
de cultivos.
El problema de los nitratos es que son contaminantes móviles en el agua subterránea que no
son absorbidos por los materiales del acuífero y no precipitan como un mineral. Estos dos
factores permiten que grandes cantidades de nitrato disuelto permanezcan en el agua
subterránea. Debido a su naturaleza soluble, los nitratos tienden a viajar grandes distancias
en la superficie, específicamente en sedimentos altamente permeables o rocas fracturadas
(Martínez Gaspar F. J, 2011).
Mientras que la contaminación por fuentes puntuales se origina de diversos medios, tales
como efluentes de tanques sépticos y depósitos de excretas, la contaminación no puntual se
distribuye en amplias áreas, como son los campos donde los fertilizantes nitrogenados han
sido aplicados. El único control del nitrato por debajo de la superficie es la reducción del
nitrato o desnitrificación.
La reducción del nitrato es una reacción natural en la cual el nitrato es reducido a gases de
nitrógeno, menos peligrosos, por la acción de bacterias. En donde esta reducción no ocurre,
38
los nitratos que persisten en los abastecimientos de agua son un riesgo; así, áreas con alto
riesgo incluyen acuíferos bajo agricultura intensiva y la vecindad de campos con alta
densidad de tanques sépticos. Por su naturaleza, los acuíferos son lentos para contaminarse,
pero, una vez contaminados, difícilmente se autodepuran. La única opción para evitar futuras
contaminaciones por nitratos en acuíferos someros susceptibles es iniciar con el control del
uso de suelo.
Para hacer frente a la problemática que supone la contaminación por nitratos, muchos países
se han visto obligados a iniciar cambios en su ordenamiento legislativo, configurando
normativas que regulen las explotaciones agrícolas y ganaderas, así como la eliminación de
los residuos ganaderos. La máxima preocupación en torno a la contaminación del agua por
nitratos estriba en el efecto que puede tener sobre la salud humana la ingestión de nitratos,
ya sea disueltos en el agua o en los alimentos.
Aunque los nitratos son un producto normal del metabolismo humano, el agua con altas
concentraciones de nitratos representa un riesgo para la salud, especialmente en los niños. Si
se bebe agua con elevadas concentraciones de nitratos, la acción de determinados
microorganismos en el estómago puede transformar los nitratos en nitritos, que al ser
absorbidos en la sangre convierten a la hemoglobina en metahemoglobina. La
metahemoglobina se caracteriza por inhibir el transporte de oxígeno en la sangre. Aunque la
formación de metahemoglobina es un proceso reversible, sí puede llegar a provocar la
muerte, especialmente en niños (“síndrome del bebé azul”). También pueden formar
nitrosaminas y nitrosamidas compuestos que pueden ser cancerígenos.
La Organización Mundial de la Salud (OMS) fija el límite de nitrato en el agua de consumo
humano en 50 mg·l-1 de nitrato (como N). En cambio, la Agencia para la Protección del
Medio Ambiente de los Estados Unidos de Norteamérica (EPA) sitúa este límite en 10 mg·l-
1 de nitrato. Por su parte la comunidad europea, y siguiendo sus directrices el Ministerio de
Sanidad español, fijan los niveles máximos permitidos de nitratos en 50 mg·l-1 de N. El
consumo de altos contenidos de nitrato en la dieta humana es peligroso debido a que este ion
contribuye a la formación de agentes cancerígenos (Hill, 1990; Garbisu et al., 1999;
Jaworska, 2005). El contenido de nitratos aceptable en la ingesta diaria corresponde a 3.65
39
mg·kg-1 de peso vivo; es decir, la ingesta diaria de nitratos de una persona con un peso
corporal de 70 kg no debería superar los 250 mg (Martínez Gaspar F. J, 2011).
El nitrato se encuentra presente en la comida y en la bebida; como fuente principal de nitratos
tenemos a las verduras. Por término medio, en el mundo occidental, un adulto tiene una
ingestión de nitratos de unos 70mg de nitrato/día a través de las verduras; los vegetarianos
toman aproximadamente tres veces más. Además, el cuerpo humano produce 30-60 mg/día
de nitrato como parte del metabolismo normal.
Es esencial mantener el agua que consumimos tan pura como sea posible, pero deberíamos
recordar que el nitrato no es extraño al hombre. El límite actual es de 50 mg·l-1 de nitrato en
el agua potable (OMS y CEE) y deberá considerar un margen de seguridad. La lixiviación de
nitratos hacia el subsuelo puede contaminar los acuíferos subterráneos, creando graves
problemas de salud si se consume agua rica en nitratos, debido a su transformación en nitritos
por participación de unas bacterias existentes en el estómago y la vejiga urinaria. Como
resultado, en el suelo podemos encontrar nitrógeno orgánico (proteínico, ácidos nucleicos,
azúcares) e inorgánico (NH4+, NO3-, NO2-), siendo generalmente el orgánico el más
abundante (85 al 95 % son valores normales). La movilidad de los nitratos en el suelo y su
capacidad de contaminación de aguas subterráneas constituyen un problema fundamental de
protección medioambiental en sistemas agrarios intensivos. Entonces, para afrontar este
inconveniente, que bien se puede considerar como un problema moderno de uso del suelo,
es necesario desarrollar y emplear todas las herramientas adecuadas (Martínez Gaspar F. J,
2011).
3.2 Breve introducción a la hidrodinámica.
El problema que consideraremos es de tipo parabólico pues modela la concentración de
contaminantes en un río el cual se difunde al transcurso del tiempo, con una fuente de
contaminación en el semieje derecho.
La hidrodinámica es la parte de la mecánica de los medios continuos en la que se estudia el
movimiento de fluidos incompresibles y la interacción de estos con el medio.
Cuando una carga de contaminante se vierte en un sistema acuático, está sujeta a procesos de
transporte que modifican la concentración del contaminante. Los principales factores que
40
determinan la concentración del contaminante son el transporte hidrodinámico y las
reacciones químico-biológicas. El transporte hidrodinámico actúa para desplazar
contaminante de la locación donde son vertidos e incluye los siguientes procesos:
(a) advección: transporte horizontal por flujos que mueven partes del material contaminante,
pero no los distorsiona significativamente ni los diluye. La advección lateral en un río es
usualmente pequeña.
(b) dispersión: es la diseminación horizontal y mezclado de la masa de agua causada por el
mezclado turbulento y la difusión molecular.
(c) mezclado vertical y convección: flujo vertical formando como una elipse.
El material en los sistemas acuáticos puede ser transportado por uno o por todos estos
procesos.
En canales rectos, el perfil de velocidad indica que el máximo de velocidad ocurre en el
medio del canal y el mínimo mientras más cercano se está a la orilla.
