Un metodo para obtener algunos mapeosconformes

Por

Diana Milena Sanchez Monsalve

Tesis presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de

Magister en Ciencias Matematicas

Director: Juan Humberto Arango Escalante

Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellın

Facultad de Ciencias

Escuela de Matematicas

Febrero 2016

Indice general

1. Preliminares 11.1. Mapeos conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Cadenas de subordinacion y convergencia en kernel . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Funciones univalentes orocıclicamente convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Geometrıa hiperbolica y funciones hiperbolicamente convexas . . . . . . . . . 7

2. Composiciones de funciones triangulares hiperbolicas 92.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Cadenas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Ejemplos 25

I

Agradecimientos

Quisiera agradecer primero que todo a Dios por permitirme llegar con exito al final deesta maestrıa. Una experiencia muy grata en mi vida, porque aprendı muchas cosas. Tam-bien quiero agradecer al profesor Juan Humberto Arango Escalante por su paciencia, por sucompromiso y por todas sus ensenanzas.

Quisiera agradecer muy especialmente a Emer de Jesus Lopera Arias, por toda su ayuda,por su apoyo, por todos sus consejos, por todas sus ensenanzas y por su paciencia durante lamaestrıa. Mis padres, Luz Astrid Monsalve y Javier Orlando Sanchez, pues ellos me brindaronsu apoyo, amor y paciencia durante todo este proceso; a ellos tambien quiero expresarles mimas sincero agradecimiento.

II

Introduccion

Esta tesis se desarrollo con el objetivo de afianzar los conocimientos sobre teorıa geometricade funciones ası como presentar algunos ejemplos en los cuales se aplica el metodo empleadopor Michalska, Prokhorov y Szynal en el artıculo [11]. Dicho metodo nos permitira obtenerexplıcitamente ciertos mapeos, cuya existencia ya se conoce en teorıa.

Decimos que un dominio Ω ⊂ U := z ∈ C/ |z| < 1 es hiperbolicamente convexo si paracualquier par de puntos z1, z2 de Ω, la geodesica hiperbolica entre z1 y z2, o sea la porcionde arco entre z1 y z2 de la circunferencia ortogonal a ∂U que pasa por dichos puntos, estatambien contenida en Ω. Una funcion f : U → U se dice que es hiperbolicamente convexa sies conforme (analıtica e inyectiva) y si el dominio f(U) es hiperbolicamente convexo. En estetrabajo nos concentraremos en una clase particular de funciones hiperbolicamente convexas,a saber, funciones triangulares, concepto que se definira mas adelante.

La teorıa de funciones hiperbolicamente convexas ha sido de gran interes en las ultimas deca-das y muchos aspectos relacionados con ellas han sido estudiados. Por ejemplo, en [9] losautores demuestran varias desigualdades acerca de las funciones hiperbolicamente convexasque nos permiten conocer mas sobre su comportamiento bajo ciertas condiciones. En [7],Mejıa y Pommerenke investigaron el crecimiento de las derivadas de funciones hiperbolica-mente convexas, ası como el comportamiento de estas derivadas en la frontera. Estos mismosautores en [10] estudiaron algunas cantidades relacionadas con funciones hiperbolicamenteconvexas que no permanecen invariantes bajo los automorfismos conformes de U como lo sonla derivada, el modulo de continuidad y los coeficientes de la expansion en serie de Tayloralrededor del origen.

En [6], Ma y Minda obtuvieron varias caracterizaciones analıticas de funciones hiperboli-camente convexas. En particular, ellos estudian la familia H(α) de funciones holomorfasunivalentes, f : U → U , tales que f(0) = 0, f ′(0) = α > 0 y f(U) es una region hiperbolica-mente convexa de U . Ellos determinan una region de Koebe para dicha familia y hallan unaconeccion con funciones euclidianas en forma de estrella. Ademas, con la ayuda de algunastecnicas computacionales, obtuvieron una cota superior optima para |f ′′(0)| sobre la familiade todas las funciones en H(α).

Las funciones de Koebe

Kα(z) =2αz

1− z +√

(1− z)2 + 4α2z= αz + · · ·

III

son de gran importancia en la teorıa geometrica de funciones. Estas funciones maximizan alconjunto H(α) en el siguiente sentido. Para todo f ∈ H(α)

−kα(− |z|) ≤ |f(|z|)| ≤ kα(|z|).

(Vease Teorema 7 en [6]).

En el estudio del analisis complejo y la teorıa geometrica de funciones, es necesario obtenerfunciones que envıen, por ejemplo, el disco unidad U conformemente sobre algun dominio de-terminado. Las funciones Kα son la herramienta principal en el artıculo [11], desarrollado enesta tesis, ya que nos permiten hallar una formula expıcita y relativamente facil de computarpara las funciones hiperbolicamente convexas que envıan el disco U sobre triangulos hiperboli-cos. En dicho artıculo los autores notaron una propiedad interesante de la composicion defunciones del disco unitario sobre un triangulo hiperbolico especial.

Todo este trabajo esta basado en la teorıa de funciones conformes, principalmente en el teo-rema del mapeo de Riemann el cual establece que si Ω es un dominio simplemente conexo enel plano complejo, Ω 6= C y z0 ∈ Ω, entonces existe un unico mapeo conforme f de Ω sobreel disco unitario U tal que f(z0) = 0 y f ′(z0) > 0.

A menudo el calculo de estos mapeos no es algo sencillo y requiere cierta cantidad de tiempo.En este trabajo obtenemos, para ciertas regiones del plano, G, algunos mapeos que envıan aU conformemente sobre G. La obtencion de estos mapeos constituye el aporte principal deesta tesis.

Para lograr esto utilizaremos, entre otros, el metodo expuesto en [11]. Con el fin de com-prender apropiadamente este metodo debemos estar familiarizados ademas de los conceptosya mencionados, con otros tales como la metrica y geodesica hiperbolica en el disco unidadU , transformaciones de Mobius, razon cruzada, funciones orocıclimanete convexas, etc., loscuales seran presentados en forma de compendio en el capıtulo 1. En el capıtulo 2 se desarro-llara en detalle el artıculo [11] y se concluira este con una nota comparativa entre el metodoya mencionado y otro expuesto en el capıtulo V de [12], para obtener mapeos conformes delsemiplano superior sobre regiones acotadas por arcos curvilineos, pero en el cual las formulashalladas son mas complejas desde el punto de vista computacional. Se concluye esta tesis conel capıtulo 3, en el cual se presentan varios ejemplos que pretenden mostrar como aplicarel metodo empleado en el capıtulo 2 para obtener mapeos del disco unidad sobre regionesdistintas a las consideradas allı.

IV

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se presenta un compendio de las definiciones y teoremas necesarios duranteel desarrollo de esta tesis y que pueden ser encontrados en la literatura. Durante todo estetrabajo U := z ∈ C : |z| < 1 denotara al disco unidad.

1.1. Mapeos conformes

Las siguientes definiciones tienen como fin introducir la nocion de mapeo conforme (vease[3]).

Definicion 1.1. Sean z y w dos numeros complejos distintos de cero. Definimos el anguloorientado de z a w como θ(z, w) := Arg(w/z).

Geometricamente θ(z, w) es la medida en (−π, π] del mas pequeno de los dos angulos formadosen el origen por los vectores representados por z y w si θ(z, w) ∈ (−π, π); si esta medida esigual a π entonces los vectores en cuestion forman un segmento.

Definicion 1.2. Un conjunto A del plano complejo es un arco regular si admite una repre-sentacion de la forma A = α ([a, b]) =: |α|, donde α : [a, b]→ C es un camino suave, simple,no cerrado tal que α(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]. Cualquier α con las anteriores caracterısticasse llama una parametrizacion regular de A. Los puntos α(a) y α(b) se llaman puntos finalesde A.

Definicion 1.3. Supongase que A y B son dos arcos regulares que tienen un punto final z0

en comun, pero los cuales son disjuntos en caso contrario. Decimos que A y B son los ladosde una arco curvilıneo con vertice en z0 y definimos el angulo orientado de A a B como

θ(A,B) := θ(α(a), β(c)),

donde α : [a, b] → C y β : [c, d] → C son parametrizaciones regulares de A y B, respectiva-mente, con punto inicial z0.

Puede probarse que la anterior definicion no depende de las parametrizaciones regularesescogidas.

Definicion 1.4. Sea G un dominio del plano. Una funcion f : G → C es un difeomorfismosi f ∈ C1(G) y Jf (z) 6= 0 para todo z ∈ G, donde Jf (z) es el Jacobiano de f en z.

1

Definicion 1.5. Sea G un dominio del plano. Decimos que un difeomorfismo f : G → Cpreserva el angulo en z0 ∈ G, si

θ(A,B) := θ(f(A), f(B)),

donde A y B son los lados de un angulo curvilineo en G con vertice en z0.

Ahora estamos listos para dar una definicion de mapeo conforme.

Definicion 1.6. Sea G un dominio del plano. Un difeomorfismo f : G → C el cual tienela propiedad de preservar el angulo en z0 ∈ G, se llama un mapeo conforme en z0. Si f esconforme en z0 para todo z0 ∈ G, diremos que f es conforme en G.

Ademas tenemos los siguientes teoremas (vease [3])

Teorema 1.1. Si f es conforme entonces f es analıtica y f ′(z) 6= 0 para todo z ∈ C.

Definicion 1.7. Una funcion de la forma s(z) = az+bcz+d es llamada una transformacion lineal

fraccionaria. Si a, b, c y d satisfacen ad−bc 6= 0 entonces s(z) es llamada una transformacionde Mobius.

Definicion 1.8. La razon cruzada de cuatro puntos distintos z1, z2, z3, z4 ∈ C = C ∪ ∞,denotada por [z4, z1, z2, z3], es el numero complejo s(z4), donde s es la unica transformacionde Mobius tal que s(z1) = 1, s(z2) = 0 y s(z3) =∞.

