MATEMATICAS EMPRESARIALES II. 2013

TUTORIA CAP 1 (Parte I)

MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS LINEALES

1. a) Obtener el determinante

��������1 2 3 �21 3 1 0

�1 0 �9 60 1 �8 5

�������� haciendo ceros en la primera �la y luegoaplicando la regla de Sarrus.

b) Aplicar el método de eliminación de Gauss para transformar la matriz dada en otratriangular con el mismo determinante. Calcular el determinante de esta última matrizy con�rmar el resultado obtenido en el apartado (a).

2. a) Usar el método de eliminación de Gauss para (i) discutir y (ii) resolver8<:x+ y � 5z = �3�2x+ y + z = 63x+mz = �9

donde m es un parámetro real.

b) Usar el método del rango, el teorema de Rouché-Fröbenius y la regla de Cramer paraestudiar el mismo sistema y comparar las conclusiones con el apartado (a).

3. Obtener la inversa de la matriz

0@ 1 2 31 4 1

�2 �4 �7

1A por el método de los adjuntos y por el

método de Gauss

4. ¿Para qué valores del parámetro real � se tiene que A�def=

�0 �0 ��

�, satisface (A�)

2 =

�A�?Para dichos valores, obtener (A�)

n para un entero positivo arbitrario n:

1

SOLUCIONES

1. (a) Obtener el determinante

��������1 2 3 �21 3 1 0

�1 0 �9 60 1 �8 5

�������� haciendo ceros en la primera �la y luegoaplicando la regla de Sarrus.

(b) Aplicar el método de eliminación de Gauss para transformar la matriz dada en otra trian-gular con el mismo determinante. Calcular el determinante de esta última matriz y con�rmar elresultado obtenido en el apartado (a).

Solución:

1. Ceros en la primera columna (con a11 = 1 como pivote):0BB@1 2 3 �21 3 1 0�1 0 �9 60 1 �8 5

1CCA R2 �R1 ! R2R3 +R1 ! R3

!

0BB@1 2 3 �20 1 �2 20 2 �6 40 1 �8 5

1CCA.Por tanto,��������

1 2 3 �21 3 1 0

�1 0 �9 60 1 �8 5

�������� =��������1 2 3 �20 1 �2 20 2 �6 40 1 �8 5

�������� = 1 �������1 �2 22 �6 41 �8 5

������ = �6 (por Sarrus)2. Siguiendo el proceso, hacemos ceros en la segunda columna (bajo la diagonal) con a022 = 1como pivote:0BB@1 2 3 �20 1 �2 20 2 �6 40 1 �8 5

1CCA R3 � 2R2 ! R3R4 �R2 ! R4

!

0BB@1 2 3 �20 1 �2 20 0 �2 00 0 �6 3

1CCA :3. Hacemos ceros en la tercera columna (bajo la diagonal) con a033 = �2 como pivote:0BB@

1 2 3 �20 1 �2 2

0 0 �2 0

0 0 �6 3

1CCA R4 � 3R3 ! R4!

0BB@1 2 3 �20 1 �2 20 0 �2 00 0 0 3

1CCA .

4. El determinante no ha cambiado de valor en ninguna de las transformaciones elementalesde �las percedentes. Por tanto,��������

1 2 3 �21 3 1 0

�1 0 �9 60 1 �8 5

�������� =��������1 2 3 �20 1 �2 20 0 �2 00 0 0 3

�������� = 1 � 1 � (�2) � 3 = �6

2

2. (a) Usar el método de eliminación de Gauss para (i) discutir y (ii) resolver

8<:x+ y � 5z = �3�2x+ y + z = 63x+mz = �9

donde m es un parámetro real.(b) Usar el método del rango y la regla de Cramer para estudiar el mismo sistema y comparar

las conclusiones con el apartado (a).

Solución:

1. Eliminación usando las ecuaciones

a) Eliminar x :Tomamos Ec1 como pivote:8<:x+ y � 5z = �3�2x+ y + z = 63x+mz = �9

pivoteEc2+ 2Ec1! Ec2Ec3� 3Ec1! Ec3

8<:x+ y � 5z = �3

3y � 9z = 0�3y + (m+ 15)z = 0

Simpli�cando Ec2, queda

8<:x+ y � 5z = �3

y � 3z = 0�3y + (m+ 15)z = 0

:

b) Eliminar y : Tomamos Ec2 como pivote:8<:x+ y � 5z = �3

y � 3z = 0�3y + (m+ 15)z = 0

pivoteEc3+ 3Ec2! Ec3

!