La dispersión reduce el gradiente de concentración del material. Este proceso involucra no
solamente un intercambio de masa de agua, sino también de cualquier sustancia disuelta en
ella. Por tanto, en adición a las variables hidrodinámicas, los procesos de dispersión son
también de importancia para las distribuciones de sedimentos, tóxicos y nutrientes en
sistemas acuáticos. La dispersión en la dirección del flujo de agua se llama dispersión
longitudinal. La dispersión perpendicular a la dirección del flujo se llama dispersión lateral.
La dispersión longitudinal es generalmente mucho más intensa en ríos que la dispersión
lateral. La advección y la dispersión son los procesos principales por los cuales los materiales
disueltos son transportados a lo largo y a través de los ríos. Cuando el agua fluye a lo largo
del río transporta materiales disueltos con ella vía advección. Además, conlleva a un
transporte neto de materiales disueltos de áreas de alta concentración a áreas de baja
concentración vía dispersión. Por tanto, el transporte horizontal de un material consiste en
dos componentes:
(a) el flujo advectivo.
41
(b) el flujo dispersivo.
Ambos flujos se definen como la concentración de masa que cruza una unidad de área por
unidad de tiempo. El movimiento de masa contaminante debido al flujo advectivo es en la
misma dirección que el flujo del fluido, mientras que el flujo dispersivo se mueve de áreas
de alta concentración a áreas de baja concentración.
Según la Ley de Dick se establece que el ritmo de movimiento de masa que resulta de la
difusión molecular es inversamente proporcional al gradiente de la concentración de
masa: 𝐽 = −𝐷𝑑𝐶
𝑑𝑥
En la ecuación, 𝐽 es la densidad de flujo dispersivo, 𝐶 es la concentración de la masa en el
agua, 𝐷 es el coeficiente de difusión y 𝑥 es la distancia longitudinal del río. El signo
negativo indica que la masa difundida fluye en la dirección del decrecimiento de la
concentración. La cual establece, en simples términos, que la masa se moverá naturalmente
de áreas de alta concentración a áreas de baja concentración y que el ritmo de movimiento es
mayor cuando el mayor cambio de concentración ocurre sobre la distancia más corta. Es
decir, mientras mayor es el gradiente de concentración mayor es la densidad del flujo
dispersivo de masa.
El mezclado turbulento resulta de la dispersión aleatoria de partículas debida a un flujo
turbulento que puede ser considerado bastante análogo a la difusión molecular. Se asume que
el flujo dispersivo también sigue la ley de Dick sólo que la magnitud del coeficiente de
difusión es diferente.
Si la velocidad es muy pequeña el flujo advectivo se vuelve muy pequeño y puede ser
despreciado.
En la mayoría de los sistemas acuáticos, no obstante, la densidad de flujo advectivo es mayor
que la densidad de flujo dispersivo, por lo que se debe tener en cuenta (Zhen - Gang, 2008).
42
3.3 Ecuación general unidimensional
Según Zhen-Gang, 2008 basado en el principio de conservación de la masa, el cambio de
concentración de un reactante puede calcularse usando una ecuación de balance de masa. Su
forma unidimensional cuenta con la expresión:
𝜕𝐶(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡= −𝑈
𝜕𝐶(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥+
𝜕
𝜕𝑥{𝐷(𝑥)
𝜕𝐶(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥} + 𝑆 + 𝑅 + 𝑄 (3.1)
donde 𝐶 es concentración del contaminante, 𝑡 es el tiempo, 𝑥 la distancia, 𝑈 es la velocidad
de advección en la dirección de la coordenada 𝑥, 𝐷 es el coeficiente de dispersión, 𝑆 son las
fuentes y sumideros propios del sistema acuático debidos al asentamiento y la resuspensión,
𝑅 es la reactividad de procesos químicos y biológicos y 𝑄 son las cargas externas al sistema
acuático.
En la Física Estadística 𝐷(𝑥)se define como la desviación cuadrática media de 𝑥 por
unidad de tiempo, donde se cumple que:
𝐷(𝑥) = lim𝑡→∞
⟨(∆𝑥)2⟩
𝑡
(3.2)
Analizándolo como un proceso probabilístico.
3.4 Características de los fluidos
El estado del movimiento del líquido puede ser determinado indicando para cada punto del
espacio el vector velocidad como función del tiempo. El conjunto de los vectores �⃗�,
prefijados para todos los puntos del espacio, forma el llamado campo del vector
velocidad. El mismo puede ser representado trazando líneas en el líquido en movimiento
de forma tal que la tangente a ellos en cada punto coincida en sentido con el vector �⃗� .
Dichas líneas reciben el nombre de líneas de corriente y conforman un campo de flujo
vectorial.
El flujo de los fluidos puede ser de régimen estable o de régimen variable. Cuando la
velocidad �⃗� del fluido se conserva constante en cualquier punto dado en el transcurso
del tiempo se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Es decir, la velocidad en dos
puntos del espacio del fluido puede ser diferente, pero en cada uno de ellos, por separado,
43
permanecerá siempre constante, es decir 𝑈 (promedio de los vectores de velocidad en la
dirección del eje 𝑥) es constante y lo mismo sucede con 𝐷(coeficiente de mezclado).
Figura 3.1 Perfil de velocidad de un canal
En el flujo de régimen variable las velocidades son función del tiempo y en el caso de flujo
turbulento las velocidades varían desordenadamente tanto con pequeñas variaciones de las
coordenadas como del tiempo.
El campo de flujo para un flujo a régimen estable, es estacionario (González, s.f.)
El flujo también puede ser rotacional o ir rotacional. Si el elemento de fluido en cada punto
no cuenta con una velocidad angular neta con respecto a ese punto, el fluido es irrotacional.
Imagínese una pequeña rueda con aspas sumergidas o en la superficie del fluido en
movimiento. Si la rueda se mueve sin girar, el flujo es ir rotacional y en caso de girar, es
rotacional. El flujo rotacional comprende el movimiento vertical.
El flujo es además compresible o incompresible. Los líquidos son incompresibles si su
densidad es la misma en todos los puntos y usualmente se los considera así.
Por último, el flujo de fluidos puede ser viscoso o no viscoso. A la viscosidad en el
movimiento de los fluidos se le define como “el fenómeno análogo a la fricción en el
movimiento de los sólidos”. Los líquidos ideales están exentos en absoluto de rozamiento
interior (viscosidad), por lo que no arrastrarían al sólido que se pusiera en él, sino que lo
bordearían deslizándose libremente por su superficie. Sin embargo, si se trata de un fluido
44
no ideal y el líquido presenta viscosidad, una capa muy fina de este se adhiere a la superficie
del sólido arrastrándolo como un todo.
