Tutorial de controladores PID

Introduccion

El controlador de 3 terminos

Las caracteristicas de los controladores P, I y D

Problema Ejemplo

Respuesta de Lazo Abierto al escalon

Control Proporcional

Control Proporcional - Derivativo

Control Proporcional-Integrativo

Control Proporcional-Integrativo-Derivativo

Consejos generales para el disenho de una controlador PID

Introduccion

En este tutorial se mostraran las caracteristicas de los controladores proporcionales (P),

integrativos (I) y derivativos (D). Se mostrara tambien en forma basica como utilizarlos para

obtener la respuesta deseada. Para el efecto, se considerara el siguiente sistema realimentado:

Planta: Un sistema a ser controlado

Controlador: provee la excitacion para la planta; esta disenhado para controlar el

comportamiento del sistema

El controlador de tres terminos

La funcion de transferencia de un controlador PID posee la siguiente forma:

Kp = ganancia proporcional

KI = ganancia integral

Kd = ganancia derivariva

Inicialmente, se vera el modo en que el controlador PID trabaja en un sistema de lazo cerrado,

utilizando el esquema mostrado mas arriba. La variable (e) representa el error, es decir, la

diferencia entre la entrada de referencia (R) y la salida medidad del sistema (Y). Esta senhal de

error (e) se envia al controlador PID, donde el mismo computa tanto la derivada como la integran

de esta senhal. La senhal (u) a la salida del controlador es igual a (Kp) por el error mas (Ki) por la

integral del error mas (Kd) por la derivada del error.

La senhal (u) se envia a la planta, para obtener asi una nueva salida (Y). Esta nueva salida (Y) se

envia nuevamente al sensor para calcular la nueva senhal de error (e). El controlador toma esta

nueva senhal y calcula nuevamente la integral y la derivada del mismo.

Las caracteristicas de los controladores P, I, y D

Un controlador proporcional (Kp) tendra el efecto de reducir el tiempo de crecimiento y reducira

(pero no elimina) el error de estado estable. Un control integrativo (Ki) tendra el efecto de

eliminar el error de estado estable, pero sin embargo podria empeorar la respuesta transitoria. Un

control derivativo (Kd) tendra el efecto de aumentar la estabilidad del sistema al disminuir el

sobrepico, mejorando la respuesta transitoria. Los efectos de cada uno de los controladores Kp,

Kd, y Ki en un sistema de lazo cerrado estan resumidos en la tabla que se presenta debajo.

Controlador T. Crecimiento Sobrepico T. Establecimiento Error Estado Estable

Kp Disminuye Aumenta Poco cambio Disminuye

Ki Disminuye Aumenta Aumenta Elimina

Kd Poco cambio Disminuye Disminuye Poco cambio

Notese que estas correlaciones podria no ser exactamente precisas, ya que el efecto de cada

controlador sera dependiente de los otros. Por este motivo, la tabla mostrada solo debe ser

utilizada como referencia para determinar los valores de Ki, Kp y Kd.

Problema Ejemplo

Supongase un sistema compuesto por una masa, un resorte y un amortiguador.

La ecuacion que modela el sistema es

(1)

Tomando la transformada de Laplace de la ecuacion (1)

La funcion de transferencia entre el desplazamiento X(s) y la entrada F(s) sera entonces

Sea

M = 1kg

b = 10 N.s/m

k = 20 N/m

F(s) = 1

Reemplazando estos valores en la funcion de transferencia arriba, tenemos

La meta en este caso es mostrar como cada uno de los parametros Kp, Ki y Kd contribuyen a

obtener:

Tiempo de crecimiento rapido

Minimo sobrepico

Eliminacion de error de estado estable

Respuesta de lazo abierto al escalon

Se vera, inicialmente la respuesta de lazo abierto al escalon. Para esto, se creara un nuevo archivo

script "pdi1.sce" y se incluira en el mismo el siguiente codigo:

// se define la variable

s=poly(0,"s");

// definicion de los polinomios numerador y denominador

num=poly([1],"s","coeff");

den=poly([20 10 1],"s","coeff");

// se define el sistema basado en los polinomios

[sistema1]=syslin('c',num/den);

// intervalo de tiempo

t=0:0.005:2;

// respuesta a funcion escalon

[y X]=csim("step",t,sistema1);

plot2d(t,y);

Al ejecutar el script por medio del comando

-->exec('pdi1.sce')

se obtendra el grafico que se muestra.

La ganacia DC de la funcion de transferencia de la planta es igual a 1/20, de modo tal que el valor

final de la salida para una entrada unitaria sera 0.05. Esto corresponde a un error de estado estable

de 0.95, lo que en realidad es bastante grande. Puede apreciarse tambien que el tiempo de

crecimiento es aproximadamente igual a un segundo, con un tiempo de establecimiento de 1.5

segundos aproximadamente. Procederemos ahora a disenhar un controlador que reduzca el

tiempo de crecimiento y el tiempo de establecimiento, al mismo tiempo que elimina el error de

estado estable.

