U2_escalare-vectores

8/18/2019 U2_escalare-vectores

1/29

Módulo de Aprendizaje

ESCALARES Y VECTORES

Elaborado por:

Clotario Israel Peralta García

Universidad SurcolombianaSemestre B de 2008


2/29

Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García

FISICA MECANICA Vectores - 2

Unidad 1

Cantidades Escalares

1.1 Cantidades Escalares

P ,

.

Q C!. P ?.

, , :

.

, :

?

. P

: 10 ;

0 , , 10

.

Q , , ?

, . C , ,

, .

C , , 500 ,

, ?

, 500 , ;

: , .

B. E, .


3/29



M : ?

, .P , ,

, , 500 : , 500

. E ,

.

O , , ,

, ,

.

B, C A, . A,

( ).

,

.

H , . B, L C,

. :

A.

E ,

( )

:

.

E :

( ) ,

. , ,

38 ,

185

45 , .

24 ,

.

L , . O : 25

, 50 , 100 , 3 , 20 , 1 , 1

, 5000 , 10 . E F, : , , , ,

, , , , ...

P ,

, , ,

75 50 , :

75 + 50 = 125

75 50 = 25

M (75 ) (50 ) = 3750


4/29



Unidad 2

Cantidades Vectoriales

2.1 Cantidades Vectoriales

E ,

.

60 /

. E

, ,

.

A

C

.

Q , A! A

: ?

. P

, , .

? P !

E . L , . P :

?

E C 5 40,

C.

540

N

Cordialidad

ComunerosComuneros

540


5/29



70 km/hEste

N

EO

P .Q ! P .

C . ?

C

Q ?

M... , , 70

.

L C, .

A, , ! C . P !

, , . D,

?

D . . . . . . . . . . . .

E . . . !, !, ! I

.

P ! P .

,

: ( ), ?. ?.

, .

C, :

, C (

), () (

), C (). D

.

A, ?

A

.

I ,

; ,

L L (

), ,

, .

A . E

;

;

, , , 70 /.


6/29



x

v

gr

y

E , , , ( ). P

, .

, .

; ,

, , (

) . O, C! M ?

C , A! E , , G

.

B, , ; ,

, . .

, ,

, ,

, , ;

, , , , .

E ,

:

Imaginemos que usted está de pie en el centro del salón declase y el profesor de Física le indica que debe desplazarsecinco pasos. ¿Qué haría usted?

2.2 Representación gráfica de una cantidad

vectorial

.

,

( ), .

C

. C

, 2.1:


7/29



D E GF J H

Figura 2.1 L .

E

,

.

C

, :

A

, B

, C

A

, B

o C

C ,

, :

A , B , C E A

, B

o C

.

M

,

.

2.3 Características de un vector

:

E , ( ),

, 2.2

L , , 2.2

θ

Dirección

Extremo

inicial

Extremo

final

a) b)

Figura 2.2 ) . ) E .


8/29



,

, 2.2.E

. E .

D ) )

( ). E 2.1

D

E

; H

J

.

P , . A

.

2.4 Concepto de desplazamiento

E , . E

,

.

A,

.

1. E ,

(O, O, N ), .

2.

O, 10 .

.

3. A 6

N (

). D

.

4. D , , 10 O. D

.

5. A .

6. ,

.


9/29



EJERCICIOS DE APLICACION

1. 500 . C

N

?. ?

2. ,

?

3. C ?

4. E ,

?

5. ?6.

?

7. D . H ?

8. : D ,

F

400 , :

, , , .


10/29



Unidad 3

Notación Vectorial

3.1 Notación de vectores

y

x

z

O

:

L .

E .

L .

L ,

( 1),

, 3.1. E

:

F .

C x-y,

. A, .

L , 1,

. : î , ĵ , k ̂.

:

k z componente j y componentei x componenteV ˆ)(ˆ)(ˆ)( ++=

3.1


11/29



k V jV iV V z y xˆˆˆ ++=

3.1

3.2 Notación de un vector en el plano x-y

r

,

:

.

C ( , ), 3.2. E .

θ

(x , y)

x

y

Figura 3.2 .

:

. P

( , ) . E :

jr ir r y xˆˆ +=

3.2

D xr yr ,

. P

. P P:

22

y x r r r += 3.3

. :

x

y

r

r 1tan−=θ 3.4


12/29



Ejemplo 3.1

C , 3.3

θ

(6 , 4)

x

y

Figura 3.3 I 3.1.

Solución

N : jir ˆ4ˆ6 +=

M: 13246 22 =+=r

D: º7.33666666.0tan6

4tan 11 === −−θ

EJERCICIOS PROPUESTOS

D , ,

.