Teorema 1.2. Teorema de RiemannSupongamos que D es un dominio simplemente conexo del plano, D 6= C, y que z0 es un puntode D. Existe una unica funcion conforme f de D en U que satisface la condicion f(z0) = 0y f ′(z0) > 0.

Un invariante para las transformaciones de Mobius es la propiedad de simetrıa con respectoa un cırculo K en C. Con el fin de explicar esta nocion, asociamos a cada cırculo K en C unafuncion ρK : C→ C llamada la reflexion en K, como sigue:Si K es un cırculo en C con centro z0 y radio r, definimos ρK por

ρK(z) = z0 +r2

z − z0=z0z + r2 − |z0|2

z − z0,

para z 6= z0,∞, mientras que ρK(z0) =∞ y ρK(∞) = z0. Ahora, si K = L ∩ ∞ para unarecta L con ecuacion Bz+ Bz+C = 0 (aquı C es real y B ∈ C∗ = C \ 0) entonces ρK estadada por:

ρK(z) =

(−BB

)z −

(B

C

),

para z 6=∞ y ρK(∞) =∞.

Definicion 1.9. Supongase que K es un cırculo en C. Los puntos z y z∗ de C \ K sonsimetricos con respecto a K si z∗ = ρK(z) (por tanto tambien z = ρK(z∗)).

Teorema 1.3. Si f es una transformacion de Mobius y si K es un cırculo en C, entonces

f ρK = ρf(K) f.

En particular, si z y z∗ son puntos simetricos con respecto a K, entonces f(z) y f(z∗) sonsimetricos con respecto a f(K).

2

Teorema 1.4. Sea Γ un cırculo a lo largo de los puntos z2, z3 y z4. Los puntos z y z∗ en Cson simetricos con respecto a Γ si y solo si

[z∗, z2, z3, z4] = [z, z2, z3, z4].

En el siguiente ejemplo presentamos una caracterizacion para las transformaciones de Mobiusdel disco en el disco, la cual sera usada para la prueba de uno del lemas del capıtulo 2.

Ejemplo 1.1. La forma general de las transformaciones de Mobius que envıan el disco uni-dad sobre el disco unidad es:

T (z) = µz − a1− az

, con |µ| = 1 y |a| < 1.

Veamos que T esta bien definida en U . En efecto, si |z| < 1 entonces |az| < 1. Luego 1−az 6= 0.

Si T tiene la forma anterior, se cumple con |z| = 1 que |T (z)| = |µ| |z−a||1−az| = 1.

Luego T transforma la circunferencia |z| = 1 en sı misma. Como T es continua, T envıaconexos en conexos, ası T (U) es una de las siguientes regiones z : |z| < 1 o z : |z| > 1.Notemos que T (a) = 0 y por tanto T (U) = U .Veamos ahora que si T (U) = U entonces T (z) = µ z−a

1−az , con |µ| = 1 y |a| < 1.Afirmacion 1.T (∂U) = ∂U .En efecto, sea z ∈ T (∂U) entonces existe w ∈ ∂U tal que T (w) = z. Sea ε > 0 dado. Por la con-tinuidad de T en w, existe un δ > 0 tal que |x− w| < δ entonces |T (x)− z| < ε. Como w ∈ ∂Uentonces existen x1 y x2 tales que x1 ∈ B(w, δ2)

⋂U y x2 ∈ B(w, δ2)

⋂U c. Ası |T (x1)− z| < ε

y |T (x2)− z| < ε. Por tanto T (x1) ∈ T (U) = U y T (x2) ∈ T (U c) = (T (U))c = U c. Luegoz ∈ ∂U .De manera similar para la otra contenencia, teniendo en cuenta que T−1 es otra transforma-cion de Mobius.De donde, |z| = 1 si y solo si |T (z)| = 1.Afirmacion 2.0 e ∞ son simetricos con respecto a ∂U .Notemos

[0, 1, i,−i] =

(0− i0 + i

)(1− i1 + i

)= −(1− i) (1− i)

(1 + i) (1− i)= −1− i− i− 1

2= i

y

[∞, 1, i,−i] =1− i1 + i

=(1− i)2

2= −i,

luego[∞, 1, i,−i] = i.

Ası, 0 e ∞ son simetricos con respecto a ∂U .Afirmacion 3.

3

Si a y b son simetricos con respecto a la circunferencia |z| = 1, entonces b = 1a . En efecto

[a, 1, i,−i] = [b, 1, i,−i]

⇔ (a− i) (1 + i)

(a+ i) (1− i)=

(b− i) (1 + i)

(b+ i) (1− i)

⇔ −(a− i)(a+ i)

=b+ i

b− i

⇔ b =1

a,

lo que demuestra la afirmacion. Ahora, definimos a = T−1(0) y b = T−1(∞). Como por laafirmacion 2, 0 y ∞ son simetricos con respecto a ∂U entonces a y b son simetricos ∂U yaque T es una transformacion de Mobius.Sea

T (z) =αz + β

γz + δ=α(z + β

α

)δ(γδ z + 1

)Definimos µ = α

δ . Notemos que T−1(z) = δz−β−γz+α .

Por lo anterior y la afirmacion 3

T−1(0) =−βα

= a

y

T−1(∞) =−δγ

= b =1

a.

Luego −a = γδ . Ası

T (z) = µ

[z − a1− az

].

Solo falta ver que |µ| = 1.En efecto si |z| = 1 entonces por la afirmacion 1, |T (z)| = 1. Luego tenemos que

1 = |T (z)| = |µ| |z − a||z| |z − a|

= |µ| .

Hemos caracterizado entonces todas las transformaciones de Mobius que envıan el disco sobreel disco.

Para las siguientes definiciones y teoremas consideramos G un dominio del plano extendidoC. Sea µ : C → C definida por µ(z) = 1

z para z ∈ C, µ(0) = ∞ y µ(∞) = 0. Extenderemosla nocion de funcion holomorfa como se sigue (vease [15]).

Definicion 1.10. Sea f : G→ C un funcion. Entonces

1. Si f(∞) = α 6= ∞. Decimos que f es holomorfa en un entorno de ∞ si f µ esholomorfa en un entorno de 0.

2. Si f(α) = ∞, α 6= ∞. Decimos que f es holomorfa en un entorno de α si µ f esholomorfa en un entorno de 0.

3. Si f(∞) =∞. Decimos que f es holomorfa en un entorno de∞ si µf µ es holomorfaen un entorno de 0.

4

4. f se llama univalente en G si es inyectiva.

Definicion 1.11. La funcion f : G→ C es conforme si es holomorfa y univalente en G.

Teorema 1.5. Sea G un dominio simpelmente conexo en el plano complejo extendido, C, talque C \G tiene mas de un punto. Entonces

1. Existe una funcion conforme ϕ que lleva al disco unidad U exactamente en G.

2. Fijados dos puntos z0 ∈ U y w0 ∈ G, w0 6= ∞ y un angulo θ ∈ R, existe una unicatransformacion ϕ que lleva a U en G y satisface las condiciones

ϕ(z0) = w0, argϕ′(z0) = θ (mod 2π).

Esta aplicacion se llama la funcion de Riemann del dominio G.

Ejemplo 1.2. Considerese la funcion

w(z) = z +1

z.

Entonces se tienen las siguietes propiedades:

1. dwdz = 1 − 1

z2se anula en 1 y −1 y solo en estos puntos. Por consiguiente w no puede

ser conforme en ninguna region que contenga a −1 o a 1.

2. Si z1 = 1z2

, entonces w(z1) = w(z2).

3. Esta funcion envıa ∂U en el intervalo cerrado [−2, 2].

4. w|U : U → C \ [−2, 2] es conforme, y por tanto su inversa tambien lo es.

El siguiente resultado es el Teorema 5.3 de [13]

Teorema 1.6. Principio de Reflexion de SchwarzSean K y K cırculos en el plano complejo extendido C, con reflexiones asociadas ρ y ρ. SeaD un dominio en C que es simetrico con respecto a K (i.e., ρ(D) = D), sean G y G∗ lascomponentes de D \ K y sea I = D ∩ K. Si f : G ∪ I → C es una funcion continua quees analıtica en G y que envıa a I en un subconjunto de K, entonces la funcion F : D → Cdefinida por

F (z) =

f(z), si z ∈ G ∪ I

ρ f ρ(z), si z ∈ G∗, (1.1)

es una funcion meromorfa. En realidad, f es una funcion analıtica excepto cuando K es uncırculo euclidiano cuyo centro pertenece al rango de f , en cuyo caso los unicos polos de F sehallan en los puntos z ∈ G∗ con la propiedad de que F (ρ(z)) es el centro de K.

5

1.2. Cadenas de subordinacion y convergencia en kernel

En esta seccion introducimos algunas ideas basicas acerca de cadenas de subordinacion yconvergencia en kernel. Las siguientes definiciones y teoremas, los cuales seran usados en laprueba del Corolario 2.1 y el Teorema 2.2, se pueden consultar en [4], pag. 88.

Definicion 1.12. Sea Gnn∈N una secuencia de dominios en C tal que 0 ∈ Gn para todon ∈ N. Si 0 es un punto interior de ∩∞n=1Gn, definimos el kernel G de Gnn∈N como eldominio mas grande que contiene a 0, tal que si K es un subconjunto compacto de G, entoncesexiste un entero positivo n0 tal que K ⊆ Gn para todo n > n0. Si 0 no es un punto interiorde ∩∞n=1Gn entonces definimos el kernel como 0.

Definicion 1.13. Decimos que Gnn∈N converge (converge en el sentido del kernel) a G, sicada subsucesion de Gnn∈N tiene el mismo kernel G. Denotamos esto por Gn → G.

Teorema 1.7. Teorema de CaratheodorySea Gnn∈N una sucesion de dominios simplemente conexos con 0 ∈ Gn y Gn propiamentecontenido en C, para todo n ∈ N. Sea fn el mapeo conforme de U sobre Gn tal que fn(0) = 0y f ′n(0) > 0. Sea G el kernel de Gnn∈N. Entonces fn → f local y uniformemente en U siy solo si Gn → G 6= C. En el caso de convergencia, G = 0 y f ≡ 0 o bien G 6= 0 yentonces G es un dominio simplemente conexo, f resulta ser una funcion conforme del discounidad sobre G, y f−1

n → f−1 local y uniformemente en G.