Por otra parte, existen dos tipos de corriente: laminar y turbulenta. En la primera parece
“como si el líquido se dividiera en capas que resbalan unas respecto de otras sin mezclarse”.
Si en esta se introduce un chorro de tinta se observa que se desplaza sin difuminarse a capas
inferiores por toda la longitud del fluido. La corriente laminar es de régimen estable.
Las líneas del vector velocidad de un fluido con corriente laminar se asemejan a las de un
sólido en rotación sobre una superficie rígida, siendo nula en el fondo y máxima en la
superficie del fluido.
El cambio de régimen estable a variable está determinado por el número de Reynolds,
definido en Frisca, 1996 como: 𝑅𝑒 =𝐿𝑉
𝑣
donde 𝐿 y 𝑉 son respectivamente una escala característica y la velocidad del fluido y 𝑣 su
viscosidad (cinemática).
En el flujo de régimen estable el patrón de líneas de corriente no cambia al transcurrir el
tiempo mientras que en el régimen variable deja de ser tan sencillo. Con pequeños valores
del número de Reynolds se observa una corriente laminar.
Se debe tener en cuenta en estas consideraciones que una consecuencia del principio de
similaridad para los fluidos incompresibles es la siguiente: para una forma geométrica dada
de las fronteras el número de Reynolds es el único parámetro de control del flujo.
3.5 Obtención del sistema de ecuaciones que modelan la concentración de
contaminantes en un río para el caso no estacionario.
Si se escribe la ecuación:
𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡= 𝐷
𝜕2𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 − 𝑈𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥+ 𝑆 + 𝑅 + 𝑄 (3.3)
Concibiéndose que el medio es homogéneo por lo que ni 𝐷 ni 𝑈 dependen de 𝑥, donde
en una cinética de primer orden
𝑅(𝑥, 𝑡) = −𝑘𝐶(𝑥, 𝑡) (3.4)
45
¿Por qué se adopta una cinética de primer orden? Las reacciones de primer orden tienen sus
tasas de reacción proporcionales a la concentración del reactante y son comúnmente
empleadas para describir las reacciones químicas y biológicas. La mayoría de las reacciones
que se encuentran en el medio ambiente pueden expresarse por medio de una cinética de
primer orden sin mucho error. No obstante, la obtención de la constante de ritmo de reacción
puede requerir un número significativo de datos. Donde 𝑅 es la reactividad químico-
biológica, es decir el consumo del nitrato por el fitoplancton y se toma negativa pues se
supone vaya disminuyendo.
El contaminante de interés es nitrato (𝑁𝑂3−), el cual puede ser encontrado en ríos. En
esta investigación sólo se tomará como consumidor del nitrato el fitoplancton, por lo cual
según la ecuación de Michaelis-Menten:
𝑘(𝑥, 𝑡) =𝑉𝑚á𝑥𝐶(𝑥, 𝑡)
𝑘12
+ 𝐶(𝑥, 𝑡) (3.5)
Donde 𝑘1
2
se llama constante de Michaelis-Menten o constante de saturación. Para una
primera aproximación se toma 𝑘1
2
= 𝐶(𝑥, 𝑡) por lo que la velocidad de procesamiento del
contaminante quedaría de la forma:
𝑘 =𝑉𝑚á𝑥
2 (3.6 )
Y sería también una constante. En el caso de 𝑄 (carga de contaminante que se está vertiendo
por unidad de tiempo), podemos suponer que para 𝑡 = 0 la cantidad que se vierte es constante
Sustituyendo (3.6) en (3.4) nos queda:
𝑅(𝑥, 𝑡) = −𝑽𝒎á𝒙
𝟐𝐶(𝑥, 𝑡) (3.7)
Se puede considerar que la interacción del nitrato con el fondo es nula
𝑆 = 0 (3.8)
Entonces sustituyendo (3.8), (3.7) y 𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 en (3.3), dividiendo esta última
expresión por el factor 𝐷 y pasando todo para el miembro derecho nos queda:
46
𝜕2𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 −𝑈
𝐷
𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥−
1
𝐷
𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡−
𝑉𝑚á𝑥
2𝐷𝐶(𝑥, 𝑡) +
𝑄
𝐷= 0 (3.9)
3.6 Reducción a la forma canónica
La ecuación (3.9) es una ecuación en derivadas parciales de tipo parabólico con coeficientes
constantes, lineal, no homogénea, de la forma:
𝑢𝑥𝑥 + 𝑏1𝑢𝑥 + 𝑏2𝑢𝑡 + 𝑐𝑢 + 𝑓 = 0 (3.10)
Comparando los coeficientes de la ecuación (3.10) con los de la ecuación (3.9), tenemos que:
𝑢 = 𝐶
𝑏1 = −𝑈
𝐷
𝑏2 = −1
𝐷
𝑐 = −𝑉𝑚á𝑥
2𝐷
𝑓 =𝑄
𝐷
Utilizando el método de transformación de variables clásico introduzcamos en lugar
de 𝐶(𝑥, 𝑡) una nueva función v:
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑢 = 𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡. 𝑣
𝑢𝑥 = 𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑥 + 𝜆𝑣)
𝑢𝑡 = 𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑡 + 𝜇𝑣)
𝑢𝑥𝑥 = 𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑥𝑥 + 2𝜆𝑣𝑥 + 𝜆2𝑣 )
Sustituyendo en (3.10)
𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑥𝑥 + 2𝜆𝑣𝑥 + 𝜆2𝑣 ) + 𝑏1𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑥 + 𝜆𝑣) + 𝑏2𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡(𝑣𝑡 + 𝜇𝑣) + 𝑐𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡. 𝑣 + 𝑓
= 0
Simplificando por 𝑒𝜆𝑥+𝜇𝑡 nos queda:
(𝑣𝑥𝑥 + 2𝜆𝑣𝑥 + 𝜆2𝑣 ) + 𝑏1(𝑣𝑥 + 𝜆𝑣) + 𝑏2(𝑣𝑡 + 𝜇𝑣) + 𝑐𝑣 + 𝑓𝑒−(𝜆𝑥+𝜇𝑡) = 0
47
Ordenando
𝑣𝑥𝑥 + (2𝜆 + 𝑏1)𝑣𝑥 + 𝑏2𝑣𝑡 + (𝜆2 + 𝑏1𝜆 + 𝑏2𝜇 + 𝑐)𝑣 + 𝑓𝑒−(𝜆𝑥+𝜇𝑡) = 0
Escojamos 𝜆 de forma tal que los coeficientes de las derivadas se anulen
De aquí que : 𝜆 = −𝑏1
2
𝑏12
4−
𝑏12
2+ 𝑏2𝜇 + 𝑐 = 0
−𝑏12
4+ 𝑏2𝜇 + 𝑐 = 0
de donde 𝜇 =𝑏1
2
4𝑏2−
𝑐
𝑏2
El resultado final sería
𝑣𝑥𝑥 + 𝑏2𝑣𝑡 + 𝑓1 = 0
Donde 𝑓1 = 𝑓𝑒−(𝜆𝑥+𝜇𝑡)
Sustituyendo
𝜆 = −𝑏1
2 𝜇 =
𝑏12
4𝑏2−
𝑐
𝑏2
𝑣𝑥𝑥 −1
𝐷𝑣𝑡 +
𝑄
𝐷𝑒
−(𝑈
2𝐷 𝑥+(
𝑈𝐷2
2
−4𝐷
− −
𝑉𝑚á𝑥2𝐷
−1𝐷
)𝑡)
= 0
Despejando
𝑣𝑥𝑥 −1
𝐷𝑣𝑡 +
𝑄
𝐷𝑒
−(𝑈
2𝐷 𝑥+(−
𝑈2
4𝐷 −
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡)= 0
𝑣𝑥𝑥 −1
𝐷𝑣𝑡 +
𝑄
𝐷𝑒
−(𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡)= 0 (3.11)
Donde
48
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(
𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡). 𝑣(𝑥, 𝑡) (3.12)
El sistema de ecuaciones (3.11) y (3.12) modelan la concentración de contaminantes en un
río para el caso no estacionario.
