UN MODELO DE ASIGNACIÓN PERSONALIZADAS …...UN MODELO DE ASIGNACIÓN–EMPAQUE DE DESPENSAS...
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UN MODELO DE ASIGNACIÓN–EMPAQUE DE DESPENSAS PERSONALIZADAS PARA BANCOS DE ALIMENTOS SUJETO A
RESTRICCIONES NUTRICIONALES Y LOGÍSTICAS
Tesis
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
Doctor en Ciencia y Tecnología
en la Especialidad de
Ingeniería Industrial y de
Manufactura
PRESENTA
Jonathan Cuevas Ortuño
DIRECTOR DE TESIS
DRA. ALEJANDRA GÓMEZ PADILLA
León, Guanajuato, México. Noviembre del 2013
ii
RESUMEN
Un adecuado manejo y asignación de alimentos donados en bancos de alimentos
(BA) implica tomar en cuenta factores logísticos relacionados a la disponibilidad,
manejo, preservación y costos de alimentos perecederos y no-perecederos, pero
además, considerar las características nutricionales-dimensionales de los
alimentos y los requerimientos nutricionales de las familias atendidas.
Este trabajo de investigación propone un modelo matemático de asignación-
empaque de alimentos para configurar despensas personalizadas para familias en
pobreza alimentaria. Algunas características de los alimentos donados y del
proceso no pueden ser consideradas de forma exacta, por lo que se presenta un
método de asignación-empaque de alimentos para BA basado en un modelo de
programación difusa donde el tomador de decisiones (TD) selecciona la mejor
solución del modelo difuso considerando el grado de satisfacción en el
cumplimiento de indicadores de calidad en las despensas. Incertidumbres en
parámetros logísticos y nutricionales son incluidas conjuntamente en el modelo.
La opinión del TD genera una jerarquización de las posibles soluciones a partir
del uso de funciones de membresía lineales y un índice de aceptación global.
La contribución de esta investigación radica en modelar de forma integrada y
tomando en cuenta la opinión del TD en un ambiente de incertidumbre, las
características-restricciones de los problemas de asignación limitada de recursos
en una cadena de suministro, el problema de la dieta y el problema de empaque
de alimentos; problemas que han sido estudiados de forma de separada en la
literatura.
La validación del modelo fue realizada a través de experimentos utilizando
información proporcionada por un BA de México.
iii
Palabras clave: logística de alimentos, bancos de alimentos, programación
matemática difusa, asignación-empaque, alimentos perecederos y no-
perecederos, problema de la dieta, problema de empaque de alimento,
indicadores de calidad en despensas.
iv
AGRADECIMIENTOS
Hace cuatro años ya pensaba en este momento de encontrarme a las puertas de culminar
un gran reto personal y profesional. Constantemente me preguntaba: qué sentiría, cómo
me encontraría y quién tendría un impacto relevante en mi proceso de formación. Ahora,
después de este periodo de intensas y retadoras experiencias en mi formación como
investigador en el CIATEC, me encuentro satisfecho y contento de poder presentar este
documento de tesis doctoral. Agradecido de poder vivir momentos que me hicieron sentir
orgulloso del esfuerzo realizado, agradecido de poder conocer diferentes lugares de
México y del extranjero, pero también agradecido de esos momentos en que el panorama
se veía sombrío pero que me retaron a sacar lo mejor de mí y superar esos obstáculos.
Hoy, quisiera agradecer a todos aquellos que directa o indirectamente me ayudaron a
llegar a este importante momento de mi vida:
Gracias Dios, porque Tú has sido mi fortaleza y has guiado mi camino. Porque tus
palabras en Santiago 1:5 reconfortaron mi alma en momentos de angustia: “Y si alguno de
vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin
reproche, y le será dada”.
Gracias Dra. Alejandra Gómez Padilla, directora de esta tesis, por guiarme durante mi
proceso de formación como investigador, por brindarme su valioso tiempo y dedicación
para poder culminar con éxito este trabajo de investigación.
Gracias a todo el cuerpo académico del CIATEC, ya que durante una clase y/o en la
presentación de algún seminario de avances siempre tuvieron consejos que me hicieron
crecer profesionalmente y como persona.
Gracias maestro Antonio Quijas, coordinador del posgrado en CIATEC, por su amistad,
por su apoyo incondicional y el tiempo dedicado en aclarar mis dudas y/o atender mis
sugerencias.
Gracias a mis amigos y compañeros de generación, ya que su amistad y consejos me
permitieron crecer personal y profesionalmente.
v
Gracias al CONACYT, por el apoyo económico brindado para poder culminar mi proceso
de formación doctoral.
En el apartado personal, te agradezco Mara Moreno Avalos, mi esposa y amiga, por
compartir tu vida conmigo, por ser mi brazo fuerte durante todo este proceso, por
compartir conmigo mis alegrías pero también por brindarme una palabra de aliento en
momentos difíciles. También agradezco a Dios por darme a dos hermosas hijas: Uzi Silem
y Hannia Bethsabé, y deseo que este logro sea un motivante para que ellas busquen ser
mejores personas que yo y que anhelen siempre ponerse retos profesionales cada vez
más altos.
Gracias Héctor Fernando Cuevas Sánchez y Yolanda Ortuño Miranda, mis amorosos
padres, porque siempre están al pendiente de mí y porque con su ejemplo me han
motivado a siempre buscar ser una persona íntegra. A mis queridos hermanos, Josué y
Josaphat, también les agradezco sus consejos, compañía y apoyo.
Gracias a usted, maestra María Enriqueta Sánchez Zataray, mi abuela, porque con su
forma de vivir me ha inspirado a ser una persona perseverante, optimista y responsable.
Mi agradecimiento porque con su apoyo moral y económico pude estudiar mi carrera
profesional y porque su amor por la docencia me ha guiado a seguir sus pasos y los de mi
madre en esta hermosa y gratificante labor de enseñar.
Para todos ustedes, mi más sincero agradecimiento.
JONATHAN CUEVAS ORTUÑO
vi
ÍNDICE DE CONTENIDO
ÍNDICE DE FIGURAS ix
ÍNDICE DE TABLAS xi
ABREVIACIONES xiii
1. CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN 1
1.1 Antecedentes 1
1.2 Definición del problema 3
1.3 Justificación 6
1.4 Objetivo general 9
1.5 Objetivos específicos 9
1.6 Hipótesis general 10
1.7 Alcance de investigación 10
1.8 Contribución original 10
1.9 Organización de la tesis 11
2. CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS TEÓRICOS 13
2.1 Introducción 13
2.2 Problemas con características similares abordados en la literatura 13
2.2.1 Manejo y distribución de alimentos en bancos de alimentos 13
2.2.2 Problemas de planeación en la cadena de suministro de alimentos 15
2.2.2.1 Administración de cadenas de suministro de productos agro-
alimenticios
16
2.2.2.2 Modelos de planeación en una cadena de suministro de
alimentos según el área funcional de aplicación
17
2.2.2.3 Modelos de planeación en una cadena de suministro de
alimentos según el nivel de decisión aplicado
24
2.2.3 Problema de la dieta 25
2.2.4 Problema de empaque 29
2.3 Metodologías de modelación bajo incertidumbre aplicadas a los problemas
estudiados
35
2.3.1 Lógica difusa o borrosa 36
2.3.1.1 Conjuntos difusos o borrosos 36
2.3.1.2 Funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos 37
vii
2.3.2 Descripción de la programación matemática difusa 39
2.3.3 Problemas en la cadena de suministro estudiados bajo incertidumbre
difusa
47
2.3.3.1 Problemas de planeación en aprovisionamiento-producción-
distribución
49
2.3.3.2 Problemas de planeación en producción-distribución 49
2.3.3.3 Problemas de planeación en transporte 51
2.3.4 Problema de la dieta bajo incertidumbre difusa 54
2.4 Síntesis y análisis crítico de la literatura revisada 55
3. CAPÍTULO 3: DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y MODELOS DE SOLUCIÓN 62
3.1 Introducción 62
3.2 Descripción del problema de asignación-empaque de alimento 62
3.3 Justificación de incertidumbres en parámetros del modelo de asignación-
empaque de alimento
64
3.4 Formulación del modelo determinístico de asignación-empaque de
alimento
66
3.4.1 Objetivos del modelo 68
3.4.2 Restricciones del modelo 69
3.5 Formulación del modelo difuso de asignación-empaque de alimento 71
3.6 Programación bi-objetivo en modelo determinístico y difuso 76
3.6.1 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo
determinístico
76
3.6.2 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo difuso 77
3.7 Transformación del modelo mono-objetivo difuso en un modelo crisp
equivalente
81
3.7.1 Transformación del modelo difuso con el método propuesto por
Jiménez y Peidro
82
3.7.2 Transformación del modelo difuso con el método propuesto por
Cadenas y Verdegay
85
3.8 Método interactivo para la toma de decisiones de asignación-empaque de
alimentos en bancos de alimentos
87
3.9 Implementación del modelo 94
4. CAPÍTULO 4: RESULTADOS 95
4.1 Introducción 95
viii
4.2 Aplicación a un banco de alimentos en México 95
4.3 Suposiciones del modelo 96
4.4 Resultados 97
4.4.1 Análisis estadístico comparativo de la solución del modelo
determinístico con objetivos diferentes e incrementando el número
de familias atendidas
97
4.4.2 Análisis de la solución del modelo difuso de asignación-empaque
mono-objetivo
111
4.4.2.1 Validación del modelo de asignación-empaque utilizando la
transformación propuesta por Jiménez y Peidro
111
4.4.2.2 Validación del modelo de asignación-empaque utilizando la
transformación propuesta por Cadenas y Verdegay
114
4.4.3 Análisis comparativo de la solución del modelo de asignación-
empaque bi-objetivo versus un modelo mono-objetivo
117
4.4.4 Validación del método interactivo para la toma de decisiones en
bancos de alimentos
126
4.4.4.1 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por
Jiménez y Peidro
126
4.4.4.2 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por
Cadenas y Verdegay
131
4.4.4.3 Transformación del modelo difuso con el método de Cadenas y
Verdegay y el uso de funciones de probabilidad en la
evaluación de los indicadores de calidad de despensas ( ).
134
5. CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES 142
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145
ANEXO 1: VALIDACIÓN DEL MODELO EN BANCO DE ALIMENTOS DEL
OCCIDENTE DE MÉXICO
160
ANEXO 2: ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN / CONGRESOS DE
INVESTIGACIÓN
161
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Representación general de la cadena de suministro en bancos de alimentos
3
Figura 1.2 Características del modelo actual versus modelo propuesto de distribución de alimento para bancos de alimentos
4
Figura 1.3 Sistema actual de asignación-distribución de alimento en bancos de alimentos en México
5
Figura 2.1 Funciones de pertenencia de conjuntos clásico y difuso o borroso para edad adulta
37
Figura 2.2 Ejemplo de funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos
38
Figura 2.3 Método para solución de modelos de programación matemática difusa
46
Figura 2.4 Porcentaje de aplicaciones de la teoría de conjuntos difusos por área de aplicación en la administración de la producción y operaciones
47
Figura 2.5 Ejemplos de problemas de planeación en la cadena de suministro utilizando programación matemática difusa
48
Figura 2.6 Síntesis de la literatura revisada 61 Figura 3.1 Modelo propuesto de asignación-empaque de alimentos
para bancos de alimentos
63 Figura 3.2 Ejemplo de alimentos considerados como piezas fuzzy en el
modelo propuesto
65 Figura 3.3 Número difuso triangular 79 Figura 3.4 Número difuso triangular para transformación propuesta por
Jiménez et al. (2007) y Peidro et al. (2010)
82 Figura 3.5 Número difuso triangular para transformación propuesta por
Cadenas & Verdegay (1997)
85 Figura 3.6 Resumen del método interactivo para asignación-empaque
de despensas
88 Figura 3.7 Porcentaje de alimento no-perecedero en despensas con
n=250 familias
91 Figura 3.8 Diagrama de experimentos computacionales 94 Figura 4.1 Sistema tradicional de manejo-distribución de alimentos a
granel en banco de alimentos de México
96 Figura 4.2 Alimentos incluidos en experimentos por grupo nutricional 96 Figura 4.3 Número de integrantes en familias consideradas para las
simulaciones
97 Figura 4.4 Análisis comparativo de kilogramos de alimento por
despensa al incrementar el número de familias atendidas
100 Figura 4.5 Representación del valor del atributo de calidad en
despensas
103 Figura 4.6 Análisis comparativo de tendencia central (medianas) para
cada atributo de despensas evaluadas por objetivo
106
x
Figura 4.7 Análisis comparativo de dispersión (desviación estándar) para cada atributo de despensa evaluada por objetivo
107
Figura 4.8 Ejemplo de características nutricionales y dimensionales de despensas configuradas en escenario 2 con 250 familias
111
Figura 4.9 Características de familias incluidas en experimentos del modelo difuso utilizando la transformación de Jiménez (2007)
112
Figura 4.10 Características de las familias incluidas en el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay (1997)
115
Figura 4.11 Características de familias incluidas en experimentos 118 Figura 4.12 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso
para pesos iguales de los objetivos con modelo determinístico
120
Figura 4.13 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales de los objetivos con modelo difuso en el corte α=0.7
121
Figura 4.14 Análisis descriptivo de atributos logísticos y nutricionales en despensas configuradas por escenario (n=250 despensas personalizadas)
125
Figura 4.15 Análisis comparativo entre escenario-familia por atributo nutricional o logístico
126
Figura 4.16 Nivel de aspiración del tomador de decisiones 127 Figura 4.17 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo
difuso (α=0.9) para 250 familias
130 Figura 4.18 Análisis comparativo entre modelo determinístico y difuso
(α=0.9) por familia
131 Figura 4.19 Análisis comparativo de atributos de calidad en despensas
con modelo determinístico y difuso (α=0.9)
134 Figura 4.20 Ejemplo de atributos nutricionales y logísticos para
despensas usando una solución-α = 0.3
141
xi
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Estudios realizados en cadenas de suministro agro-alimenticias
17
Tabla 2.2 Clasificación y características de modelos aplicados a cadenas de suministro de alimentos
25
Tabla 2.3 Resumen de métodos aplicados al problema de la dieta 27 Tabla 2.4 Tipos de problema de empaque 30 Tabla 2.5 Variantes del problema de la mochila 31 Tabla 2.6 Aplicaciones de la programación lineal difusa 41 Tabla 2.7 Tipos de programación matemática difusa a partir del tipo de
incertidumbre considerada en el modelo
42 Tabla 2.8 Estado del arte para el problema de asignación-empaque de
alimento
59 Tabla 3.1 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo
determinístico.
67 Tabla 3.2 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo
difuso
71 Tabla 3.3 Elementos de la matriz de pago 76 Tabla 4.1 Resumen del número de variables y restricciones en
modelos utilizados
98 Tabla 4.2 Tiempo de solución y valor objetivo encontrado por
escenario de operación
99 Tabla 4.3 Atributos para evaluar la calidad de despensas configuradas 100 Tabla 4.4 Prueba de normalidad para atributo: kilogramos de
alimentos por despensa
101 Tabla 4.5 Análisis comparativo de medianas y varianzas entre
escenario para kilogramos de alimentos por despensa
101 Tabla 4.6 Prueba de normalidad por atributos en despensas 104 Tabla 4.7 Análisis comparativo de medianas y varianzas por atributos 105 Tabla 4.8 Preferencia de escenario por atributo 110 Tabla 4.9 Tipos de alimentos incluidos en los modelos difusos 112 Tabla 4.10 Eficiencia de los experimentos computacionales 113 Tabla 4.11 Variación de la asignación de kilocalorías de alimento
realizada por el modelo difuso para cada α utilizando la
transformación de Jiménez
113 Tabla 4.12 Análisis comparativo de las mejores soluciones (corte-α) de
acuerdo al indicador de preferencia del tomador de decisiones
114 Tabla 4.13 Eficiencia de experimentos computacionales 115 Tabla 4.14 Análisis comparativo de resultados obtenidos del modelo
determinístico contra el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay
116
Tabla 4.15 Escenarios evaluados en el modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas
118
xii
Tabla 4.16 Matriz de pago resultante del modelo determinístico 119 Tabla 4.17 Matriz de pago resultante del modelo bi-objetivo difuso 120 Tabla 4.18 Eficiencia de los experimentos computacionales entre
modelos mono-objetivo y bi-objetivo
121 Tabla 4.19 Atributos logísticos y nutricionales promedio en despensas
configuradas por escenario evaluado
123 Tabla 4.20 Grado de satisfacción del tomador de decisiones en el
cumplimiento del valor objetivo y α
127 Tabla 4.21 Análisis comparativo de resultados por despensa-familia-
contenedor
128 Tabla 4.22 Cálculo del grado de satisfacción conjunta (K) para cada α 128 Tabla 4.23 Cálculo del grado de satisfacción global ( ) para cada α 132 Tabla 4.24 Solución para cada corte-α y su correspondiente grado de
satisfacción global ( )
135 Tabla 4.25 Distribuciones obtenidas para cada parámetro ( )
evaluado
136 Tabla 4.26 Probabilidad acumulada obtenida para cada indicador de
calidad ( ) evaluado en cada solución-α
137 Tabla 4.27 Grado de factibilidad (corte-α) y su correspondiente grado
de satisfacción global ( )
139 Tabla 4.28 Análisis comparativo de parámetros (nutricionales y
logísticos) evaluados en las despensas por el tomador de decisiones
139
xiii
ABREVIACIONES
Descripción Abreviatura
Administración de la cadena de suministro ACS
Administración de la cadena de suministro de
alimentos
ACSA
Banco de alimentos BA
Cadena de suministros CS
Cadena de suministro de alimentos CSA
Cadena de suministro agro-alimenticia CSAA
Problema de la dieta PD
Problema de empaque de alimentos PEA
Problema de la mezcla de alimentos PMA
Programación compromiso PC
Programación lineal PL
Programación lineal entera-mixta PLEM
Programación matemática PM
Programación matemática difusa PMD
Tomador de decisiones TD
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.1 Antecedentes.
Para Mula et al. (2010), el concepto de administración de cadena de suministro
(ACS) desde su aparición en 1982 es asociado con una variedad de significados.
En los ochentas, la ACS fue originalmente usada en la literatura logística para
describir un nuevo método integrado de administración logística a través de
diferentes funciones de negocios. Después, éste método integrado fue extendido
hacia afuera de los límites de la compañía hacia proveedores y clientes. De
acuerdo con el Foro de Cadena de Suministro Global (FCSG), la ACS es la
integración de los procesos de negocios clave, del usuario final a los proveedores
originales que proveen los productos, servicios e información la cual agrega valor
a los clientes y shareholders (accionistas).
La investigación de operaciones y en particular la técnica de programación lineal
(PL) ha sido utilizada frecuentemente en problemas asociados a una cadena de
suministro (CS) como planeación de la capacidad de producción, programación
(schedulling), control de inventarios, aprovisionamiento-producción-distribución,
transporte, ruteo de vehículos, localización de plantas, entre otros. Sin embargo,
para Rommelfanger (1996) la desventaja principal de la PL radica en la necesidad
de contar con información precisa y concreta que en muchas ocasiones es difícil
obtener, entre otras cosas, por el alto costo que implica.