Definicion 1.14. Sean f y g funciones analıticas en U . Decimos que f esta subordinada ag (notado f ≺ g), si existe una funcion analıtica ϕ en U que satisface:

1. ϕ(0) = 0 y |ϕ| < 1.

2. f(z) = g(ϕ(z)) para z ∈ U .

Definicion 1.15. La funcion f : U × [0,∞) → C se llama una cadena de subordinacion sif(·, t) 6= 0 para todo t ≥ 0, |f ′(0, t)| es estrictamente creciente, f ′(0, t)→∞ cuando t→∞,y

f(z, s) ≺ f(z, t), z ∈ U, 0 ≤ s ≤ t <∞.

La cadena de subordinacion f(z, t) se llama una cadena de Loewner (o una cadena de subor-dinacion univalente) si f(·, t) es univalente en U para todo t ≥ 0.

No hay perdida de generalidad en suponer que las funciones en una cadena de subordinacionsatisface la siguiente normalizacion:

f(0, t) = 0, f ′(0, t) = et, t ≥ 0.

En realidad, si f(z, t) = a0 + a1(t)z + · · · es una cadena de subordinacion general, y si

t∗ = log∣∣∣ a1(t)a1(0)

∣∣∣ y θ(t) = arg∣∣∣ a1(t)a1(0)

∣∣∣, entonces

f∗(z, t∗) =

1

a1(0)

[f(e−iθ(t)z, t)− a0

]se convierte en una cadena de subordinacion normalizada.En el siguiente teorema G(t)t≥0 es una familia de dominios simplemente conexos tales que

0 ∈ G(s) ⊂ G(t) ⊂ C, 0 ≤ s < t <∞ (1.2)G(tn)→ G(t0), if tn → t0 <∞

G(tn)→ C, if tn →∞.(1.3)

6

Teorema 1.8. 1. Para todo t ≥ 0 sea gt(z) = g(z, t) un mapeo conforme de U sobre G(t)tal que gt(0) = 0 y g′t(0) = α(t) > 0. Sea α0 = α(0).

a) Entonces α es estrictamente creciente, continua y α(t)→∞ cuando t→∞.

b) Si β(t) = log[α(t)α0

]entonces f(z, t) = α−1

0 g(z, β−1(t)) es una cadena de Loewner

y f(U, t) = α−10 G(β−1(t)).

2. Recıprocamente, sea f(z, t) una cadena de Loewner y G(t) = f(U, t). Entonces la su-cesion de dominios simplemente conexos G(t)t≥0 satisface las condiciones (1.2) y(1.3).

1.3. Funciones univalentes orocıclicamente convexas

En esta seccion se presenta el concepto de funcion orocıclicamente convexa ası como unejemplo muy importante de este tipo de funciones. Las siguientes definiciones y resultadospueden consultarse en [8].

Definicion 1.16. Sea H una circunferencia (euclidiana) en U . Si H toca a ∂U entonces Hes un orocıclo en U .

Definicion 1.17. Un dominio G ⊆ U sera llamado orocıclicamente convexo (oroconvexo) si,para todo ω ∈ U ∩ ∂G, existe un orociclo H tal que ω ∈ ∂H y G ∩H = ∅.

Definicion 1.18. Una funcion f se dice orocıclicamente convexa si f es un mapeo conformede U sobre un dominio oroconvexo G ⊂ U .

Ejemplo 1.3. Sea 0 < λ < 1 y sea hλ : U → U la funcion definida por

hλ(z) =log 1+eiπλz

1+e−iπλz

2πλi− log 1+eiπλz1+e−iπλz

.

Entonces hλ es orocıclicamente convexa.

1.4. Geometrıa hiperbolica y funciones hiperbolicamente con-vexas

En esta seccion hacemos una breve introducccion a la geometrıa hiperbolica y a la teorıa defunciones hiperbolicamente convexas (veanse [1], [2] y [6]).

Definicion 1.19. Para un camino suave a trozos γ : [a, b] → U, definimos la longitud hi-perbolica de γ como

longitudU (γ) =

∫γ

2

1− |z|2|dz| .

Teorema 1.9. Sea γ : [a, b]→ U una funcion suave a trozos, entonces la longitud hiperbolicade γ es finita.

7

Definicion 1.20. Para cada par de puntos x y y de U sea Γ [x, y] el conjunto de todos loscaminos suaves a trozos γ : [a, b]→ U con γ(a) = x y γ(b) = y. Consideremos la funcion

dU : U × U → R

definida pordU (x, y) = ınf longitudU (γ) : γ ∈ Γ [x, y] . (1.4)

Esta funcion se llama la distancia hiperbolica entre x y y.

Teorema 1.10. Para cada elemento f ∈ Mob(U), donde

Mob(U) := f : U → U : fes una transformacion de Mobius

y para cada par de puntos x y y de U , tenemos que

dU (x, y) = dU (γ(x), γ(y)).

Teorema 1.11. La longitud hiperbolica de un camino suave a tramos γ : [a, b] → U estadada por

longitudU (γ) =

∫γ

2

1− |z|2|dz| = log

1 +∣∣∣ a−b1−ab

∣∣∣1−

∣∣∣ a−b1−ab

∣∣∣ .Definicion 1.21. Si γ es un camino en el disco hiperbolico U con la propiedad de que paracada tripleta de puntos p, q, r en la imagen de γ con r entre p y q tenemos

dU (p, q) = dU (p, r) + dU (r, q),

llamamos a γ una geodesica hiperbolica o una recta hiperbolica.

Teorema 1.12. Un camino γ que realice el ınfimo en la definicion (1.4) es una geodesica.

Teorema 1.13. Para cualquier par de puntos p y q del disco unitario, existe exactamenteuna geodesica γ = γpq que une p con q y es un arco de un cırculo ortogonal al disco unitario.

Corolario 1.1. Dado cualquier par de puntos p, q en el disco unitario existe un unico caminomas corto que los une y es la geodesica γpq.

Definicion 1.22. Si α, β y γ son rectas hiperbolicas que se intersecan en pares, ellas formanun triangulo hiperbolico. Medimos sus angulos interiores como las medidas de los angulosentre las tangentes a los lados geodesicos.

Definicion 1.23. Si todos los tres angulos de un triangulo hiperbolico miden cero, entonceseste es llamado un triangulo ideal.

Teorema 1.14. El disco unitario con la metrica hiperbolica dU , (U, dU ), es un espacio metricocompleto.

Definicion 1.24. Un dominio D ⊂ U es llamado hiperbolicamente convexo si, para cada parde puntos z, w ∈ D, la geodesica γ que une a z con w esta contenida en D.

Definicion 1.25. Una funcion f : U → U se dice que es hiperbolicamente convexa (h-convexa) si es conforme (analıtica e inyectiva) y si el dominio f(U) es h-convexo.

8

Capıtulo 2

Composiciones de funcionestriangulares hiperbolicas

.

2.1. Introduccion

Este trabajo esta basado en el artıculo “ The Compositions of Hyperbolic Triangle Mappings”,el cual emplearemos para obtener algunos mapeos conformes, vease [11].Sea H(α), 0 < α ≤ 1, la clase de las funciones f(z) = αz + b2z

2 + . . . holomorfas e hi-perbolicamente convexas en el disco unitario U , es decir, f(U) ⊂ U y cada segmento delplano hiperbolico que conecta dos puntos de f(U) esta contenido en f(U). La clase H(α) fueintroducida por Ma y Minda [6] y estudiada en [9]. Muchos de los funcionales estandar enH(α) son maximizados por las funciones de Koebe

Kα(z) =2αz

1− z +√

(1− z)2 + 4α2z= αz + . . .

las cuales envıan U sobre dominios hiperbolicamente convexos acotados por el arco Γα =w : w = eiθ, |θ| ≤ θ0 = arc cos(1− α2)

del cırculo unitario ∂U y por la lınea L, es decir, el

arco circular que pertenece a U con puntos finales en eiθ0 y e−iθ0 (vease figura 2.1).Sea

Kγα(z) = e−iγKα(eiγz), 0 ≤ γ ≤ 2π.

Para un entero dado n = 1, 2, 3 . . ., sea fn ∈ H(α) una funcion que envıa U sobre el triangulohiperbolico acotado por un arco de ∂U y los arcos circulares L1 y L2 que se intersecan en elangulo π

2n , n = 1, 2 . . ..En este artıculo los autores prueban que existen α1 > 0, . . . , αn+1 > 0, con

n+1∏j=1

αj = α y γ1 ∈ [0, 2π], . . . γn+1 ∈ [0, 2π],

tales quefn = Kγ1

α1 · · · Kγn+1

αn+1. (2.1)

Ellos tambien encontraron una formula para una funcion conforme de U sobre el triangulohiperbolico con un angulo cero entre L1 y L2.

9

Figura 2.1: Imagen de kα.

2.2. Resultados principales

Se inicia este seccion estableciendo algunos lemas que nos permitiran demostrar el teorema2.1.

Lema 2.1. Sea f1 ∈ H(α) una funcion que envıa a U sobre el triangulo hiperbolico acotadopor un arco Γ ⊂ ∂U y los arcos circulares L1 y L2 los cuales son ortogonales a Γ y seintersecan en un angulo π

2 (vease figura 2.6). Sean l1 = f−11 (L1) y L∗2 la geodesica en U que

contiene a L2 y cuyos puntos extremos estan en ∂U . Sea B0 el dominio acotado por un arcodel disco unidad y L∗2. Entonces existe una extension meromorfa de f1, f∗1 : U∗ → B0, dondeU∗ = C \ (∂U \ l1). Ademas f∗1 es sobreyectiva.