3.7 Condiciones de contorno
Ahora se enunciarán los fundamentos teóricos, cuyas bases exponen unas condiciones de
contorno más generales donde interviene una fuente de contaminantes conociendo el perfil
de concentración en el momento inicial. Para poder aplicar nuestra teoría se pondrá el sistema
de coordenadas donde en el semieje derecho estará la fuente y en el semieje izquierdo será
cero. Así podremos utilizar los métodos de solución para este problema que fueron
explicados en el Capítulo II. El análisis se centra a un flujo de régimen estable, irrotacional,
incompresible y ligeramente viscoso, de modo que pueda arrastrar los contaminantes cuya
corriente sea laminar. El modelo es más aplicable a ríos cuanto sean estos menos sinuosos,
constituyendo una buena forma de empezar a analizar este problema y las dificultades de la
resolución.
Las condiciones de contorno que se trabajan son las siguientes:
𝛽00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛽10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔11(𝑥), 𝑥 < 0 (3.13)
𝛾00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛾10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0 (3.14)
49
Figura 3.2 Modelación de las condiciones de contorno
En esta modelación 𝑔11(𝑥) = 0
Donde
𝐶 (𝑥, 0+) Concentración del contaminante para 𝑡 = 0.
𝐶𝑥(𝑥, 0+) Variación instantánea de la concentración del contaminante en la dirección del
eje x en el instante inicial.
𝐶𝑡(𝑥, 0+) Velocidad con que cambia la concentración del contaminante en el instante inicial.
Además, como estamos trabajando en una dimensión con el tiempo como variable temporal
el problema consistiría en el vertimiento del contaminante sobre una línea recta y la no
dispersión (ni propagación) de ese contaminante fuera de esa línea recta. Modelos que tengan
en cuenta la dispersión del contaminante fuera de esa línea recta serían modelos no en una
dimensión , sino en dos o tres dimensiones , . Pues estamos adoptando
un elemento que no se sedimenta (por lo que se asume que todo se concentra en la superficie
del río); y vertemos una cantidad determinada de contaminante que se supone se desplazará
solamente en .
Cada constante real 𝛽𝑖𝑗 y 𝛾𝑖𝑗 con 𝑖 = 0,1̅̅ ̅̅ y 𝑗 = 0,1̅̅ ̅̅ representa cómo influye cada término
𝐶(𝑥, 0+), 𝐶𝑥(𝑥, 0+) y 𝐶𝑡(𝑥, 0+) en las condiciones de contorno, en el caso del miembro
izquierdo del sistema de coordenadas la condición de contorno sin fuente de contaminación
significa la posibilidad de existir ya una concentración de contaminantes que sin influencia
externa de otra fuente de contaminación, en el caso del miembro derecho si interviene esta
fuente de contaminación 𝑔12(𝑥). Pero lo que nos interesa es conocer la concentración de
contaminantes según la fuente 𝑔12(𝑥), hacer 𝑔11(𝑥) = 0 es un artificio matemático para
poder aplicarlo visto en el Capítulo II, adaptándonos a nuestro modelo.
El río se puede considerar como una recta infinita, la distancia del río puede acotarse según
el problema en cuestión al igual que el tiempo. El sistema de coordenadas lo hemos puesto
de esta manera para conveniencia matemática pues a la hora de reducir el problema de
),( tx ),,( tyx ),,,( tzyx
x
50
contorno original a un problema de contorno de la teoría de funciones analíticas (Problema
de Riemann), con el auxilio de la Transformada de Fourier (Problemas ya resueltos en
(Estrada, 2015)), se resuelve el problema para condiciones de contorno partidas en el eje real,
es decir para un valor en el semieje derecho y otro en el semieje izquierdo. Con ello no se
pierde generalidad pues los ejes de coordenadas se sitúan según nos convenga. Además,
trabajamos en el semieje superior por lo dicho anteriormente. La función g12(x), es el perfil
de concentración o vertimiento de contaminantes en el instante 𝑡 = 0 para la fuente de
contaminante.
Se quiere conocer que concentración de contaminantes hay en un instante determinado o a
una distancia específica, es decir cómo se comporta la disminución o aumento de
contaminantes al transcurso del tiempo. Podemos decir que 𝑄
𝐷= 𝑀, donde 𝑀 es una
constante.
3.8 Planteamiento del problema
El problema consiste en encontrar una función 𝐶(𝑥, 𝑡) que satisfaga la ecuación en derivadas
parciales no homogénea de tipo parabólico y las condiciones de contorno partidas en el
semieje y que pertenezca a la clase S, donde:
𝑆 = {𝐶 ∈ 𝐹(Ω): 𝐶𝑥𝑥 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝐶𝑡 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝐶 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 0 < 𝑡 < +∞}
siendo 𝐹(Ω) la clase de funciones que están definidas sobre el semiplano Ω y 𝐿2𝑥(ℝ) es la
clase 𝐿2(ℝ) con respecto a la variable 𝑥. Por lo tanto, se tiene que:
Dada la ecuación diferencial parcial de tipo parabólico,
𝜕2𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 −𝑈
𝐷
𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥−
1
𝐷
𝜕𝐶(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡−
𝑉𝑚á𝑥
2𝐷𝐶(𝑥, 𝑡) +
𝑄
𝐷= 0 − 𝑎 < 𝑥 < +∞
en la región:
Ω = {(𝑥, 𝑡) ∈ ℝ2: 0 < 𝑡 < +∞, −𝑎 < 𝑥 < +∞}
Y las condiciones de contorno,
𝛽00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛽10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 0, − 𝑎 < 𝑥 < 0
𝛾00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛾10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0
51
Donde 𝛽𝑖𝑗 y 𝛾𝑖𝑗; 𝑖 = 0,1̅̅ ̅̅ ; 𝑗 = 0,1̅̅ ̅̅ son números reales y
𝑓(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑔11(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(−∞, 0) 𝑦 𝑔12(𝑥) ∈ 𝐿2𝑥(0, +∞),
En el modelo matemático idealizamos el río con valores del contaminante cero hasta un valor
−𝑎, a partir de ahí la concentración va a mantenerse constante hasta el valor 𝑥 = 0, entonces
el vertimiento del contaminante en el momento inicial del estudio del fenómeno va a provocar
que la concentración varíe en cada punto del río y en cada instante del tiempo.