La CS es una red dinámica de varias entidades de negocios que involucran un alto
grado de imprecisión o incertidumbre. En la literatura, varios modelos para la
planeación de la CS bajo incertidumbre han sido definidos. De acuerdo a Peidro
et al. (2009), muchos de estos modelos están basados en métodos analíticos (por
ejemplo, modelos estocásticos), métodos de simulación, o métodos híbridos
(basados en la integración de modelos analíticos y de simulación) pero Bilgen
(2010) considera que son pocos los estudios se han enfocado a modelar el
problema en ambientes difusos. Los modelos incluidos en los métodos analíticos,
2
de simulación o híbridos representan las incertidumbres en la CS con
distribuciones de probabilidad que son predichas de datos históricos. Sin
embargo, para Wang & Shu (2005) cuando los datos estadísticos obtenidos son
poco confiables o no se encuentran disponibles, los modelos basados en la
determinación de distribuciones de probabilidad no son la mejor opción. Debido a
esto, la programación matemática difusa (PMD) toma relevancia en la modelación
de las CS bajo incertidumbre.
Un banco de alimentos (BA) es una institución no lucrativa que forma parte de una
cadena de suministro de alimentos (CSA) y que tiene como misión ser un puente
entre el alimento donado por organizaciones y las familias con escasos recursos
que necesitan de ese alimento.
Típicamente, una empresa con fines de lucro tiene como parte de sus objetivos
principales satisfacer las necesidades del cliente por medio de un sistema de
operación eficaz y eficiente, por lo que un proyecto de mejora en su(s) eslabon(es)
de la CS, buscará utilizar modelos que permitan minimizar costos, maximizar la
calidad de servicio, minimizar el número de quejas, maximizar el número de
clientes atendidos, entre otros. Sin embargo, los BA cuentan con una lista
bastante grande de “clientes cautivos” por lo que sus necesidades más urgentes
se deberán enfocar en contar con suficiente oferta de alimento, entregar el
alimento lo más rápido posible, entregar dietas (despensas) nutricionalmente
completas y que sus procesos de asignación de alimentos se hagan
adecuadamente.
La contribución de esta investigación radica en proponer un novedoso modelo
matemático de asignación-empaque de despensas personalizadas que integra
simultáneamente dos enfoques diferentes: nutricional y logístico. Debido a que
algunos parámetros del modelo no pueden manejarse de forma exacta, se
considera el uso de la PMD para modelar la incertidumbre de la información en
dichos parámetros. En nuestro sistema propuesto de asignación de alimento a
3
familias beneficiarias incluimos un método interactivo que incluye la opinión del
tomador de decisiones (TD) del BA en la búsqueda de una mejor solución del
modelo que involucre la evaluación de algunos indicadores de calidad en la
configuración de despensas que son de interés para los BA.
1.2 Definición del problema.
La CS en BA está formada principalmente por tres niveles (eslabones) como se
observa en la Figura 1.1. En el contexto de una CS, el problema estudiado en
esta investigación se analizó tomando en cuenta información generada en los tres
eslabones: proveedores (donaciones), centro de distribución (BA) y clientes
(familias beneficiadas).
Figura 1.1 Representación general de la cadena de suministro en bancos de alimentos.
Con la implementación de nuestro modelo de asignación-empaque por familia, se
espera que los BA puedan monitorear el impacto nutricional que tendrá cada
familia con el alimento que está recibiendo cada una. Como se observa en la
Figura 1.2, el resultado de nuestra investigación busca que los BA cuenten con un
modelo que permita distribuir el alimento donado a través de despensas
personalizadas por medio de contenedores basada en la disponibilidad y
características dimensionales y nutricionales de los alimentos y en los
requerimientos energéticos de las familias atendidas.
4
Figura 1.2 Características del modelo actual versus modelo propuesto de distribución de alimento
para bancos de alimentos.
Por lo expuesto anteriormente, se pretende que los BA puedan contar con un
modelo que les permita modificar su sistema de distribución actual (Figura 1.3) de
alimento a las comunidades, en donde generalmente el producto es enviado a
granel a cada comunidad considerando únicamente la disponibilidad de productos
y las cantidades (kilogramos) requeridas por cada comunidad (en donde se
reparte equitativamente el producto) a un sistema de distribución que considere la
configuración de las dietas (despensa) para cada familia de forma personalizada,
basados en la disponibilidad de cada tipo de alimento, el costo máximo permitido
de la despensa, capacidades (peso y volumen) de contenedores para
transportación de cada despensa y la demanda de alimento requerida por cada
familia (medida en cantidad y requerimiento nutricional).
5
Figura 1.3 Sistema actual de asignación-distribución de alimento en bancos de alimentos
en México.
Bajo este escenario, se establece la siguiente pregunta de investigación: ¿es
posible plantear un modelo matemático que permita configurar una dieta
(despensas) con características diferentes (tipo de producto, cantidad asignada)
que sean asignadas a diferentes clientes (familias) tomando en cuenta
restricciones de oferta disponible de producto (alimento), condiciones nutricionales
de productos (aporte energético y grupo nutricional), dimensionales (peso y
volumen) y de costo de la dieta (despensa)?
Por esta razón, nuestra investigación tuvo como objetivo principal la definición de
un modelo que permita a los BA definir la cantidad y tipo de cada alimento que
deberá tener una despensa asignada a una familia. Este objetivo se pretende
lograr a través del diseño de un modelo de PL que tome en cuenta
simultáneamente las características del problema de la dieta y el problema del
empaque de alimentos pero extendiéndolo a un problema de planeación en una
CS de un BA.
6
1.3 Justificación.
Para Rong et al. (2011), a pesar de la relevancia del sector de alimento, la
administración de la cadena de suministro de alimentos (ACSA) ha recibido poca
atención en literatura, y una de las razones se debe a que la ACSA es complicada
para productos alimenticios específicos y por las características propias de este
tipo de procesos; en una CSA que distribuye productos tales como: vegetales,
frutas, lácteos o carne, su manejo y distribución se vuelve todavía más complejo,
debido a la naturaleza perecedera de este tipo de productos.
Un diseño y manejo correcto de una CSA es considerado de suma importancia
para poder entregar el producto en el tiempo especificado, garantizando que el
alimento llegue con la calidad correcta. Un adecuado manejo (refrigeración,
almacenaje, etc.) del alimento también conllevará una disminución en los costos
de operación de la CS, además de garantizar la calidad del producto perecedero,
principalmente. Si además, para los procesos de planificación en la ACSA
incluimos otras características de los alimentos tales como su aporte energético,
grupo nutricional, volumen y peso, la planificación de la cadena de alimentos se
vuelve mucho más compleja.
De acuerdo a las cifras del Consejo Nacional de Evaluación de Política de
Desarrollo Social (CONEVAL, 2009) en México 19,459,204 personas vivían en
condiciones de pobreza alimentaria en nuestro país. Estimaciones de la Secretaría
de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación (SAGARPA,
2009) en México indican que se desperdiciaban diariamente poco más de
veintisiete mil toneladas de alimentos en condiciones de aprovechamiento para
consumo humano. La mayor parte de este alimento no es donado, es confinado en
tiraderos, basureros de centrales de abasto y mercados o simplemente no es
cosechado por los productores en el campo. Con los resultados de este trabajo de
investigación se espera beneficiar al grupo de la población que se encuentra en
pobreza alimentaria y que requiere de despensas personalizadas que satisfagan
los requerimientos nutricionales de cada familia. Utilizando esta propuesta, los BA
7
podrán contar con un modelo de asignación de alimento ágil y que tome en cuenta
las características específicas de cada familia. Finalmente, como resultado de esta
investigación, la comunidad científica interesada en este campo también se verá
beneficiada debido a que el problema de asignación personalizada de alimento en
BA utilizando PL es un área de pocos reportes científicos y por lo mismo, un área
de oportunidad para los intelectuales y profesionales de las carreras afines.
La función de los BA es servir de enlace entre el alimento desperdiciado y las
familias necesitadas del mismo. En éste tipo de instituciones generalmente, los
alimentos obtenidos son seleccionados y se configura una despensa básica,
procurando equilibrar empíricamente con los alimentos disponibles: condiciones
de alimentación y nutrición.
Thomas (2007) considera que aunque existen diferentes formas para distribuir
alimento en forma de despensa en BA, la mayoría de ellas son basadas en los
siguientes dos modelos:
a) Despensa en caja/bolsa de comida estandarizada.
En este modelo se preparan paquetes de alimento para los clientes. La
principal fortaleza de este modelo radica en su “equidad”, es decir, cada
familia recibe más o menos los mismos productos, y de tal forma es
posible “controlar” el balance nutricional del paquete de comida que
recibe el cliente. Sin embargo, este modelo se encuentra limitado a los
productos que recibe en donación el BA por lo que lo obliga a comprar
alimento faltante o limitar el número de beneficiarios atendidos.
b) El cliente selecciona la despensa.
Este modelo se basa en la idea de permitir que cada cliente escoja su
propia comida. Los clientes seleccionan la comida como si fuera una
tienda de abarrotes, con productos almacenados en estanterías y en
congeladores, de los cuales los clientes pueden llenar su caja o bolsa.
Sin embargo, la desventaja con estos dos tipos de modelos radica en que no es
posible realizar una asignación controlada de alimento sujeta a los requerimientos
8
energéticos y nutricionales específicos de cada familia beneficiaria, y además,
hasta el momento no fueron encontrados en la literatura especializada estudios de
modelos matemáticos utilizando PL para la configuración y asignación de dietas
(despensas) personalizadas en el contexto de un problema de planeación en una
CS de BA basados en alguno de estos dos modelos u en otros. Por otro lado, en
la revisión de la literatura de estudios relacionados a BA se ha encontrado que la
investigación en este tipo de organización también ha sido muy limitada y aunque
existen algunas investigaciones que estudian el problema de asignación de
alimentos en BA, éstos consideran solamente un enfoque nutricional o logístico de
forma separada, además, ninguno de ellos incluyen el manejo de la incertidumbre
en la información de los modelos propuestos.
Por otro lado, aunque las características del problema de la dieta (PD) o llamado
también el problema de la mezcla de alimento (PMA) ha sido ampliamente
estudiado en la literatura por diferentes métodos [(Abd Rahman et al. (2010)], el
problema tiene como principal objetivo la minimización del costo de la dieta al
considerar la cantidad del alimento i que deberá ir en la dieta de un ser vivo. En la
revisión de la literatura realizada, no se encontraron estudios de dicho problema
que consideren la configuración de dietas asignadas a diferentes clientes (familias)
ni la restricción de oferta de cada producto que formará parte de la dieta. Por otro
lado, Abd Rahman et al. (2010) consideran que el uso de la PMD (método híbrido
de PL + Lógica Difusa) para resolver el PMA tiene un gran potencial para futuras
investigaciones.
Este trabajo de investigación presenta un modelo de programación lineal entera-
mixta (PLEM) que permite realizar asignaciones de alimentos en un BA a través
de despensas a familias con características y necesidades diferentes. La
originalidad del modelo radica en el planteamiento y solución de un nuevo
problema que integra simultáneamente parámetros y restricciones nutricionales y
logísticas que han sido estudiados en problemas de forma separada. Por medio
de nuestro modelo el TD en un BA podrá realizar asignaciones de alimentos
9
considerando restricciones relacionados al manejo de alimentos en una CS
(disponibilidad de alimento, costo de despensa, cantidad y peso demandado de
alimento, preservación del alimento por medio de contenedores, etc.) y
nutricionales (aporte energético de alimentos, requerimiento energético de
familias, cantidad de producto perecedero, cantidad mínima requerida por grupo
nutricional). Debido a que cierta información del proceso y las características de
algunos alimentos no pueden ser conocidas de forma precisa o resulta
aproximada, nuestra investigación propone un modelo de PMD para incluir dicha
incertidumbre en la información de algunos parámetros del modelo. Esta
investigación considera además, una metodología que permitirá a los BA poder
seleccionar la mejor solución del modelo difuso basado en el grado de satisfacción
global de parámetros de calidad en despensas definidos por la misma
organización.
1.4 Objetivo general.
Desarrollar un modelo de PLEM para la asignación-empaque de alimentos en
despensas personalizadas sujeto a restricciones nutricionales y logísticas.
1.5 Objetivos específicos.
Analizar la solución del modelo determinístico en eficiencia computacional y
características nutricionales y logísticas de las despensas.
Analizar la solución del modelo difuso (utilizando números difusos
triangulares) en eficiencia computacional y características nutricionales y
logísticas de las despensas.
Incluir la opinión del TD en los BA por medio de indicadores de calidad en
despensas y el uso de funciones de membresía lineales y distribuciones de
probabilidad.
Realizar un análisis comparativo entre la solución de modelo determinístico
y el modelo difuso.
Realizar un análisis comparativo entre la solución del modelo mono-objetivo
y el modelo bi-objetivo.
10
Aplicación en campo del modelo de asignación-empaque de despensas
personalizadas para BA.
1.6 Hipótesis general.
Mediante un modelo matemático de asignación-empaque de despensas
personalizadas para BA se obtiene la asignación ágil y adecuada de alimentos a
familias beneficiarias con características diferentes considerando simultáneamente
incertidumbres nutricionales y logísticas e integrando la opinión del TD del BA en
la búsqueda de una mejor solución del modelo difuso.
1.7 Alcance de la investigación.
Se siguió un proceso de investigación del tipo abductivo con el fin de detectar las
desviaciones obtenidas entre lo planteado y lo obtenido de manera cíclica durante
la realización de este proyecto. El alcance de la investigación fue del tipo
explicativo debido a que se encuentran y se explican los efectos de la relación
entre las variables bajo estudio. Nuestro diseño de la investigación fue
experimental, debido a que el modelo de asignación-empaque de despensas
personalizadas se validó en estudios de campo a través de varios experimentos.
Nuestra propuesta de asignación-empaque de despensas personalizadas puede
ser tomada como referencia para ser utilizada en cualquier organización que
recolecte alimento donado para distribuirlo a familias en pobreza alimentaria.
1.8 Contribución original.
La contribución general de éste trabajo de investigación se encuentra en la
propuesta de un nuevo modelo de PLEM para la asignación-empaque de alimento
resuelto de forma determinística pero también de forma difusa y que además
considera simultáneamente un enfoque nutricional y logístico que es aplicado a un
tipo de organización que ha sido poco estudiada en la literatura y en donde la
opinión del TD resulta muy importante en las decisiones de tipo operacional
involucradas en la CSA de cualquier BA.
11
Las contribuciones particulares son:
Un modelo de PLEM de asignación-empaque de despensas personalizadas
que permite a los BA realizar una distribución controlada del alimento
tomando en cuenta la disponibilidad de alimento, las características
particulares de cada familia beneficiaria y otras restricciones nutricionales y
logísticas.
Un análisis estadístico comparativo de las características nutricionales y
logísticas de las despensas configuradas con el modelo matemático
propuesto con un enfoque logístico (objetivo 1), enfoque nutricional
(objetivo 2) y/o ambos enfoques de forma simultánea.
El manejo de la incertidumbre en la información de algunos parámetros del
modelo de asignación-empaque a través de la PMD y un análisis
comparativo de las características nutricionales y logísticas de las
despensas configuradas a partir de un modelo determinístico y un modelo
difuso.
La incorporación de un método interactivo para la búsqueda de una mejor
solución del modelo difuso que involucre la opinión del TD a través del
análisis de indicadores de calidad en despensas que son de interés para los
BA.
Finalmente, los modelos propuestos en esta investigación fueron probados con
datos proporcionados por un BA del occidente de México (anexo 1) lo que permitió
validar el buen desempeño del modelo de asignación-empaque de despensas en
condiciones de operación reales.
1.9 Organización de la tesis.
Este trabajo de investigación ha sido organizado en cinco capítulos. En el Capítulo
1, la introducción, se le informa al lector sobre la relevancia del modelo
matemático en la CS y el uso de los modelos difusos para considerar la
incertidumbre en la CS. Se explica la importancia de los BA y su rol principal como
12
parte de una CSA. Este capítulo define también el tema de investigación
estableciendo la hipótesis del trabajo y se detalla la justificación y los objetivos
como consecuencia del tema de investigación. En el Capítulo 2 se presenta una
revisión de estudios previos encontrados en la literatura especializada que
consideran algunas características de nuestro problema pero de forma
independiente y que se clasificaron en cuatro tipos de problemas: problemas de
manejo y distribución de alimento en BA, problemas de planeación en la CSA, el
problema de la dieta y el problema de empaque. Además, se explica cómo ha
sido modelada la incertidumbre en CS por medio de la PL y se presenta un
resumen de las investigaciones encontradas que modelan la incertidumbre en
problemas de planeación en la CS con PMD. Finalmente, este capítulo concluye
con un análisis crítico de la literatura revisada. En el Capítulo 3 se muestra el
procedimiento de investigación empleado al detallar los modelos matemáticos
utilizados para resolver el problema de asignación-empaque de despensas
personalizadas presentado en este trabajo de investigación. Las contribuciones
principales de esta investigación también son tratadas en este capítulo. El Capítulo
4 presenta los resultados experimentales obtenidos. Se concluye con el Capítulo
5 que describe las conclusiones principales de este trabajo. Los anexos del trabajo
contienen las publicaciones desarrolladas.
13
CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 Introducción.
En el presente capítulo se resumen los estudios previos encontrados que
comparten algunas de las características presentes en nuestro modelo de
asignación-empaque de despensas personalizadas pero que son consideradas de
forma separada, además, se explica la forma en la que puede ser modelada la
incertidumbre de la información (estocástica y difusa) en problemas de PL y se
muestra un resumen de investigaciones con algunos problemas similares al
nuestro que integran la incertidumbre en sus modelos a través de la PMD. Por
último, éste capítulo concluye con una síntesis y análisis crítico de la literatura
revisada.
2.2 Problemas con características similares abordados en la literatura.
En la revisión realizada en la literatura especializada se encontraron los siguientes
tipos de problemas que comparten solamente algunas de las características del
problema presentado en esta investigación pero que han servido como referencia
para nuestro modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas por
familia.
2.2.1 Manejo y distribución de alimento en bancos de alimentos (BA).
En Cotugna et al. (1994) presentan un método de evaluación de resultados para
demostrar a los donantes el impacto que tienen sus donaciones al BA de
Delaware en Estados Unidos. Basado en una lista de alimentos donados en un
mes, se calculó el número de personas que podrían contar con el número mínimo
recomendado de porciones por día para cada grupo de alimentos (en términos de
la guía de la pirámide alimenticia del departamento de agricultura de Estados
Unidos). Como parte de los resultados se identificó que la mayor cantidad de
alimentos distribuidos por el BA fueron pan, cereal, arroz y pasta; concluyen que
solamente con éste grupo de alimentos podría satisfacerse las porciones
recomendadas para más de 6,000 personas al día. El artículo pretende que los
14
resultados obtenidos sean utilizados por el BA para demostrar a los donadores y
proveedores de productos el impacto potencial del programa de donaciones y el
uso cualitativo y cuantitativo de sus donaciones.