Prueba. Aplicaremos el Teorema 1.6 ası: Sea D = U∗. K = ∂U con reflexion asociadaρ(z) = 1

z y K el cırculo que contiene a L1 con reflexion asociada ρ(z) = z + r2

z−z0 , donde z0

es el centro de K y r su radio. En este caso G = U y G∗ = C \ ∂U son las componentes deD \K = C \ ∂U . Sea I := D ∩K = l1, entonces f1 envıa a I en un subconjunto de K.

f∗1 (z) =

f1(z), si z ∈ G ∪ I

ρ f1 ρ(z), si z ∈ G∗, (2.2)

es una extension meromorfa de f1 y satisface que f∗1 (U∗) = B0.En realidad esta ultima ecuacion no es trivial. Para ver esto defınanse las transformacionesT (z) := [z, z2, z3, z4], donde z2 = ∂U ∩ L1, z3 es un punto en L1 diferente de los extremos yz4 = L1 ∩ L2, y c(z) := z. Entonces f∗1 = T−1 c T , (vease figura 2.2).

Lema 2.2. Sea B0 como en el Lema 2.1. Entonces existen α1 > 0 y γ1 ∈ [0, 2π] talesque la rotacion de la funcion de Koebe Kγ1

α1 envıa U sobre B0. Ademas (Kγ1α1)′(0) > 0 y

(Kγ1α1) (0) = 0.

Prueba. Sea

θ0 =2π − (β3 − β1)

2= π − β3 − β1

2= arc cos(1− 2α2

1),

10

Figura 2.2: Lema 1

(vease figura 2.3). Por tanto

cos(π − β3 − β1

2) = 1− 2α2

1,

que es equivalente a

− cos(β3 − β1

2) = 1− 2α2

1.

Despejamos α21 y usamos una identidad trigonometrica para obtener

α21 =

1 + cos(β3−β12 )

2= cos2(

β3 − β1

4).

En realidad hemos obtenido α1 explıcitamente por la formula:

α1 = cos(β3 − β1

4).

Por otro lado, notese que β2+β32 es la medida del angulo formado por la bisectriz de los angulos

cuyas medidas son β2 y β3. Por tanto γ1 = π − β2+β32 (Vease figura 2.4).

Lema 2.3. Sean U∗ como en el Lema 2.1 y Ψ : U → U∗ una funcion conforme tal que Ψ(0) =0. Entonces Ψ puede hallarse explıcitamente como la composicion de unas transformacionesde Mobius y la funcion R(z) = z + 1

z .

Prueba.Sea S2(z) = [z,−1, 1, i] = 1+i

2z−1z−i , con lo cual S−1

2 (z) = −2iz+(1+i)−2z+(1+i) , y sea

S1(z) =[z, eiµ1 , eiµ2 , eiµ3

]=az + b

cz + d,

11

Figura 2.3: Forma grafica para encontrar α1.

Figura 2.4: Forma grafica para encontrar γ1.

12

Figura 2.5: Ψ

13

donde

a = eiµ1 − eiµ3 , b = ei(µ2+µ3) − ei(µ2+µ1), c = eiµ1 − eiµ2 y d = ei(µ2+µ3) − ei(µ1+µ3).

Entonces la funcion

S(z) :=(S−1

2 S1

)(z) =

(−(i+ 1)a+ 2c)z − (i+ 1)b+ 2d

(−(1− i)a+ 2c)z − (1− i)b+ 2d

envıa el disco unitario en el disco unitario y ademas satisface: S(eiµ1) = −i, S(eiµ2) = 1 yS(eiµ3) = i. Sea T2(z) = [z,−2, 0, 2] = 2z

z−2 . Notese ademas que

S−11 (z) =

az + b

cz + d,

dondea = d, b = −b, c = −c y d = a.

Con lo cual, definimos

T1(z) :=(S−1

1 T2

)(z) =

(2a+ b)z − 2b

(2c+ d)z − 2d.

Podemos suponer sin perdida de generalidad que (T1 R S) (0) ∈ U , pues de lo contrariodefinimos S := S−1

2 S′1, donde S′1(z) :=[z, eiµ3 , eiµ2 , eiµ1

]. Ahora bien, si (T1 R S) (0) =

c 6= 0 entonces aplicamos el automorfismo T3(z) = eiθ z−c1−cz , donde θ = µ1 − T3(eiµ1). Portanto si c = 0 definimos Ψ := T1 R S (vease figura 2.5). Si c 6= 0 entonces definimosΨ = T3 T1 R S.

Lema 2.4. Sea Ψ como en el Lema 2.3. Entonces Ψ−1∣∣U

(U) es el rango de una rotacion deuna funcion de Koebe.

Prueba. Por la forma en que se construyo Ψ, es facil ver que Ψ−1∣∣U

(U) ⊂ U . Como

podemos suponer sin perdida de generalidad que T−11 envıa U en el semiplano inferior y

ademas Ψ−1∣∣U

(0) = 0, entonces solo falta ver que S−1 envıa el semicırculo superior enel dominio acotado por un arco del disco unidad y la geodesica en U que une los puntoseiµ1 con eiµ2 . En realidad como S−1 preserva los angulos, dado que es un mapeo conforme,entonces envıa al segmento E = t+ i0/− 1 ≤ t ≤ 1 en la geodesica en U que une los puntosS−1(−1) = eiµ1 y S−1(1) = eiµ2 .

Lema 2.5. Sea Ψ como en el Lema 2.3. Sabemos por el Lema 2.4 que Ψ−1∣∣U

(U) = Kγ2α2(U)

y Ψ−1∣∣U

(0) = Kγ2α2(0) = 0, donde

α2 = cos

(µ2 − µ1

4

), γ2 = π − µ2 + µ1

2. (2.3)

Entonces Ψ−1∣∣U

(eiλz) = Kγ2α2(z) para todo z ∈ U y para algun λ ∈ R.

Prueba. Sea F := Ψ|U Kγ2α2 : U → U , la cual es un automorfismo del disco U . Por

el Ejemplo 1.1 existen m ∈ U y λ ∈ R tales que F (z) = eiλ z−m1−mz . Pero F (0) = −eiλm

y F (0) = Ψ|U Kγ2α2(0) = 0. Ası m = 0. En consecuencia Ψ−1

∣∣U

(eiλz) = Kγ2α2(z). Mas

aun, por lo anterior Ψ−1∣∣U

(z) = Kγ2α2(e−iλz). En particular Ψ−1

∣∣U

(1) = Kγ2α2(e−iλ). Luego

e−iλ = (Kγ2α2)−1

(Ψ−1∣∣U

(1)). La expresion anterior nos permite hallar explıcitamente a λ.

14

Figura 2.6: Imagen de f1.

Lema 2.6. Sea ϕ−1 : U∗ → U definida por ϕ−1(z) := Ψ−1(eiλz), donde Ψ es como en elLema 2.3. Entonces ϕ es un mapeo conforme tal que ϕ(0) = 0 y ϕ′(0) > 0.

Prueba. El resultado se sigue inmediatamente del hecho de que ϕ−1(0) = 0 y(ϕ−1

)′(0) > 0.

Teorema 2.1. Para un entero dado n = 1, 2, 3, . . ., sea fn ∈ H(α) una funcion que envıa aU sobre el triangulo hiperbolico acotado por un arco Γ ⊂ ∂U y los arcos circulares L1 y L2

los cuales son ortogonales a Γ y se intersecan en un angulo π2n . Entonces existen constantes

α1 ∈ [α, 1], . . . , αn+1 ∈ [α, 1], con

n+1∏j=1

αj = α y γ1 ∈ [0, 2π], . . . γn+1 ∈ [0, 2π],

tales que fn tiene la forma dada por (2.1).

Prueba. La prueba se hara por induccion. Veamos que (2.1) se cumple para f1. Su-pongamos que el arco de Γ, L1 y L2 de f1(U) son mutuamente ortogonales y acotados,L1⋂∂U = eiβ1 , L2

⋂∂U = eiβ3 , β1 < β3 < β1 + 2π. Denotese las preimagenes de L1 y L2

bajo la funcion w = f1(z) por l1 =z = eiθ : µ1 < θ < µ2

y l2 =

z = eiθ : µ2 < θ < µ3

respectivamente (vease figura 2.6).Sea f∗1 : U∗ → B0 la extension de f1 dada por el Lema 2.1 (vease figura 2.7). Denotese poreiβ2 , β1 < β2 < β3, el otro punto de interseccion de L∗2 con ∂U . Por el Teorema de Riemann,(Teorema 1.2), existe una unica funcion sobre g : U −→ B0, tal que g(0) = 0, g′(0) > 0. Porel Lema 2.2, g = Kγ1

α1 donde

α1 = cos

(β3 − β2

4

), γ1 = π − β3 + β2

2. (2.4)

Seanω(z) = g−1(f∗(z)) = (Kγ1

α1)−1(f∗(z)), z ∈ U∗, (2.5)

15

Figura 2.7: Imagen de f∗1 .

y ϕ : U → U∗, ϕ(0) = 0, ϕ′(0) > 0, una funcion garantizada por el Teorema de Riemann(vease Teorema 1.2). Por tanto

ϕ−1(z) = ω(z), z ∈ U. (2.6)

En realidad, si ζ = ϕ−1(z), z ∈ U∗, entonces f∗1 (ϕ(U)) = B0, lo cual significa que f∗1 (ϕ(ζ)) =g(ζ) = Kγ1

α1(ζ) o equivalentemente ϕ(ζ) = (f∗1 )−1(Kγ1α1(ζ)). Esto y (2.5) implican que ϕ−1 = ω.

Por el Lema 2.6ϕ−1(z) = Kγ2

α2(z), para todo z ∈ U, (2.7)

donde

α2 = cos

(µ2 − µ1

4

), γ2 = π − µ2 + µ1

2.

De (2.7) y (2.5) obtenemos f1(z) = Kγ1α1(ω(z)) = Kγ1

α1(Kγ2α2)(z), z ∈ U , y por tanto la formula

(2.1) se tiene para f1(z), z ∈ U , con α1, α2, γ1, γ2 dados por (2.3) y (2.4).