3.9 Trabajo con las condiciones de contorno
Una vez llevado a la forma canónica el problema queda de la forma:
𝑣𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) −1
𝐷𝑣𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝑀𝑒−(
𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡) = 0 (3.15)
Donde
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡). 𝑣(𝑥, 𝑡) (3.16)
Tenemos que
𝛽00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛽10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 0, 𝑥 < 0 (3.17)
𝛾00𝐶(𝑥, 0+) + 𝛾10𝐶𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝐶𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0 (3.18)
Y como
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(
𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡). 𝑣(𝑥, 𝑡) ⟹
𝐶𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑒(
𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡)[
𝑈
2𝐷𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑣𝑥(𝑥, 𝑡)]
𝐶𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝑒(
𝑈
2𝐷 𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡)[(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2) 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑣𝑡(𝑥, 𝑡)]
(3.19)
Sustituyendo (3.19) en (3.17) y (3.18) las condiciones de contorno quedarían de la siguiente
manera:
𝛽00𝑣(𝑥, 0+)𝑒𝑈
2𝐷𝑥 + 𝛽10𝑒
𝑈
2𝐷𝑥 [
𝑈
2𝐷𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑥(𝑥, 0+)] + 𝛽01𝑒
𝑈
2𝐷𝑥 [(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)𝑣(𝑥, 0+) +
𝑣𝑡(𝑥, 0+)] = 0, 𝑥 < 0
52
𝛾00𝑣(𝑥, 0+)𝑒𝑈
2𝐷𝑥 + 𝛾10𝑒
𝑈
2𝐷𝑥 [
𝑈
2𝐷𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑥(𝑥, 0+)] + 𝛾01𝑒
𝑈
2𝐷𝑥 [(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)𝑣(𝑥, 0+) +
𝑣𝑡(𝑥, 0+)] = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0
Donde dividiendo por el término 𝑒𝑈
2𝐷𝑥 ≠ 0 ambas ecuaciones nos queda:
𝛽00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛽10 [𝑈
2𝐷𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑥(𝑥, 0+)] + 𝛽01 [(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑡(𝑥, 0+)] =
0, 𝑥 < 0
𝛾00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛾10 [𝑈
2𝐷𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑥(𝑥, 0+)] + 𝛾01 [(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)𝑣(𝑥, 0+) + 𝑣𝑡(𝑥, 0+)] =
𝑔12(𝑥)
𝑒𝑈
2𝐷𝑥
, 𝑥 > 0
Trabajando algebraicamente estas dos ecuaciones nos queda:
[𝛽00 + 𝛽10𝑈
2𝐷+ 𝛽01(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)] 𝑣(𝑥, 0+) + 𝛽10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑣𝑡(𝑥, 0+) =
0, 𝑥 < 0
[𝛾00 + 𝛾10𝑈
2𝐷+ 𝛾01(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2)] 𝑣(𝑥, 0+) + 𝛾10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑣𝑡(𝑥, 0+) =
𝑔12(𝑥)
𝑒𝑈
2𝐷𝑥
, 𝑥 > 0
Llamemos:
𝛽00 = 𝛽00 + 𝛽10𝑈
2𝐷+ 𝛽01 (
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2),
𝛾00 = 𝛾00 + 𝛾10𝑈
2𝐷+ 𝛾01(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥
2),
𝑔12(𝑥) =𝑔12(𝑥)
𝑒𝑈
2𝐷𝑥
nos queda:
𝛽00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛽10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑣𝑡(𝑥, 0+) = 0, 𝑥 < 0
𝛾00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛾10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑣𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0
53
En fin, el problema parabólico que modela la concentración de contaminantes en un río con
condiciones de contorno complejas partidas en el semieje que proponemos es el siguiente:
𝑣𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) −1
𝐷𝑣𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝑀𝑒
−(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡)= 0 − 𝑎 < 𝑥 < +∞ (3.20)
Donde
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(
𝑈2𝐷
𝑥−(𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡). 𝑣(𝑥, 𝑡) (3.21)
en la región
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 < 𝑡 < +∞} (3.22)
y las condiciones de contorno
𝛽00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛽10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛽01𝑣𝑡(𝑥, 0+) = 0, − 𝑎 < 𝑥 < +∞ (3.23)
𝛾00𝑣(𝑥, 0+) + 𝛾10𝑣𝑥(𝑥, 0+) + 𝛾01𝑣𝑡(𝑥, 0+) = 𝑔12(𝑥), 𝑥 > 0 (3.24)
donde 𝛽𝑖𝑗 y 𝛾𝑖𝑗 ; 𝑖 = 1, … , 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑛 son números reales y expresan el peso de la
función a la que multiplican, donde
𝑀𝑒−𝑈
2𝐷𝑥 ∈ 𝐿2𝑥
Para 𝑥 > 0 pues 𝑀𝑒−𝑈
2𝐷𝑥 es acotada para esta región con 𝑀 constante.
También tiene que cumplirse que 𝑔12(𝑥)𝑒−𝑈
2𝐷𝑥 y se cumple porque estamos suponiendo que
𝑔12(𝑥)𝜖𝐿2𝑥 y una función de 𝐿2𝑥 por una de 𝐿2𝑥 es de 𝐿2𝑥 todo ello para cuando se
transforme tipo Fourier se puede antitransformar, pues la Transformada de una función de
𝐿2𝑥 pertenece a 𝐿2𝑥.
Se desea encontrar condiciones sobre los elementos conocidos de (3.20), (3.23) y (3.24) para
que la ecuación (3.20) tenga solución única en la región (3.22), que satisfagan las condiciones
(3.23) y (3.24) y que pertenezcan a la clase:
𝑆 = {𝐶 ∈ 𝐹(𝐷): 𝑣𝑥𝑥 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑣𝑡 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ), 𝑣 ∈ 𝐿2𝑥(ℝ); 0 < 𝑡 < +∞ }
54
donde 𝐹(𝐷) es la clase de funciones que están definidas sobre el semiplano D.
