Ud_08

164

UNIDAD

En esta Unidad se contina el estudio del sistema didrico, introduciendo las cons-trucciones basadas en las relaciones de interseccin, paralelismo y perpendicularidad.Estas son operaciones bsicas que se utilizan repetidamente en la obtencin y medi-cin de ngulos y distancias, objetivo de la siguiente Unidad, por lo que es precisomemorizar los casos generales.

Cada relacin geomtrica se inicia presentando las condiciones necesarias paraque sta se d, y contina con las construcciones bsicas realizadas a partir de rectasy planos situados en posiciones oblicuas respecto a los planos de proyeccin.Sucesivas construcciones se ocupan de las variaciones introducidas por rectas y pla-nos situados en posiciones particulares. En las actividades, ante datos de este tipo, sepuede optar por aplicar el mtodo general, o por aprovechar las simplificaciones que seproducen en las construcciones.

Didrico: interseccin, para-lelismo y perpendicularidad8

1. INTERSECCIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.1. Interseccin de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.2. Interseccin de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.3. Interseccin de un plano oblicuo con otro proyectante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671.4. Interseccin de dos planos cuando las trazas se cortan fuera del papel, o son concurrentes en la

lnea de tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671.5. Interseccin de un plano oblicuo con otro de perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681.6. Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691.7. Interseccin de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2. PARALELISMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702.1. Paralelismo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702.2. Paralela a una recta de perfil que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.3. Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.4. Plano paralelo a otro proyectante que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.5. Plano paralelo a otro paralelo a la lnea de tierra que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.6. Paralelismo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.7. Recta paralela a dos planos dados que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3. PERPENDICULARIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.1. Perpendicularidad entre recta y plano. Perpendicular a un plano que pasa por un punto . . . . . . . . . 1753.2. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.3. Perpendicularidad entre rectas. Recta perpendicular a otras dos que pasa por un punto . . . . . . . . . 1773.4. Perpendicularidad entre planos. Plano perpendicular a otro que pasa por una recta . . . . . . . . . . . . . 1773.5. Plano perpendicular a otros dos que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

N D I C E D E C O N T E N I D O S

165

Interseccin derecta y plano

Interseccin deplanos

Interseccin derectas

Construcciones

Construcciones

Condiciones deparalelismo

Condiciones deperpendicularidad

Interseccin

Paralelismo

Perpendicularidad

Conservacin delparalelismo en la

proyeccin cilndrica

Teorema delas tres

perpendiculares

As podemos resumir el contenido de la Unidad:

U Interseccin de rectas, de planos, y de recta y plano.

U Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Propiedades en que sebasan.

U Construccin de rectas y planos paralelos o perpendiculares a otros elemen-tos, y que pasan por puntos o rectas dados.

166

DIDRICO: INTERSECCIN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

8UNIDAD1. Interseccin1.1. Interseccin de rectas

Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse o ser paralelas. El que lasproyecciones didricas homnimas de dos rectas se corten, no significa necesaria-mente que estas sean secantes. En la Ilust. 1 las proyecciones primeras de las rec-tas r, t se cortan y las segundas tambin, pero no existe una lnea de referencia nicaentre dichas intersecciones, se dice que las rectas r y t se cruzan. En cambio las rec-tas r, s tienen un punto A comn, por tanto las rectas r y s se cortan.

1.2. Interseccin de planos

La interseccin de dos planos es una recta comn a ambos cuyas trazas, portanto, deben pertenecer simultneamente a las trazas homnimas de ambos planos.As, en la Ilust. 2 se obtiene la traza horizontal Hi de la recta interseccin i en el puntode corte de 1 con 1 y la traza vertical Vi en el punto de corte de 2 con 2. La pro-

AA2

B2

C2

B2

C2A2

r2s2

s1

s

r2s2

t2

A1

B1 C1

A1

B1C1r1

t1

t2

r1

s1

t1

B

Cr

t

Ilustracin 1

11 11

22

22

i2

Vi

ViVi2

Vi1i1i2 i1

Hi HiHi1

Hi2i

Ilustracin 2

167

yeccin i1 de la recta interseccin es la recta que une las primeras proyecciones Hi1y Vi1 de sus trazas y la proyeccin i2 es la recta que une Hi2 y Vi2.

1.3. Interseccin de un plano oblicuo conotro proyectante

Si un plano es proyectante en el horizontal o el vertical, su traza con l conten-dr a la proyeccin correspondiente de su recta de interseccin con otro plano.