Ahora, probaremos por induccion que la representacion (2.1) se tiene para fn. Supongase quetoda funcion triangular hiperbolica fk, k = 1, 2, . . . , n− 1, satisface (2.1). Sea fn(U) acotadapor un arco del cırculo unidad y segmentos hiperbolicos L1, L2, L1∩∂U = eiβ1 , L2∩∂U =eiβn+1 , β1 < βn+1 < β1 +2π. Denotense las preimagenes de L1 y L2 bajo la funcion w = fn(z)por l1 = z = eiθ : µ1 < θ < µ2 y l2 = z = eiθ : µ2 < θ < µn+1 respectivamente.

La extension f∗n de fn a lo largo de l1 envıa U∗ = C \ (∂U \ l1) sobre el dominio βn−1 acotadopor un arco del cırculo unitario, el arco L2 y el arco L∗2 el cual es simetrico a L2 con respectoa L1. Los arcos L2 y L∗2 se intersecan en un angulo π/2n−1. Por tanto Bn−1 es el codominiode la funcion fn−1, es decir fn−1 : U → Bn−1, fn−1(0) = 0, f ′n−1(0) > 0, es representado por

16

Figura 2.8: Definicion de Bn

(2.1) con α1, . . . αn, γ1, . . . γn.Sea

ωn = f−1n−1(f∗n(z)), z ∈ U∗, (2.8)

y defınase la funcion ϕn como se sigue: ϕn : U → U∗, ϕn(0) = 0, ϕ′n(0) > 0. Uno puede verque como antes tenemos

ϕ−1n (z) = ωn(z), z ∈ U. (2.9)

En realidad, si ζ = ϕ−1n (z), z ∈ U∗, entonces f∗n(ϕn(U)) = Bn−1, lo cual significa que

f∗n(ϕn(ζ)) = fn−1(ζ) o equivalentemente ϕn(ζ) = (f∗n)−1(fn−1(ζ)). Esto y (2.8) implica queϕ−1n = ωn.

La funcion ϕ−1n puede ser encontrada explıcitamente de manera similar a ϕ−1. Se puede ver

que es una rotacion de una funcion de Koebe. De hecho nosotros tenemos

ϕ−1n (z) = kγn+1

αn+1(z), (2.10)

donde

αn+1 = cos

(µ2 − µ1

4

), γn+1 = π − cos

(µ2 + µ1

2

). (2.11)

De (2.8) y (2.10) obtenemos que fn(z) = fn−1(ωn(z)) = fn−1(kγn+1αn+1(z)), con z ∈ U . Por

tanto, dado que por hipotesis inductiva la formula de representacion (2.1) se tiene parafn−1(z) entonces dicha formula tambien se tiene para fn(z), z ∈ U , con αn+1, γn+1 dado por(2.11).

Corolario 2.1. Sea f ∈ H(α) una funcion que envıa a U sobre el triangulo hiperbolicoacotado por un arco Γ ⊂ ∂U y los arcos circulares tangentes L1 y L2 los cuales son ortogonalesa Γ. Entonces existen constantes αj ∈ [α, 1], j = 1, 2, . . ., con

∞∏j=1

αj = α y γj ∈ [0, 2π], j = 1, 2, . . . ,

tales que f es una composicion infinita de Kγjαj , j = 1, 2, . . .,

Prueba. Sea B un triangulo hiperbolico cuya frontera consiste de un arco de U y dosarcos circulares L1 y L2 los cuales tienen un punto en comun en la frontera del disco unidad

17

donde ellos son tangentes. Entonces B puede ser aproximado por triangulos hiperbolicos Bntales que los arcos circulares de sus frontera, Ln1 y Ln2 , se intersecan formando un angulo deπ/2n y contienen al cero, (vease figura 2.8). Afirmamos que Bn tiende al kernel B cuandon → ∞. En realidad, sea Bnk

∞k=1 una subsucesion de Bn∞n=1. Entonces B = ∪∞k=1Bnk .

Tenemos que 0 ∈ B. Ademas si K es un subconjunto compacto de B entonces su distanciacon ∂B es positiva. Luego existe n0 tal que K ⊂ Bn0 . Como Bm ⊂ Bn para m < n, entoncesK ⊂ Bn0 ⊂ Bn para todo n > n0. Por el Teorema 1.7 las funciones fn : U → Bn tienden auna funcion g : U → B. Por la unicidad dada por el Teorema de Riemann, (vease Teorema1.2), tenemos que g = f . La prueba del corolario se sigue de la representacion (2.1) para fnsi n→∞.

Como mostraremos en la siguiente nota (vease [12]), tambien se pueden obtener mapeos delsemiplano superior H := z ∈ C : Im(z) > 0 en triangulos hiperbolicos, como el cociente desoluciones linelamente independientes de ciertas ecuaciones diferenciales. Dichas solucionesse pueden obtener explıcitamente en terminos de integrales, las cuales resultan difıciles decomputar. Componiendo estas funciones con la transformacion de Mobius

T (z) :=−iz − 1

z + i,

la cual envıa U conformemente sobre H, obtenemos formulas explıcitas para las funciones queenvıan el disco unidad en triangulos hiperbolicos.

Una de las ventajas del metodo obtenido por Michalska, Prokhorov y Szynal en [11] sobre elmetodo resumido a continuacion, es que se obtienen formulas mas simples para los mapeosque envıan el disco en una clase especıfica de triangulos hiperbolicos, a saber triangulos enU acotados por una arco Γ ⊂ ∂U y dos arcos circulares ortogonales a Γ y que se cortanformando un angulo de π

2n .

Nota 2.1. Una funcion w = f(z) que mapea el semiplano superior Im(z) > 0 sobre elinterior de un triangulo curvilıneo con angulo πα, πβ y πγ, es de la forma

f(z) =y1(z)

y2(z), (2.12)

donde y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacion hipergeometrica

z(1− z)y′′ + [c− (a+ b+ 1) z] y′ − aby = 0 (2.13)

y las constantes a, b y c estan relacionadas con α, β y γ ası:

a =1

2(1 + β − α− γ) , b =

1

2(1− β − α− γ) , c = 1− α. (2.14)

La idea fundamental de este hecho es que el operador diferencial

w, z :=

(w′′

w′

)′− 1

2

(w′′

w′

)2

, (2.15)

(conocido como la derivada Schwarziana) no reconoce las transformaciones de Mobius, esdecir, si W = T w, donde T es una transformacion de Mobius, entonces W, z = w, z.Supongase entonces que ai ∈ R es tal que f(ai) es uno de los vertices del triangulo hiperbolico.

18

Usando transformaciones de Mobius se puede suponer entonces que f envıa un segmento deleje real que contiene a ai en dos segmentos de recta euclidiano que se tocan en el origenformando el mismo angulo que forman los dos arcos circulares que se cortan en f(ai). Puededemostrarse, vease [12], que f tiene la forma f(z) = (z − ai)αif1(z), donde f1 es analıticaen z = ai, f1(ai) 6= 0 y f1(z) es real si z es real. Teniendo esto en cuenta se demuestra queel operador

w, z −3∑i=1

bi,

(donde bi son ciertas funciones la variable z las cuales dependen tambien de ai y f) eva-luado en f es una funcion analıtica en los puntos ai y es real en los puntos del eje real. Siuna expresion es analıtica en la clausura de un dominio y toma valores reales en la fronteraentonces es constante (vease [12], Capıtulo III). Este es el caso de w, z−

∑3i=1 bi. En resu-

men si w = f(z) es una funcion con nuestras caracterısticas, entonces satisface la ecuaciondiferencial

w, z −3∑i=1

bi = γ,

donde γ es cierta constante. Ahora, el hecho de que f tenga la forma (2.12), se debe a que siu1 y u2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacion diferencial lineal de segundoorden

u′′(z) + p(z)u(z) = 0,

entonces

w(z) =u1(z)

u2(z)

es una solucion de la ecuacion diferencial

w, z = 2p(z).

Regresando a la ecuacion (2.13), se puede verificar facilmente que esta se resuelve por la seriehipergeometrica

F (a, b, c, z) = 1 +ab

cz +

a(a+ 1)b(b+ 1)

c(c+ 1)2!z2+

a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)

c(c+ 1)(c+ 2)3!z3 + · · · , |z| < 1.

(2.16)

La funcion F (a, b, c, z) tambien se puede escribir en forma de integral definida como

F (a, b, c, z) =Γ(c)

Γ(b)Γ(c− b)

∫ 1

0tb−1(1− t)c−b−1(1− zt)−adt, (2.17)

donde las condiciones b > 0, c > b son necesarias para la existencia de la integral. Lasidentidades (2.16) y (2.17) se establecen facilmente expandiendo (1 − zt)−a en potencias dez e integrando termino a termino. En vista de (2.13) las condiciones b > 0, c > b sonequivalentes a α+ β + γ < 1, α < 1 + β + γ. Por tanto ambas condiciones se satisfaran si lasuma de los tres angulos del triangulo curvilineo es menor que π.Para la solucion de nuestro problema de la funcion necesitamos obtener otra solucion de laecuacion (2.13). Tal solucion se obtiene facilmente al observar que la sustitucion 1− z por ztransforma (2.13) en

z(1− z)y′′ + [a+ b− c+ 1− (a+ b+ 1) z] y′ − aby = 0,

19

la cual es otra ecuacion hipergeometrica. Esta ecuacion se resuelve con

y =

∫ 1

0tb−1(1− t)a−c(1− zt)−adt, (2.18)

donde se requieren las condiciones b > 0 y a > c − 1 para la existencia de la integral. Estascondiciones son identicas con α + β + γ < 1 y γ − β − α < 1 y por tanto se satisfacen sila suma de los angulos es menor que π. Si en (2.18) reemplazamos otra vez z por 1 − z,obtenemos una solucion de la ecuacion (2.13). Se puede probar facilmente que la solucion(2.18) no es un multiplo escalar de (2.17). Por tanto obtenemos la siguiente formula para lafuncion f que mapea el semiplano superior sobre el triangulo curvilineo antes descrito:

w = f(z) =

∫ 10 t− 1

2(1+α+β+γ)(1− t)−

12

(1+α−β−γ)(1− zt)−12

(1−α+β−γ)dt∫ 10 t− 1

2(1+α+β+γ)(1− t)−

12

(1−α−β+γ)(1− t+ zt)−12

(1−α+β−γ)dt, (2.19)

cuando la suma de los angulos es menor que π. Razonamientos analogos nos permiten obtenerformulas para f en los casos que faltan, es decir, cuando la suma de los angulos es mayor oigual que π.Como se puede observar la formula (2.19), obtenida para f , puede resultar muy complicadade calcular por metodos analıticos. Por tanto la formula (2.1) nos da otra aproximacion, massimple, al problema en algunos casos.

