ULIMA - Estadística y Probabilidad I - 2015-1 Variables Aleatorias Continuas

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD IVariables Aleatorias Continua

Docente: Jessica C. Muñoz Grados de Flores

http://www.ulima.edu.pe/

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Se llama así a la variable cuyo rango RX es un intervalo sobre la recta de número reales. En este tipo de variable no es fácil de tener un listado de todos sus valores posibles, porque son valores fraccionarios.

Función de Densidad de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria continua con rango RX, la función de densidad de la variable aleatoria X es una función f(x) integrable que satisface las siguientes condiciones:

f(x) 0, x RX

martes 18 de abril de 2023 2

xx R

f(x)dx 1

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Función de Distribución de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria con rango de RX, y cuya función de probabilidad esta dada por P[X=x]. Se denomina Función de Distribución de Probabilidad de X a F(X) definida por:


x

XF(X) P[X x] f(t)dt x R

y además debe satisfacer: 0 ≤ F(X) ≤ 1, x RX

F(X) es una función creciente, esto es, sean x1 RX y x2 RX, tales que

se da la siguiente relación: si x1 ≤ x2 entonces: F(x1) ≤ F(x2).

x

x xLim F(X) Lim f(t)dt 1

x

x xLim F(X) Lim f(t)dt 0

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Esperanza Matemática (Valor Esperado)

Sea X una variable aleatoria continua con rango RX, su esperanza matemática denotada por E(X), esta definida:


Xx R

E(X) x f(x)dx

Varianza

Es el valor promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto al valor esperado. Esto es:

X X

2

22 2

x R x R

V(X) E[X ] E(X) x f(x)dx x f(x)dx

REVISIÓN DE LAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

1.

2.

3.

4.


kf(x)dx k f(x)dx k constante

inf supf(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx f g (L ;L )

Si k es una constante, entonces : k dx kx c n n 1k

Si n 1 y k es una cons tante, entonces : kx dx x cn 1

EJEMPLO 1

Se tiene los ingresos diarios de las tiendas que comercializan abarrotes en una zona de Lima Metropolitana, en miles de soles, a los que definiremos como una variable aleatoria X, cuya función de densidad es la siguiente:


23 3x x 0 x 2

f(x) 2 40 otro caso

a) Construya la función de distribución de Xb) Hallar la probabilidad de que en un día las tiendas tengan ingresos

superiores a 1000 solesc) Si el ingreso de una de las tiendas en un día es superior a 900 soles,

¿cuál es la probabilidad de que no sobrepase los 1500 soles?d) Si se sabe que hay 100 tiendas con ingresos inferiores a 800 soles.

Determine cuantas tiendas tienen ingresos superiores a 800 nuevos soles.

e) ¿Cuál será el valor esperado y la desviación del ingreso diario de estas tiendas?

EJEMPLO 1

a) Construya la función de distribución de X


x 23 3F(X) P[X x] t t dt

2 4

x x 2

0

3 3P[X x] t dt t dt

2 4

2 33 3P[X x] x x 0 x 2

4 12

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

X

F(X

)

EJEMPLO 1

b) Hallar la probabilidad de que en un día las tiendas tengan ingresos superiores a 1000 soles


1

2 3

0

3 3P(X 1) 1 P(X 1) 1 x x 1 0,5 0,5

4 12

c) Si el ingreso de una de las tiendas en un día es superior a 900 soles, ¿cuál es la probabilidad de que no sobrepase los 1500 soles?

P(0,P(X 1,

95 X

X0,9)

1,

P(X 0,9)

5)

1,5

2 3

0,9

3 3P(0,9 X 1,5) x x = 0,84375 0,42525 0,4185

4 12

0,9

2 3

0

3 3P(X 0,9) 1 P(X 0,9) 1 x x 1 0,42525 0,57475

4 12

0,418

0,P(X 1,5

57475X 0,9) 0,7 1

528 43

EJEMPLO 4

d) Si se sabe que hay 100 tiendas con ingresos inferiores a 800 soles. Determine cuantas tiendas tienen ingresos superiores a 800 nuevos soles.


0,8

2 3

0

3 3Si 100 tiendas P(X 0,8) x x = 0,352

4 12

Entonces, las tiendas que tienen ingresos superiores a 800 nuevos soles serían:

100 1 P(X 0,8) 100(0,648)Y 184,091 185

P(X 0,8) 0,352

100 P(X< 0,8) = 0,352

Y 1 - P(X< 0,8) = 0,648

EJEMPLO 4

e) ¿Cuál será el valor esperado y la desviación del ingreso diario de estas tiendas?


Xx R

22 2 22 2 3 3 4

0 0 00

E(X) x f(x)dx

3 3 3 3 3 3E(X) x x x dx x dx x dx x x 1

2 4 2 4 6 16

X

2 2

x R

22 2 22 2 3 4 4 5

0 0 00

E(X ) x f(x)dx

3 3 3 3 3 3E(X) x x x dx x dx x dx x x 1,2

2 4 2 4 8 20

22 2V(X) E[X ] E(X) 1,2 1 0,2

DE(X) V(X) 0,2 0,447

EJEMPLO 2

Sea la variable aleatoria X que tiene la siguiente función de densidad:


kx 0 x 500

f(x) k(800 x) 500 x 800

0 Otros valores

a) Determine el valor k.

b) Calcule la probabilidad: P( x<350 / x>155)

Solución a)

2 2 2k k500 800 k 800(500)k 500 1

2 2

2 2 k500 k 800 800(500)k 1

2

500 800

0 500

kx dx k(800 x) dx 1 800500

2 2

0 500

k kx 800kx x 1

2 2

170000k 1

1k

170000

EJEMPLO 2



P(155<x< 350)P( x<350 / x>155) =

P(x>155)

350

155

xdxP(155 < x < 350) =

1700003502

155

xP(155 < x < 350) =

340000

2 21P(155 < x < 350) = 350 155

340000

P(155 < x < 350) = 0,2986

EJEMPLO 2



P(155<x< 350)P( x<350 / x>155) =

P(x>155)

500 800

155 500

x dx (800 x) dxP(x>155) =

170000 170000

P(x>155) = 0,3999

8005002 2

155 500

x 800x xP(x>155) =

340000 170000 340000

2 2 2 2 2500 155 800 800 800(500) 500P(x>155) =

340000 170000 340000 170000 340000

EJEMPLO 2



P(155<x< 350)P( x<350 / x>155) =

P(x>155)

0,2986P( x<350 / x>155) =

0,3999

P( x<350 / x>155) = 0,7467

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