(-8 , 5)

x

y

(-10 , -8)

x

y

(-10 , -12)

x

y

(0 , 12)

x

y


13/29



(15 , 0) x

y

(-25 , 0) x

y

Ejemplo 3.2

C (

), 3.4. ,

.

: ur 20=

: º36=θ

: ?=r

Paso 1

r

xr

yr

, 3.4.

30º x

y

30º x

y

) )

Figura 3.4 ) E r

. ) L r

.

, 2.2.

jr ir r y xˆˆ+=

xr yr ,

3.4 :

ur r x

2.16º36cos20cos === θ


14/29



usenrsenr y 7.11º3620 === θ

:

jir ˆ7.11ˆ2.16 +=

EJERCICIOS DE APLICACION

1. O

:

x

y

40º

r = 50 m

x

y

40º

r = 60 m

x

y

45º

r = 80 m

x

y

r = 60 m

x

y

r = 30 m

x

y

r = 40 m

2. E ()

.

: )

(5.5, 6.5); ) (3.2, 1.8) (8.7, 8.3);

) (00, 1.8)

8.5 50 ; )

?; )


15/29



Unidad 4

Suma y Resta de Vectories

4.1 Suma de vectores

E ,

, :

15

7

:

+ 22

E

.

A

20 30 :

30º

Figura 4.1 L A

B

.

, :

R B A

=+


16/29



P 50 ,

, .

L

, R

.

:

E

E ( )

L ( ).

P :

4.1.1 Método gráfico

E . E

:

A , .

E . E .

. C

, . E

, 4.2.

30º x

y

Figura 4.2 E , R

.

. C

,

( ). L

, 4.3. E


17/29



.

30º x

y

30º

R y

R x

R

Figura 4.3 E , R

A

B

.

E :

B A R

+=

O :

j Ri R R y xˆˆ +=

D

x R

.

y R

.

P x R y R ,

.

4.1.2 Método analítico

E

,

,

. E ,

. P ,

, .


18/29



L . E B

, 4.4.

x

y

30º

Figura 4.4 E , B

,

.

C x R y R R

4.4:

x x B A R +=

º30cos1520+= x R

1320+= x R

33= x R

y y B R =

º3015sen R y =

5.7= y R

,

:

ji R ˆ5.7ˆ33 +=

L 3.3

uuu R R R y x 84.33)5.7()33(2222=+=+=

L

( )


19/29



4.3 4.4. , :

θ cos222 AB B A R ++=

º30cos)15)(20(2)15()20( 22 uuuu R ++=

222 6.519225400 uuu R ++=

u R 83.33=

E

F.

. L R

3.4:

227272.0tan33

5.7tantan 111 −−− ===

x

y

R

Rα

º13=α

A

, (), ,

,

.

Ejemplo 4.1

A 4.5,

: A = 30 B = 50

20º

60º

Figura 4.5 Los vectores A

y B

representados gráficamente para sumarlos.

. L

,

, 4.6.

E :

B A R

+=

O :

j Ri R R y xˆˆ +=


20/29



20º

60º

x

y

R y

R x

R

Figura 4.6 Los vectores A

y B

sumados gráficamente, método del paralelogramo.

. P x R y y R

. P

,

, 4.7.

20º

60º

x

y

A

y A

x x B

y B

Figura 4.7 En esta construcción, los vectores A

y B

, se descomponen en sus

componentes rectangulares.

. C x R y y R R

4.7:

x x x B A R −−=

º20cosº60cos B A R x −−=

94.0505.030 ×−×−= x R

4715−−= x

R


21/29



62−= x R

y y y A B R −=

º60º20 Asen Bsen R x −=

87.03034.050 ×−×= x R

2617 −= x R

9−= y R x x x B A R −−=

º20cosº60cos B A R x −−=

94.0505.030 ×−×−= x R

4715−−= x

R

62−= x R

y y y A B R −=

º60º20 Asen Bsen R x −=

87.03034.050 ×−×= x

R

2617 −= x R

9−= y R

,

:

ji R ˆ9ˆ62 −−=

E 4.6.

. L

3.3

mmm R R R y x 64.62)9()62(2222=−+−=+=

L

4.7, 80.


º80cos)50)(30(2)50()30( 22 mmmm R ++=

222 5212500900 mmm R ++=

m R 61.62=

E

F.

. L R

,

3.4:


22/29



145161.0tan62

9tantan 111 −−− =

−

−==

x

y

R

Rα

º3.8=α

P 4.6

,

,

4.6.

O 180,

:

º3.188º180º3.8 =+=α

Ejemplo 4.2

A 4.2, B A

−

A , .

Ejecutar la animación resta de vectores y escribir un informe

. L ,

, .

P , , , . E ,

B

,

4.8.