2.3. Cadenas de funciones

En esta seccion construimos una cadena de subordinacion univalenteF (z, t) = αet(z + a2(t)z2 + · · · ), 0 ≤ t ≤ log( 1

α), F (z, 0) = fn(z), para la funcion fn de-finida en la introduccion. Empezamos por f1 usando las notaciones de la prueba del Teorema2.1.El arco l1 puede ser parametrizado como se sigue: l1 =

z = eiµ(t) : 0 < t < t1

, con µ(t) =

µ2 − 2 arc cos(2e−2t − 1), t1 = log( 1α2

). En efecto, z = eiµ(t), con 0 < t < t1 parametrizaun arco de cırculo unitario, solo falta ver que µ(0) = µ2 y que µ(t1) = µ1. Pero claramenteµ(0) = µ2 − 2 arc cos(1) = µ2. Por otro lado teniendo en cuenta (2.3), obtenemos

µ(t1) = µ(log(1

α2)) = µ2 − 2 arc cos(2e

−2 log( 1α2

) − 1)

= µ2 − 2 arc cos(2α22 − 1) = µ2 − 2 arc cos(2 cos2(

µ2 − µ1

4)− 1)

= µ2 − 2 arc cos(cos(µ2 − µ1

2))

= µ2 − 2(µ2 − µ1

2) = µ1.

Entonces el arco L1 es parametrizado ası: L1 =w = f1(eiµ(t)) : 0 < t < t1

. La extension f∗1,t

de f1 a lo largo del arco l1,t =z = eiµ(τ) : 0 < τ < t

, 0 < t < t1, envıa U∗t = C \ (∂U \ l1,t)

en un dominio B0,t = B0 \ L1,t, donde L1,t =w = f1(eiµ(τ)) : 0 < τ < t)

. Denotese por

F1(z, t), con z ∈ U y 0 < t < t1, la funcion de U sobre B0,t. Similarmente a la prueba delTeorema 2.1, definimos ϕt : U → U∗t , ϕt(0) = 0 y ϕ′t(0) > 0, la cual es la inversa de una

funcion de Koebe. Mas precisamente (kγ2(t)α2(t))

−1, con

α2(t) = cos(µ2 − µ(t)

2), y γ2(t) = π − µ2 + µ(t)

2.

20

Por lo tanto F1(z, t) = f∗1t(ϕ(t(z))), con z ∈ U y 0 < t < t1.La parametrizacion µ(t) para l1 fue escogida con el fin de tener la expansion normalizada.

F (z, t) = αetz + · · · (2.20)

En efecto, seag(z) = F1(z, t).

Notese que

ϕ−1(z) = e−iγ(t)Kα(t)

(eiγ(t)z

).

Por tanto (ϕ−1

)′(z) = e−iγ(t)K ′α(t)

(eiγ(t)z

)eiγ(t).

Luego(ϕ−1

)′(0) = α(t). Ası ϕ′(0) = 1

α(t) . Por otro lado (f∗1t)′ (z) = (f1t)

′ (z) y ademas

(f∗1t) (z) = (Kγ1α1 K

γ2α2) (z), por tanto

(f1t)′ (z) =

(Kγ1α1

)′ (Kγ2α2

(z)) (Kγ2α2

)′(z)

y en consecuenciaf ′1(0) =

(Kγ1α1

)′(0)α2 = α1α2 = α.

Ahora bien

α(t) = cos

(µ2 − µ2 + 2 arc cos(2e−2t − 1)

4

)= cos

(arc cos(2e−2t − 1)

2

).

Sea θ = arc cos(2e−2t−1)2 . Luego 2θ = arc cos(2e−2t−1). Tomando coseno a ambos lados tenemos

cos(2θ) = 2e−2t−1 y por tanto usando una identidad trigonometrica 2 cos2(θ)−1 = 2e−2t−1.Ası cos(θ) = e−t = α(t). Entonces

g′(z) = f ′1(ϕ(z))ϕ′(z).

Luego

g′(0) =f ′1(0)

α(t)=

α

α(t)=

α

e−t.

En consecuencia F tiene la forma dada en (2.20).Denotemos por Λ =

z = eiθ : λ1 < θ < λ2

la preimagen de L2 bajo la funcion

kγ1α1 : U → B0, λ1 = arc cos(1 − 2α21) − γ1, λ2 = 2π − arc cos(1 − 2α2

1) − γ1. Ahora note-se que

θ = arc cos(1− 2α2

)⇒ cos θ = 1− 2α2 = 1− 2sen2

(θ

2

)⇒ sen

(θ

2

)= α

⇒ θ

2= arcsenα

⇒ θ = 2 arcsenα

⇒ sen θ = 2 sen

(θ

2

)cos

(θ

2

)= 2α

√1− α2

21

LuegoKγ1α1

(eλ1)

= Kγ1α1

(ei arc cos (1−2α2)−γ1)

= e−iγ1Kα1(e−iγ1eiθ−γ1)

= e−iγ1Kα1(eiθ)

Por otro lado

Kα1

(e−i2 arcsenα

)=

2α1e−i2 arcsenα

1− e−i2 arcsenα +√

(1− e−iθ) + 4α2e−iθ

=2α1e

−iθ

1− e−iθ +√

1− 2e−iθ + e−2iθ + 4α2e−iθ

=2α1e

−iθ

1− e−iθ +√

1− 2e−iθ (1− 2α2) + e−2iθ

=2α1e

−iθ

1− e−iθ +√

1− 2 cos θe−iθ + e−2iθ

=2α1e

−iθ

1− cos θ + i sen θ +√

1− 2 cos θ (cos θ − i sen θ) + cos (2θ)− i sen (2θ)

=2α1 (cos θ − i sen θ)

1− cos θ + i sen θ +√

1− 2 cos2 θ + 2i sen θ cos θ + 2 cos2 θ − 1− i sen (2θ)

=2α1 (cos θ − i sen θ)

1− cos θ + i sen θ

1− cos θ − sen θ

1− cos θ − sen θ

=2α1

(cos θ − cos2 θ − sen2 θ − i sen θ

)(1− cos θ)2 + sen2 θ

=2α1 (cos θ − 1− i sen θ)

2 (1− cos θ)

=α1

(−2α2

1 − i sen θ)

2α21

=α1

(−2α2

1 − i− 2α1

√1− α2

1

)2α2

1

= −α1 − i√

1− α21.

22

Por tanto, teniendo en cuenta la formula (2.4), tenemos que

Kγ1α1

(eiλ2

)= e−iγ1Kα1

(e−iγ1eiλ2

)= e−iπei

β3+β22 Kα1

(e−iγ1eiλ2

)= −

(cos

β2 + β3

2+ i sen

β2 + β3

2

)(−α1 − i

√1− α2

1

)

= −(

cosβ2 + β3

2+ i sen

β2 + β3

2

)− cosβ3 − β2

2− i

√1− cos

β3 − β2

2

2

= −

(cos

β2 + β3

2+ i sen

β2 + β3

2

)− cosβ3 − β2

2− i

√sen

β3 − β2

2

2

= −

(cos

β2 + β3

2+ i sen

β2 + β3

2

)(− cos

β3 − β2

2− i sen

β3 − β2

2

)= cos

β2 + β3

2cos

β3 − β2

2+ i cos

β2 + β3

2sen

β3 − β2

2

+ i senβ2 + β3

2cos

β3 − β2

2− sen

β2 + β3

2sen

β3 − β2

2

= cosβ2 + β3

2cos

β3 − β2

2− sen

β2 + β3

2sen

β3 − β2

2

+ i

(cos

β2 + β3

2sen

β3 − β2

2+ sen

β2 + β3

2cos

β3 − β2

2

)= cos

(β2 + β3

2+β3 − β2

2

)+ i sen

(β2 + β3

2+β3 − β2

2

)= cosβ3 + i senβ3 = eiβ3 .

Razonando de manera similar se tiene que Kγ1α1

(eiλ1

)= eiβ2 .

El arco Λ puede ser parametrizado como

Λ =eiv(t) : t1 < t < t2

con v(t) = λ2 − 2 arc cos(2e−2(t−t1) − 1) y t2 = log( 1

α).En efecto, veamos que los extremos son eiλ2 y eiλ1 .

v(t1) = λ2 − 2 arc cos(

2e−2(t1−t1) − 1)

= λ2 − 2 arc cos (1) = λ2.

Ademasv(t2) = λ2 − 2 arc cos

(2e−2(t2−t1) − 1

)= λ2 − 2 arc cos

(2e−2(log 1

α−log 1

α2) − 1

)= λ2 − 2 arc cos

(2e−2 log

α2α − 1

)= λ2 − 2 arc cos

(2e−2 log 1

α1 − 1)

= λ2 − 2 arc cos(2α2

1 − 1)

= λ2 − 2(π − arc cos

(1− 2α2

1

))= 2π − arc cos

(1− 2α2

1

)− γ1 − 2

(π − arc cos

(1− 2α2

1

))= λ1.

23

Entonces el arco L2 es parametrizado ası:

L2 =w = kγ1α1

(eiv(t)) : t1 < t < t2

.