En la Ilust. 3 izquierda, la proyeccin i1 de la recta interseccin del plano oblicuo con el vertical , est contenida en 1.

En la Ilust. 3 derecha la recta interseccin del plano oblicuo con el horizontal, es una horizontal de plano i, cuya proyeccin i2 est contenida en 2.

1.4. Interseccin de dos planos cuando lastrazas se cortan fuera del papel, o son con-currentes en la lnea de tierra

111

22 2

2i2

i2

ViVi

i1i1

Hi

Ilustracin 3

11 1

22

1 1

1

2

1

2

i2i2

Vi

i1

i1

r1r1

r2r2

s1s1

s2s2

Hi

Hr HrHs

B2

A2

A2

B1

A1A1

Ilustracin 4

168


8UNIDADSi al hallar la interseccin de dos planos no se puede utilizar el punto de inter-

seccin de sus trazas horizontales, verticales o ambas, se trazarn planos auxiliarescuyas intersecciones con ellos sern puntos de la recta interseccin. Se eligen pla-nos horizontales o frontales como auxiliares, por la facilidad para obtener sus inter-secciones.

Sean dos planos oblicuos y cuyas trazas se cortan fuera del papel (Ilust. 4izquierda).

Se traza el plano frontal , que corta a los planos y , segn las frontales deplano r y s. Estas se cortan en el punto A, cuya segunda proyeccin A2 es el puntode corte de r2 y s2, obtenindose A1 en el punto de corte con r1 de la lnea de referen-cia trazada desde A2.

Se obtiene un segundo punto B de la recta interseccin i mediante un segundoplano auxiliar . Las proyecciones i1 e i2 son las rectas A1B1 y A2B2.

En la Ilust. 4 derecha, se ha obtenido la interseccin de dos planos y cuyastrazas son concurrentes en un punto de la lnea de tierra. En dicho punto se hallanlas trazas Hi y Vi de la recta interseccin, incidente en lnea de tierra. Se necesita unsegundo punto A para trazar sus proyecciones, se obtiene hallando la interseccin deun plano frontal auxiliar , con y . Las proyecciones i1 e i2 son las rectas A1Hi y A2Vi.

1.5. Interseccin de un plano oblicuo conotro de perfil

Sea un plano oblicuo y un plano de perfil (Ilust. 5 izquierda).Como en el caso general, las trazas Hi y Vi son los puntos de interseccin de 1

con 1 y de 2 con 2. Al ser el plano de perfil proyectante en los planos horizontal yvertical, sus proyecciones i1 e i2 coinciden con 1 y 2.

1

2

11

2

2

11

22

i2 i3i2 i3

Vi

i1i1

r3

s3

HiHr

Hr3

Vr3Vr

Hs

Hs3

Vs3Vs

Ilustracin 5

169

1.6. Interseccin de dos planos paralelos ala lnea de tierra

Sean dos planos y paralelos a la lnea de tierra (Ilust. 5 derecha).Se traza un plano auxiliar de perfil y se obtienen las rectas de interseccin r y

s con los planos y . Las trazas Hr y Vr, estn en los puntos de corte de 1 con 1 yde 2 con 2. Obtenidas del mismo modo Hs y Vs, se abate el plano de perfil y se obtie-nen las terceras proyecciones de las rectas r y s uniendo las terceras proyeccionesde sus trazas. La proyeccin i3 de la recta interseccin de y es el punto de cortede r3 y s3. Dicha recta es paralela a la lnea de tierra y sus proyecciones i1 e i2 se tra-zan de modo que su cota y alejamiento coincidan con los de i3.

1.7. Interseccin de recta y plano

Para hallar la interseccin de una recta con un plano se traza un plano auxiliarque contenga a la recta, preferiblemente proyectante y se halla su punto de corte conla recta interseccin de ambos planos. As en la Ilust. 6, para hallar el punto I de inter-seccin del plano y la recta r, se ha trazado el plano vertical , de modo que sutraza horizontal 1 coincida con r1. Trazada la recta i, de interseccin de los planos y , se obtiene I2 en el punto de corte de las proyecciones segundas i2 y r2. La lneade referencia trazada desde I2 hasta r1 dar I1.

111

1

2

2

2

2

Vr

ViVi

i1i1

I1 I1

i2i2

I2I2

HiHi

i

I

r1r1

r2r

r2

Ilustracin 6

170


8UNIDAD

Aplicacin

2. Paralelismo

2.1. Paralelismo entre rectas

Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones homnimas son paralelas.