8<:x+ y � 5z = �3

y � 3z = 0(m+ 6)z = 0

2. Discusión:

Si m 6= �6; entonces (m+ 6) z = 0 =) z = 0: Entonces:

� y � 3z = 0 z=0=) y = 0

� x+ y � 5z = �3 y=0;z=0=) x = �3:

Sistema compatible, determinado, solución

8<:x = �3y = 0z = 0

:

Si m = �6; el sistema se reduce a�x+ y � 5z = �3

y � 3z = 0 : Pasando z al segundo miem-

bro,�x+ y = �3 + 5z

y = 3z

�=) x = �3 + 5z � y = �3 + 5z � 3z = �3 + 2z:

El sistema es compatible indeterminado con solución general�x = �3 + 2zy = 3z

: En

forma paramétrica,

8<:x = �3 + 2ty = 3tz = t

.

3. Eliminación, discusión y resolución en forma tabular.

3

0@ 1 1 �5 �3�2 1 1 63 0 m �9

1A pivoteR2 + 2R1 ! R2R3 � 3R1 ! R3

!

0@ 1 1 �5 �30 3 �9 00 �3 m+ 15 0

1A 1

3R2 ! R2

0@ 1 1 �5 �30 1 �3 00 �3 m+ 15 0

1AR3 + 3R2 ! R3

!

0@ 1 1 �5 �30 1 �3 00 0 m+ 6 0

1A

Si m+ 6 = 0; queda

0@ 1 1 �5 �30 1 �3 00 0 0 0

1A!�1 1 �5 �30 1 �3 0

�: Para hacer que la

matriz marcada sea diagonal (método deGauss-Jordan), eliminamos y y obtenemos�1 1 �5 �30 1 �3 0

�R1 �R2 ! R1

�1 0 �2 �30 1 �3 0

�que corresponde a�

x� 2z = 3y � 3z = 0 : Pasando z al segundo miembro se obtiene la solución general de antes.

Si m+ 6 6= 0; se puede tomar como pivote y eliminar z:0@ 1 1 �5 �30 1 �3 00 0 m+ 6 0

1A como antes!

0@ 1 0 �2 �30 1 �3 00 0 m+ 6 0

1A1

m+ 6R3 ! R30@ 1 0 �2 �3

0 1 �3 00 0 1 0

1Apivote

0@ 1 0 0 �30 1 0 00 0 1 0

1A!

8<:x = �3y = 0z = 0

como antes.

4. Método del rango, Rouché-Fröbenius y regla de Cramer.

La matriz ampliada es

0@ 1 1 �5 �3�2 1 1 63 0 m �9

1A :a) Buscamos menor 2� 2 en la matriz de coe�cientes. Mejor que contenga algón cero y

que no contenga al parámetro (si es posible).

���� �2 13 0

���� nos vale.b) Lo orlamos de las única manera posibles dentro de la matriz de coe�cientes:������

1 1 �5�2 1 13 0 m

������ = 3m+ 181) m 6= �6 =) rank (A) = 3 =)Es un sistema de Cramer 3 � 3; por tanto com-patible determinado, con solución (por la regla de Cramer):

x =

�������3 1 �56 1 1�9 0 m

������������1 1 �5�2 1 13 0 m

������=�9m� 543m+ 18

= �3; y =

������1 �3 �5�2 6 13 �9 m

������������1 1 �5�2 1 13 0 m

������=

0

3m+ 18= 0;

4

z =

������1 1 �3�2 1 63 0 �9

������������1 1 �5�2 1 13 0 m

������=

0

3m+ 18= 0:

2) m = �6 =) rank (A) = 2: Para ver el rango de la ampliada necesitamos el menororlado que falta, añadiendo la columna de términos independientes:������

1 1 �3�2 1 63 0 �9

������ = 0:Por tanto, la ampliada también tiene rango 2. El sistema es compatible e inde-terminado, con 3� 2 = 1 grado de libertad.Como el menor básico tiene las �las 2 y 3, por el teorema del rango la primera�la (ecuación) es combinación lineal de la segunda y tercera (no sabemos quécombinación lineal es pero nos da igual). Quitamos la primera ecuación, pasamosz al segundo miembro (porque su columna, la 3a, no aparece en el menor básico)y nos queda un sistema de Cramer 2� 2 (tras simpli�car la 3a ecuación):8<:

x+ y � 5z = �3�2x+ y + z = 63x� 6z = �9

!��2x+ y = 6� z

x = �3 + 2z

con solución general

x =

���� 6� z 1�3 + 2z 0

�������� �2 11 0

���� =3� 2z�1 = �3 + 2z; y =

���� �2 6� z1 �3 + 2z

�������� �2 11 0

���� =�3z�1 = 3z

que coincide con la que se obtuvo antes.

5

3. Obtener la inversa de la matriz

0@ 1 2 31 4 1

�2 �4 �7

1ASolución:

1. Por el método de los adjuntos:

a) El determinante es �2:

b)

0@ 1 2 31 4 1

�2 �4 �7

1AT

=

0@ 1 1 �22 4 �43 1 �7

1A :c) Matriz de adjuntos:0BBBBBBBBB@

���� 4 1�4 �7

���� ����� 2 �43 �7

���� ���� 2 43 1

��������� 1 �21 �7

���� ���� 1 �23 �7

���� ����� 1 13 1

�������� 1 �24 �4

���� ����� 1 �22 �4

���� ���� 1 12 4

����

1CCCCCCCCCA=

0@ �24 2 �105 �1 24 0 2

1A

d) Inversa: A�1 =1

�2

0@ �24 2 �105 �1 24 0 2

1A =

0@ 12 �1 5�5=2 1=2 �1�2 0 �1

1A .

2. Por el método de Gauss (sólo si da tiempo en algún hueco).0@ 1 2 3 1 0 01 4 1 0 1 0�2 �4 �7 0 0 1

1A R2 �R1 ! R2R3 + 2R1 ! R3

0@ 1 2 3 1 0 00 2 �2 �1 1 00 0 �1 2 0 1

1A 1

2R2 ! R2

�R3 ! R30@ 1 2 3 1 0 00 1 �1 �1=2 1=2 0

0 0 1 �2 0 �1

1AR2 +R3 ! R2

0@ 1 2 3 1 0 00 1 0 �5=2 1=2 �10 0 1 �2 0 �1

1A0@ 1 2 3 1 0 00 1 0 �5=2 1=2 �10 0 1 �2 0 �1

1A R1�2R2�3R3! R1

0@ 1 0 0 12 �1 50 1 0 �5=2 1=2 �10 0 1 �2 0 �1

1A

=) A�1 =

0@ 12 �1 5�5=2 1=2 �1�2 0 �1

1A como antes

6

4. (a) ¿Para qué valores del parámetro real � se tiene que A�def=

�0 �0 ��

�, satisface (A�)

2 =

�A�?(b) Para dichos valores, obtener (A�)

n para un entero positivo arbitrario n:

Solución:

(a)�0 �0 ��

�2=

�0 �2

0 �2

�=

�0 �0 ��

��0 �0 ��

�=

�0 ��20 �2

�:

Por tanto,A2 = �A se veri�ca si y sólo si�0 ��20 �2

�=

�0 ��0 �

�; o sea

���2 = ���2 = �

; lo

cual se veri�ca ,�� = 0 ó� = 1

Luego las matrices buscadas son

A0def=

�0 00 0

�= O (lo cual era obvio) y

A1def=

�0 10 �1

�

(b) Si una matriz A satisface A2 = �A; entonces a la fuerza

A3 =�A2�A = (�A)A = �A2 = � (�A) = A:

A4 =�A3�A = AA = A2 = �A:

A5 =�A4�A = (�A)A = �A2 = � (�A) = A:

En general, pues, An = (�1)n�1A :

Para A =�0 00 0

�; por supuesto se tiene

�0 00 0

�2=

�0 00 0

�:

Para A =�0 10 �1

�se tiene

�0 10 �1

�n= (�1)n�1

�0 10 �1

�=

�0 (�1)n�10 (�1)n

�

7