Paulhamus & Cotugna (1998) desarrollaron un método usando una hoja de cálculo
para convertir la cantidad de alimentos disponibles en porciones de alimentos
basados en la Pirámide de Alimentos Básicos (Food Guide Pyramid); establecen
que su método puede ser usado para hacer predicciones de requerimientos de
alimentos y, a su vez ajustar los tipos de alimentos que se necesitarán recibir en
donación para futuros períodos. Además del que el modelo propuesto provee un
estimado del número de porciones de alimentos que fueron distribuidos, el método
descrito proporciona información útil de la calidad total de nutrientes en los
alimentos distribuidos y además el número de personas que pueden ser
beneficiadas de los servicios del BA. Su estudio no incluye el empaque de
alimentos en contenedores por lo que no consideran parámetros logísticos como
volumen y/o costo de los alimentos o las características específicas de las familias
atendidas.
Nguyen et al. (2009) presentan un estudio para la simular las operaciones en un
centro de distribución CHOW (Community Hunger Outreach Warehouse) dedicado
a recolectar alimento donado y repartirlo a diferentes cocinas de beneficencia. Se
construyó un modelo programado en el software Arena V.10 para simular la
utilización de dos andenes de recepción de alimento. Los andenes son utilizados
para la carga y descarga de la comida. Una de las cocheras está dedicada a la
carga de la comida en los vehículos de los voluntarios que llevan el alimento a
cocinas de beneficencia. El objetivo del estudio presentado es mejorar el servicio
al cliente al reducir los tiempos de espera de los voluntarios de las cocinas de
beneficencia y de los empleados del CHOW sin requerir personas extras o costos
adicionales. Se realiza un diseño de experimentos para comparar los diferentes
escenarios.
15
Okore-Hanson et al. (2012) realizan un estudio que permite identificar los factores
principales que pueden ser utilizados para predecir efectivamente la demanda
para el Food Bank of Central and Eastern North Carolina (FBCENC). Utilizan la
regresión estándar así como el análisis de regresión paso a paso (stepwise
regression) para modelar la demanda para cada sucursal del FBCENC. Sus
resultados revelan que encontraron diferentes conjuntos de predictores para las
sucursales, lo que indica la naturaleza compleja de la demanda para el FBCENC.
Los resultados de su estudio permitirán al BA mejorar la planeación para sus
inventarios en el futuro.
Sengul et al. (2012) presentan un modelo de programación lineal para obtener la
asignación óptima de alimento donado donde la equidad es considerada en el
problema. En su estudio formulan el modelo como un problema de flujo en una red
con restricciones de capacidad y tratan de asignar el alimento donado
minimizando la desviación de una distribución completamente equitativa. Como
suposiciones del modelo consideran que los parámetros de oferta, demanda y
capacidad son determinísticos además que solo consideran alimentos secos
(alimentos no-perecederos). El modelo propuesto es resuelto utilizando el
software GAMS. En su estudio, no consideran las características nutricionales de
los alimentos ni incluyen parámetros asociados al empaque de alimentos (eje.
volumen de alimentos) o costos. Tampoco consideran la asignación de alimentos
en despensas personalizadas por familia.
2.2.2 Problemas de planeación en la cadena de suministro de alimentos
(CSA).
El manejo y distribución de productos alimenticios resultan complejos sobre todo
cuando se consideran factores como lo es el tipo de producto: perecedero o no
perecedero. Algunas frutas frescas, vegetales, lácteos refrigerados (leche, crema,
queso) y carnes (res, pollo) son ejemplos de productos perecederos que
consideran una baja vida de anaquel debido a su deterioro durante el proceso de
producción y entrega. Alimentos no perecederos son los alimentos que se pueden
16
almacenar sin refrigeración y puede permanecer en el estante de la despensa por
un período indefinido de tiempo, la mayoría de alimentos no perecederos tienen
una leyenda de "mejor usar por la fecha", pero a menudo se pueden almacenar
durante un año o más. De acuerdo a Bayne (2011), los alimentos no perecederos
se pueden comprar a granel, almacenarlos en los estantes y usar cuando se
necesita.
2.2.2.1 Administración de cadenas de suministro de productos agro-
alimenticios (CSAA).
El término de cadenas de suministro agro-alimenticias (CSAA) ha sido acuñado
para describir las actividades desde producción a la distribución que traen los
productos agrícolas u hortícolas [Aramyan et al. (2006)] de la granja a la mesa. A
diferencia de otras cadenas de suministro de alimentos como lácteos, carnes, etc.,
la CSAA distribuyen productos agrícolas que son obtenidos directamente de la
siembra y cosecha de cultivos.
En el contexto de una CSAA, Ahumada & Villalobos (2009) identifican cuatro áreas
funcionales principales: producción, cosecha, almacenamiento y distribución. Las
decisiones en producción incluyen las relacionadas al cultivo, tales como:
asignación de tierra a cada cultivo, tiempo de siembra, determinación de los
recursos requeridos para el desarrollo de los cultivos. Las decisiones relacionadas
con la cosecha consideran el tiempo requerido para la colecta de cultivos de los
campos, determinación de los niveles de recursos necesarios para el desempeño
de esta actividad, programación de equipo, mano de obra y equipo de transporte,
programación del empaque y procesamiento en planta. La función de almacenaje
toma en cuenta decisiones como definir la cantidad de producto a almacenar y
vender en cada periodo de almacenamiento, y la posición del inventario a través
de la cadena de suministro, finalmente, la función de distribución considera casos
como seleccionar el modelo de transporte para llevar los productos al cliente, las
rutas a usar y la programación de embarques para entrega del producto.
17
Ahumada & Villalobos (2009) realizaron una revisión de la literatura en CSAA y
clasificaron los artículos de acuerdo al área funcional de la CS en la que están
impactando. La Tabla 2.1 presenta un breve resumen del análisis realizado.
Tabla 2.1 Estudios realizados en CSAA. Fuente: Adaptado de Ahumada & Villalobos (2009).
Area funcional ModeloTipo de
productoMetodogía utilizada
Producción (Torkamani, 2005) No perecedero Programación estocástica No-lineal
Producción (Bisw as & Pal, 2005) No perecedero Programación por metas difusas
Producción (Visagie, De Kock, & Ghebretsadik, 2004) No perecedero Programación Entera Mixta / Programación del riesgo
Producción (Jones, Low e, & Traub, 2003) No perecedero Programación estocástica
Producción (Recio, Rubio, & Criado, 2003) No perecedero Programación Entera Mixta /Sistema de soporte de decisiones
Producción (Vitoriano, Ortuño, Recio, Rubio, & Alonso-Ayuso, 2003) No perecedero Programación Lineal / Programación Entera Mixta
Producción (Glen & Tipper, 2001) No perecedero Programación Lineal / Programación Entera Mixta
Producción (Lien & Hardaker, 2001) No perecedero Programación Estocástica / Series de Tiempo
Producción (Ekman, 2000) No perecedero Programación Estocástica
Producción (Itoh, Hiroaki, & Teruaki, 2003) Frescos Programación Lineal / Programación difusa
Producción (Romero, 2000) Frescos Programación de riesgos
Cosecha (Higgins & Laredo, 2002) No perecedero Programación Entera Mixta / Búsqueda tabú
Cosecha (Ferrer, MacCaw ley, Maturana, Toloza, & Vera, 2008) Fresco Programación Lineal / Programación Entera Mxta / Heurístico de relajación
Cosecha (Caixeta-Filho, 2006) Fresco Programación Lineal
Cosecha
(Berge ten, Van Ittersum, Rossing, Van de Ven, Schans, & Van
de Sanden, 2000) Frescos Programación Lineal Multiobjetivo
Producción / Almacenaje / Distribución (Rantala, 2204) Frescos Programación Lineal / Programación Entera Mixta
Producción / Almacenamiento (Maatman, Schw eigman, Ruijis, & Van der Vlerk, 2002) No perecedero Programación Estocástica
Producción / Almacenamiento (Widodo, Nagasaw a, Morizaw a, & Ota, 2006) Fresco Programación Lineal / Funciones de crecimiento y pérdida.
Producción / Cosecha (Kazaz, 2004) Frescos Programación Estocástica / Optimización no-Lineal
Producción / Cosecha (Allen & Schuster, 2004) Frescos Optimización no-lineal
Producción/Cosecha (Darby-Dow man, Barker, Audsley, & Parsons, 2000) Frescos Programación Estocástica
Todas (Apaiah & Hendrix, 2005) No perecedero Programación Lineal
Todas (Gigler, Hendrix, Heesen, Van den Hazelkamp, & Meerdink, 2002) No perecedero Programación Dinámica
Entre sus conclusiones se encuentran: 1) el uso de modelos que integren las
diferentes áreas funcionales en la CSAA aún se encuentra muy limitado, 2) los
modelos de planeación que consideran productos perecederos muy seguido fallan
al incorporar una realidad estocástica, 3) existe un limitado número de modelos
que traten con la planeación operacional, 4) finalmente, consideran que los
modelos de planeación agrícola se han enfocado a productos no-perecederos
principalmente.
2.2.2.2 Modelos de planeación en una CSA según el área funcional de
aplicación.
De acuerdo a Fleischmann et al. (2005), la planeación es una actividad que
soporta la toma de decisiones al identificar alternativas potenciales y tomar la
mejor decisión de acuerdo a los objetivos de los planeadores. En su estudio
18
dividen las actividades de la cadena de suministro dentro de cuatro áreas
funcionales: compras, producción, distribución y ventas. A continuación, se
presenta una clasificación de modelos en el contexto de una CSA de acuerdo al
tipo de planeación en la que se encuentran involucrados.
Planeación integral de la CSA.
En Zarei et al. (2011) presentan un método integrado por lógica difusa, AHP
(Analytic Hierarchy Process) y QFD (Quality Function Developement) para lograr
una cadena de alimento más esbelta. Al vincular atributos esbeltos (lean
attributes, LAs) y facilitadores esbeltos (lean enablers, LEs), el estudio propuesto
se basa en la metodología QFD, la cual permite identificar las LEs más apropiadas
para implementar en la administración de la cadena de suministro de alimentos.
Los atributos esbeltos (LAs) representan en el modelo los requerimientos de la
compañía y aparecen como los “Qué” en la casa de la calidad mientras que los
facilitadores esbeltos (LEs) aparecen como los “Cómo” dado que son
consideradas como herramientas prácticas que la compañía puede utilizar para
lograr que la cadena de suministro logre ser esbelta. La lógica difusa es utilizada
en el modelo para representar los juicios lingüísticos que expresan la importancia
relativa de los atributos esbeltos (LAs) como también las relaciones y
correlaciones requeridas en la casa de la calidad.
Georgiadis et al. (2005) utilizan la metodología de dinámica de sistemas como una
herramienta para analizar y abordar cuestiones estratégicas en una cadena de
suministro de alimentos multi-eslabones. Por medio del modelado dinámico, los
autores analizan políticas de planeación de la capacidad para una red multi-
eslabón de suministro de comida rápida en Grecia con flujos transitorios debido a
parámetros y restricciones del mercado.
Reiner & Trcka (2004) proponen un modelo que permite mejorar el desempeño de
una cadena de suministro al considerar que las características de una cadena de
suministro robusta ideal depende de la situación de la incertidumbre en la
19
demanda (ejemplo: demanda suavizada, volatil, etc.). Se utilizó un modelo de
simulación para medir y analizar los efectos en el desempeño (trabajo en proceso,
tiempos de entrega, etc.) en diferentes escenarios de configuración de la cadena.
Se usó el simulador ProcessModel para simular en detalle el proceso de
producción y el proceso de cumplimiento de órdenes, y por otro lado, se utilizó el
Matlab para simular la cadena de suministro. El modelo de evaluación de
alternativas propuesto fue aplicado en una empresa de tamaño mediano que
manufactura una gran variedad de productos de pasta. Como parte de los
resultados de la investigación concluyen que algunos enunciados universalmente
aceptados no son del todo ciertos, como por ejemplo, que el “efecto látigo” no
siempre se reduce en cadenas de suministro más cortas.
En Minegishi & Thiel (2000) muestran cómo la dinámica de sistemas contribuye a
entender el comportamiento logístico complejo de una cadena de alimentos
integrada. El modelo de simulación es aplicado al campo de producción y
procesamiento de aves de corral. La metodología propuesta en el artículo es
aplicada para analizar las consecuencias de infección de dioxina a la cadena de
suministro de la industria del pollo y además se brindan algunas recomendaciones
a los gerentes bajo diferentes escenarios.
Planeación de la distribución en CSA.
En Gong & Fu (2010) presentan un modelo multi-objetivo para el problema de
distribución de alimentos perecederos en el que utilizan el problema de ruteo de
vehículos con ventanas de tiempo. El modelo incluye los costos fijos de vehículos,
costos de operación y costos de pérdidas por vida de anaquel. Con el objetivo de
reducir el costo de distribución para cumplir con las visitas en cada ventana de
tiempo, el artículo presenta un algoritmo de optimización por colonias de hormigas
con clasificación de clientes de tipo ABC para resolver el modelo propuesto. Los
resultados obtenidos con el algoritmo propuesto indican una reducción en el
tiempo de obtención de los resultados de 20.8% y una reducción del costo de
distribución de 15.9%.
20
En Osvald & Zadnik (2008) presentan un modelo para la distribución de vegetales
frescos en el que consideran lo perecedero del producto como parte de costo de
distribución total. El problema fue planteado como problema de ruteo de
vehículos con ventanas de tiempo y dependiente del tiempo de viaje. El tiempo de
viaje entre dos puntos depende de la distancia y la hora del día. Para resolver el
problema, se utilizó el método heurístico basado en búsqueda Tabú. El modelo
fue aplicado utilizando parámetros del mercado de alimentos esloveno.
Hsu et al. (2007) desarrollan un modelo para la entrega de productos perecederos
a diferentes clientes desde un centro de distribución. El objetivo del modelo
consiste en minimizar los costos fijos por el envío de vehículos, costos de
transporte, inventario, energía y costos de penalidad por no entregar el producto
en la ventana de tiempo señalada. El artículo presenta un problema de ruteo de
vehículos con ventanas de tiempo que considera la aleatoriedad en el proceso de
entrega de alimento. El resultado del modelo indica las rutas óptimas, cargas,
envío de la flota de vehículos y los tiempos de salida de los productos
perecederos. Como parte de la investigación, el artículo discute el tiempo de viaje
y la variación de temperatura durante el día e incluye estas variables en el modelo.
Los resultados obtenidos indican que el costo de inventario y los costos de energía
influyen significativamente en el costo total de entrega.
Tarantilis & Kiranoudis (2002) proponen un problema de distribución de alimento
como un problema de ruteo de vehículos multi-almacén que es aplicado a la
distribución de carne fresca de múltiples almacenes a sus clientes (carnicerías)
localizadas en la ciudad de Atenas. Para resolver el problema, los autores
proponen un nuevo algoritmo meta-heurístico de búsqueda estocástica llamado
algoritmo de aceptación de umbral basado en listas (list-based threshold accepting
(LBTA) algorithm).
21
Tarantilis & Kiranoudis (2001) proponen un algoritmo para resolver el problema de
distribución de leche fresca para una compañía de Grecia. El problema fue
formulado como un problema de ruteo de vehículos de flota fija heterogénea que
debido a su complejidad computacional se desarrolló un algoritmo basado en
aceptación de umbral (threshold-accepting based algorithm) para que la compañía
pueda programar su distribución varias veces por semana.
Planeación de la producción en CSA.
Borghi et al. (2009) proponen un modelo de programación lineal entera mixta en el
cuál su principal objetivo consiste en minimizar las pérdidas de frutas y vegetales
que sucede durante su almacenamiento en centros de distribución. El modelo
presenta la variable de decisión como variable binaria que considera si
producto i debe ser designado a la zona j. Se considera dos zonas: un depósito
externo, sujeto a la temperatura del cuarto, y la cámara de refrigeración, que es
mantenida en una temperatura pre-establecida. El objetivo principal del estudio es
verificar la influencia de la temperatura en la logística de almacenamiento de las
frutas y verduras en los centros de distribución para modelar la óptima distribución
de los productos y minimizar el costo relacionado a su almacenamiento. Se
consideraron tres restricciones en el modelo: (1) cada producto debe ser asignado
a una zona específica, (2) la capacidad de almacenamiento de la zona no puede
ser excedida y (3) el tiempo que el producto i permanece en la zona j no puede
exceder la calidad de preservación de ese producto. El modelo fue resuelto con
el software CPLEX, y realizaron simulaciones considerando diferentes
temperaturas de almacenamiento y el mismo costo de U$1.00 por cada producto
analizado (apio, lechuga, ciruela, betabel, durazno, tomate, pimiento, perejil, uva)
permitiendo minimizar el costo relacionado al almacenaje.
En Cai et al. (2008) se presenta un problema en donde diariamente un
manufacturero de productos del mar recibe una cierta cantidad de pescado, que
puede ser procesado en diferentes tipos de productos marítimos. Para eso,
formularon un modelo capaz de unir decisiones de selección-programación que
22
toma en consideración: márgenes de utilidad por producto específico,
requerimientos de tiempo de procesamiento estocásticos (exponencial), y
restricciones de materia prima y tiempo. El objetivo del modelo es minimizar el
costo total esperado al determinar una solución óptima a considerar tres
decisiones: (1) el conjunto de trabajos (productos) que serán seleccionados para
procesar; (2) la cantidad de tiempo máquina que será utilizado para procesar cada
trabajo seleccionado; y (3) la secuencia para seleccionar los trabajos
seleccionados en la máquina. Para obtener la solución óptima se deberán de
considerar las siguientes restricciones (i) la limitante de material y (ii) el tiempo
límite para completar (fabricar) los productos. Los autores consideran que su
modelo puede ser considerado en dos tipos de categorías: el de la mochila
estocástico y de programación (schedulling) estocástico. Se considera estocástico
debido a que el tiempo de procesamiento de cada unidad del tipo de producto j
sigue una distribución exponencial. La decisión de la selección de producto es un
problema estocástico y después de que los productos para ser procesados son
seleccionados, la decisión de secuenciación es un problema de programación
(schedulling) estocástica. Las etapas para lograr la solución óptima fueron:
encontrar el programa de producción óptimo, entonces, considerar la selección
óptima de tipos de productos y por último la asignación de tiempo máquina
tomando en cuenta la selección del tipo de producto y el programa de producción.