Para trazar por un punto A la paralela s a una recta r (Ilust. 7), se trazan por A1 yA2 sus proyecciones s1 y s2 paralelas a r1 y r2 respectivamente.

11

22

2

ViVi2

Vi1

VjVj2

Vj1i1

j1

I1

i2

j2I2

Hi Hi1

Hi2

Se desea hallar la interseccin de los planos , , y .Las trazas Hi y Vi de la recta interseccin de los pla-

nos y son los puntos de corte de 1 con 1 y de 2 con2.

La proyeccin i1 de la recta interseccin es la rectaque une las primeras proyecciones Hi1 y Vi1 de sus tra-zas y la proyeccin i2 es la recta que une Hi2 y Vi2.

La recta interseccin del plano con el horizontal es una horizontal de plano j, cuya proyeccin j2 estcontenida en 2 y cuya nica traza Vj es el punto decorte de 2 con 2. Paralela a 1 por Vj1 se traza j1.

Se obtienen I1 e I2 en los puntos de corte de i1 con j1 yde i2 con j2.

AA2

A2

r2

s2

s1

s

r2

s2

A1 A1

r1 r1s1

r

Ilustracin 7

171

2.2. Paralela a una recta de perfil que pasapor un punto

Sea A el punto y r la recta de perfil, cuyas trazas Hr y Vr se dan (Ilust. 8).

Se traza un plano de perfil y se obtienen las terceras proyecciones de r y Asobre l. Por A3 y paralela a r3, se traza la tercera proyeccin s3 de la recta solucins, que corta a L. T. y a 2 en Hs3 y Vs3. Las proyecciones s1 y s2 de la recta de perfil sestn sobre la recta que pasa por A1 y A2, y sus trazas Hs y Vs se obtienen a partir desus terceras proyecciones Hs3 y Vs3.

2.3. Paralelismo entre planos

Dos planos son paralelos si sus trazas homnimas son paralelas.

Para trazar por el punto A un plano paralelo al plano (Ilust. 9), se traza unahorizontal de plano h que pase por A. Su primera proyeccin h1 pasar por A1, serparalela a 1, y cortar a L. T. en Vh1. La segunda h2 pasar por A2, ser paralela a L.T., y cortar a la lnea de referencia de Vh1 en Vh. La traza vertical del plano pasa-r por Vh y ser paralela a 2, y la horizontal concurrir con ella en la lnea de tierray ser paralela a 1 y h1. Puede trazarse una frontal de plano, en lugar de la horizon-tal de plano utilizada, como recta auxiliar.

r2

s2

r2s2 s3r3

r3s3

Vr

Vr

Vs Vs3

r1s1

r1s1

Hr

Hr

Hs

Hs3r

AA2

A2 A3A3

A1

A1

1

2

s

Ilustracin 8

172


8UNIDAD

2.4. Plano paralelo a otro proyectante quepasa por un punto

Sea A el punto y y dos planos proyectantes, el primero de canto y el segun-do frontal (Ilust. 10 izquierda).

Para trazar por A un plano paralelo a , se traza 2 por A2 paralela a 2 y en elpunto de corte con la lnea de tierra se traza 1 perpendicular a ella.

Para trazar por A un plano paralelo al frontal , se traza 1 por A1 paralela a 1.

Ilustracin 9

A2 A2 A3

A1

A1

1

2

1

1

2

2

1 1

1

1

22

i2

i3 j3

i1

Hj

Hj3

Vj3Vj

Hi

Vi

Ilustracin 10

173

2.5. Plano paralelo a otro paralelo a la lneade tierra que pasa por un punto

Sea A el punto y el plano paralelo a la lnea de tierra (Ilust. 10 derecha).Se traza un plano de perfil y la recta de perfil i, interseccin de con , cuyas

trazas Hi y Vi son los puntos de corte de 1 con 1 y de 2 con 2. Se obtienen las ter-ceras proyecciones de i y de A sobre .

Por A3 y paralela a i3 se traza la tercera proyeccin j3 de la recta j, interseccindel plano solucin con el de perfil , que corta a L. T. y a 2 en Hj3 y Vj3.

Las trazas Hj y Vj, de la recta de perfil j, se obtienen a partir de sus terceras pro-yecciones Hj3 y Vj3. Por ellas pasarn 1 y 2 que son paralelas a 1 y 2.

