UA7 Estado Plano
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UNIDADE VII
Estado Plano e Transformação
Objetivos: transformação das componentes de tensão obtenção das tensões máximas circulo de Mohr
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• O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento.
• A tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico pode ser analisada em um único plano. Quando isso ocorre, o material está sujeito a tensões no plano.
Transformação de tensão no plano
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• Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso tenha uma orientação diferente.
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O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do avião é representado no elemento orientado como mostra a figura. Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.
Exemplo 9.1
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Solução:
O elemento é secionado pela reta a–a.
O diagrama de corpo livre do segmento é mostrado.
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(Resposta) MPa 8,68
030sen30sen2530cos30sen80
30cos30cos2530sen30cos50
;0'
x'y'
x'y'
y
AA
AAA
F
Aplicando as equações de equilíbrio de força nas direções x’ e y’,
(Resposta) MPa 15,4
030cos30sen2530sen30sen80
30sen30cos2530cos30cos50
;0
'
'
'
x
x
x
AA
AAA
F
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(Resposta) MPa 8,68
030cos30sen5030sen30sen25
30sen30cos8030cos30cos25-
;0'
x'y'
x'y'
y
AA
AAA
F
Repita o procedimento para obter a tensão no plano perpendicular b–b.
(Resposta) MPa 8,25
030sen30sen5030cos30sen25
30cos30cos8030sen30cos25
;0
'
'
'
x
x
x
AA
AAA
F
O estado de tensão no ponto pode ser representado escolhendo um elemento orientado.
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• A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento.
2cos2sen2
2sen2cos22
''
'
xyyx
yx
xyyxyx
x
Equações gerais de transformação de tensão no plano
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O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.
Exemplo 9.2
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Solução:
Pela convenção de sinal, temos
Para obter as componentes de tensão no plano CD,
30
MPa 25
MPa 50
MPa 80
xy
y
x
(Resposta) MPa 8,682cos2sen2
(Resposta) MPa 8,252sen2cos22
''
'
xyyx
yx
xyyxyx
x
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Para obter os componentes de tensão no plano BC,
60 MPa 25 MPa 50 MPa 80 xyyx
(Resposta) MPa 8,682cos2sen2
(Resposta) MPa 15,42sen2cos22
''
'
xyyx
yx
xyyxyx
x
Os resultados são motrados na figura abaixo.
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Tensões principais no plano
• A orientação dos planos irá determinar se atensão normal é máxima ou mínima.
• A solução tem duas raízes, portanto temos a tensão principal.
2/2tg
yx
xyp
212
2
2,1 onde 22
xy
yxyx
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano
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Tensão de cisalhamento máxima no plano
• A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da tensão de cisalhamento.
• A solução possui duas raízes, portanto nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média.
xy
yxs
2/2tg
2
2
plano nomáx 2 xy
yx
2médyx
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Quando a carga de torção T é aplicada à barra, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada, e (b) as tensões principais.
Exemplo 9.3
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Solução:
Pela convenção de sinal definida .
a) Tensão de cisalhamento máxima é
xyyx 0 0
(Resposta) 02
2 méd
2
2
plano nomáx
yx
xyyx
b) Para tensões principais,
(Resposta) 22
135,452/
2tg
2
2
2,1
12
xyyxyx
ppyx
xyp
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O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura abaixo. Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.
Exemplo 9.6
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Solução:
Como , temos60,90 ,20 xyyx
(Resposta) MPa 352
(Resposta) MPa 4,812
méd
2
2
plano nomáx
yx
xyyx
A tensão de cisalhamento máxima e a tensãonormal média são
3,111,3,21
2/2tg 12 ss
xy
yxs
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Problemas do livro-texto 9.1 9.10 9.14 9.18
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• A transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que é fácil de lembrar.
Círculo de Mohr — tensão no plano
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A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostrado na figura abaixo. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Exemplo 9.8
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Solução:Primeiro desenhamos o círculo, xyyx e 0,0
O centro do círculo C está no eixo em
O ponto A representa um ponto de tensão normal média e tensão de cisalhamento máxima no plano. Assim,
As tensões principais são identificadas como os pontos B e D no círculo. Assim,
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O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age.
Exemplo 9.10
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Solução:
Primeiro, desenhamos o círculo, .
O centro do círculo C está no eixo em
O ponto C e o ponto de referência A(-20, 60) estão marcados. Temos:
A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normalmédia são
O ângulo em sentido anti-horário é
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Uma força axial de 900 N e um torque de 2,5 Nm são aplicados ao eixo. Se o diâmentro do eixo for de 40 mm, determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície.
Exemplo 9.12
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Solução:
As tensões produzidas no ponto P são
As tensões principais podem ser determinadas pelo círculo de Mohr:
As tensões principais estão representadas pelos pontos B e D, portanto
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A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kN/m. Determine as tensões principais na viga no ponto P, que se encontra na parte superior da alma. Despreze o tamanho dos filetes e as concentrações de tensão nesse ponto.
Exemplo 9.13
I = 67,4(10–6) m4.
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Solução:
O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde
No ponto P,
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Portanto, o resultado é o seguinte:
Portanto, o raio é calculado como 41,9, e as tensões principais são
O centro do círculo é e o
ponto A é (–45,4, –32,5).
O ângulo em sentido anti-horário é
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• A tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média associada podem também ser localizadas usando o círculo de Mohr.
2
2minmaxminmax
max abs
avg
Tensão de cisalhamento máxima absoluta
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Devido ao carregamento aplicado, o elemento no ponto sobre a estrutura está sujeito ao estado plano de tensão mostrado na figura. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta no ponto.
Exemplo 9.14
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Solução:
O centro do círculo é kPa 102
020méd
O ponto de referência é A (–20, –40).
O raio é kPa 2,41401020 22 R
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As tensões principais encontram-se nos pontos onde o círculo intercepta o eixo σ:
Pelo círculo, o ângulo anti-horário é
Como não há nenhuma tensão principal no elemento na direção z, temos:
(Resposta) kPa 2,51 ,0 kPa, 2,31 mínintmáx
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Para tensão de cisalhamento máxima absoluta,
(Resposta) kPa 102
2,512,31
2
(Resposta) kPa 2,412
2,512,31
2
mínmáxméd
mínmáx
máxabs
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Procedimento Geométrico
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= -71,5º
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Problemas do livro-texto 9.59 9.63 9.68 9.70 9.78