Título: mar 6-1:39 PM (Página 1 de 20)...2.2. PRODUCTO DE MONOMIOS SIEMPRE se pueden multiplicar...

TEMA 5. ÁLGEBRA

El lenguaje algebraico es un lenguaje matemático que combina números y letras unidos mediante operaciones aritméticas (+, -, ·, :) para expresar la

realidad de forma concisa, inequívoca y universal.

La expresión algebraica más sencilla es el monomio .

DEFINICIÓN: un monomio es un producto de un número, llamado coeficiente , por una o varias letras, llamadas incógnitas .

Por tanto, un monomio consta de dos partes: una parte numérica y una parte literal.

Ejercicio: Traduce estos enunciados al lenguaje algebraico e indica cuál es la parte numérica y la parte literal.

Enunciado Monomio Parte numérica

Parte literal

Grado

El doble de un número 2·x = 2x 2 x 1

El doble del cuadrado de un número

2·x² = 2x² 2 x² 2

El producto de dos números

x·y = xy 1 xy 2

El triple del producto de dos números

3·a·b = 3ab

3 ab 2

Las dos terceras partes de un número

x 1

La mitad de un número x 1

La mitad del producto de un número por el cuadrado

de otroxy² 3

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DEFINICIÓN: Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal.

Ejemplo: 3x²y, -5xy, x²y, 159xy, 3x²y², 3x²yz, -2xyzSemejantes: 3x²y, x²y

-5xy, 159xy

DEFINICIÓN: Se llama grado de un monomio al número de incógnitas que tiene la parte literal.

Ejemplo: 3x²y, -5xy, 4a²b², n²mp, 2a, 7

2. OPERACIONES CON MONOMIOS

2.1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOSPara sumar o restar monomios, es obligatorio que sean

semejantes. Si no lo son, la operación no se puede realizar y se dejará indicada.

Si son semejantes, solo hay que sumar o restar los coeficientes y dejar la misma parte literal.

Ejemplo: 3x + 4x - 2x = 5x 3a² + 5a² - a² = 7a²

2x³ + 3x - 4x³ - 2x² = -2x³ + 3x - 2x²


2.2. PRODUCTO DE MONOMIOS

SIEMPRE se pueden multiplicar los monomios. La operación se realiza multiplicando, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las

operaciones con potencias).

Ejemplo: 3x² · 4x³ = 12 x⁵ -2abc · 9ab³ = -18 a²b⁴c

2.3. COCIENTE DE MONOMIOS

SIEMPRE se pueden dividir los monomios. La operación se realiza dividiendo, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las operaciones con potencias).

Ejemplo: 30x⁵ : 2x³ = 15x² 2a⁶b²c · 9a³b =

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Monomio Coeficiente Parte literal Grado

x² 1 x² 2

x³y² 1 x³y² 5

-0,01mn² -0,01 mn² 3

2 p³q² p³q² 5

8. Calcula mentalmente las siguientes sumas y restas de monomios:a) 2x + 3x = 5xb) 3x² + 6x² = 9x²

c) 5y³ - 4y³ = 1y³ = y³d) 4m⁴ - 8m⁴ = -4m⁴e) p + 3p - 2p = 2p

f)


2.4. POTENCIA DE MONOMIOS

Para elevar un monomio a una potencia se eleva, por un lado, el coeficiente y por otro, cada una de las incógnitas.

Ejemplo: (3ab³)² = 3²a²(b³)² = 9a²b⁶(-2x⁴)² = (-2)² (x⁴)² = 4 x⁸

(x²yz⁵)³ = (x²)³ y³ (z⁵)³ = x⁶ y³ z¹⁵(3ab)³ = 3³ a³ b³ = 27 a³b³

3x²

3x³ y z³

3xy⁵z⁴

2xy²z⁰ = 2xy² ·1 = 2xy²


6. Simplifica mentalmente las siguientes expresiones operando con sus términos semejantes:

a) 4a + 3b - 2a + 5b = 2a + 8bb) 5 + 3x - 2 + 2x = 3 + 5x

c) 2a + 3b - 2 + 5a + 5b - 3 = 7a + 8b - 5d) 5x² - 3x + 3x² + 6x - 7 = 8x² + 3x - 7

9. Realiza estas sumas y restas de monomios:

a) 7m³ - 2m³ + 6m³ = 11m³b) 0,1mn² + 0,9mn² = 1 mn² = mn²c) x⁵ + 7x⁵ - 4x⁵ - 5x⁵ = -1x⁵ = -x⁵

d) 9y² - (4y² - 2y²) = 9y² - 2y² = 7y²

11. Calcula los siguientes productos y potencias de monomios:a) 2x³ · 3x² = 6x⁵b) y² · 0,1y = 0,1y³

c) p² · p · p⁴ = p⁷d) 5xy² · 2xy² = 10x²y⁴e) (2x³)⁵ = 2⁵ (x³)⁵ = 32x¹⁵

f) 2³ · (y²)³ = 8 y⁶


3. POLINOMIOS

Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los monomios que lo componen se llama término .

DEFINICIÓN: Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.

Para indicar el grado de un polinomio, éste ha de estar reducido, es decir, que ya se hayan sumado todos los

términos semejantes.