2.6. Paralelismo entre recta y plano

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta de dicho plano. Recpro-camente, un plano es paralelo a una recta si contiene otra recta paralela a ella.

Para trazar por el punto A un plano paralelo a una recta r (Ilust. 11), se trazauna recta s paralela a r que pase por A. Se obtienen sus trazas, y se dibujan 1 y 2,concurrentes en la lnea de tierra y pasando por Hs y Vs respectivamente. Existen infi-nitos planos que pasan por A y son paralelos a la recta r.

AA2 A2

1

1

22

s2

Vs Vs

Hs

A1A1

s1

s2

s1

sr2

r2

Vr

r1

r1

Hr

Hs

r

Ilustracin 11

174


8UNIDAD2.7. Recta paralela a dos planos dados quepasa por un punto

Sea A el punto y y dos planos oblicuos (Ilust. 12 izquierda).Se obtiene la recta i de interseccin de los dos planos y se traza una paralela a

ella r por el punto A.

Si el plano es horizontal y vertical (Ilust. 12 derecha), no es necesario hallarla recta de interseccin, pues al ser proyectantes en el vertical y el horizontal respec-tivamente, se trazar r2 paralela a 2 y r1 paralela a 1.

Aplicacin

A2

A1

r2

r11

2

p2Vi

Hp

Vp

p1

Se desea trazar por el punto A una rectaparalela a la recta de mxima pendiente delplano .

Se obtienen las dos proyecciones p1 y p2de una recta p de mxima pendiente, y se tra-zan r1 y r2, paralelas a ellas y pasando por A1 yA2 respectivamente.

A2 A2

A1A1

r2r2

r1

r1

1

2

1

22

1

2i2Vi

Hi

i1

Ilustracin 12

175

3. Perpendicularidad

3.1. Perpendicularidad entre recta y plano.Perpendicular a un plano que pasa por unpunto

Una recta es perpendicular a un plano si las proyecciones de la recta lo son a lastrazas del plano.

Para trazar por el punto A una recta p perpendicular a un plano (Ilust. 13), setrazan p1 y p2 perpendiculares a 1 y 2 pasando por A1 y A2.

A2A2

11

22p2

A1A1

p1

A

1

2

p

P

Ilustracin 14

s1

s

r1

r

En general, las proyecciones de dos rectas per-pendiculares no son perpendiculares. Pero las trazasde un plano son rectas contenidas en los planos deproyeccin y el teorema de las tres perpendicularesdice: Si dos rectas son perpendiculares y una de ellases paralela o est contenida en el plano de proyec-cin, sus proyecciones cilndricas ortogonales sobrel son perpendiculares. En la figura r1 y s1 son perpen-diculares porque r y s tambin lo son y r es paralela alplano .

El teorema recproco tambin es cierto y por tanto, en la Ilust. 13, si las proyecciones p1 yp2 son perpendiculares a 1 y 2 respectivamente, la recta p es perpendicular a dos rectas noparalelas del plano (sus trazas) y, por tanto, es perpendicular a l.

176


8UNIDAD3.2. Plano perpendicular a una recta quepasa por un punto

Sea r la recta y A el punto (Ilust. 14).

Para trazar por el punto A un plano perpendicular a la recta r, se traza una hori-zontal de plano h que pase por A. Su primera proyeccin h1 pasar por A1, ser per-pendicular a r1 y cortar a L. T. en Vh1. La segunda h2 pasar por A2, ser paralela aL. T. y cortar a la lnea de referencia de Vh1 en Vh. La traza vertical del plano pasa-r por Vh y ser perpendicular a r2, y la horizontal concurrir con ella en la lnea detierra, y ser perpendicular a r1 y paralela a h1.

Puede trazarse una frontal de plano, en lugar de la horizontal de plano utilizada,como recta auxiliar.

Cuando en los datos aparecen rectas en posiciones especiales, como la verticals o la horizontal t (Ilust. 15), se obtiene el plano horizontal o el vertical , respecti-vamente.

A2

A1

r2

r1

1

2

h2VhVh2

Vh1

h1

A2

A1

r2

r1

Ilustracin 14

A2A2

A1A1

s1s1

s2s2t2t2

t1t1

1

2

2

Ilustracin 15

177

3.3. Perpendicularidad entre rectas. Rectaperpendicular a otras dos que pasa por unpunto

Dos rectas en el espacio pueden cortarse o cruzarse, pero en cualquier caso:dos rectas son perpendiculares si se puede trazar por una de ellas un plano perpen-dicular a la otra. As en la Ilust. 16 arriba la recta p, perpendicular al plano , es tam-bin perpendicular a las rectas r, s y a todas las contenidas en l.