Control Proporcional

De la tabla presentada con anterioridad, se ve que el controlador proporcional (Kp) reduce el

tiempo de crecimiento, aumenta el sobrepico y reduce el error de estado estable. La funcion de

transferencia de lazo cerrado del sistema presentado con la inclusion de un controlador

proporcional sera:

Sea la ganancia (Kp) igual a 300. En el archivo script, la definicion del numerador debera ser

modificada:

Kp=300;

num=poly([Kp],"s","coeff");

den=poly([20+Kp 10 1],"s","coeff");

El grafico obtenido en este caso al ejecutar el archivo sera:

El grafico muestra como el comtrolador proporcional reduce tanto el tiempo de crecimiento y el

error de estado estable, mientras aumenta el sobrepico y disminuye ligeramente el tiempo de

establecimiento.

Control Proporcional - Derivativo

Analizaremos ahora el control PD. De la tabla mostrada arriba, se recuerda que el cotrolador

derivativo (Kd) reduce tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento.La funcion de

transferencia de lazo cerrado del sistema con el controlador PD incluido sera entonces:

Sea Kp igual a 300 y sea Kd igual a 10. El archivo script debera ser modificado como se muestra:

// Inclusion de un controlador PD

Kp=300;

Kd=10;

num=poly([Kd Kp],"s","coeff");

den=poly([20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff");

[sistema3]=syslin('c',num/den);

[y X]=csim("step",t,sistema3);

plot2d(t,y);

Este grafico muestra que la parte derivativa del controlador reduce tanto el sobrepico como el

tiempo de establecimiento, con poca influencia en el tiempo de crecimiento y el error en estado

estable.

Control Proporcional Integrativo

Antes de analizar el controlador PID propiamente dicho, nos detendremos en un controlador del

tipo PI. De la tabla, puede verse que un controlador integral (Ki) disminuye el tiempo de

crecimiento, aumenta tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento, y elimina el error de

estado estable. Para el sistema dado, la funcion de transferencia de lazo cerrado con la adicion del

controlador sera:

Establecemos Kp = 30, y Ki =70. Las modificaciones en el archivo script seran las siguientes:

// Inclusion de un controlador PI

Kp=30;

Ki=70;

num=poly([Kp Ki],"s","coeff");

den=poly([Ki 20+Kp 10 1],"s","coeff");

[sistema4]=syslin('c',num/den);

[y X]=csim("step",t,sistema4);

plot2d(t,y);

El grafico obtenido:

Se ha reducido la ganacia proporcional (Kp) debido a que el controlador integrativo tanbien

reduce el tiempo de crecimiento y aumenta el sobrepico al igual que el controlador proporcional

(doble efecto). La respuesta de arriba muestra como el controlador integral elimino el error en

estado estable.

Controlador Proporcional, Integrativo y Derivativo

Ahora, trabajaremos sobre el controlados PID propiamente dicho. La funcion de transferencia de

lazo cerrado, en este caso sera:

Luego del proceso de ensayo y error (facilmente implementable gracias a SCILAB), las

ganancias Kp=350, Ki=300, y Kd=50 proveen la respuesta deseada. Para verificar esto, incluya

las siguientes lineas en el archivo:

// Inclusion de un controlador PDI

Kp=350;

Ki=300;

Kd=50;

num=poly([Ki Kp Kd],"s","coeff");

den=poly([Ki 20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff");

[sistema5]=syslin('c',num/den);

[y X]=csim("step",t,sistema5);

plot2d(t,y);

Asi, se ha obtenido un sistema sin sobrepico, con rapido tiempo de establecimiento y

crecimiento, y sin error de estado estable.

Consejos generales para el diseño de un controlador PID

En el proceso de determinar un controlador PID con SCILAB para un sistema dado, los

siguientes pasos son utiles para obtener una respuesta deseada.

1. Ontemga la respuesta la lazo cerrado y determine las caracteristicas a ser mejoradas

2. Agregue un control proporcional para mejorar el tiempo de crecimiento

3. Agregue un control derivativo para mejorar el sobrepico

4. Agregue un control integrativo para eliminar el error de estado estable

5. Ajuste cada una de las ganancias Kp, Ki, y Kd hasta que se obtenga la respuesta deseada.

Utilice para esto la tabla de referencia.

Finalmente, debe tenerse en cuenta que no es necesario implementar los 3 controladores en todo

caso. Por ejemplo, sin un controlador PI ofrece una buena respuesta, no es necesario adicionar el

control derivativo. Debe mantenerse el controlador lo mas simple posible.