Tutorial de ecuaciones diferenciales
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METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
MARACAIBOCÁTEDRA: MATEMATICA IV
VICTOR JOSE LUCENA ALVARADOC.I: 23.760.001
Maracaibo, mayo de 2014
ECUACIONES SEPARABLES:Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden resolverse mediante integración, es la clase de ecuaciones separables, ecuaciones como:
que se pue den reescribir de modo que las variables x y y (junto con sus diferenciales dx y dy) queden aisladas en lados opuestos de la ecuación, como en
Así el lado derecho original debe tener la forma factorizada
en otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir de la forma:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES SEPARABLES: Método para resolver E.SI. Despejar dy/dx de la Ecuación diferencial, y obtener II. Separar la ecuación llevando las funciones para su respectivos
diferenciales
III. Luego integrar ambos lados de la ecuación IV. Se debe de resolver las integrales en ambos lados, resultando una
constante C para cada una y se agrupan en una sola C. Obteniendo así la solución de la ecuación diferencial:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES SEPARABLES: EJEMPLOPaso I
Podemos observar que en el numerador factorizamos por medio del factor común, es decir, realizar operaciones matemáticas antes de separar. Por lo que:
Paso IIAhora podremos separar las funciones para cada diferencial correspondiente
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES SEPARABLES: Paso III
Al resolver cada integrar por métodos distintos en este ejemplo. Para el dy por división de polinomios y cambio de variable, pero dx es directa de tabla de integralesTenemos como solución:
Agrupando las constantes
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES
Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con
frecuencia en las aplicaciones es la ecuación lineal. ecuación lineal
de primer orden es una ecuación que se pude expresar en la forma
Donde a1(x) , a0(x) , b(x) solo dependen de la variable independiente
Por lo que la ecuación al ser dividida por el coeficiente de los
diferenciales (a1(x) ) obtenemos la forma canónica :
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES
Pasos para resolver la ecuación lineal
I. Obtener la ecuación en la forma canónica
II. Determinar el factor integrantes por medio de la formula
Para así multiplicar la ecuación en forma canónica, para luego
llamar al lado izquierdo de la igualdad como
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES
I. Al determinar el factor integrante, éste se multiplica a toda la
ecuación en forma canónica, y verificamos que todo el lado
izquierdo se presenta
II. Determinar el factor integrantes por medio de la formula
lado izquierdo de la igualdad lo llamaremos
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES
Entonces lo podemos representar como:
III. se multiplica ambos lados por dx y se integra el lado derecho con
respecto a x
Y de ser posible se despeja la variable y
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES EJEMPLO
PASOS:I. Escribir la ecuación lineal en forma canónica, multiplicamos por la x
para obtener la ecuación canónica.
II. Determinamos el factor integrante con
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES EJEMPLO
Así el factor integrante
Ahora multiplicamos la ecuación canónica obtenida por este factor
integrante
al simplificar tenemos:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES LINEALES EJEMPLO
El lado izquierdo de la igualdad será:
ahora se integra ambos lados y se despeja la variable y
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
La forma diferencial es exacta en un rectángulo R si existe una función
F(x,y) tal que:
Entonces se debe cumplir que para toda diferencial total de la función
F(x,y) debe satisfacer lo siguiente
Si esta función diferencial es una es una forma exacta, entonces la
ecuación
Es llamada exacta sii.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
PASOS PARA LA SOLUCIÓN : Al tener
I. Demostrar que es exacta: derivar parcialmente a M(x,y) en función
de y, y derivar N(x,y) en función de x, las cuales deben de ser
igual, para cumplir con el criterio de exactas.
II. Ya demostrada que es exacta, se procede a determinar F(x,y),
comenzando con la integral de M(x,y) con respecto a x, generando
una función g(y) o N(x,y) con respecto a y, generando una
función h(x).
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
PASOS PARA LA SOLUCIÓN
III. A continuación se derivara parcialmente con respecto a la variable
contraria a la que se integro, es decir: si se integro a M(x,y) en
función de x se derivara parcialmente con respecto a y. pero si se
escogió integral de N(x,y) en función de x, se debe derivar en
función de y, generando así un g’(y) o un h’(x) respectivamente.