El problema está bien planteado porque el número de condiciones de contorno (2) es igual al
orden de la ecuación diferencial con respecto a (1), por el número de regiones (1), más uno.
Este tipo de problema ya ha sido resuelto en el Capítulo II reduciéndolo a un problema de
Riemann utilizando la Transforma de Fourier.
Para nuestro interés solo vamos a exponer los casos de índice cero, pues es cuando el
problema está bien planteado y no tenemos que agregar ninguna condición adicional por lo
tanto la solución es única.
Los Casos de índice cero son cuando se cumple que:
a. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
b. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 < 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 < 0, 𝛽10𝛽01𝛾10𝛾01 < 0
c. 𝛽01 = 𝛾01 = 0, 𝛽00𝛽10 < 0, 𝛾00𝛾10 < 0
d. 𝛽01 = 𝛾01 = 0, 𝛽00𝛽10 > 0, 𝛾00𝛾10 > 0
e. 𝛽10 = 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 ≠ 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
f. 𝛽10 ≠ 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0, 𝛾10 = 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
g. 𝛽10 = 𝛾10 = 0,1
𝐷𝛽00𝛽01 > 0,
1
𝐷𝛾00𝛾01 > 0
h. 𝛽01 = 𝛽10 = 𝛾01 = 𝛾10 = 0, 𝛽00𝛾00 ≠ 0
3.10 Solución de los casos
Casos a), e), f) y g)
En estos casos la solución de nuestro problema de contorno toma la forma:
𝑣(𝑥, 𝑡) =1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
)()()()( xHxFxDxF
55
donde 𝐹+(𝑦) =𝑦−𝑏𝑖
𝑦−𝑑𝑖
1
√2𝜋∫ ℎ3(𝜏)𝑒𝑖𝑦𝜏𝑑𝜏
+∞
0, siendo ℎ3 = 𝑉−1[𝐻3],
𝐻3(𝑦) =𝛽01(𝑦−𝑎𝑖)
𝛾01(𝑦−𝑐𝑖)𝐻2(𝑦) −
𝑦−𝑑𝑖
𝑦−𝑏𝑖𝐻1(𝑦), siendo 𝐻1(𝑦) 𝐻2(𝑦) las mismas expresiones del
Capítulo II, donde 𝐺11− (𝑦) = 0, pues
𝐺11− (𝑥) = 𝑉−1[𝑔11−(𝑥)] =
1
√2𝜋∫ 𝑔11−(𝑥)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−∞
1
√2𝜋∫ 0𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥 = 0
+∞
−∞ pues 𝑔11(𝑥) =
0 ⟹ 𝑔11−(𝑥) = 0; ∀𝑥 ∈ ℝ
donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , son las raíces de los polinomios de 𝑎, 𝑏 las del polinomio del
numerador y 𝑐, 𝑑 las del polinomio del denominador en estos casos, donde se cumple que
, , y , en el e) se tiene que , en el caso f) y en el caso
g) y simultáneamente.
Como
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡). 𝑣(𝑥, 𝑡)
Tenemos que
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡) 1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
que es la concentración del contaminante en cualquier instante de tiempo.
b) En este caso hay dos posibilidades
b1) Todas las raíces de y están en el semiplano superior (esto ocurre cuando
, si se cumple además, y )
b2) Todas las raíces de y están en el semiplano inferior (esto ocurre cuando
, si se cumple además, y
Subcaso b1):
En este caso la solución de nuestro problema de contorno toma la forma:
)(xD
0a 0b 0c 0d ba dc
ba dc
)(1 xP )(2 xP
01
D00110 00110
)(1 xP )(2 xP
01
D00110 00110
56
𝑣(𝑥, 𝑡) =1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
donde 𝐹+(𝑦) =1
√2𝜋∫ ℎ4(𝜏)𝑒𝑖𝑦𝜏𝑑𝜏
+∞
0, siendo ℎ4 = 𝑉−1[𝐻4],
𝐻4(𝑦) =𝛽01(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
𝛾01(𝑦−𝑐𝑖)(𝑦−𝑑𝑖)𝐻2(𝑦) −
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑑𝑖)
(𝑦−𝑐𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)𝐻1(𝑦), siendo 𝐻1(𝑦) 𝐻2(𝑦) las mismas
expresiones del Capítulo II, donde 𝐺11− (𝑦) = 0, pues
𝐺11− (𝑥) = 𝑉−1[𝑔11−(𝑥)] =
1
√2𝜋∫ 𝑔11−(𝑥)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−∞
1
√2𝜋∫ 0𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥 = 0
+∞
−∞ pues 𝑔11(𝑥) =
0 ⟹ 𝑔11−(𝑥) = 0; ∀𝑥 ∈ ℝ
Pero ahora a, b, c y d son números complejos con parte imaginaria mayor que cero si
y , o números imaginarios sobre el eje imaginario
positivo si y . (También se puede obtener un caso
mixto). Donde
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡) 1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
Subcaso b2):
En este caso la solución de nuestro problema de contorno toma la forma:
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡) 1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
Siendo 𝐹+(𝑦) =(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)
(𝑦−𝑐𝑖)(𝑦−𝑑𝑖)
1
√2𝜋∫ ℎ5(𝜏)𝑒𝑖𝑦𝜏𝑑𝜏
+∞
0; ℎ5 = 𝑉−1[𝐻5]
Y 𝐻4(𝑦) =𝛽01
𝛾01𝐻2(𝑦) −
(𝑦−𝑐𝑖)(𝑦−𝑑𝑖)
(𝑦−𝑎𝑖)(𝑦−𝑏𝑖)𝐻1(𝑦), siendo 𝐻1(𝑦) 𝐻2(𝑦) las mismas expresiones del
Capítulo II, donde 𝐺11− (𝑦) = 0, pues
2
1020001
114
DD 2
1020001
114
DD
2
1020001
114
DD 2
1020001
114
DD
57
𝐺11− (𝑥) = 𝑉−1[𝑔11−(𝑥)] =
1
√2𝜋∫ 𝑔11−(𝑥)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−𝑎
1
√2𝜋∫ 0𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥 = 0
+∞
−𝑎 pues 𝑔11(𝑥) =
0 ⟹ 𝑔11−(𝑥) = 0; ∀𝑥 ∈ ℝ, pero ahora a, b, c y d son números complejos con parte
imaginaria menor que cero si y , o números
imaginarios sobre el eje imaginario negativo si y .
(También se puede obtener un caso mixto).