Gopakumar et al. (2008) enfocaron su investigación en el proceso de recepción de
alimento de un centro de distribución. Apoyado en el software Arena de simulación
de eventos discretos modelaron el sistema actual de operación e identificaron las
ineficiencias operativas (actividades que no agregan valor) por medio de un Value
Stream Mapping (VSM). La investigación se enfocó principalmente en reducir el
desperdicio llamado “movimiento” identificado en el proceso de recepción de
alimento del centro de distribución. Fue diseñado un algoritmo de asignación de
andén con la meta de reducir el tiempo de cambio de andén con la entrada de
producto mixto y localizaciones pre-definidas de pasillos de almacenamiento. El
23
algoritmo se enfoca en reducir la excesiva distancia recorrida del andén de
recepción a los pasillos de almacenamiento.
Planeación de la producción-distribución en CSA.
Rong et al. (2011) presentan una metodología en donde modela de forma
integrada la degradación de la calidad en la comida con un modelo de
programación lineal entera mixta que es aplicado en un problema de planeación
de la producción-distribución. La investigación considera la integración de
modelos de degradación de la calidad de productos de forma exponencial o lineal
junto con modelos de planeación de la producción-distribución de un solo producto
basado en un programa de programación entera mixta. El objetivo del problema
de planeación de la producción-distribución consiste en determinar las
temperaturas de almacenaje y transportación a través de la cadena, combinada
con las cantidades de producción y rutas de entrega para los bienes. El costo total
consiste de: costos de producción, costos de transporte, costos de
almacenamiento, costos de refrigeración, costos de eliminación de desperdicios en
casos donde la calidad del alimento cae por debajo de la calidad requerida. La
degradación de la calidad está en función del tiempo cuando los productos son
expuestos al ambiente con una cierta temperatura. El modelo es aplicado a una
cadena de suministro de pimientos de dos eslabones que consiste de un sitio de
producción y cuatro centros de distribución regional. El horizonte de planeación del
modelo es de 14 días y fue resuelto con el software de optimización CPLEX. La
principal contribución del estudio radica en la inclusión de la calidad del producto
en el modelado de cadenas de suministro de alimentos y en la diferenciación del
flujo del producto basado en la calidad del producto.
Chen et al. (2009) proponen un modelo matemático no-lineal que tiene como
objetivo maximizar las ganancias del proveedor. El modelo permite obtener
simultáneamente las cantidades óptimas, el tiempo para el inicio de la producción
y las rutas de los vehículos. El artículo presenta un modelo que considera la
programación de la producción y el ruteo de vehículos con ventanas de tiempo
24
para productos alimenticios perecederos en el mismo modelo. Para resolver el
problema, los autores utilizaron un algoritmo compuesto por el método de Nelder-
Mead restringido y un heurístico.
2.2.2.3 Modelos de planeación en una CSA según el nivel de decisión
aplicado.
Una cadena de suministro de alimentos involucra diferentes niveles de decisiones
jerárquicas que de acuerdo a Simchi-Levi (2003) y Chopra & Meindl (2003)
pueden ser clasificadas como estratégicas, tácticas u operacionales dependiendo
su efecto (en el tiempo) sobre la totalidad de la cadena de suministro. Las
decisiones estratégicas tienen un efecto a largo plazo en la firma. Este tipo de
decisiones incluyen definir el número, localización y capacidad de almacenes y
plantas de manufactura, o el flujo de materiales a través de la red logística. Las
decisiones de nivel táctico incluyen decisiones que son típicamente actualizadas
una vez cada 3 a 12 meses. Estas decisiones consideran decisiones de compras y
producción, políticas de inventarios, estrategias de transportación, incluyendo la
frecuencia con la que cada cliente es visitado. Finalmente, las decisiones de nivel
operacional, se refieren a decisiones del día a día tales como programación
(scheduling), ruteo y carga de camiones (truck loading).
En este contexto, la Tabla 2.2 presenta un resumen de la revisión de la literatura
realizada en este trabajo de investigación en donde se considera el nivel
jerárquico de la decisión y la técnica aplicada para la solución.
25
Tabla 2.2 Clasificación y características de modelos aplicados a CSA. Fuente: elaboración propia.
Modelo Alcance de planeación Problema considerado Técnica aplicada para modelación Aplicación del modelo
(Zarei, Fakhrzad, & Paghaleh, 2011) EstratégicaEvaluación de políticas
aplicadas a la CS
Lógica Difusa + AHP (Analytic
Hierarchy Process) y QFD (Quality
Function Developement)
Industria de productos
enlatados
(Rong, Akkerman, & Grunow, 2011) TácticaPlaneación producción-
distribución
Modelo de programación lineal mixta
resuelto en el software CPLEX
Cadena de suministro de
pimiento
(Gong & Fu, 2010) Operacional Ruteo de vehículosAlgoritmo de colonia de hormigas con
clasificación de clientes ABC
Industria de alimentos
perecederos
(Nguyen, Godbole, Kalkundri, & Lam, 2009) Operacional Asignación de recursos
Simulación de eventos discretos
(Arena - recepción de productos) +
Diseño de experimentos (comparar
escenarios)
Operaciones en un centro
de distribución CHOW
(Community Hunger
Outreach Warehouse)
(Borghi, Guirardello, & Cardozo Filho, 2009) Táctica Asignación de recursosModelo de programación lineal mixta
resuelto en el software CPLEX
Centro de distribución de
frutas y vegetales
(Chen, Hsueh, & Chang, 2009) Táctica
Programación de la
producción + ruteo de
vehículos
Modelo de programación de la
producción con demanda estocástica
de retailers + Problema de ruteo de
ventanas de tiempo
Productos de alimentos
perecederos
(Osvald & Zadnik Stirn, 2008) Operacional Ruteo de vehículos Búsqueda Tabú
Industria eslovenia de
distribución de productos
perecederos
(Cai, Chen, Xiao, & Xu, 2008) TácticaSelección + programación
de productos
Modelo de selección/programación
con tiempos de procesamiento
estocásticos
Manufacturero de
productos marítimos
(Gopakumar, Koli, & Srihari, 2008) Operacional Asignación de recursos
Value Stream Mapping (VSM) +
Simulación de eventos discretos
(Arena) + algoritmo de asignación de
andén
Recepción de alimento
en centro de distribución
(Hsu, Hung, & Li, 2007) Operacional Ruteo de vehículos
Ruteo de vehículos con ventanas de
tiempo y aleatoriedad en la entrega de
producto
Entrega de producto
perecedero
(Georgiadis, Vlachos, & Iakovou, 2005) EstratégicaEvaluación sistémica de
políticas aplicadas a la CSDinámica de Sistemas
Industria griega de
comida rápida
(Reiner & Trcka, 2004) Estratégica
Evaluación del desempeño
de una CS al considerar
incertidumbre en la
demanda
Simulación de eventos discretos
(ProcessModel - modelar proceso de
producción y de cumplimiento de
órdenes) + Matlab ( simular cadena de
suministro)
Empresa que
manufactura productos
de pasta.
(Tarantilis, C.D.; Kiranoudis, C.T., 2002) Operacional Ruteo de vehículos
Meta-heurístico de búsqueda
estocástica llamado algoritmo de
aceptación de umbral basado en listas
(list-based threshold accepting (LBTA)
algorithm).
Empresa de distribución
de carne fresca en
Atenas
(Tarantilis, C.D.; Kiranoudis, C.T., 2001) Operacional Ruteo de vehículos
Algoritmo basado en aceptación de
umbral (threshold-accepting based
algorithm)
Empresa griega de
distribución de leche
(Minegishi & Thiel, 2000) EstratégicaEvaluación sistémica de
políticas aplicadas a la CSDinámica de Sistemas
Industria dedicada a la
producción y
procesamiento de aves
de corral.
De tabla anterior se observa que han sido varios los estudios realizados en
problemas de planeación en CSA y que fueron planteados con diferentes
enfoques de acuerdo al tipo de planeación (operacional, táctica y estratégica). Sin
embargo, estas investigaciones han sido realizadas considerando principalmente
un enfoque y parámetros de tipo logísticos más que con un enfoque nutricional.
2.2.3 Problema de la dieta (PD).
En el estudio de la literatura realizada para esta investigación, se identificó que el
PD propuesto en 1941 por Jerome Cornfield cuenta con características que han
26
servido como referencia para el modelo de asignación-empaque de despensas
personalizadas propuesto en esta investigación.
El PD tiene como meta encontrar la combinación más económica de alimentos
que puedan satisfacer todos los requerimientos nutricionales diarios de una
persona o un animal. De acuerdo a Cadenas et al. (2004), el problema puede ser
formulado como un problema de programación lineal donde el objetivo es
minimizar el costo y satisfacer las necesidades nutricionales (restricciones).
Los parámetros planteados en el modelo lineal son:
= el costo del alimento Aj, j=1,…,n
= cantidad de alimento Aj que se debe de incluir en la dieta, j=1,…,n
= cantidad de nutriente Ni contenido en el alimento Aj, i=1,…,m, j=1,…,n
= cantidad mínima requerida del nutriente Ni, i=1,…,m.
= cantidad máxima requerida del nutriente Ni=, i=1,…,m.
= cantidad mínima requerida del alimento Aj, j=1,…,n.
= cantidad máxima requerida del alimento Aj= j=1,…,n.
Mientras que el modelo matemático del PD formulado como un problema de PL
es:
Min
Sujeto a: Pi, i=1,…,m
, j=1,…,n
Donde las m primeras restricciones indican que la cantidad total de nutrientes en
la dieta no debe ser inferior ni superior a las cantidades mínimas y máximas
permitidas, mientras que las otras n restricciones acotan la cantidad de cada
alimento por las cantidades mínimas y máximas permitidas.
27
Se han propuesto diferentes métodos individuales para la solución del problema:
programación por metas, programación multi-metas, programación multi-objetivo,
programación fraccional multi-objetivo, programación no-lineal, programación de
oportunidad limitada, programación cuadrática, formulación del riesgo y algoritmos
genéticos. Otros autores han utilizado métodos integrados o híbridos para
resolver algunas de estas limitantes.
La Tabla 2.3 resume algunas de los métodos aplicados para el problema de
configuraciones de dietas. En esta tabla se identifica como método individual
cuando se utiliza solo uno de los métodos presentados en el párrafo anterior.
Tabla 2.3 Resumen de métodos aplicados al PD. Fuente: Adaptado de Abd Rahman et al. (2010).
Tipo de método
Método Características del
método Fuente
Individual Programación
Lineal
Considerada como la mejor técnica si todos los precios y valores nutricionales de los alimentos son conocidos y dirige a una solución óptima.
Barbieri & Cuzon (1980), Chakeredza, Akinnifesi, Ajayi, Sileshi, Mngomba, & Gondwe (2008), Glen, J.J. (1980), Htun, Thein, & Tin (2005), Mohr (1972), Munford G. (1989), Munford A. (1996)
Individual Programación
por metas
Ambos métodos tienen la ventaja de manejar múltiples objetivos simultáneamente, incluyendo variabilidad de nutrientes y reduciendo los problemas de desequilibrio nutricional, sin embargo, ninguno de las dos técnicas han podido superar el problema de la variabilidad de precios.
Rehman & Romero (1984), Rehman T., Romero C. (1987),
Individual Programación multi-metas
Lara P., Romero C. (1994), Zgajnar, Juvancic, Kavcic (2009)
Individual Programación multi-objetivos
Lara (1993) considera que el método provee una buena solución en términos de balance de
Bailleul, Rivest, Dubeau, Pomar (2001), Mitani, Nakayama (1997),
28
nutrientes. Pomar, Dubeau, Létourneau-Montminy, Boucher, Julien (2007)
Individual Programación
fraccional multi-objetivo
El método fue desarrollado por Lara (1993) para permitir funciones objetivo fraccionales y lineales. La principal ventaja del método radica en asegurar un óptimo desequilibrio de nutrientes.
Castrodeza, Lara, Peña (2005)
Individual Programación
no-lineal
El método fue usado por el investigador para abordar restricciones no-lineales. Este método da una ventaja al usuario al tomar en cuenta variación en los factores analizados.
Guevara (2004)
Individual Programación de oportunidad
limitada
Consiste en un método no-lineal para la formulación de dietas. El método es recomendado cuando en un modelo determinístico algunos de sus parámetros no son constantes.
Sirisatien, Wood, Dong (2009)
Individual Programación
cuadrática
En Chen (1973) se propuso la PC para maximizar la probabilidad de cumplir con los requerimientos nutricionales, sin embargo, el investigador concluye que el modelo no fue eficiente para problemas grandes.
Chen J. (1973)
Individual Formulación del
riesgo
El autor propuso el modelo como una alternativa para considerar la variabilidad en el problema.
Torres-Rojo (2001)
Individual Algoritmos genéticos
La mayor ventaja de los AG es su efectividad para encontrar la mejor y más cercana solución factible al explorar varias partes de la región factible Hiller &
Furuya, Satake, Minami (1997), Sahman, Cunkas, Inal, Inal, Coskun, Taskiran (2009)
29
Lieberman (2005). Los algoritmos genéticos también son capaces de manejar múltiples objetivos y proveen un marco compatible que es fácil de combinar con otras técnicas de optimización [Fogel (1997), Sivanandam & Deepa (2009)]
Integrado Programación Lineal + Difusa
Método recomendado cuando no existe un conocimiento perfecto de todos o algunos datos. Este método es uno de que tienen mayor potencial de investigación en el problema de la dieta [Abd Rahman, Ang, Ramli (2010)]
Cadenas J.M., Pelta, Pelta, Verdegay (2004)
Integrado Algoritmos genéticos +
Difuso
La combinación de estas técnicas ofrece la ventaja disminuir las iteraciones y tener una menor oportunidad de quedar atrapado en estados prematuros.
Fa-Chao & Chen-Xia (2008)
El análisis anterior indica que es más popular el uso de métodos individuales que
integrados. Aunque la PL resulta ser el método más utilizado cuando se tiene
información precisa de los parámetros, en muchas ocasiones, restricciones no-
lineales, variación o desconocimiento en los valores de los parámetros,
desequilibro en los nutrientes, obligan a considerar otras técnicas para abordar el
PD o también llamado el PMA.
2.2.4 Problema de empaque.
Los Problemas de Empaque (Packing Problems) es una clase de problema de
optimización que implica empacar objetos juntos (dentro de un contenedor), tan
densamente como sea posible. Este tipo de problemas pueden estar relacionados
a situaciones de la vida real de almacenamiento y transporte. El problema radica
30
en definir cuántos de los mismos objetos son necesarios para cubrir todas las
regiones del contenedor.
En el problema de empaque, se cuenta con la siguiente información: los
contenedores normalmente consisten en una sola región convexa de dos o tres
dimensiones, o en algunos casos de espacio infinito. Los artículos usualmente de
un solo tipo de forma, algunos o todos de los cuales pueden ser empaquetados
dentro del contenedor.
En Juraitis et al. (2006) consideran que existen diferentes variantes del problema
de carga de contenedores dependiendo de la función objetivo y las restricciones
aplicadas a las cajas empacadas: empaquetamiento en tiras (strip packing), carga
de mochila (knapsack loading), empaque de recipientes (bin-packing), carga de
multi-contenedores (multi-container loading). En este tipo de problemas, se puede
tener dos tipos de sub-problemas: los homogéneos (contenedores consisten de
cajas idénticas) y los heterogéneos (son usados diferentes tipos de cajas). Las
características generales de cada tipo de problema se resumen en la Tabla 2.4.
Tabla 2.4. Tipos de problema de empaque. Fuente: resumido de Juraitis et al. (2006).
Strip packing problem
Knapsack problem
Bin packing problem
Multi-container loading problem
Todos los artículos tienen que ser empacados dentro de un solo contenedor (recipiente), el cuál sin embargo, tiene una longitud infinita. El problema entonces consiste en encontrar una solución factible tal que la longitud en la que el recipiente lleno sea minimizado.
Cada artículo tiene asociado un beneficio, y el problema consiste en seleccionar un subconjunto de los artículos que ajusten dentro de un solo contenedor (recipiente) para que el máximo beneficio sea considerado. Si el beneficio de un artículo es considerado como el volumen, entonces el
Todos los artículos están empacados dentro de contenedores, pero en contraste al problema de carga de contenedores, todos los recipientes tienen dimensiones finitas, y el objetivo es encontrar una solución usando el más pequeño número de recipientes.
Los contenedores pueden tener diferentes dimensiones y el objetivo consiste en seleccionar un subconjunto de los contenedores, en donde obtengamos el costo mínimo de transporte.
31
problema corresponde a la minimización del espacio desperdiciado.
El problema de la mochila (knapsack problem) es un problema de programación
entera binaria con una sola restricción. Sin embargo, Hill & Hiremath (2007)
refieren que debido a la naturaleza compleja de las aplicaciones industriales, se
han ido agregado otro tipo de restricciones al problema como urgencia de
solicitudes, prioridades, ventanas de tiempo de la solicitud, empaques con
diferentes requerimientos de peso y volumen.
El modelo de programación lineal para este tipo de problema es:
Sujeto a:
La variedad de aplicaciones que puede tener el problema de la mochila ha generado la extensión del mismo en diferentes variantes resumidas en la Tabla 2.5.
Tabla 2.5. Variantes del problema de la mochila. Fuente: Resumido de Hill & Hiremath (2007).
Variante Descripción Objetivo Modelo Tipo de variable de decisión
Problema de la mochila multidimensional
Un conjunto de n artículos son empacados en m mochilas con capacidad i. Cada artículo j tiene una utilidad pj y un peso asociado Wij con la colocación del
Maximizar la utilidad total de
los artículos seleccionados.
Sujeto a:
, i=1,…,m
32
artículo en la mochila i.
Problema de la mochila múltiple
Dado n artículos, se busca empacarlos en m mochilas con capacidades ci, i={1,…,m}. Cada artículo j tiene una utilidad pj y peso j. El problema consiste en seleccionar i m subconjuntos de artículos, tal que el subconjunto i se ajuste a la capacidad ci de la mochila i.
Maximizar la utilidad total de
los artículos seleccionados y localizados en las mochilas.
Sujeto a:
, i=1,…,m
, j=1,…,n
i
Problema de la mochila de selección múltiple
El modelo agrega restricciones desarticuladas de selección múltiple. Dadas m clases mutuamente desarticuladas (N1, …,Nm) de artículos, se busca empacar artículos representativos de esas clases desarticuladas dentro de una sola mochila con capacidad c. Cada
artículo j ϵ
tiene utilidad
y un peso
.
Maximizar la utilidad de una
solución factible
Sujeto a:
33
Problema de la mochila multi-selección y multi-dimensional
Considera m clases de artículos, donde cada clase tiene ni artículos. Cada artículo j de clase i tiene un valor de beneficio Pij, y requiere recursos dados por el vector de peso wij=(wij1, wij2, …, wijl). La cantidad de recursos disponibles son dados por el vector c = (c1, c2,…,cl). El modelo selecciona un artículo de cada clase.