IV. Al tener la derivada parcial de la función se debe igualar a N(x,y) se
haberse generado g’(y) o igualar a M(x,y) de haberse generado
h(x,y) y se agrupan los términos , se integrara según sea la función
generada para así sustituir en el lugar que se genero g(y) o h(x). Y
tener así la solución de F(x,y)
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
EJEMPLO
En este caso se identificara a , y
Paso I: Hallar
demostrando así que es una ecuación diferencial exacta.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
EJEMPLO
Paso II: En este caso escogeremos a F(x,y) como la integral a M(x,y)
con respecto a y, generando así g(y)
Paso III: a continuación consideramos la derivada parcial, para este
caso la derivada de la F(x,y) en función de y. por haber escogido a
M(x,y), entonces tenemos
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS
EJEMPLO
Paso IV: ya obtenida la derivada de la función procedemos a igualar a
N(x,y) para este caso
Agrupamos donde será simplificada el x2
Por lo que nos queda que ahora se integrara con respecto a por
lo que:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE LA FORMA DIFERENCIAL EXACTAS EJEMPLO
Continuación Paso IV:
Ahora ya teniendo la solución de g(y) podemos sustituir en F(x,y) donde se
generó:
Nuestra solución es:
Nota: el mismo ejercicio se puede realizar, pero integrando N(x,y)
generando h(x) y se haría lo descrito en los pasos
ECUACIONES DIFERENCIALES
CASOS DONDE LA ECUACIÓN NO ES EXACTA Pero podemos hallar un factor integrante que la multiplique para transformarla en exacta y así desarrollar los pasos de las exactasEs decir que la ecuación :
Si sería exacta. Y el (factor integrante) se hallaría por la misma ecuación usada en las ecuaciones lineales
Donde
Escoger el P(x) donde el denominador sea el mas simple o el menos complejo
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI:
Es una ecuación de primer orden que puede escribirse en la forma
Donde P(x) y Q(x) son continuas en un intervalo (a,b) y n es un
numero real
Se puede observar que si n = 0 la ecuación sería una Ecuación lineal,
y se puede resolver por el método de las ecuaciones lineales, descrito
anteriormente, solo que se deberá hacer un cambio de variable previo.
CAMBIO DE VARIABLE PARA SU SOLUCIÓN ES EL SIGUIENTE:
Solo si
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI:Pasos para su soluciónI. dividir la ecuación entre la variable la ecuación presentará la
siguiente forma:
simplificar tendremos
II. Aplicaremos el siguiente cambio de variable para la ecuación
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI:Pasos para su soluciónCon el cambio de variable tenemos
Ahora como es un constante , esto nos representa una ecuación
lineal, la cual se resolverá por dicho método. Que al final se debe de
regresar el cambio de variable, sustituyendo z en función de y
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su solución
Esta ecuación de Bernoulli con n = 3, P(x) = 5, Q(x) = -5x/2 entoncesPASO IDividir a toda la ecuación entre
simplificando
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su soluciónPASO IISe realizara el cambio de variable para n=3
Simplificando:
Despejando
Nos queda la ecuación lineal
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO Pasos para su soluciónPASO IIHay que resolver por medio del método para ecuación linealpeor habrá que multiplicar por la constante -2 para que los diferenciales quede con coeficiente 1
Se resolverá por medio de ecuación lineal donde P(x) = 10Hallando el facto integrante de para
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO
Sustituyendo:
Entonces:
Integrando ambos lados y despejando z
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIÓN DE BERNOULLI: EJEMPLO De la sustitución que se realizó:
Regresamos el cambio en función de y
Obteniendo así la solución de la ecuación de Bernoulli
ECUACIONES DIFERENCIALES
RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
1. Llevar las ecuaciones a su forma ordinaria y así identificar el método a aplicar
2. Recordar los métodos de factorización, como el mas usado el de factor
común
3. Tener las tablas de integrales o resolverla según sea, inmediata, por parte,
por sustitución o cualquier método estudiado en matemática II
4. Verificar siempre las derivadas aplicadas
5. Al realizar un cambio de variable como en Bernoulli, al final regresar el
cambio
6. En el métodos de las ecuaciones exactas, seleccionar a P(x) donde el
denominador sea el menos complejo.
7. En las ecuaciones exactas se toma como M(x,y) al que tenga el dx y a N(x,y)
como la función que contiene el dy
8. La ecuación de Bernoulli, siempre llevarla a la forma de ecuación lineal
ECUACIONES DIFERENCIALES