Casos c) y d)
En este caso la solución de nuestro problema de contorno toma la forma:
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑒(𝑈
2𝐷𝑥−(
𝑈2
4𝐷 +
𝑉𝑚á𝑥2
)𝑡) 1
√2𝜋[∫
𝐹+(𝑦)+𝐻1(𝑦)
(𝑦−𝑎𝑖)
+∞
−𝑎𝑒−(𝑦2𝐷𝑡+𝑖𝑥𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑉(𝑦, 𝑡)𝑒−𝑖𝑥𝑦𝑡𝑑𝑦
+∞
−𝑎]
En el caso c) se cumple que:
𝐹+(𝑦) =1
√2𝜋∫ ℎ6(𝜏)𝑒𝑖𝑦𝜏𝑑𝜏
+∞
0; ℎ6 = 𝑉−1[𝐻6] y 𝐻6(𝑦) =
𝛽01
𝛾01
(𝑦−𝑎𝑖)
(𝑦−𝑐𝑖)𝐻2(𝑦) − 𝐻1(𝑦),
siendo 𝐻1(𝑦) 𝐻2(𝑦) las mismas expresiones del Capítulo II, donde 𝐺11− (𝑦) = 0, pues
𝐺11− (𝑥) = 𝑉−1[𝑔11−(𝑥)] =
1
√2𝜋∫ 𝑔11−(𝑥)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−𝑎
1
√2𝜋∫ 0𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥 = 0
+∞
−𝑎 pues 𝑔11(𝑥) =
0 ⟹ 𝑔11−(𝑥) = 0; ∀𝑥 ∈ ℝ.
En el caso d) sucede lo mismo, con la diferencia de que:
𝐹+(𝑦) =(𝑦−𝑎𝑖)
(𝑦−𝑐𝑖)
1
√2𝜋∫ ℎ7(𝜏)𝑒𝑖𝑦𝜏𝑑𝜏
+∞
0; ℎ7 = 𝑉−1[𝐻7] y 𝐻7(𝑦) =
𝛽01
𝛾01𝐻2(𝑦) −
(𝑦−𝑐𝑖)
(𝑦−𝑎𝑖)𝐻1(𝑦),
siendo 𝐻1(𝑦) 𝐻2(𝑦) las mismas expresiones del Capítulo II, donde 𝐺11− (𝑦) = 0, pues
𝐺11− (𝑥) = 𝑉−1[𝑔11−(𝑥)] =
1
√2𝜋∫ 𝑔11−(𝑥)𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡 =
+∞
−𝑎
1
√2𝜋∫ 0𝑒𝑖𝑥𝑡𝑑𝑥 = 0
+∞
−𝑎 pues 𝑔11(𝑥) =
0 ⟹ 𝑔11−(𝑥) = 0; ∀𝑥 ∈ ℝ.
El caso h) no lo consideramos por carecer de importancia práctica.
3.11 Conclusiones del capítulo
Se ha encontrado la solución en cuadraturas para problemas de tipo parabólico que modelan
la concentración de contaminantes en un río con una fuente de contaminantes en el semieje
2
1020001
114
DD 2
1020001
114
DD
2
1020001
114
DD 2
1020001
114
DD
58
derecho. Se ofrece la solución analítica para los casos de índice cero del coeficiente del
problema de Riemann, por tener solución única el problema y así mismo mayor aplicación
práctica.
Los resultados obtenidos constituyen un aporte teórico a la teoría de los problemas de
contorno de las ecuaciones diferenciales parciales, específicamente para los problemas que
modelan la concentración de contaminantes.
La solución obtenida mediante cuadraturas permite que los profesionales que utilizan
modelos parabólicos e hiperbólicos puedan encontrar la solución con relativa facilidad, sin
que sea necesario que posean un dominio profundo de la teoría antes expuesta.
59
CONCLUSIONES
El transporte hidrodinámico del nitrato como contaminante en los ríos es un problema cada
vez más frecuente y preocupante. Mediante las ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales, específicamente las ecuaciones de tipo parabólico, logramos modelar de forma
idónea su concentración en los ríos.
Se plantea el método de solución en cuadraturas de un problema parabólico homogéneo con
condiciones de contorno diferentes por semiejes. La técnica utilizada consiste en reducir el
problema original con el auxilio de la transformada de Fourier a un problema de Riemann
con solución conocida, lo que conduce a obtener la solución en cuadraturas con el auxilio de
la transformada inversa.
En el presente trabajo solamente aplicamos la teoría del problema de Riemann para el caso
de índice cero que conducen a una solución única
Los resultados obtenidos tienen un indudable valor práctico pues por primera vez se aplica
la teoría de la solución de los problemas de contorno de la teoría de funciones analíticas a
situaciones prácticas concretas, como es encontrar la concentración de contaminantes en los
ríos. Al obtener la solución en cuadraturas damos la posibilidad que especialistas que trabajan
en este campo puedan utilizar estos resultados sin la necesidad de conocer las bases teóricas
matemáticas que conducen a los mismos.
60
RECOMENDACIONES
Se recomienda generalizar los resultados obtenidos en la presente tesis en las siguientes
direcciones:
1) Estudiar la concentración en los ríos de otros tipos de contaminantes.
2) Confeccionar un paquete matemático que responda a la solución de todos los
resultados obtenidos en cuadraturas y que quede a disposición de todos los
especialistas que trabajen en este campo.
3) Encontrar la solución del problema de Riemann utilizado trabajando en las clases de
funciones generalizadas encontradas por el grupo de ecuaciones diferenciales de la
facultad de Matemática Física y Computación de la Universidad Central “Marta
Abreu” de Las Villas.
61
Referencias bibliográficas
Abreu, R., 1999. Algunas generalizaciones del problema de contorno de Riemann con
coeficientes continuos en espacios de Hölder, Santiago de Cuba: s.n.
Batard, L. F., 1990. Las ecuaciones diferenciales y el problema de Riemann con parámetro
pequeño. Universidad Central: Marta Abreu de las Villas.
Batard, L. F. Y. A. W., 2001a. . El problema de Riemann en las nuevas clases de Funciones
Generalizadas. Revista Ciencias Matemáticas, XXI, 19-26.. Revista Ciencias Matemáticas,
Volumen XXI, pp. 19-26.
Batard, L. F. Y. A. W., 2001b. Nuevas clases de funciones generalizadas. Ciencias
Matemáticas, Volumen XXI, pp. 12-18.
Cárdenas, J. A., 2016. Propuesta y análisis de un modelo matemático para la
determinación de la calidad de aguas superficiales.. Universidad Central: “Marta Abreu”
de Las Villas.
Castagnino, W. A., 1975. Polución de agua y modelos de control. Estados Unidos:
DIVISION DE SALUD AMBIENTAL.