Sujeto a:
, k
,
i
Por otro lado, en la revisión realizada de la literatura en el contexto del problema
de empaque de alimentos (PEA), Robertson (2006) considera que la principal
función del empaque de alimentos es la protección y preservación de la
contaminación externa. Este objetivo involucra retardar el proceso de deterioro del
alimento, mantener la calidad y seguridad del elemento empacado y la extensión
de la vida de útil del producto. Brody et al. (2008) consideran que las tres áreas
principales de cambios en el empaque de alimentos son: una mayor tendencia
hacia empaques sustentables, un mayor uso de relaciones en la cadena de valor
para una mayor ventaja competitiva y en la evolución del empaque para servicios
alimentarios.
En el análisis de la literatura se encontraron los siguientes estudios que
consideran el problema de la mochila en el contexto del manejo y distribución de
alimentos. Karuno et al. (2010) analizaron un problema de optimización
combinatoria bi-criterio lexicográfico derivado en dos tipos de sistemas de
34
empaque de alimento de doble capa: sistema vertical y diagonal. La primera y
segunda capa del sistema consisten en n tolvas pesadoras y n tolvas inyectoras
(booster hoppers), respectivamente. El objetivo principal del problema de
empaque de alimento bi-criterio consiste en minimizar el peso total de los
productos escogidos para cada empaque, buscando que el total de peso no
exceda un peso objetivo especificado llamado T. El segundo consiste en
maximizar la prioridad total de los artículos seleccionados para cada empaque
para que los productos con mayor duración sean los que preferentemente sean
escogidos. La prioridad de un artículo es dada por su duración en la tolva. El
sistema de empaque vertical no puede seleccionar un artículo directamente de
una tolva pesadora, solamente de la tolva inyectora. El sistema de empaque
diagonal puede seleccionar el artículo directamente de la tolva pesadora para su
empaque no importa si se escoge o no el artículo actual en la siguiente tolva
inyectora. Sin embargo, el sistema de empaque vertical no puede seleccionar dos
artículos de cualquier ranura (tolva pesadora + tolva inyectora) para un empaque.
Para resolver los dos tipos de sistemas de empaque (vertical y diagonal), los
autores propusieron algoritmos de tiempo basados en programación dinámica y
los experimentos realizados indican que los métodos propuestos tienen un efecto
significativo en reducir la duración máxima de los productos en las tolvas.
La investigación realizada por Imahori et al. (2010) analizan un problema de
optimización combinatoria bi-criterio para un sistema de empaque de productos
alimenticios. El sistema de operación de empacado permite realizar empaques de
dos en dos. El sistema selecciona los actuales productos de las tolvas sin conocer
los pesos de los siguientes artículos. El objetivo principal del modelo es minimizar
el peso total de peso de los artículos seleccionados en los dos empaques,
haciendo que el total de peso de cada empaque no sea menor que un peso
objetivo T. El segundo objetivo consiste en maximizar la prioridad total de los
artículos seleccionados para dos empaques tal que los artículos con mayor
duración en las tolvas sean escogidos preferentemente. La prioridad de un artículo
es dada por su duración en la tolva. El problema de empaque propuesto es
35
resuelto con programación dinámica y todos los datos de entrada son enteros.
Las líneas de investigación que propone el autor es comparar el tiempo de
ejecución del modelo contra otros modelos, además de comparar la cantidad de
excedente en el peso de los paquetes.
En Karuno et al. (2007) proponen un sistema de empaque de alimento con n
tolvas. El sistema recolecta el alimento de estas tolvas para empacarlas dentro de
un mismo empaque. Cada alimento en la tolva es considerado como un artículo i
con un peso entero wi. El sistema de empaque selecciona un conjunto de
artículos i y los coloca dentro de un empaque considerando que el peso total de
los artículos sea superior a un peso objetivo B. En un sistema de empaque, un
artículo puede ser almacenado por periodos de tiempo largos, sin embargo, esto
no es posible cuando el sistema maneja productos frescos. Para prevenir esta
situación, el modelo propuesto considera una prioridad del artículo i. El modelo
matemático es formulado como un problema de optimización bi-criterio que
contiene dos objetivos: (1) el primer objetivo considera que el total de peso de los
artículos seleccionados esté tan cerca del peso objetivo B tanto como sea posible,
el objetivo (2) considera minimizar el tiempo máximo de duración de todos los
artículos dentro del sistema. Se maneja una sola restricción que está relacionada
con el peso total permitido por paquete. La variable de decisión Xi es una variable
binaria {0,1}. El modelo es formulado como un problema de optimización bi-
criterio llamado PACKING( y el artículo propone un algoritmo basado en
programación dinámica. El algoritmo propuesto es una extensión del algoritmo
para el problema de la mochila que incorpora además el concepto de prioridad al
problema. El modelo permite minimizar heurísticamente la máxima duración de los
artículos en el sistema, mientras considera que el peso total de cada paquete se
encuentre lo más cerca del objetivo. Para investigaciones futuras, el autor sugiere
examinar otras formas de definir la prioridad de cada producto.
2.3 Metodologías de modelación bajo incertidumbre aplicadas a los
problemas estudiados.
36
Rommelfanger (1996) menciona que diferentes estudios revelan que la PL es una
de las técnicas de investigación de operaciones más frecuentemente aplicadas en
problemas del mundo real. Sin embargo, en aplicaciones del mundo real, la
confiabilidad y precisión de los datos es ilusoria, ya que es imposible tener un
perfecto conocimiento de todos los datos que forman parte de un problema, y es
usual aproximar estos valores, datos o modelos a través de diferentes caminos.
En Sahinidis (2004) mencionan que la programación estocástica y la
programación difusa son métodos para la optimización bajo incertidumbre. En la
primera, la incertidumbre es modelada a través de funciones de probabilidad
continuas o discretas, mientras que la segunda considera los parámetros
aleatorios del modelo como números difusos y las restricciones son tratados como
conjuntos difusos
Con el objetivo de reducir el costo de la información y al mismo tiempo evitar
modelos poco realistas, la utilización de la programación matemática difusa o
borrosa ha sido ampliamente recomendada de acuerdo a Rommelfanger (1996).
2.3.1 Lógica difusa o borrosa.
En 1965, Zadeh (1965) introduce el concepto de conjunto borroso permitiendo la
pertenencia de un elemento a un conjunto de forma gradual, y no de manera
absoluta como establece la teoría conjuntista clásica, es decir, admitiendo
pertenencias valoradas en el intervalo [0,1] en lugar de en el conjunto {0,1}.
2.3.1.1 Conjuntos difusos o borrosos.
En los conjuntos clásicos algo está incluido completamente en él o no lo está en
absoluto. Esta situación se puede describir asignando un 1 a todos los elementos
incluidos en el conjunto y un 0 a los no incluidos. Para Martín & Sanz (2007), la
función que asigna estos valores la denomina función de inclusión o pertenencia
(membership function), por lo que, los conjuntos borrosos permiten describir el
grado de pertenencia o inclusión de un objeto (o el valor de una variable) al
concepto dado por la etiqueta que le da el nombre, asignando un número real
37
entre 0 y 1 como se ejemplifica en la Figura 2.1. Para Morales (2002), en tanto el
grado de pertenencia sea más cercano a 1 tanto más estará el elemento en el
conjunto y en tanto el grado de pertenencia sea más cercano a 0 tanto menos
estará el elemento en el conjunto.
Figura 2.1 Funciones de pertenencia de conjuntos clásico (izquierda) y difuso o borroso (derecha)
para edad adulta. Una persona de 25 años en términos clásicos habría que definirla como adulta o
no adulta, en términos difusos podría decirse que se incluye en aproximadamente un 0.5 (50%) al
conjunto de edad adulta. Fuente: Martín & Sanz (2007).
De acuerdo a Reina (2008), se define a un número difuso como un conjunto
normalizado y convexo A ℜ, cuya función de pertenencia es al menos, continua
a trazos y tiene el valor funcional A(x)=1 justo para un elemento.
2.3.1.2 Funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos.
La función de pertenencia (membership function) o inclusión de un conjunto
borroso consiste en un conjunto de pares ordenados F={(u, (u)) / u ϵ U} si la
variable es discreta, o una función continua si no lo es.
Sea U un conjunto de objetos, por ejemplo U= , que se denominará universo de
discurso. De acuerdo a Martín & Sanz (2007), en términos matemáticos, un
conjunto borroso F en U queda caracterizado por una función de pertenencia o
inclusión que toma los valores en el rango [0,1], es decir :U →[0,1]: donde
(u) representa el grado en el que u ϵ U pertenece al conjunto borroso F. Ello
representa la generación del concepto clásico de conjunto (abrupto), en el que la
38
función de pertenencia toma solamente los valores 0 o 1; por el contrario, para uno
borroso, la función puede tomar también valores intermedios.
Para la definición de estas funciones de pertenencia se utilizan convencionalmente
ciertas familias de formas estándar, por coincidir con el significado lingüístico de
las etiquetas más utilizadas. Para Martín & Sanz (2007) las más frecuentes son la
función de tipo trapezoidal, singleton, triangular, S, exponencial y tipo π que se
pueden observar en la Figura 2.2.
Figura 2.2.1 Función de
pertenencia de tipo trapezoidal
Figura 2.2.2 Función de
pertenencia de tipo singleton
Figura 2.2.3 Función de
pertenencia de tipo T
(triangular)
Figura 2.2.4 Función de pertenencia de tipo S
Figura 2.2 Ejemplo de funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos. Fuente: Martín &
Sanz (2007).
La función de tipo trapezoidal (Figura 2.2.1) se define por cuatro puntos a, b, c,
d. Esta función es cero para los valores menores de a y mayores de d, vale uno
entre b y c, y toma valores en [0,1] entre a y b, y entre c y d. Se define con:
39
Para modelar una función triangular (Figura 2.2.3) se hace b=c y puede definirse
como:
La función de tipo S (Figura 2.2.4) se caracteriza por tener un valor de
pertenencia distinto de 0 para un rango de valores por encima de cierto punto a,
siendo 0 por debajo de a y 1 para valores mayores de c. Su punto de cruce (valor
0.5) es b=(a+c)/2; y entre los puntos a y c es de tipo cuadrático (suave). Esta
función se puede definir como:
La función de tipo singleton (Figura 2.2.2) tiene valor de 1 solo para un punto a
y 0 para el resto.
2.3.2 Descripción de la programación matemática difusa (PMD).
En Cadenas & Verdegay (2004) mencionan que la necesidad de encontrar la
solución óptima, o la mejor solución entre las disponibles en un problema
correctamente planteado es por lo que se estudian las teorías, y se proponen
metodologías adecuadas al campo científico en el que surge la cuestión que se ha
40
de resolver. Para Cadenas & Verdegay (2004), una importante clase de
problemas son los conocidos con el nombre de problemas de optimización,
habitualmente asociados a tener que encontrar el máximo, o el mínimo, valor que
una determinada función puede alcanzar en un cierto conjunto previamente
especificado; todo lo relativo a estos problemas se enmarca dentro del cuerpo
doctrinal denominado Programación Matemática (PM). Entre todos los modelos
que se incluyen en la PM, el más y mejor estudiado, así como el que ha probado
tener unas repercusiones prácticas más importantes, es el correspondiente al caso
lineal uni-objetivo, tema del que se ocupa la PL.
Para Cadenas & Verdegay (2004), por imprecisión se entiende lo que
habitualmente se conoce como borrosidad (fuzziness), es decir, esa vaguedad
lingüística que tiene perfectamente sentido para los seres humanos, a pesar de la
falta de información exacta que muestren (“no sé qué edad tiene, pero es joven”).
Sobre este planteamiento podemos suponer, que el decisor se expresa, conoce o
formula los datos del problema de forma imprecisa, pero perfectamente clara para
él: “el rendimiento será superior al del año pasado”, “se trabajará un número
elevado de horas”, “el salario bruto es de unos tres millones”, etc. En este ámbito
de optimización con tal tipo de datos nace la Programación Matemática Difusa
(PMD) la que ha sido aplicada en diferentes tipos de problemas [Rommelfanger
(1996), Sahinidis (2004) y Peidro, et al. (2007)].
En las aplicaciones prácticas es casi imposible contar con un perfecto
conocimiento de todos los datos que forman parte del problema analizado, es muy
usual aproximar estos valores, datos y/o modelos de diferentes formas. Una
metodología basada en sistemas y conjuntos difusos es una herramienta
apropiada para tratar con esta clase de falta de precisión o incertidumbre.
Con el objetivo de reducir los costos de obtener información y al mismo tiempo
evitar modelaciones poco realistas, Rommelfanger (1996) recomienda el uso de
programas lineales difusos. En la Tabla 2.6 se resume algunas de las aplicaciones
41
más comunes de la programación lineal difusa de acuerdo a Rommelfanger (1996)
y Sahinidis (2004).
Tabla 2.6 Aplicaciones de la programación lineal difusa.
Economía agrícola
Problemas de
asignación
Sistema bancario
y finanzas
Administración ambiental
Manufactura y
producción
Administración de personal
Transporte
Análisis del uso del agua en agricultura
Problema de localización en redes
Modelos de precios de bienes de capital
Problemas de regulación de contaminación en el aire
Problemas de planeación agregada de la producción
Coordinación de la estructura de demanda de persona y personal disponible
Problema de transporte
Mezcla de alimento
Proyectos de inversión
Modelos de emisión de energía
Problemas de optimización de máquinas
Flotas de camiones
Problema de optimización de estructuras de cultivo
Decisión de cobertura de bancos
Producción de cintas magnéticas
Asignación regional de recursos
Asignación óptima de producción de metal
Planeación del suministro de agua
Diseño de sistemas óptimos
Problemas de selección de mezcla de producción
Programación de la producción
Para Inuiguchi & Ramík (2000), en la PMD son considerados dos diferentes tipos
de incertidumbre: ambigüedad (ambiguity) e imprecisión (vagueness). La
ambigüedad es asociada con una o más relaciones, es decir, situaciones en la
cual la selección entre dos o más alternativas es dejada sin especificar. La
imprecisión es asociada con la dificultad de hacer distinciones concretas o
precisas en el mundo; es decir, algún dominio de interés es impreciso si este no
puede ser delimitado por fronteras definidas o concretas.
42
También en Inuiguchi & Ramík (2000) mencionan que la PMD puede ser
clasificada dentro de tres categorías de acuerdo al tipo de incertidumbre tratada en
el método:
Programación matemática con imprecisión.
Programación matemática con ambigüedad.
Programación matemática con imprecisión y ambigüedad.
En la Tabla 2.7 se presenta un esquema que relaciona el tipo de incertidumbre en
problemas de optimización con el tipo de programación matemática recomendada.
Tabla 2.7 Tipos de programación matemática difusa a partir del tipo de incertidumbre
considerada en el modelo. Fuente: basado en Inuiguchi & Ramík (2000).
CARACTERÍSTICAS
Trata con problemas de toma de decisiones considerando
Ambigüedad Programación Flexible metas y restricciones difusas .
(ambiguity) (Flexible programming) Las metas y restricciones difusas representan la flexibilidad
de los valores meta de las funciones objetivo y la
elasticidad de las restricciones.
PROGRAMACIÓN
MATEMÁTICA Imprecisión Programación Posibilista Trata con coeficientes ambigüos de las funciones objetivo
DIFUSA (vagueness) (Possibilistic programming) y de las restricciones pero no trata con metas y restricciones
difusas.
Ambigüedad e Imprecisión Programación Robusta En este modelo, la imprecisión de la preferencia del tomador
(Robust programming) de decisiones está representada por una región satisfactoria
y un valor de la función difusa es requerida para para ser
incluida en la región satisfactoria difusa que fue definida.
TIPO DE INCERTIDUMBRE TIPO DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
De acuerdo a Inuiguchi & Ramík (2000) muchos de los desarrollos en el área de la
PMD son basados en el artículo semilla de Bellman & Zadeth (1970).
En Sahinidis (2004) y Bilgen (2010) se menciona que en el contexto de PMD se
han considerado principalmente dos direcciones de investigación: la programación
flexible y la programación posibilística, aunque Sudhagar et al. (2010) proponen
también el uso de la PMD con variables de decisión difusas.
Programación flexible.
Consideremos el problema el modelo clásico de programación lineal:
43
Donde c y x son n-vectores, b es un m-vector, y A es una matriz n x m. Entonces,
suponer que existe incertidumbre con respecto a los valores exactos de los
coeficientes y alguna violación de las restricciones es aceptable dentro de un
cierto rango. Entonces significa que algunas de las partes de la ecuación anterior
pueden ser difusas. Cuando los elementos de A, b, o c son tratadas como
números difusos más que como números crisp o determinísticos, las restricciones
pueden ser representadas como conjuntos difusos más que desigualdades crisp, y
las funciones objetivo pueden ser representadas por metas difusas más que como
una función objetivo crisp. Entonces se usa para indicar que el parámetro es
difuso. De manera similar, x b significa que debería ser esencialmente más
pequeña o igual a b, por ejemplo, esta se consideraría una restricción suave en la
cual es permitida alguna violación. La tolerancia o extensión de será denotada
por .
Un modelo de programación lineal flexible puede ser escrito como:
Programación posibilista o posibilística. Cuando la ecuación:
involucra incertidumbre en los coeficientes de las restricciones, el modelo difuso
es llamado posibilista o posibilístico. Un problema de programación matemática
lineal posibilista puede ser escrito como sigue:
max
44
Considerando que y , representan el centro y la extensión del número
difuso , respectivamente. De manera similar, se considera que y denotan
el centro y la extensión de número difuso .
Por lo que para Cadenas et. al (2004), los modelos de Programación Lineal Difusa
pueden ser asociados a cualquiera de los siguientes problemas prototipos:
a) Problemas con restricciones difusas, en las cuales el TD puede permitir una
satisfacción de las restricciones flexible, esto es, él o ella permiten pequeñas
violaciones en el cumplimiento de la restricción. Estos problemas son
formulados como:
Sujeto a:
b) Problemas con objetivos difusos, en el cual la información en los coeficientes
de la función objetivo son vagos, y entonces, estos pueden ser modelados por
números difusos:
Sujeto a:
45
c) Problemas con coeficientes difusos, en los cuales se pueden considerar
números difusos tanto a los coeficientes de la matriz tecnológica como a los
coeficientes del lado derecho de las restricciones:
Sujeto a:
Obviamente, es permitido hacer combinaciones de las tres situaciones anteriores.
En Inuiguchi & Ramík (2000) se presenta una propuesta para la solución de
modelos de programación matemática difusa. La Figura 2.3 presenta el método
propuesto:
46
Figura 2.3 Método para solución de modelos de programación matemática difusa.
Fuente: con información de Inuiguchi & Ramík (2000).
En Wong & Lai (2011) se realizó un estudio de las aplicaciones de la teoría de
conjuntos difusos para representar la incertidumbre en diferentes áreas que
comprenden la administración de la producción y operaciones. La investigación
realizada comprende la revisión de la literatura de 1998-2009. Parte de los
resultados del estudio son mostrados en la Figura 2.4 y arrojan que las áreas más
populares para la aplicación de la teoría de conjuntos difusos son la planeación de
la capacidad a largo y corto plazo, control de inventarios, diseño del producto,
planeación agregada y programación (scheduling). Mientras que problemas
aplicados al área de distribución comprenden solamente el 3.97% de los artículos
revisados en la investigación.