30º x

y

R x

R y

30º

α150º

Figura 4.8 En esta construcción, el vector sustraendo se dibuja con su dirección opuesta. La

resultante R

, es también la diagonal de un paralelogramo con los lados A

y B

.

E :

B A R

−=


23/29



O :

j Ri R R y x ˆˆ +=

D

x R

.

y R

.

. P x R y y R ,

. P

,

, 4.9.

30º x

y

R x

R y

Figura 4.9 En esta construcción, el vector y B

− , se descomponen ensus componentes rectangulares.

. C x

R y y R R

4.9:

x x B A R −=

º30cos1520−= x

R

1320 −= x R

7= x R

y y B R −=

º3015sen R y −=

5.7−= y R

,

:

ji R ˆ5.7ˆ7 −=

. L

3.3


24/29



uuu R R R y x 25.10)5.7()7(2222=+=+=

L

( )

4.8 4.9. , :


º150cos)15)(20(2)15()20( 22 uuuu R ++=

222 6.519225400 uuu R −+=

u R 26.10=

. L R

,

3.4:

)0714585.1(tan7

5.7tantan 111 −=

−==

−−−

x

y

R

Rα

º47−=α

E 4.8.

. (),

:

A B B A

+=+


1. D ,

:

A = 30 Km

B = 50 Km60º

A = 60 Km

B = 40 Km

60º

A = 50 Km

B = 40 Km

30º

A = 80 Km

B = 60 Km

36º


25/29



A = 80 Km

B = 60 Km

A = 80 Km B = 50 Km

A = 80 Km B = 50 Km

A = 80 Km B = 100 Km

2. 300 /

E. D 100 /

30 NE: C

? ( )

3. 2.8 45 O

, 7.4 30 N O. A

?

Ejemplo 4.3

A

4.10

Ejecutar previamente la animación suma de tres vectores.

30º 60º

30º

60º

Figura 4.10 Representación gráfica de cuatro vectores que se deben sumar.

. P

, .

. . E

4.11 4.11. O

, .

P , ,

.


26/29



x

y

x

y

a) b)

Figura 4.11 En cualquiera de estas construcciones, el vector resultante R

se

dibuja desde el origen del primer vector hasta el extremo final del último vector.

. A

, 4.12

30º

30º

60º

60º x

y

Figura 4.12 Los vectores se dibuja en un sistema de coordenadas, tal quesus orígenes coincidan con el origen del sistema de coordenadas.

. D , 4.13


27/29



30º

30º

60º

60º x

y

A x

C x B x D x

A y

B y

D y

C y

Figura 4.13 Todos los vectores se descomponen en sus componentesrectangulares.

. E , :

j Ri R R y x

ˆˆ +=

D

x R

.

y R

.

. C ( ) ( ). P

:A = 80 mB = 50 mC = 70 mD = 100 m

θ1 = 30º

θ2 = 60º

θ3 = 30º

θ4 = 60º

C , 4.11:

i DC B A R x x x x xˆ)( +++=∑

mm A A x 3.69)866.0)(80(º30cos ===

mm B B x 25)5.0)(50(º60cos −===


28/29



mmC C x 62.60)866.0)(70(º30cos −===

mm D D x 50)5.0)(100(º60cos ===

imimmmm R xˆ)68.33(ˆ)5062.60253.69( =+−−=∑

C

j DC B A R y y y y yˆ)( +++=∑

mm Asen A y 40)5.0)(80(º30 ===

mm Bsen B y 3.43)866.0)(50(º60 ===

mmCsenC y 35)5.0)(70(º30 −===

mm Dsen D y 6.86)866.0)(100(º60 −===

jmimmmm R yˆ)3.38(ˆ)6.86353.4340( −=−−+=∑

. A

, :

jmim R ˆ)3.38(ˆ)68.33( −=

. C ,

:

mmmm R R R y x 5123.2601)3.38()68.33(22222==−+=+=

. L :

º32.311º67.48)13712339.1(tan68.33

3.38tantan 111 =−=−=

−==

−−−

x

y

R

Rα

E 4.13.


1. C ,

: 1 = 25 ; 2 = 40

60 N E; 3 = 30 N; 4 = 50 30 N

OE 5 = 10 45 OE.

2. B

25

42 . E ,

.

3.


29/29



100 75

37 , 25

60 . C

?.

4. L , . C , ,

,

:

72.4 ; 32 E N

57.3 ; 36 O

17.8

D , ,

. Q ?.

5. I 10 .

.

, 10 ( 3

) 15 . L

0.2 E, N 0.1

. ) D .

, ) Q ? ) Q

?.

6. F 3.25

N, 4.75 O 1.5 . C

. E

( ),

.

7. ,

A

, B

C

4.14. C

. (: 90.2 N; 256).

U2_escalare-vectores

Documents

Transcript of U2_escalare-vectores