La extension (kγ1α1)∗t de kγ1α1 a lo largo del arco Λt =z = eiv(τ) : t1 < τ < t

, t1 < t < t2,

envıa C\ (Λ) en un dominio U \ (L2,t), donde L2,t =w = kγ1α1(eiv(t)) : t1 < τ < t)

. Denotese

por F2(z, t), con z ∈ U y t1 < t < t2, la funcion de U sobre U \ (L2,t).Por lo tanto la cadena de subordinacion univalente F (z, t), z ∈ U , 0 < t < t2, puede serconstruida como F1(z, t) para 0 < t < t1 y F2(z, t) para 0 < t < t2, F (z, 0) = f1(z),F (z, t2) = z.Supongamos que ya hemos definido F (1) como

F (1)(z, t) =

F

(1)1 (z, t), 0 ≤ t ≤ t(1) = log 1

α2

F(1)2 (z, t), t1 ≤ t ≤ t2 = log 1

α .(2.21)

Definimos entonces

F (2)(z, t) =

F

(2)1 (z, t), 0 ≤ t ≤ t(1) = log 1

α(2)3

F(2)2 (z, t), t1 ≤ t ≤ t(2)

2 = log 1

α(2)3

+ log 1

α(2)2

= log 1

α(1)2

F(2)3 (z, t), t

(2)2 ≤ t ≤ t(2)

3 = log 1α = log 1

α3+ log 1

α2+ log 1

α1.

(2.22)

F(2)1 (z, t) = F ∗2,t(ϕ

(2)t (z))

F(2)2 (z, t) = F

(1)1 (z, t)

F3(z, t) = F(1)2 (z, t)

Notemos que α(2)3 α

(2)2 α

(1)1 = α

(1)2 α

(1)1 = α y α

(1)2 = α

(2)3 α

(2)2 = α.

Generalmente, cuando se trata con funciones fn, se supone que se conocen las cadenasde subordinacion univalentes para todos las funciones triangulares hiperbolicas, fk, k =1, 2, . . . n − 1. Como en el caso n = 1, parametrizamos similarmente los arcos l1, L1 con lamisma funcion µ(t) y parametro t1 y mantenemos las notaciones para l1,t, L1,t, U∗t , ϕt.La extension fn,t de fn con respecto a l1,t, 0 < t < t1 envıa U∗t sobre el dominio Bn,t =fn−1(U) \ L1. Denotese por F1(z, t) la funcion de U sobre Bn,t. Como antes, tenemos:

F1(z, t) = f∗n,t(ϕt(z)), z ∈, 0 < t < t1. (2.23)

Por tanto la cadena de subordinacion univalente F (z, t), z ∈ U, 0 < t < log 1α , puede

definirse como F1(z, t) para 0 < t < t1 y como F2(z, t) para t1 < t < log 1α (conocida de la

funcion fn−1). F (z, t1) es definida por continuidad. Por tanto, hemos probado lo siguiente:

Teorema 2.2. Sea fn una funcion de U sobre un triangulo hiperbolico acotado por un arcoΓ ⊂ ∂U y arcos circulares L1 y L2 los cuales son ortogonales a Γ y se intersecan en un angulode π/2n. Entonces la funcion F1(z, t) dada por (2.23) es una cadena de funciones en [0, t1],tal que F1(z, 0) = fn(z), F1(z, t1) = fn−1(z). La cadena de funciones F (z, t) para fn−1 en[t1, log 1

α ] se construye inductivamente.

Nota 2.2. Sea f una funcion analıtica y univalente en el disco unidad tal que f(0) = 0 yf ′(0) = α, entonces existe una cadena de Lowner F (z, t) tal que f(z) = F (z, 0). (Vease [14])Por tanto para cada funcion que envıe el disco en un triangulo hiperbolico existe una cadenade Lowner F (z, t) = αetz + · · · .

24

Capıtulo 3

Ejemplos

El objetivo principal de este capıtulo es mostrar algunos ejemplos, encontrando para cada unode ellos la funcion ϕ adecuada. Mas especıficamente, aplicaremos el metodo estudiado en elcapıtulo anterior para encontrar explıcitamente ciertas funciones. A saber, si conocemos unafuncion en cierto dominio S ⊂ C y estamos interesados en encontrar una funcion que envıea U en una region de S, la estrategia es encontrar una funcion ϕ, la cual no necesariamenteesta normalizada como en el capıtulo anterior.Sea f : U → G, donde G es una region de S. Sea h la la funcion que envıa U en todo S. Seaϕ : U → U∗ conforme tal que ϕ(0) = 0 y ϕ′(0) > 0, dada por el Teorema 1.2. Por tanto f sepuede escribir como f = h ϕ−1

|U (vease figura 3.1).

Ejemplo 3.1. Consideremos la funcion conforme f : U → B0 tal que f ′(0) > 0 y f(0) = a,donde B0 es el dominio de U acotado por los arcos Γ :=

eiθ : 0 < θ < π

,

L2 :=w :∣∣∣w + 1

1+λ

∣∣∣ < λ1+λ

y el segmento euclidiano L1 con punto inicial λ−1

λ+1 y punto

final 1, (vease figura 3.2). Hallaremos una formula explıcita para f .

Denotamos las preimagenes de L1 y L2 bajo f por l1 =z = eiθ : µ1 < θ < µ2

y l2 =

z = eiθ : µ2 < θ < µ3

respectivamente.

Sea hλ : U → B1 (Vease figura 3.3), la funcion definida por

hλ(z) =log 1+eiπλz

1+e−iπλz

2πλi− log 1+eiπλz1+e−iπλz

.

Se puede probar que hλ envıa la mitad superior de disco unitario sobre B0, (vease [8]). Sea

S2(z) = [z,−i, 1, i] = 2iz−2i(i+1)z−i(i+1) , con lo cual S−1

2 (z) = −i(i+1)z+2i−(i+1)z+2i , y sea

S1(z) =[z, 1,−e−iπλ,−1

]=az + b

cz + d,

dondea = 2, b = 2e−iπλ, c = 1 + e−iπλ y d = 1 + e−iπλ.

Entonces la funcion

S(z) :=(S−1

2 S1

)(z) =

(−(i+ 1)a+ 2c)z − (i+ 1)b+ 2d

(−(1− i)a+ 2c)z − (1− i)b+ 2d

25

Figura 3.1: f se escribe como una composicion de funciones.

Figura 3.2: f envıa U conformemente sobre B0.

Figura 3.3: hλ envıa U sobre B1.

26

Figura 3.4: f = hλ ϕ−1∣∣U

.

envıa el disco unitario en el disco unitario y ademas satisface: S(1) = −i, S(−e−iπλ) = 1 yS(−1) = −i. Sea T2(z) = [z,−2, 0, 2] = 2z

z−2 . Notese ademas que

S−11 (z) =

az + b

cz + d,

donde

a = ei(µ2+µ3) − ei(µ1+µ3), b = ei(µ1+µ2) − ei(µ2+µ3), c = eiµ2 − eiµ1 y d = eiµ1 − eiµ3 .

Con lo cual definimos

T1(z) :=(S−1

1 T2

)(z) =

(2a+ b)z − 2b

(2c+ d)z − 2d.

Definimos tambien R(z) := z + 1z .

Podemos suponer, sin perdida de generalidad que (T1 R S) (0) ∈ U , pues de lo contrarioconsideramos S := S−1

2 S′1, donde S′1(z) :=[z, eiµ3 , eiµ2 , eiµ1

]. Sea ϕ = T1 R S. Ası

f(z) = hλ ϕ−1(z) para todo z ∈ U . (Vease figura 3.4)

Ejemplo 3.2. Sea γ ∈ R tal que α = γ sec(πγ

2

)pertenece al intervalo (0, 1).

Sea B0 :=z ∈ C/0 < Arg(z) < πγ

2

(vease figura 3.5). Hallaremos explıcitamente una fun-

cion conforme f : U → B0.

Sea D1 = z ∈ C : Re(z) > 0 como en la figura 3.5. Defınanse las funciones T1 : U → D1 porT1(z) = 1+z

1−z y T2 : D1 → D2 por T2(z) = zγ , donde D2 :=z ∈ C/− πγ

2 < Arg(z) < πγ2

.

Veamos que T2 envıa D1 sobre D2 tal como se ve en la figura 3.5. T2(0) = 0, T2(i) = iγ yT2(−i) = (−i)γ . Luego esta funcion envıa el semieje imaginario positivo en un rayo que partedel origen y pasa por iγ . Y tambien envıa al semieje imaginario negativo al rayo que sale de

27

Figura 3.5:

cero y pasa por (−i)γ .Definimos h : U → D2 como h(z) = T2(T1(z)). Sean

R(z) = z +1

z

Ti(z) = [z,−2, 0, 2] =2z

z − 2

Tj(z) = [z, i,−1,−i] =z + 1

z + i

2i

i+ 1.

Ası S := T−1j Ti es la funcion que envıa C \ [−2, 2] en C \

eiλ : π2 ≤ λ ≤

3π2

tal que

S(−2) = i, S(0) = −1 y S(2) = −i. Por tanto ϕ = S R es la funcion que envıa U enC \

eiλ : π2 ≤ λ ≤

3π2

. La funcion f que envıa el disco en alguna de las regiones divididas

por L es f(z) = h ϕ−1(z), z ∈ U .

Ejemplo 3.3. Hallaremos explıcitamente una funcion conforme f : U → B′0, donde B′0 esalguna de las regiones divididas por C ′ como en la figura 3.5.

Sean Di, i = 1, 2, 3, 4, como en la figura 3.5. Sea b = eiπγ2 . Definimos las funciones: T1 : U →

D1, por T1(z) = 1+z1−z , T2 : D1 → D2 por T2(z) = zγ , T3 : D2 → D3 por T3(z) =

z − 1

bz + by

T4 : D3 → D4 por T4(z) = z−a1−az . Observese que T3(0) =

−1

b= −b, ademas

∣∣T3(ib)∣∣2 =

∣∣∣∣ ib− 1

i+ b

∣∣∣∣2 =ib− 1

i+ b

−ib− 1

−i+ b

=1− ib+ ib+ 1

1 + ib− ib+ 1= 1.