47
Figura 2.4 Porcentaje de aplicaciones de la teoría de conjuntos difusos por área de
aplicación en la administración de la producción y operaciones. Fuente: con información
de Wong & Lai (2011).
2.3.3 Problemas en la cadena de suministro (CS) estudiados bajo
incertidumbre difusa.
Para Bilgen (2010), la CS es una red dinámica de varias entidades de negocios
que involucran un alto grado de imprecisión, también Bilgen (2010) considera que
muchos estudios se han enfocado en métodos analíticos tradicionales y
heurísticos para modelar los problemas de planeación en cadenas de suministro,
pero pocos estudios han intentado modelar estos problemas en un ambiente
difuso
La naturaleza compleja y dinámica de las relaciones entre los diferentes actores
de la cadena de suministro implica un importante grado de incertidumbre en las
decisiones de planeación. Por lo tanto, la incertidumbre es un factor principal que
puede influenciar la efectividad de la configuración y coordinación en una CS. A
través de los años, muchos investigadores y aplicaciones han tenido como meta
48
modelar la incertidumbre en CS. Diferentes técnicas de modelado estocástico han
sido aplicadas exitosamente en problemas de planeación de cadenas de
suministro. De acuerdo a Peidro et al. (2009) muchos de estos análisis están
basados en métodos analíticos (ej. modelos estocásticos), métodos de simulación
o métodos híbridos (basados en la integración de modelos analíticos o de
simulación). Sin embargo, en Mula et al. (2010) consideran que las distribuciones
de probabilidad derivadas de evidencias registradas en el pasado no están
siempre disponibles o no son confiables.
En su estudio de la literatura, Peidro et al. (2009) presentan una clasificación de
problemas de planeación asociados a la CS utilizando un enfoque difuso. La
Figura 2.5 presenta esta clasificación.
Figura 2.5 Ejemplos de problemas de planeación en la cadena de suministro utilizando
programación matemática difusa. Fuente: con información de Peidro et al. (2009).
De la Figura 2.4 y Figura 2.5 podemos apreciar que la planeación de la capacidad
de producción y la administración de inventarios son dos áreas dentro de la
49
planeación de una CS en donde más estudios se han realizado aplicando la
Teoría de Conjuntos Difusos en el modelado de los problemas.
2.3.3.1 Problemas de planeación en aprovisionamiento-producción-
distribución.
En Peidro et al. (2009) se presenta un modelo de cadena de suministro (a nivel
táctico) en un ambiente difuso, multi-nivel, multi-producto y multi-periodo. En el
modelo propuesto, la incertidumbre en el aprovisionamiento, proceso y demanda
son contemplados simultáneamente. El modelo ha sido formulado como un
modelo de programación lineal mixta entera difusa que busca minimizar el costo
de producción diferenciando entre el tiempo regular y en horas extras, éste es
aplicado a una cadena de suministro real de la industria automotriz dedicada al
aprovisionamiento de asientos automotrices. En este estudio, los costos de
ociosidad, mantenimiento de inventario, atrasos en demanda y transporte no
pueden ser medidos fácilmente debido a que implican una percepción humana
para su estimación. Se utilizan números difusos triangulares para modelar las
variables difusas.
2.3.3.2 Problemas de planeación en producción-distribución.
En un estudio realizado por Bilgen (2010) se presenta un modelo que permite
determinar simultáneamente: la asignación de productos a líneas de producción,
determinar la cantidad de productos transportados y determinar el número de
vehículos usados para cada ruta predefinida. La investigación realizada integra
decisiones estratégicas concernientes a la asignación de productos a líneas de
producción con decisiones tácticas concernientes al ruteo en la distribución de los
productos. En el modelo difuso presentado por el autor, los costos de producción,
arranque de máquina (setup), transporte e inventario no son fácilmente medibles e
involucran una alta percepción humana, por lo que la función objetivo del modelo
propuesto se considera difusa al considerar estos costos difusos, por otro lado, la
capacidad de producción y la capacidad del vehículo son considerados como
datos difusos y representados por intervalos de tolerancia.
50
En Mula et al. (2010), la principal contribución del artículo es la aplicación de la
programación posibilística en un caso de aplicación en la planeación de una
cadena de suministro. Otros investigadores han estudiado anteriormente
aplicaciones de programación posibilística en problemas de planeación de la
producción, pero no han considerado problemas de planeación de la producción
en cadenas de suministro. El artículo considera un modelo con una única función
objetivo que busca minimizar: costos de producción + costos de materia prima o
consumo de productos intermedios + costo de inventario y penalidades por
faltantes + costos de transportación + costos fijos por familia de productos. Las
restricciones consideradas en el modelo comprenden los tiempos de producción
mínimos y máximos para cada familia de productos, establecer la relación de
cada producto con su familia de producto, restricción de capacidad de producción,
consumo de materia prima o productos intermedios a través del billete (bill) de
materiales, restricción que considera que todos los materiales enviados al sitio S
deben ser consumidos en el mismo periodo, restricciones de balance de
inventario, restricción que indica que faltantes en la cadena son llevados de un
periodo a otro, restricción que permite que demandas de periodos previos puedan
ser satisfechas en el periodo actual, restricción de demanda difusa, restricción que
determina que el exceso y desviaciones del inventario con respecto al inventario
objetivo de seguridad establecido, límites inferior y superior para las variables de
decisión. El modelo de planeación de este artículo se divide en dos fases: la fase
de producción está enfocada a la eficiente asignación de la capacidad de la
producción en cada una de las plantas de producción con el objetivo de determinar
las políticas óptimas de operación. La fase de distribución considera las
actividades de post-producción como el cumplimiento de la demanda y la
administración del inventario para satisfacer la demanda. Se considera un stock
de seguridad para proveer un inventario (buffer) contra la incertidumbre en la
demanda. La red de la cadena de suministro considera dos niveles: plantas de
manufactura y clientes. La variable difusa utilizada en el modelo es la demanda
utilizando números difusos triangulares, porque utiliza un valor pesimista, más
51
probable y optimista en el valor de la demanda del producto i. El problema fue
resuelto con CPLEX aunque la entrada de los datos y las soluciones del modelo
fueron administradas por Microsoft Access.
En el artículo de Sakawa et al. (2001) tratan con un problema de producción-
trasporte de una empresa manufacturera de material para vivienda, y considera la
planeación de la producción y transporte bajo la suposición que el manufacturero
hace múltiples productos en múltiples regiones y los productos son demandados
en cada una de las regiones. El modelo presentado considera una función mono-
objetivo que busca minimizar el costo total representado por la suma de los costos
de producción más los costos de transporte. Las restricciones utilizadas en el
modelo se resumen en: capacidad de producción de cada planta; el producto
enviado a la base i es mayor o igual que su demanda; y la capacidad de los
camiones para transportar productos. Los parámetros difusos utilizados en el
modelo son: demanda en cada base i; capacidad de producción; y el costo total.
La razón por la que se consideran difusas estas variables es porque existe una
fluctuación de ±s (100s%) en las demanda de cada base, existe una posibilidad
que la capacidad de producción actual es 100(1-p)% de la capacidad estimada; y
considera una meta (Zo) para el costo total y una tolerancia (dz) son definidas por
los tomadores de decisiones .
2.3.3.3 Problemas de planeación en transporte.
En Wen & Kang (2011) consideran que aunque el problema de Localización-
Asignación de Plantas ha sido ampliamente estudiado considerando demandas de
los clientes aleatorias y también difusas, son pocos las investigaciones realizadas
considerando demandas aleatorias-difusas simultáneamente. El objetivo del
modelo propuesto propone minimizar el costo de transportación a partir de la
mejor asignación y ubicación de plantas i a clientes j y al definir la mejor ubicación
de las plantas de abastecimiento. Las restricciones del modelo consideran: que
cada nodo fuente (planta) tiene una capacidad restringida que no puede ser
superada, la demanda de cada cliente se considera aleatoria difusa, el costo de
52
transportación es proporcionado por la cantidad a proveer de cada nodo fuente a
cada nodo destino y la distancia entre esos nodos, existe además una localización
definida por coordenadas para cada cliente. La variable se considera aleatoria-
difusa porque en situaciones reales, los autores consideran que la aleatoriedad y
lo difuso de las demandas de los clientes comúnmente son mezcladas entre ellas.
Por ejemplo, las demandas de los clientes se pueden asumir como distribuidas
normalmente con parámetros desconocidos. Estos parámetros desconocidos
pueden ser estimados de datos históricos, pero en muchas ocasiones estos datos
son difíciles de obtener por medio de experimentos. En lugar de eso, la opinión de
los expertos es usada para proveer una estimación de estos parámetros. Para
resolver el problema planteado el autor propone un modelo inteligente híbrido que
integra el uso del método simplex para resolver el problema de asignación de
plantas a clientes y el uso de algoritmos genéticos para resolver el problema de
localización de las plantas. Para probar su modelo, los autores presentan
diferentes simulaciones considerando 3 nuevas plantas y doce clientes con
demandas consideradas como variables aleatorias-difusas. La localización de los
clientes y las capacidades de oferta de cada planta son especificadas en el
problema.
Diaz-Madroñero et al. (2010) proponen un modelo de programación matemática
difusa multi-objetivo para la planificación del transporte a nivel operativo en una
cadena de suministro. La investigación tiene como objetivo minimizar el número
total de camiones utilizados en la cadena de suministro y minimizar los niveles de
inventario determinado la cantidad a aprovisionar de cada producto. El parámetro
difuso que considera el modelo es la capacidad de los vehículos empleados.
Tsai et al. (2008) propusieron un modelo de programación difusa que permite
definir políticas de distribución óptimas entre múltiples canales. El modelo multi-
objetivo considera maximizar las utilidades netas de asignación, minimizar el
porcentaje de reclamaciones de los usuarios finales, minimizar el porcentaje de
embarques tardíos. La variable de decisión analizada es la cantidad de producto
53
asignado a un canal determinado sujeto a restricciones de capacidad de
manufactura, demanda de clientes, capacidad del canal y objetivos de venta de
cada canal. Debido a que los tres objetivos están considerados simultáneamente
pero tienen permitido tener valores de compensación (trades-off) en la decisión
final, los autores modelan estas compensaciones como ambigüedad en la toma de
decisiones.
En Zhou & Liu (2007) se propone un modelo híbrido inteligente para resolver el
problema de Localización y Asignación de Plantas con capacidades restringidas.
En el modelo híbrido se integra el algoritmo simplex, simulación difusa y
algoritmos genéticos para minimizar el costo de transportación de asignar las
plantas i a los clientes j, además de definir la mejor ubicación de las plantas i. El
modelo está sujeto a que la asignación a cada cliente iguale su demanda y que la
asignación de cada planta i se menor a la capacidad de cada planta. El modelo
híbrido inteligente es probado en 3 modelos diferentes para resolver el problema
de localización-asignación de plantas con capacidad restringida: modelo de
minimización de costo esperado difuso, modelo de minimización de α-difuso y el
modelo de maximización de credibilidad. Para resolver el problema se hicieron
diferentes pruebas considerando 20 clientes en donde las localizaciones y
demandas son especificadas y existen 4 plantas con capacidades definidas. El
modelo utiliza demandas difusas que asumen números difusos trapezoidales.
El estudio realizado por Liang (2006) propone un modelo interactivo de
programación lineal multi-objetivo difuso para resolver el problema de transporte
con una función de membresía lineal a trozos. El modelo presenta los siguientes
objetivos: minimizar el costo total de distribución y minimizar el tiempo total de
entrega. Los objetivos se encuentran sujeto a restricciones difusas de pronóstico
de demanda y de aprovisionamiento disponible. El presupuesto total de cada
fuente de aprovisionamiento y el espacio máximo de almacenaje de cada destino
se considera conocidos y precisos. El patrón (modelo) de número difuso triangular
54
(triangular fuzzy number) es adoptado por el autor para representar la imprecisión
en el aprovisionamiento y pronóstico de la demanda.
2.3.4 Problema de la dieta (PD) bajo incertidumbre difusa.
Las investigaciones realizadas del problema de la dieta se ha centrado
principalmente en su solución desde un enfoque determinístico para la definición
de la cantidad de alimento j que deberá incluirse en la dieta de un ser vivo. En un
artículo que hace una revisión de la literatura de los métodos analizados para
resolver este problema, Abd Rahman et al. (2010) presentan que el método de PL
ha sido el más estudiado, además de considerar que el método de solución del
problema de la dieta o mezcla de alimento en donde se integran la PL con la
teoría de conjuntos difusos tiene un gran potencial para investigaciones futuras.
Investigaciones realizadas por Cadenas et al. (2004), Vergara et al. (2006) y
SalooKolayi et al. (2011) han considerado la optimización lineal difusa en el
problema de la dieta (PD) para la planificación de dietas para animales.
En el artículo de Cadenas et al. (2004) se presenta un software SACRA (Support
systems for the construction of cattle diets) que resuelve el problema de diseño de
dietas para ganado vacuno en granjas argentinas. La principal aportación del
artículo no es enfocarse en problemas y/o métodos de programación lineal difusa,
sino usar estas como herramientas para ser implementadas en un sistema de
Soporte de Decisiones (SACRA). El artículo plantea el problema original de la
dieta que busca minimizar el costo de total de la configuración de la dieta, en este
problema se consideran las contribuciones nutricionales de cada alimento, los
requerimientos y consumos de cada alimento y el costo total de la dieta como
parámetros difusos. Esto debido a que no es posible calcular un valor exacto para
la contribución de nutrientes de cada alimento, además porque se pueden calcular
los requerimientos y consumo para un animal pero no para todo el ganado vacuno,
por otro lado debido a la cantidad disponible de dinero, el tomador de decisiones
desea que el costo de la dieta se encuentre “alrededor” de una cantidad. El
55
modelo es aplicado en un sistema de toma de decisiones (SACRA) que incluye
cuatro módulos que consideran captura o entrada de información, un módulo que
resuelve el problema y un módulo que presenta los resultados.
En Vergara et al. (2006) presentan una extensión del PD utilizando un enfoque
difuso aplicado a la planificación de dietas en granjas avícolas. Para esto,
incorpora al problema de la dieta un coeficiente difuso en la función objetivo que
considera al precio de los productos de forma difusa. La representación de los
precios de los productos que no son estables en periodos de tiempo prolongados
se hace mediante números difusos triangulares. El resultado de la investigación
consiste en una herramienta (software) llamado “Sistema de Ayuda de Decisión en
las Granjas Avícolas (SADIGA)” programado en Visual C++ para el diseño de
dietas personalizadas para aves al mínimo costo. Los precios son expresados en
su forma triangular (terna: menor, medio y mayor precio).
En la investigación realizada por SalooKolayi et al. (2011) se presenta un modelo
difuso lineal para la formulación diaria de raciones de alimento para vacas y se
comparan los resultados con un modelo de programación lineal. Los resultados de
la investigación arrojan que el costo de alimentación fue 8% menor al utilizar el
modelo difuso sobre el modelo lineal tradicional. Utilizando WinQSB se resuelve el
modelo que utiliza como variable difusa la cantidad de nutrientes requeridos
diariamente por una vaca.
2.4 Síntesis y análisis crítico de la literatura revisada.
Una adecuada administración de la cadena de suministro de alimentos conlleva
una constante toma de decisiones de los planeadores para poder manejar y
distribuir de la mejor forma el producto al cliente final. En una cadena de
suministro de productos no alimenticios, los planeadores constantemente se
enfrentan ante problemas que abordan la disminución de costos y una mejor
eficiencia en alguna área funcional en particular o a través de la cadena completa.
En modelos de planeación que involucran el manejo y distribución de alimentos,
56
los tomadores de decisiones deben considerar otro tipo de factores que son
características propias del manejo de alimentos como: periodo de vida
(perecedero/no perecedero), degradación de la calidad del alimento, condiciones
de temperatura (refrigeración), tiempo de distribución al cliente final, volumen y
peso del alimento, características nutricionales de los alimentos, entre otras.
El estudio realizado de la literatura especializada nos indica que se han abordado
diferentes metodologías para los procesos de planeación y toma de decisiones de
los planeadores en una cadena de suministro. La selección de la metodología
más adecuada se podrá realizar de acuerdo al tipo de planeación y el nivel de la
decisión tomada por el planeador. Las características de los parámetros
(conocidos, no conocidos, variables, estáticos) considerados en el modelo también
tendrán influencia en la técnica utilizada. El uso de la modelación matemática por
medio de metodologías como la PL, ha sido frecuentemente requerida para
abordar problemas de planeación en una CS, sin embargo, otras metodologías
como la dinámica de sistemas, simulación de eventos discretos y diseño de
experimentos han sido consideradas para apoyar al planeador de la cadena a
tomar mejores decisiones.
Por otro lado, aunque el problema de selección de alimentos para la configuración
de dietas ha sido revisado constantemente en la literatura, se observa un área de
oportunidad en la investigación de modelos de planificación de la producción en
cadenas de suministro de alimentos que integren en sus problemas de asignación
de alimentos otras características adicionales como las nutricionales, de volumen
y/o peso de los alimentos.
El problema de empaque de alimentos ha sido revisado considerablemente en la
literatura desde un enfoque de preservación y protección del alimento, sin
embargo, se observa un área de oportunidad en el empaque de productos
alimenticios desde un enfoque de problema de optimización que considere
variables relacionadas a la selección/asignación por grupos alimenticios,
57
prioridades por vida útil del producto, aporte nutricional y tipo de alimento
(perecedero/no-perecedero).
Por otro lado, de acuerdo a Rommelfanger (1996), estudios empíricos revelan que
la PL es una de las técnicas más frecuentemente aplicadas en el área de
investigación de operaciones en problemas del mundo real Sin embargo, dado las
oportunidades que ofrece la optimización con PL, una de las desventajas más
importantes de esta técnica es que requiere datos bien definidos y precisos lo cual
involucra altos costos para generar la información. En aplicaciones en el mundo
real, la confiabilidad y precisión de los datos normalmente es ilusoria. La vaguedad
e imprecisión de la información genera incertidumbre. Esta incertidumbre ha sido
tratada en los problemas de programación lineal desde dos enfoques
principalmente: estocástico y difuso. En programación lineal estocástica, es
requerido el uso de distribuciones de probabilidad que requieren el uso de datos
históricos, pero, en muchas aplicaciones no es posible contar con esta información
disponible. Sin embargo, desde el artículo semilla “fuzzy sets” de Lofti A. Zadeth
en 1965, se propuso una forma diferente de modelar la vaguedad en los datos sin
necesidad de utilizar conceptos estocásticos. A la técnica para trabajar la
incertidumbre en problemas de programación lineal se le llamó PMD, la cual
integra datos vagos o imprecisos a los sistemas de PL.
La PMD considera dos tipos de programación principalmente: programación
flexible, y programación posibilística. El uso de cada tipo depende de la
información que se considere difusa en el modelo que se está trabajando, es decir,
metas/objetivos difusos, restricciones difusas y/o coeficientes difusos.