Clancey, K. & Gohberg, I., 1981. Factorization of matrix functions and singular integral
operators. Operator Theory: Advances and Applications, Volumen 3.
Deift, P. & Zhou, X., 1993. A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann–Hilbert
Problems. Ann. of Math., 137(2), p. 295–368.
Domínguez Catasús, J., 2004. Modelación de la calidad del agua del río Almendares. Tesis
doctoral: Instituto Superior de Tecnologías y Ciencias Aplicadas.
Estrada Hernández, Y., 2008. Solución de un problema de contorno complejo para
ecuaciones de tipo parabólico. Maestría en Matemática. s.l.:s.n.
Estrada Hernández, Y., 2015. Solución de problemas para ecuaciones en derivadas
parciales de tipo parabólico e hiperbólico con condiciones de contorno dadas por
semiejes. Doctorado: Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (UCLV).
Fokas, A. S., 2008. A Unified Approach to Boundary Value Problems. University of
Cambridge: Siam.
Francois, D., 2000. Partial Riemann problem, boundary conditions, and gas dynamics.
Nova Science Publishers, pp. 16-77.
Gajov, F. D., 1980. Problemas de contorno. Moscú: MIR.
Godounov, S., 1973. Equations de la physique mathematique. Moscú: Mir.
62
González Bernal, J. A., s.f. Transporte hidrodinámico de contaminantes. Caso estacionario
unidimencional. Tesis de grado: Universidad Central Marta Abreu de las Villas.
Grau, R., 1986. Ecuaciones diferenciales de la teoría de la elasticidad con coeficientes
seccionalmente constantes.. Tesis de Doctorado: Universidad Central "Marta Abreu" de
Las Villas..
Hider, H. e. a., 2013. A review of dissolved oxygen and biochemical oxygen demand models
for large rivers. s.l.:s.n.
Huazhou, C. & Tao, P., 2011. Two-Dimension Riemann Initial-Boundary Value Problem of
Scalar Conservation Laws with Curved Boundary. Department of Mathematics, Shanghai
University, China, Julio Rossi.
Its, A., 2003. The Riemann-Hilbert Problem and Integrable Systems. AMS, 50(11).
Its, A. & Shepelsky, D., 2012. Initial boundary value problem for the focusing NLS
equation with Robin boundary condition: half-line approach, Indiana, University-Purdue
University Indianapolis: s.n.
Its, E., 2007. Riemann-Hilbert Approach to the Elastodynamic Equation in a quarter space,
Part I, Indianapolis: s.n.
Its, E., 2011. Riemann-Hilbert Approach to Scattering Problems in Elastic Media, Indiana,
University-Purdue University Indianapolis, Cambridge: s.n.
Ivanov, V. V., 1958. Algunas propiedades de las integrales singulares de tipo Cauchy y sus
aplicaciones. Moscú: DAN SSSR.
Jiequan, L. & al, e., 2009. Two-dimensional Riemann Problems: from scalar conservation
laws to compressible euler equations. Beijing, China: ActaMathematicaScientia.
Jvedelidze, B. V., 1958. Observaciones referentes a mi trabajo "Problemas de frontera
lineales". Moscú: AN Gruz, SSR.
Kamvissis, S., 2003. Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear
Schrödinger Equation. Princeton: Annals of Mathematics.
Kamvissis, S. & Rakhmanov, E. A., 2005. Existence and Regularity for an Energy
Maximization Problem in Two Dimensions. s.l.:J.Math.Phys.
Kamvissis, S. & Teschl, G., 2012. Long-time asymptotics of the periodic Toda lattice under
short-range perturbations. s.l.:J.Math.Phys.
Kevorkian, J., 1990. Partial differential equations : analytical solution techniques.
Wadsworth: Pacific Grove, Calif..
Kilian, M., 1994. On The Riemann-Hilbert –Problem. TU Berlin: Diplomarbeit.
Kolmogorv, A. N. Y. F. S. V., 1975. Elementos de la teoría de funciones y del análisis
funcional.. s.l.:s.n.
63
Lax, P. D. & Levermore, C. D., 1983. The Zero Dispersion Limit for the KdV Equation I-
III. s.l.:Communications on Pure and Applied Mathematics.
Lions, J., 1972. Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Springer.
Logomasino, E., 2004. Ecuaciones Diferenciales Elementales. La Habana: Félix Varela.
Manakov, S., 1974. Nonlinear Frauenhofer diffraction. Sov. Phys. JETP, Issue 38, p. 693–
696.
Martínez Gaspar F. J, O. B. D. L., 2011. EL EXCESO DE NITRATOS un problema actual
en la agricultura. Synthesis, Volumen 57, pp. 11-16.
Mederos, O. B., 1990. Solución de los problemas de cuasi-salto de dos problemas de
Haseman para el semiplano, s.l.: s.n.
Mederos, O. B. & otros, 1987. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ciudad de La Habana:
Pueblo y Educación.
Mederos, O. B. Y. A. O., 1987. Solución de problemas de Haseman con desplazamiento
excepto en dos puntos. Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas: Informe final de
Investigación.
Mederos, O. B. Y. B. L. F., 1990a. El problema de Riemann con parámetro pequeño en el
espacio. Ciencias Matemáticas, Volumen XI.
Mederos, O. B. Y. B. L. F., 1990b. Reducción de una clase de problemas de contorno en
ecuaciones en derivadas parciales con parámetro pequeño al problema de Riemann. Revista
Ciencias Matemáticas, Volumen XI..
Mederos, O. B. Y. B. L. F., 2006. Solución de un problema de contorno complejo para las
ecuaciones de tipo elíptico. Revista Ciencias Matemáticas, Volumen XXIII.
Musjelishvili, N. I., 1966. Algunos problemas fundamentales de la de la teoría matemática
de la elasticidad. Moscú: s.n.
Pelloni, B., 2011. Boundary value problems and integrability: a Riemann-Hilbert
approach. s.l., Wam.
Qinggai, W. Y. C., 2013. A review of surface water quality models. The Scientific World
Journal, China.
Streeter, H. W. &. P. E. B., 1925. A study of the pollution and natural purification of the
Ohio river.. Public Health Bulletin: Estados Unidos.
Taylor, M. E., 1996. Partial differential equatios I : basic theory. New York: Springer
Verlag.
Tijonov, A. N. & Samarsky, A. A., 1980. Ecuaciones de la Física-Matemática. Moscú:
Mir.
64
Treves, F., 1975. Basic Linear Partial Di_erential Equations. Academic Press.
Zhen - Gang, J., 2008. Hydrodynamics and water quality: modeling rivers, lakes and
estuaries, New jersey,. Estados Unidos: John Wiley & Sons.