Ejemplo: x⁴ - 3x + 2x² + 5 grado 4

ab² + 3ab⁴ - 5a³ + 7b - 3ab⁴ = ab² - 5a³ + 7b

y⁵ - 4y³ + 3y⁵ - 2y + 3y - y³ = 4y⁵ - 5y³ + y


4. OPERACIONES CON POLINOMIOS

4.1. SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios, hay que sumar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los

polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado y realizaremos la operación.

Ejemplo:Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5,

realizar P+Q

Sean P = 3a⁴ + 2a³ - 7a + 4 y Q = -4a³ + 5a² - 2a - 9, calcula P+Q


... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0

x⁴ -2x² +3x -4

3x³ +2x² -5

x⁴ +3x³ 0x² +3x -9


realizar P+Q

P + Q = x⁴ + 3x³ + 3x - 9


... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0

7x³ -6x² +2

5x² -3x -5

7x³ -x² -3x -3

Dados los polinomios M = 7x³ - 6x² + 2 y N = 5x² - 3x - 5, calcula M + N


12. a) (x⁵ + 4x³ - 5x²) + (4x² + 3x - 5)

x⁵ +4x³ -5x² +4x² + 3x - 5

14. a) P= 4x² - 3x + 1, Q= 3x - 2, R= 2x² + x - 2

7. a) P= 4x³ + 2x - 2, Q = 3x + 5

x⁵ +4x³- x² +3x -5

, R = 5x⁴ - 3x³ + 2x² - 9


4.2. RESTA DE POLINOMIOS

Para restar dos polinomios, hay que restar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los

polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado. ANTES de realizar laoperación es MUY IMPORTANTE cambiar TODOS los signos del sustraendo (el de abajo). Y por último, se

SUMAN los términos semejantes.


realizar P-Q

x⁴ - 2x² + 3x - 4 3x³ + 2x² - 5


Sean los polinomios P = 4x³ + 2x - 2 y Q = 3x + 5, calcula:b) Q + P

3x + 54x³ +2x - 2___________4x³ + 5x + 3

c) P - Q

4x³ +2x - 2 3x + 5

d) Q - P

3x + 54x³ +2x - 2


4.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS

La operación es similar al producto de números enteros. Se coloca un polinomio encima del otro y se realizan las

multiplicaciones individuales de cada término del polinomio inferior por TODOS los términos del superior. Hay que

recordar que después de realizar todos los productos habrá que sumar, por lo tanto, deberemos colocar cada término en

la columna correspondiente a su grado.

Ej.: sean los polinomios A = 5x³ + 3x² - x - 2 y B = 2x - 7, calcula A·B.

5x³ + 3x² - x - 2 2x - 7

-35x³ - 21x² +7x + 14 10x⁴ + 6x³ - 2x² - 4x

10x⁴ -29x³- 23x² +3x + 14


28. a) 3·(2x + 5)

2x + 5 3

b) 5 · (x² - x)

x² - x · 5

c) 7· (x³ - 1) d) (-2) · (5x - 3) e) x·(x + 1)

f) 2x · (3x - 5) = 6x² - 10xg) x² · (5x - 2) =

5x - 2 x²5x³-2x²

h) 3x² ·(x + 2) = 3x³ + 6x²i) 3x · (x² - 2) = 3x³ - 6x

j) 5x · (x² + x + 1)

x² + x + 1 5x

5x³ +5x² +5x


(x - 3)² = (x - 3)·(x - 3)

x⁷ = x·x·x·x·x·x·x(3a)²⁰ = 3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a

x - 3x - 3


5. PRODUCTOS NOTABLES

Hay productos de polinomios que aparecen muy amenudo en el álgebra. Por ello, en lugar de realizar cada vez la operación,

aplicaremos las siguientes fórmulas:

· El cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primero MÁS el cuadrado del segundo MÁS el doble del primero por el segundo.

(a + b)² = a² + b² + 2·a·b· El cuadrado de una resta: es igual al cuadrado del primero MÁS

el cuadrado del segundo MENOS el doble del primero por el segundo.

(a - b)² = a² + b² - 2·a·b· Suma por diferencia : es la diferencia de los cuadrados.

(a + b)·(a - b) = a² - b²

Ej. (x + 3)² = x² + 3² + 2·x·3 = x² + 9 + 6x(x - 3)² = x² + 3² - 2·x·3 = x² + 9 - 6x

(x + 3)·(x - 3)= x² - 3² = x² - 9


29. a) (x + 1) · (x - 2)

x + 1x - 2

b) (2x - 1) · (x - 1)

2x - 1 x - 1


A = 3x³ - 6x² + 4x - 2B = x³ - 3x + 1C = 2x² + 4x - 5

a) A+B

3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1

______________4x³ -6x² + x -1

c) A - B

3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1

______________

b) A + B + C

3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1

2x² +4x - 5______________4x³ - 4x² + 5x - 6

d) B - C

x³ - 3x + 1

2x² +4x - 5______________

e) A + B - C

3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1

2x² +4x - 5______________

f) A - B - C

3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1

2x² +4x - 5______________


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