La metodología generalmente empleada para resolver un problema de
programación difusa consiste en identificar los parámetros difusos y plantear el
modelo de programación lineal difusa. Con la teoría de conjuntos difusos se
convierte el modelo de programación lineal difusa a un modelo de programación
crisp que puede ser resuelto como un problema de PL tradicional utilizando
58
cualquier técnica de optimización (ejemplo: algoritmo de ramificación (branch) y
acotamiento (bound)). La teoría de conjuntos difusos sugiere utilizar una función
de membresía para convertir el modelo difuso a un modelo crisp. Algunas
investigaciones encontradas en la literatura recomiendan la función de membresía
líneal para problemas de minimización o maximización. Por otro lado, el manejo de
los parámetros difusos del modelo se realiza utilizando número difusos, siendo los
números difusos triangulares algunos de los más utilizados, que consiste en
utilizar tres valores para el parámetro difuso, el valor menos probable, el valor más
probable y el valor más optimista.
La Tabla 2.8 resume el estado del arte revisado en la literatura y que resuelven
problemas con algunas características relacionadas al problema de asignación-
empaque de despensas propuesto en esta investigación.
59
Tabla 2.8 Estado del arte para el problema de asignación-empaque de alimento. Fuente:
elaboración propia.
En el estudio de la literatura tampoco se ha encontrado un problema similar
relacionado a la asignación-empaque de despensas personalizadas para BA que
utilice la PL o programación lineal difusa e integre simultáneamente un enfoque
logístico y nutricional en el modelo. Son pocos los estudios realizados que
analizan el problema de distribución de alimento en BA y los que se han
encontrado modelan el problema ya sea con un enfoque nutricional o logístico
pero de forma separada y no incluyen la incertidumbre de la información utilizada
en el modelo.
60
Con la revisión de la literatura se resume que las investigaciones realizadas en el
PD utilizando PMD se han centrado principalmente en el diseño de dietas para
animales (aves y ganado vacuno). Además, aunque se trabajan con parámetros
difusos en el modelo, el objetivo y restricciones siguen siendo las mismas del
problema original.
La Figura 2.6 resume los conceptos más importantes de la revisión realizada en la
literatura especializada: el problema de asignación-empaque en BA toma en
cuenta las características de asignación de recursos (alimentos) a diferentes
clientes (familias) presentes en el modelado de los problemas de planeación en la
CS, sin embargo, en la revisión de la literatura se encontró que este problema
preferentemente considera parámetros del tipo logísticos mientras que el problema
de asignación de alimentos utilizando PL ha sido estudiado principalmente por
medio del PD, sin embargo, éste tipo de problema tiene un enfoque principalmente
nutricional y no logístico. Aunque se ha utilizado la PL para resolver el problema
de empaque en contenedores, este ha sido analizado más como un problema
logístico que nutricional, sin embargo, se encontraron estudios del empaque de
alimentos que analizan el problema más con un enfoque en el diseño del empaque
para mejorar la preservación del alimento que en el uso de la PL para colocar
alimentos dentro de recipientes. El problema de asignación de alimentos a familias
beneficiarias en BA ha sido estudiado con diferentes técnicas aunque estos
estudios tienen un enfoque logístico principalmente y no se encontraron estudios
que incluyan la incertidumbre (estocástica o difusa) en los parámetros de los
modelos presentados. La PMD ha sido utilizada para proponer soluciones a los
problemas de planeación en la CS y también en el PD bajo condiciones de
incertidumbre en la información, sin embargo, en éste trabajo se encontró un área
de investigación al utilizar la PMD para modelar un problema de asignación-
empaque de alimento a familias en BA que integra simultáneamente parámetros y
restricciones logísticas y nutricionales bajo condiciones de incertidumbre.
61
Figura 2.6 Síntesis de la literatura revisada. Fuente: elaboración propia.
62
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y MODELOS DE
SOLUCIÓN
3.1 Introducción.
En éste capítulo, se describe con más detalle el problema de asignación-empaque
de despensas personalizadas y es representado matemáticamente a través de un
modelo de PLEM. El modelo incluye dos objetivos para considerar dos enfoques
diferentes en la solución del problema: logístico y nutricional. Además, en este
capítulo se propone el uso de la programación compromiso [Jiménez et al. (2000),
Jiménez et al. (2000) y Arenas et al. (2005)] para la solución del problema como
un modelo bi-objetivo. Debido a que algunos parámetros nutricionales y logísticos
del modelo no se pueden considerar de forma exacta, la PMD fue requerida para
modelar la incertidumbre de la información en la búsqueda de una solución del
modelo mono-objetivo y bi-objetivo. Finalmente, se presenta un método
interactivo para la selección de la mejor solución del modelo difuso que integra la
opinión del TD en el BA al incluir la evaluación de indicadores de calidad de las
despensas que resultan de interés para este tipo de organización
3.2 Descripción del problema de asignación-empaque de alimento.
Nuestro modelo (Figura 3.1) genera una selección y asignación del tipo y cantidad
de alimento j del grupo nutricional i que diariamente debe ser entregado a familias
(s) con características diferentes. Los alimentos pueden ser clasificados de
acuerdo a su grupo nutricional1 (i) en: vegetales, frutas, granos, lácteos, carnes,
aceites y su aporte energético23 medido en Kilocalorías (Kcal.) y/o KiloJoule (kJ)
depende de cada tipo de producto. Los requerimientos energéticos mínimos de
cada familia pueden ser determinados de acuerdo a su número de integrantes y
características: edad, sexo, actividad física, peso y altura y estos requerimientos
1 http://www.choosemyplate.gov/foodgroups/index.html [consultado en octubre 2011].
2 http://www.dietas.net/tablas-y-calculadoras/tabla-de-composicion-nutricional-de-los-alimentosm [consultado en octubre
2011].
3 http://www.zonadiet.com/tablas. [consultado en octubre 2011]
63
pueden ser aproximados a partir de la información proporcionada por el
Departamento de Agricultura de los Estados Unidos45.
Figura 3.1 Modelo propuesto de asignación-empaque de alimento para bancos de alimentos.
La asignación depende de la cantidad disponible del producto en el almacén.
Para proteger físicamente los alimentos durante su distribución y asegurar la
personalización de cada despensa, los productos seleccionados son empacados
en contenedores por familia. Para asegurar que cada contenedor contenga una
cantidad mínima de alimento y evitar reclamos de las familias atendidas, se
contempla que cada contenedor deberá de tener cerca de 30 kilogramos de
alimento y un máximo aproximado de 40 kilogramos. Cada despensa debe contar
con un porcentaje mínimo (α) de alimentos de los grupos nutricionales verduras y
frutas; se considera una restricción que permite a la organización definir el valor α
4 http://www.choosemyplate.gov/myplate/index.aspx [consultado en octubre 2011]
5 http://www.choosemyplate.gov/weight-management-calories/calories/empty-calories-amount.html [consultado en octubre
2011]
64
para la asignación. Para evitar una variedad reducida de tipos de alimentos en
cada contenedor, se incluye una restricción de la cantidad máxima permitida de
cada tipo de producto. Finalmente, no todo el producto recolectado en los bancos
de alimentos (BA) es donado, es necesaria la compra de algunos alimentos a
precios especiales. Por esto, el costo total de los productos seleccionados por
despensa, no deberá exceder un costo de recuperación predefinido por la
organización.
3.3 Justificación de incertidumbres en parámetros del modelo de asignación-
empaque de alimento.
Para este trabajo de investigación, los alimentos que son donados a BA fueron
clasificados en tres tipos:
a) Alimentos medidos en kilogramos (ejemplo: chile, verdolagas,
champiñones, limón, lima, etc.): por las características físicas de estos
alimentos se vuelve complicado realizar su asignación por piezas, por lo
tanto, para cada despensa son asignados los kilogramos definidos por la
solución del modelo matemático.
Se considera difuso el aporte energético por kilogramo de este tipo de
alimentos ya que los valores publicados en la literatura especializada son
aproximados y llegan a variar entre una fuente y otra. El volumen (cm3) por
kilogramo es considerado con incertidumbre debido a la forma geométrica
irregular de este tipo de alimentos.
b) Alimentos medidos en piezas determinísticas (ejemplo: latería, jugos
enlatados, frutas enlatadas, pan de caja, cereal empaquetado): estos
alimentos vienen en contenedores con figuras geométricas conocidas y que
es fácil y exacto calcular su peso y volumen. La asignación de este tipo de
productos en el modelo matemático se realiza por unidad o pieza.
65
c) Alimentos medidos en piezas fuzzy (ejemplo de alimentos en Figura 3.2:
camote, papa, brócoli, papaya, mango, mandarina): tipos de alimentos que
serán asignados por pieza o unidad, sin embargo, por su forma geométrica
es complicado estimar un volumen exacto por pieza, además dentro de un
mismo tipo de alimento, el volumen de una pieza a otra varía y todavía más
cuando en los BA el producto recibido es donado y cada tipo de producto
cuenta con variabilidad en peso y volumen.
Figura 3.2 Ejemplo de alimentos considerados como piezas fuzzy en el modelo propuesto.
También, se consideran difuso el aporte energético por pieza fuzzy de este tipo de
alimentos ya que los valores publicados en la literatura especializada son
aproximados y llegan a variar entre una fuente y otra.
Los requerimientos energéticos (Kcal.) por familia se consideran un parámetro con
incertidumbre ya que éste es calculado a partir de los requerimientos energéticos
por cada persona (depende de su edad, sexo, actividad física, peso y altura) que
forma parte de la familia y pueden variar las Kilocalorías (Kcal.) requeridas por
persona según la referencia bibliográfica de donde se obtuvieron.
El peso (kilogramos) mínimo de alimento en cada contenedor se considera como
parámetro difuso ya que el BA considera que con aproximadamente 30 kilogramos
por despensa se evitarán las quejas de las familias beneficiarias. El peso
(kilogramos) máximo de alimentos en cada contenedor se consideró como
parámetro con incertidumbre difusa ya que con cerca de 40 kilogramos por
66
contenedor se pueden evitar problemas ergonómicos en los trabajadores del BA
por el manejo de contenedores. El volumen (cm3) de alimento en cada
contenedor se espera que sea cercano a 103,587 cm3 para evitar quejas de las
familias atendidas por los BA.
3.4 Formulación del modelo determinístico de asignación-empaque de
alimento.
En un primer modelo determinístico propuesto en esta investigación, todos los
parámetros del modelo se consideran conocidos y exactos, por lo que el problema se
modela con PLEM del tipo determinístico.
Se incluyen en el modelo los siguientes conjuntos de datos:
grupo nutricional i ∈ I={1: vegetales, 2: frutas, 3: granos, 4: lácteos, 5: carnes, 6:
aceites}
alimento medido en kilogramos: incluye el alimento j que forma parte del grupo
nutricional i ={ , , ,…, }
alimento medido en piezas: incluye el alimento k que forma parte del grupo
nutricional i ={ , , ,…, }
número de familias atendidas: incluye la familia s ∈ S que es atendida por día,
S={1,2,3,...,n}
Las variables de decisión del modelo son:
= kilogramos del alimento j del grupo nutricional i que es enviado a la familia s.
= número de piezas del alimento k del grupo nutricional i que es enviado a la
familia s.
El modelo incluye los parámetros de la Tabla 3.1.
67
Tabla 3.1 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo determinístico.
Parámetro Tipo de
parámetro
Enfoque
del
parámetro
Unidad de
medida Descripción
Determinístico Nutricional Kilocalorías
Contenido energético por kilogramo del alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Kilogramos Cantidad disponible en el almacén del alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Kilogramos
Cantidad máxima permitida por despensa del alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen por kilogramos de cada alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Pesos
mexicanos
Costo por kilogramo de cada alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional
Tipo de alimento j del grupo nutricional i en almacén = {1: alimento perecedero, 0: alimento no-perecedero}
Determinístico Nutricional Kilocalorías Contenido energético por pieza del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Piezas Cantidad disponible en el almacén del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Piezas
Cantidad máxima permitida por despensa del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Kilogramos Peso por pieza del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Pesos Costo por pieza de cada
68
mexicanos alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional
Tipo de alimento k del grupo nutricional i en almacén = {1: alimento perecedero, 0: alimento no-perecedero}
Determinístico Nutricional Kilocalorías
Requerimiento energético mínimo (Kcal.) por cada familia s. El requerimiento energético por familia depende del número de integrantes por cada familia, edad, sexo, peso, altura y actividad física.
CRec Determinístico Logístico Pesos
mexicanos
Costo de recuperación de cada despensa = $100
αs Determinístico Nutricional Porcentaje
Mínimo de frutas y verduras (en peso) que la despensa s debe contener = 30%
Ctrs Determinístico Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen de cada contenedor s para enviar alimento a cada familia = (73x43x33) = 103,587 cm3.
PMins Determinístico Logístico Kilogramos Peso mínimo del alimento por contenedor s = 30 kilogramos
PMaxs Determinístico Logístico Kilogramos Peso máximo del alimento por contenedor s = 40 kilogramos
3.4.1 Objetivos del modelo.
Nuestra investigación evaluó el desempeño del modelo con dos enfoques
diferentes en el objetivo: enfoque logístico (objetivo 1) y enfoque nutricional
(objetivo 2).
69
Escenario 1 (Objetivo 1): priorizar la cantidad de alimento perecedero
(kilogramos) que es enviado a las familias en un día (1).
[ ] + [ ][ (1)
Escenario 2 (Objetivo 2): maximizar el contenido energético total (kilocalorías)
que es enviado a las familias atendidas en un día (2).
[ ] + [ ] (2)
3.4.2 Restricciones del modelo.
Disponibilidad de alimento en almacén.
(R1). Restricción de disponibilidad (3-4), asegura que la suma total de cada tipo de
alimento asignado a las familias se encuentra en existencia en el almacén.
, (3)
, (4)
Empaque de alimento en contenedores.
(R2) Restricción de peso mínimo (5), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso mínimo de alimento (kilogramos) dentro del contenedor.
+ , (5)
(R3) Restricción de peso máximo (6), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso máximo de alimento (kilogramos) dentro del contenedor.
+ , (6)
70
(R4) Restricción de volumen (7), permite que el volumen total de los alimentos
seleccionados para cada despensa personalizada no exceda el volumen máximo
del contenedor.
+ , (7)
(R5) Cantidad máxima de producto (8-9), se incluye para asegurar una mayor
variedad de productos en cada despensa al no permitir que se exceda una
cantidad máxima de cada tipo de alimento por contenedor.
(8)
(9)
Características nutricionales de despensas.
(R6) Restricción nutricional (10), incluida en el modelo para lograr que la despensa
contenga un mínimo de requerimientos energéticos.
+ , (10)
(R7) Restricción de grupos nutricionales (11), permite que la organización asigne
el porcentaje mínimo (α) de verduras y frutas (medido en peso) que cada
despensa debe incluir.
+ + + *[
+ ], s S (11)
Costo máximo de recuperación de despensa.
(R8) Restricción de costo máximo por despensa (12), asegura que el costo total de
los productos incluidos en cada contenedor no exceda el costo de recuperación de
la despensa.
71
+ Crec, (12)
(R9) Restricción de no-negatividad de variables.
= entero
3.5 Formulación del modelo difuso de asignación-empaque de alimento.
Las variables de decisión del modelo son:
= kilogramos del alimento j del grupo nutricional i que es enviado a la familia s.
= número de piezas del alimento k del grupo nutricional i que es enviado a la
familia s.
= número de piezas fuzzy del alimento l del grupo nutricional i que es enviado
a la familia s.
El modelo incluye los parámetros de Tabla 3.2.
Tabla 3.2 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo difuso.
Parámetro Tipo de
parámetro
Enfoque
del
parámetro
Unidad de
medida Descripción
Difuso Nutricional Kilocalorías
Contenido energético por kilogramo del alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Kilogramos Cantidad disponible en el almacén del alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Kilogramos
Cantidad máxima permitida por despensa del alimento j del grupo nutricional i
Difuso Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen por kilogramos de cada alimento j del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Pesos Costo por kilogramo de cada alimento j del
72
mexicanos grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Kilocalorías Contenido energético por pieza del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Piezas Cantidad disponible en el almacén del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Piezas
Cantidad máxima permitida por despensa del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Kilogramos Peso por pieza del alimento k del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Pesos
mexicanos
Costo por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i
Difuso Nutricional Kilocalorías
Contenido energético por pieza fuzzy del alimento l del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Piezas
Cantidad disponible de piezas fuzzy en el almacén del alimento l del grupo nutricional i
Determinístico Nutricional Pieza
Cantidad máxima permitida de piezas fuzzy por despensa del alimento l del grupo nutricional i
Difuso Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen por pieza fuzzy de cada alimento l del grupo nutricional i
Difuso Logístico Kilogramos Peso por pieza fuzzy del alimento l del grupo nutricional i
Determinístico Logístico Pesos
mexicanos
Costo por pieza fuzzy de cada alimento l del grupo nutricional i
Difuso Nutricional Kilocalorías
Requerimiento energético (Kcal.) por cada familia s. El requerimiento
73
energético por familia depende del número de integrantes por cada familia, edad, sexo, peso, altura y actividad física.
CRec Determinístico Logístico Pesos
mexicanos
Costo de recuperación de cada despensa = $100
Determinístico Nutricional Porcentaje
Mínimo de frutas y verduras (en peso) que la despensa s debe contener = 30%
Difuso Logístico Centímetros
cúbicos
Volumen de cada contenedor s para enviar alimento a cada familia = (73x43x33) = 103,587 cm3.
Difuso Logístico Kilogramos Peso mínimo del alimento por contenedor s = 30 kilogramos
Difuso Logístico Kilogramos Peso máximo del alimento por contenedor s = 40 kilogramos
El objetivo 2 (enfoque nutricional) del modelo consiste en maximizar el contenido
energético total que es enviado a las familias atendidas en un día (13).
(13)
Disponibilidad de alimento en almacén.
Restricción de disponibilidad (14-16), asegura que la suma total de cada tipo de
alimento asignado a las familias se encuentra en existencia en el almacén.
, (14)
, (15)
74
, (16)
Empaque de alimento en contenedores.
Restricción de peso mínimo (17), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso mínimo de alimento dentro del contenedor.
,
(17)
Restricción de peso máximo (18), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso máximo de alimento dentro del contenedor.
,
(18)
Restricción de volumen (19), permite que el volumen total de los alimentos
seleccionados para cada despensa personalizada no exceda el volumen máximo
del contenedor.
(19) Cantidad máxima de producto (20-22), se incluye para asegurar una mayor
variedad de productos en cada despensa al no permitir que se exceda una
cantidad máxima de cada tipo de alimento por contenedor.
(20)
(21)
(22)
75
Características nutricionales de despensas.
Restricción nutricional (23), incluida en el modelo para lograr que la despensa
enviada a cada familia contenga el mínimo de requerimientos energéticos.