28

y analogamente ∣∣T3(−ib)∣∣2 =

∣∣∣∣−ib− 1

−i+ b

∣∣∣∣2 =−ib− 1

−i+ b

ib− 1

i+ b= 1

Por tanto T3 envıa la recta que pasa por −ib, 0, ib en el cırculo unitario. Ademas

T3(b) =b− 1

1 + b=b− 1

1 + b

b+ 1

b+ 1= − 2Imbi

|1 + b|2.

el cual es un punto sobre el eje imaginario. Y T3(∞) = 1b = b. Entonces T3 envıa el rayo

que parte de 0 y pasa por b a una recta hiperbolica en el disco unitario con extremos −by b. Analogamente se puede hallar la imagen bajo T3 del rayo que parte de 0 y pasa por b.Encontremos el valor de a tal que T4 satisfaga

T−14 (−1) = −b y T−1

4 (1) = b.

T−14 (−1) =

−1 + a

1− a= −b

Por tanto −1 +a = −b+ ab y −ab+a = −b+ 1. Como T−14 (1) = 1+a

1+a = b⇒ 1 +a = b+ ab⇒ab− a = 1− b⇒ a = −b−b+2

−b+b . Por tanto

a =−b− b+ 2

−b+ b=−2Reb+ 2

2iImb= −i1−Reb

Imb.

Definamos h : U → D4 por h = T4 T3 T2 T1. Sean eiµ1 = f−1(eiβ1

), eiµ2 = f−1(0) y

eiµ3 = f−1(1). Sea

S1(z) = [z,−i, 1, i] =2iz − 2i

(i+ 1)z − i(i+ 1)

S2(z) =[z, eiµ1 , eiµ2 , eiµ3

]=z − eiµ2z − eiµ3

eiµ1 − eiµ3eiµ1 − eiµ2

.

Sean S3 := S−11 S2(z) y S4(z) = z + 1

z la funcion que envıa U en C− [−2, 2]. Sea S5 = T4,

como en el ejemplo anterior, la funcion que envıa C − [−2, 2] en C −eiλ : π2 ≤ λ ≤

3π2

.

Definimos ϕ : U → C −eiλ : π2 ≤ λ ≤

3π2

por ϕ = S5 S4 S3. La funcion f que envıa el

disco en alguna de las regiones divididas por C ′ (vease figura 3.5) es

f(z) = h ϕ−1(z), z ∈ U.

Ejemplo 3.4. Hallaremos explıcitamente una funcion conforme f : U → B0, donde B0 esalguna de las regiones divididas por C ′ como en la figura 3.6.

Considerense los subconjuntos del plano complejo D1, D2, D3, D4 y D5 como en la figura3.6. Sean T1 : U → D1 la transformacion de Mobius definida por T1(z) := 1+z

1−z , T2 : D2 → D3

definida por T2(z) = eiβz, T3 : D1 → D2 definida por T3(z) = zγ y Ta : D4 → D5, definidapor Ta(z) = z+a

1+az , donde D4 := T−11 (D3). Sea h = Ta T−1

1 T2 T3 T1. Queremos hallar

los numeros de la frontera de U tales que su imagen bajo la funcion f1 := T−11 T2 T3 T1

son imaginarios puros y pertenecen a la frontera de D4.Tenemos que

f1(eit) =eiβ(

1+eit

1−eit

)γ− 1

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ+ 1

.

29

Figura 3.6:

Calculemos t ∈ (0, π) tal que

Re

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ− 1

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ+ 1

= 0.

En realidad:

1 + eit

1− eit=

1 + cos t+ i sen t

1− cos t− i sen t

1− cos t+ i sen t

1− cos t+ i sen t

=1− cos2 t− sen2 t+ i sen t(1 + cos t+ 1− cos t)

(1− cos t)2 + sen2 t=

2i sen t

2(1− cos t)

=i sen t

1− cos t

1 + cos t

1 + cos t=i sen t(1 + cos t)

sen2 t

=i(1 + cos t)

sen t=

1 + cos t

sen teiπ2 .

Por otro lado (1 + eit

1− eit

)γ=

(1 + cos t)γ

senγ teiπ2γ .

Luego

eiβ(

1 + eit

1− eit

)γ=

(1 + cos t)γ

senγ tei(β+π

2γ).

30

Por tanto

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ− 1

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ+ 1

=(1+cos t)γ

senγ t ei(β+π2γ) − senγ t

senγ t(1+cos t)γ

senγ t ei(β+π2γ) + senγ t

senγ t

=(1 + cos t)γ

(cos(β + π

2γ) + i sen(β + π2γ))− senγ t

(1 + cos t)γ(cos(β + π

2γ) + i sen(β + π2γ))

+ senγ t

×(1 + cos t)γ cos(β + π

2γ) + senγ t− i(1 + cos t)γ sen(β + π2γ)

(1 + cos t)γ cos(β + π2γ) + senγ t− i(1 + cos t)γ sen(β + π

2γ)

=(1 + cos t)2γ cos2(β + π

2γ)− sen2γ t+ (1 + cos t)γ sen2(β + π2γ)∣∣(1 + cos t)γ cos(β + π

2γ) + senγ t− i(1 + cos t)γ sen(β + π2γ)∣∣2

+ i

[(1 + cos t)γ cos(β + π

2γ)(1 + sen(β + π2γ))− senγ t+ sen(β + π

2γ) senγ t]∣∣(1 + cos t)γ cos(β + π

2γ) + senγ t− i(1 + cos t)γ sen(β + π2γ)∣∣2

En consecuencia

Re

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ− 1

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ+ 1

= 0⇐⇒

(1 + cos t)2γ cos2(β +π

2γ)− sen2γt+ (1 + cos t)γ sen2(β +

π

2γ) = 0⇐⇒

(1 + cos t)2γ − sen2γt = 0⇐⇒(1 + cos t)2γ = sen2γt⇐⇒(

1 + cos t

sent

)2γ

= 1 =(eiπnγ

)2γ⇐⇒

1 + cos t

sen t= e

iπnγ = cos

(nπ

γ

)+ i sen

(nπ

γ

).

Como 1+cos tsen t es un numero real, entonces de la ultima igualdad se sigue que: sen

(nπγ

)= 0,

luego nπγ = kπ para algun entero k. Por tanto k = n

γ . Ahora, de la ultima ecuacion,

(1 + cos t)2 =

(sen t cos

(πn

γ

))2

⇐⇒ 1 + 2 cos t+ cos2 t = (1− cos2 t) cos2

(πn

γ

)⇐⇒

(1 + cos2

(πn

γ

))cos2 t+ 2 cos t+ 1− cos2

(πn

γ

)= 0.

Resolviendo esta ecuacion cuadratica en la variable cos t tenemos:

cos t =

−1±√

1− 1 + cos4(πnγ

)1 + cos2

(πnγ

) =−1± cos2

(πnγ

)1 + cos2

(πnγ

) = 0.

Luego t = π2 .

Razonando de manera similar podemos hallar los t ∈ (−π, 0) tales que

Re

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ− 1

eiβ(

1+eit

1−eit

)γ+ 1

= 0,

31

obteniendo t = −π2 .

Definamos las funciones

T ′(z) = [z, i,−1, 1] =z + 1

z − 1

i− 1

i+ 1

T ∗(z) = [z, i,−1, i] =z + 1

z − i−2i

−i+ 1.

Sea T4 = (T ∗)−1 T ′. Ası T4(i) = i, T4(−1) = −1 y T4(−i) = 1. Sean

T5 : U → C \ [−2, 2] por T5(z) = z +1

z

Ti(z) = [z,−2, 0, 2] =2z

z − 2

Tj(z) = [z, i,−1,−i] =z + 1

z + i

2i

i+ 1.

Sea T6 := T−1j Ti, la funcion que envıa C \ [−2, 2] en C \

eiλ/π2 ≤ λ ≤

3π2

. Entonces

T6(−2) = i, T6(0) = −1 y T6(2) = −i.Sea ϕ = T6 T5 T4, la funcion que envıa U en C \

eiλ/π2 ≤ λ ≤

3π2

. Ası la funcion f envıa

el disco unidad en alguna de las regiones dividida por C (vease figura 3.6) es f = h ϕ−1.

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Bibliografıa

[1] Anderson, J. W. (1999). Hyperbolic Geometry, Springer.

[2] Arbelaez, H. (2011). Familias esferica e hiperbolicamente invariantes. Tesis de doctorado.Universidad Nacional de Colombia.

[3] Conway, J. B. (1986). Functions of One Complex Variable. Springer Science.

[4] Graham, I. & Kohr, G. (2003). Geometric Function Theory in One and Higher Dimen-sions. Marcel Dekker, Inc.

[5] Jones, W. & Thron, W. J. (1980). Continued fractions. Addison- Wesley publishing.

[6] Ma, W. & Minda, D. (1994). Hyperbolically convex functions. In Annales Polonici Mat-hematici. 60. 81-100.

[7] Mejıa, D. & Pommerenke, Ch. (2002). On the derivative of hyperbolically convex fun-ctions. Ann. Acad. Sci. Fenn-Math. 27, 47-56.

[8] Mejıa, D. & Pommerenke, Ch. (2005). Horocyclically convex univalent functions, Michi-gan Math. J. 53, 483-496.

[9] Mejıa, D. & Pommerenke, Ch. (2000). On Hyperbolically Convex Functions. JournalGeom. Ann. 10, 365-378.

[10] Mejıa, D. & Pommerenke, Ch. (1998). Sobre aplicaciones conformes hiperbolicamenteconvexas. Revista Colombiana de Matematicas. 32, 29-43.

[11] Michalska, M. Prokhorov, D. V. & Szynal, J. (2000). The compositions of hyperbolictriangle mappings. Complex Variables and Elliptic Equations, 43(2), 179-186.

[12] Nehari, Z. (1952). Conformal Mapping. McGraw- Hill: New York.

[13] Palka, B. (1991). An introduction to complex function theory. Springer.

[14] Pommerenke, Ch. (1975). Univalent function. Vandenhoeck & Ruprecht.

[15] Remmert, R. (1989). Theory of Complex Functions. Springer Science.

[16] Vega, C. (2004). Funciones Hiperbolicamente Convexas. Tesis de maestrıa. UniversidadNacional de Colombia.

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