En didrico no existe ningn criterio que permita averiguar si dos rectas son per-pendiculares a la vista de sus proyecciones, excepto si una de ellas es paralela a unplano de proyeccin.

Para trazar por un punto A una recta p perpendicular a las rectas r y s (Ilust. 16),se traza un plano paralelo a r y s que pase por A. Para ello se trazan por A dos rec-tas r y s paralelas a r y s, y se obtienen las trazas 1 y 2 del plano que definen. Lasproyecciones p1 y p2 de la recta solucin se trazarn pasando por A1 y A2, perpendicu-lares a 1 y 2 respectivamente.

3.4. Perpendicularidad entre planos. Planoperpendicular a otro que pasa por una recta

Un plano es perpendicular a otro si contiene a una recta perpendicular a l.Para trazar por una recta r un plano perpendicular a otro (Ilust. 17), se traza

una recta p que pase por r y sea perpendicular a . Para ello se elige un punto A de

A2A2

1

2

Hs

Vs

Hr

Vr

A1A1

r1

r1r1

p1

p2

s1s1s1

r2

r2r2s2

s2s2

1

2

p

sr

s

r

A

Ilustracin 16

178


8UNIDADla recta r y se trazan por A1 y A2, las proyecciones p1 y p2 perpendiculares a 1 y 2respectivamente. Las trazas del plano solucin , pasarn por las trazas homnimasde las rectas r y p que lo definen, y concurrirn en la lnea de tierra.

3.5. Plano perpendicular a otros dos quepasa por un punto

Sea A el punto y y dos planos oblicuos (Ilust. 18).Se obtiene la recta i de interseccin de los dos planos, y se traza el plano solucin

perpendicular a ella por el punto A. Para ello se traza por A una horizontal de planoh, cuya primera proyeccin h1 sea perpendicular a i1. Obtenida Hh se traza por ella 2perpendicular a i2, y por su punto de corte con la lnea de tierra 1 perpendicular a i1.

Vp

Hr

Vr

A2

11

2

1

22p2

r2r2

A1p1

r1r1

A

1

2 2

1

pr

Ilustracin 17

A2A2

A1A1

h2

h1

11

22 22

1

2

11

i2

Vi

Hi

Hh

i1

Ilustracin 18

179

Si el plano es horizontal y vertical (Ilust. 19), no es necesario hallar la rectade interseccin, sino que se trazar 2 perpendicular a 2 y 1 perpendicular a 1,pasando por A1.

Aplicacin

A2A2

A1A1

222

1

11

22

Ilustracin 19

Se desea trazar el plano que contiene a larecta s y es perpendicular al plano definido porlas rectas r y s.

Las primeras proyecciones de las rectas r y scoinciden y, por tanto, ambas estarn situadas en elmismo plano proyectante . Al ser un plano verti-cal, el plano perpendicular a l ser horizontal, ycomo debe contener a la recta s, su nica traza 2coincidir con s2. 1

22

r2

s2

r1s1

R e c u e r d a

U Las trazas de la recta interseccin de dos planos son los puntos de corte de las trazashomnimas de estos.

U Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones homnimas son paralelas. U Dos planos son paralelos si sus trazas homnimas son paralelas.U Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta de dicho plano. Recprocamente,

un plano es paralelo a una recta si contiene otra recta paralela a ella.

U Una recta es perpendicular a un plano si las proyecciones de la recta lo son a las tra-zas del plano.

U Dos rectas son perpendiculares si se puede trazar por una de ellas un plano perpendi-cular a la otra.

U Un plano es perpendicular a otro si contiene a una recta perpendicular a l.

180


8UNIDADA c t i v i d a d e s

1. Trazar un plano paralelo al plano quepase por el punto A.

2. Obtener las dos proyecciones delsegmento interceptado en la recta rpor los planos y .

A2

A1

1 2

1

2 2

r2

r1

1

3. Obtener la recta interseccin de los pla-nos y , cuyas trazas verticales no secortan en el papel.

4. Trazar el plano perpendicular alplano que pasa por los puntos Ay B.

1

1

2 2

A2

B2

A1

B11

2

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