, s S (23)
Restricción de grupos nutricionales (24), permite que la organización asigne el
porcentaje mínimo ( ) de verduras y frutas (medido en peso) que cada despensa
debe incluir.
, s S (24)
Costo máximo de recuperación de despensa.
Restricción de costo máximo por despensa (25), asegura que el costo total de los
productos incluidos en cada contenedor no exceda el costo de recuperación de la
despensa.
,
(25)
Restricción de no-negatividad de variables (26-28).
(26)
= entero (27)
= entero (28)
76
3.6 Programación bi-objetivo en modelo determinístico y difuso.
3.6.1 Programación compromiso para un programa multi-objetivo
determinístico.
La Programación Compromiso (PC) es un conocido método de toma de decisiones
multi-criterio desarrollado por Zeleni (1973) y Yu (1985). La PC se basa en el
siguiente axioma de Zeleni (1973): “Dadas dos soluciones posibles en el espacio
de los objetivos x x…x , la solución preferida será aquella que se encuentre
más próxima al punto ideal”. Para poder obtener el punto ideal del problema multi-
objetivo hay que optimizar cada objetivo de forma separada, es decir, resolver los
k-problemas lineales mono-objetivo. En primera instancia, es necesario calcular
los elementos de la matriz de pago (Tabla 3.3). Esta matriz es el resultado de
optimizar cada objetivo de forma separada, asignando al otro objetivo el valor
correspondiente para la solución óptima del primero. De esta forma, es obtenida
una matriz cuadrada en la que se refleja el nivel de conflicto existente entre
objetivos. Los elementos de la diagonal principal se denominan punto ideal, es
decir, la solución en la que ambos objetivos alcanzan su valor óptimo ( , ,
…, . Con los peores valores que toman los objetivos se construye el punto anti-
ideal ( , …, ). Ya que el punto ideal es inalcanzable, resulta útil
determinar la solución más apropiada a través de soluciones compromiso. Para
ello, es definido el grado de proximidad entre el objetivo i-ésimo y su ideal.
Tabla 3.3 Elementos de la matriz de pago.
En un ambiente de certidumbre, Romero (1993) define el grado de proximidad (29)
como:
( , )= - (29)
77
cuando el objetivo r-ésimo se maximiza, donde representa el punto ideal.
Cuando las unidades de medición de los objetivos son diferentes, se requiere
homogeneizar los grados de proximidad, normalizándolos (30):
= (30)
Donde , es el anti-ideal para el objetivo r-ésimo; esto es, el valor del objetivo r-
ésimo cuando el objetivo en conflicto se optimiza. Para agregar los grados de
proximidad a cada valor objetivo ideal, se recurre a medir esta proximidad
utilizando el concepto de distancia (31), la cual nos proporciona la distancia entre
cada solución factible y su ideal:
= (31)
La expresión anterior representa la familia Lp de funciones de distancia, donde ,
r=1,2,…,k, representan, respectivamente, las preferencias del decisor respecto a
la divergencia existente entre cada valor objetivo y su ideal. Y cuando:
p=1 Distancia Manhattan
p=2 Distancia Euclidiana
p=α Distancia Chebysev
3.6.2 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo difuso.
Esta investigación también considera un modelo de programación lineal bi-objetivo
posibilístico (PLEM-MP) con parámetros difusos (32). Dichos parámetros son
representados por números difusos descritos por su distribución de posibilidad
estimada por el analista de la información provista por el TD [Tanaka, (1987)].
78
Max ( ( ) (32)
Sujeto a: x χ( =
Donde =( es un vector de decisión crisp o determinístico, ,
,…., ) está compuesto por vectores difusos los cuales son los coeficientes
difusos de los k objetivos considerados. =[ ] es la matriz tecnológica difusa y
=( , , …, ) son parámetros difusos.
Arenas et al. (2005) menciona que la naturaleza incierta y/o imprecisa de los
parámetros del problema involucran dos principales problemas: factibilidad y
optimalidad. Como ya se ha mencionado, la factibilidad puede ser manejada por
comparación de números difusos; en este trabajo se utiliza el método de
comparación de números difusos desarrollado por Jiménez (1996), debido a las
buenas propiedades que verifica dicho método y además, porque es
computacionalmente eficiente para resolver problemas lineales ya que conserva la
linealidad de las restricciones. Por otro lado, la optimalidad es manejada a través
de la Programación Compromiso (PC).
En esta investigación, se manejan los números difusos a través de sus intervalos
esperados. Se utilizan números difusos triangulares para este trabajo. Heilpern
(1992) definió el intervalo esperado de un número difuso triangular =( , , ),
como sigue (33):
EI( ) =[ , ] = , (33)
Donde es el valor de la izquierda, , es el valor central y es el valor derecho
del número difuso (Figura 3.3).
79
Figura 3.3 Número difuso triangular, .
El valor esperado EV( ) es igual a ,
Por lo que, si es triangular entonces EV( ) = ( +2 + ).
Por otro lado, una vez que se ha visto como calcular el grado de proximidad a
cada objetivo, lo que debemos hacer es agregarlos. Usualmente los objetivos
están medidos en unidades distintas, por lo que debemos homogeneizar los
grados de proximidad, normalizándolos (34):
= (34)
Que de acuerdo a Arenas (2005) puede escribirse como (35):
= (35)
Donde representa el grado de proximidad normalizado al i-ésimo objetivo. Para
agregar los grados de proximidad a cada valor objetivo ideal, se recurre a una
generalización de la distancia euclidiana ponderada (36), que nos proporciona la
distancia entre cada solución -factible y su ideal (31). Entonces puesto que lo
que se pretende es encontrar las soluciones Pareto óptimas más próximas al
80
punto -ideal, de acuerdo a Arenas (2005), el problema se convierte en resolver el
siguiente programa mono-objetivo (36):
Problema (36)
Min = Min
Sujeto a :
x ; j=1,…,m
x 0
Es evidente que dependiendo de la métrica que se utilice la solución será distinta.
Arenas (2005) menciona que para el métrico p=1, la mejor solución compromiso
(37) o la solución más cercana a la solución ideal puede ser obtenida al resolver el
siguiente problema de programación lineal:
Min = Min (37)
Sujeto a:
x ; j=1,…,m
x 0
Pero Reza & Hassanzadeh (2011) menciona que si (36) fuera una restricción del
tipo menor que o igual, , ésta podría ser transformada dentro de la siguiente
restricción crisp (38) equivalente:
[(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (38)
Para la métrica p=α, la α-solución compromiso, que denotaremos α , se obtiene
resolviendo el siguiente programa lineal (39):
Min = d (39)
Sujeto a:
81
x ; j=1,…,m
d; r=1,2,…,k
x 0
Para Arenas (2005), las soluciones a los problemas (37) y (39) son las soluciones
compromiso más comúnmente obtenidas, porque para métricos diferentes a p=1 y
p=α son necesarios algoritmos de programación matemática no-lineal. α indica el
grado de cumplimiento de las restricciones, de manera que 1- puede
interpretarse como el grado de incumplimiento o violación de las mismas.
Considerando α como un parámetro, podemos generar la solución compromiso
completa α para cada tipo de distancia, es decir, para cada valor de p. Dicha
solución compromiso puede considerarse como un conjunto difuso en el que α
representa el grado de aceptación por parte del decisor.
3.7 Transformación del modelo mono-objetivo difuso en un modelo crisp
equivalente.
Acorde al modelo difuso presentado en la sección 3.4, es necesario considerar
métodos de PMD que consideren de manera integral los coeficientes difusos de la
función objetivo y las restricciones difusas: coeficientes tecnológicos y
coeficientes de lado derecho.
Por lo que, se considera el siguiente problema de programación lineal con
parámetros difusos:
Minimizar z= x
s.a. x N( , ) = {x | x ≥ , i=1,…, m, x 0} (40)
donde ={ , ,…, }, = , =( , ,…, ) representan respectivamente,
parámetros difusos incluidos en la función objetivo y restricciones. Se asume la
distribución de posibilidad de los parámetros difusos para ser caracterizada por
números difusos. x=( , ,…, ) es un vector decisión crisp o determinístico. Un
82
conjunto difuso de un universo es caracterizado por su función de membresía
: [0,1]. Donde r = (x); x , es el grado de membresía de x a .
En este contexto, varios trabajos proponen métodos para resolver problemas de
programación lineal donde todos los coeficientes son en general números difusos.
Para nuestra investigación, los métodos de solución utilizados fueron los
propuestos en Cadenas & Verdegay (1997), Jiménez (2007) y Peidro (2010).
3.7.1 Transformación del modelo difuso con el método propuesto por
Jiménez y Peidro.
Para la transformación del modelo difuso a un modelo crisp equivalente, Jiménez
et al. (2007) y Peidro et al. (2010) proponen el siguiente modelo auxiliar:
Minimizar EV( )x
s.a. [(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (41)
donde de acuerdo a Peidro et al. (2010), el valor esperado de un número difuso
es triangular (Figura 3.4), indicado como EV( ), es el punto medio de su intervalo
esperado y 0 ≤ α ≤ 1 es un valor de corte que puede ser establecido
paramétricamente por TD.
EV( ) =
Figura 3.4 Número difuso triangular para transformación propuesta por Jiménez et al.
(2007) y Peidro et al. (2010).
83
Si un número difuso es triangular, su intervalo esperado y su valor esperado son
calculados como sigue:
EI( ) = ; EV( ) = (42)
Si (41) fuera una restricción del tipo menor que o igual, , ésta podría ser
transformada dentro de la siguiente restricción crisp equivalente:
[(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (43)
Por lo tanto, al aplicar el método para el modelo previamente definido, y por
considerar número difusos triangulares para los parámetros con incertidumbre, se
obtiene un modelo de PLEM crisp auxiliar como sigue:
(44)
Sujeto a:
Restricción de peso mínimo (45), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso mínimo de alimento dentro del contenedor.
, (45)
Restricción de peso máximo (46), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso máximo de alimento dentro del contenedor.
84
, (46)
Restricción de volumen (47), permite que el volumen total de los alimentos
seleccionados para cada despensa personalizada no exceda el volumen máximo
del contenedor.
+ , (47)
Restricción nutricional (48), incluida en el modelo para lograr que la despensa
enviada a cada familia contenga el mínimo de requerimientos energéticos.
, (48)
Restricción de grupos nutricionales (49), permite que la organización asigne el
porcentaje mínimo ( ) de verduras y frutas (medido en peso) que cada despensa
debe incluir.
, s S (49)
Las restricciones no-difusas mostradas en las ecuaciones 14-16, 20-22 y 25
también son incluidas en el modelo de la forma original.
85
El resultado es un conjunto difuso y el planeador tendría que decidir cuál par (α, Y)
considera óptima si quiere obtener una solución crisp.
3.7.2 Transformación del modelo difuso con el método propuesto por
Cadenas & Verdegay.
El método de solución propuesto por Cadenas & Verdegay (1997) propone como
problema auxiliar para resolver el modelo de la sección 3.4:
Maximizar Y= (50)
sujeto a: + (1-α), i ∈ M
≥ 0, α , j ∈ N
Donde representa un número difuso dando la máxima violación en la
verificación de la ith restricción y 0 α 1 es un valor de corte que puede ser
establecido paramétricamente por el tomador de decisiones (TD). Los coeficientes
difusos son considerados como triangulares de acuerdo a la Figura 3.5.
Figura 3.5 Número difuso triangular para transformación propuesta por Cadenas & Verdegay
(1997).
Por lo que un modelo equivalente a (50) es:
Maximizar Y= (51)
Sujeto a: + (1- )
0, I M, j N, [0,1]
Por lo tanto, el modelo de PLEM auxiliar crisp es:
86
(52)
Restricción de peso mínimo (53), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso mínimo de alimento dentro del contenedor.
- , (53)
Restricción de peso máximo (54), asegura que cada despensa asignada a una
familia contiene un peso máximo de alimento dentro del contenedor.
+ , (54)
Restricción de volumen (55), permite que el volumen total de los alimentos
seleccionados para cada despensa personalizada no exceda el volumen máximo
del contenedor.
+ , (55)
Restricción nutricional (56), incluida en el modelo para lograr que la despensa
enviada a cada familia contenga el mínimo de requerimientos energéticos.
87
, s S (56) Restricción de grupos nutricionales (57), permite que la organización asigne el
porcentaje mínimo ( ) de verduras y frutas (medido en peso) que cada despensa
debe incluir.
, s S (57)
Las restricciones mostradas en las ecuaciones 14-16, 20-22 y 25 se mantienen igual en el modelo.
3.8 Método interactivo para la toma de decisiones de asignación-empaque de
alimentos en bancos de alimentos.
Un método interactivo de resolución propuesto en Peidro et al. (2010) fue
adaptado en esta investigación para permitir que un TD del BA participe en la
búsqueda de la mejor solución del modelo difuso propuesto. Solamente un TD es
considerado en esta investigación. El método interactivo se encuentra organizado
en siete etapas que se resumen en la Figura 3.6.
88
Figura 3.6 Resumen de método interactivo para asignación-empaque de despensas.
89
A continuación se describen con detalle las etapas del método propuesto en esta
investigación:
Etapa 1. Solución del modelo crisp para cada α ϵ [0,1].
El modelo auxiliar crisp de PLEM definido anteriormente en las secciones 3.6.1 y/o
3.6.2 es resuelto paramétricamente para cada α ϵ [0,1] con el propósito de
obtener los valores de las variables de decisión y el valor de la función objetivo
(mayor valor es mejor).
Etapa 2. Cálculo del grado de satisfacción balanceado para la función
objetivo ( )
Para el grado máximo de satisfacción del valor objetivo ( ), el TD deberá de
evaluar dos factores conflictivos: el grado de factibilidad (α) y la búsqueda de un
valor aceptable para la función objetivo ( ). Como resultado de la Etapa 1 del
método interactivo propuesto en esta investigación, se obtiene un conjunto difuso
y el TD tendría que decidir cuál par (α, ) considera óptima si quiere obtener una
solución crisp. Después de conocer la información dada para los diferentes , el
TD deberá especificar una meta y su intervalo de tolerancia G. Por lo que, si
Y≥G, el TD se encontrará totalmente satisfecho, pero si Y G su grado de
satisfacción será totalmente nulo. La meta se expresa por medio de un conjunto
difuso en donde de acuerdo a Jiménez et al. (2007), su función de membresía
se puede expresar como (58).
(Z) = (58)
Entonces, el siguiente paso consistirá en buscar una solución balanceada entre el
grado de factibilidad ( ) y el grado de satisfacción del valor objetivo. Como se
desea tener una decisión crisp, Jiménez et al (2007) proponen calcular un grado
de satisfacción balanceado (ωs ) de la siguiente forma:
90
( ) = (59)
Etapa 3. Definición de indicadores de calidad de despensas especificados
por el tomador de decisiones (TD).
En esta etapa el TD define un grupo de indicadores de calidad de las despensas
configuradas ( ) por el modelo y determina el tipo de valoración de cada
indicador: menor es mejor o mayor es mejor. Para esta investigación fueron
considerados algunos de los siguientes parámetros de calidad en las despensas
que resultan de interés para los BA:
= Porcentaje de verduras y frutas por despensa (mayor es mejor)
= Variedad de alimentos por despensa (mayor es mejor).
= Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa (menor es
mejor).
= Días de duración del aporte energético por despensa (mayor es
mejor).
= Costo de recuperación por despensa (menor es mejor).
Etapa 4. Evaluación de indicadores de calidad de despensas ( ) para
solución del modelo en cada corte α ϵ [0,1].
Para resolver el problema, en la Etapa 1, α se estableció paramétricamente para
obtener el valor de la función objetivo para cada una de las α [0,1]. El resultado
es, sin embargo, un conjunto difuso y el planeador tendría que decidir cuál par (α,
Y) considera óptima si quiere obtener una solución crisp.
Cada solución (corte-α) es evaluada para cada indicador de calidad de las
despensas ( ) usando el promedio de la muestra ( ) en cada corte-α con n
datos (número de familias incluidas en el modelo). A continuación en la Figura
3.7, a manera de ejemplo, se presenta el indicador de calidad: porcentaje de
alimento no-perecedero de las despensas ( ) considerando la solución del
91
modelo crisp presentado en la sección 3.6.1 en el corte α=0.2 con n=250 familias.
La media muestral ( ) de este indicador en la solución con α=0.2 es 10.777%
promedio de alimento no-perecedero en las despensas para las 250 despensas
configuradas.
Figura 3.7 Porcentaje de alimento no-perecedero en despensas ( ) con n=250 familias.
Debido a que no todas las muestras (de n familias) en los indicadores de calidad
en despensas ( ) cumplen con el supuesto de normalidad, como una alternativa
de la estimación de la media muestral ( ) en el método propuesto originalmente,
esta investigación incluye la opinión del TD usando la función de probabilidad
acumulativa de una variable aleatoria X para evaluar cada indicador de calidad de
despensas ( ). Esta etapa puede ser modificada como sigue:
Cada solución-α es evaluada para cada indicador ( ) con una prueba de bondad
de ajuste (prueba Anderson-Darling). Una variable aleatoria X (como en la Figura
3.7) es determinada para cada indicador de calidad ( ): , , , y/o
. La probabilidad acumulada para Xo (un valor que puede ser establecido por el
TD) es definido como F( ) = P(X ) para los indicadores de calidad del tipo
92
“menor es mejor”: y , mientras que para los indicadores del tipo “mayor es
mejor” como , y es calculada como 1-F( ) = 1-P(X ).
Etapa 5. Definición de niveles de aspiración y tolerancias para cada
indicador de calidad en despensas ( ).
Después de ver los resultados obtenidos en la etapa previa, el TD deberá
especificar el nivel de aspiración G y su intervalo de tolerancia t para los valores
numéricos obtenidos en cada indicador de calidad de despensas ( ). En el caso
de “menor es mejor”, esto es, en los indicadores de calidad y , el grado de
satisfacción del TD es representado por medio de un conjunto difuso cuya
función de membresía (60) de acuerdo a Jiménez et al. (2007) puede ser
expresada como:
(Z) = (60)
De la misma forma, en el caso de que el indicador de calidad en despensas ( ) es
del tipo “mayor es mejor”, como en , y , el nivel de satisfacción del TD es
expresada por medio de un conjunto difuso cuya función de membresía es (61):
(Z) = (61)
De Peidro et al. (2010), definimos a (i=1,2,3,…,5) como el grado en el cuál son
satisfechos los correspondientes niveles de aspiración de los anteriores
indicadores de calidad en despensas ( ) para un vector de decisión de cada
corte-α.
Etapa 6. Cálculo del grado de satisfacción del desempeño global de los
indicadores de calidad de despensas ( ).
93
Obviamente, al evaluar la solución del modelo en cada corte-α, el TD deseará
obtener un grado máximo de satisfacción en el valor objetivo y en los indicadores
de calidad de las despensas ( ).
Por otro lado, para la búsqueda del vector de decisión que ofrezca la mejor
solución considerando el grado de satisfacción del desempeño global de los
indicadores de calidad de despensas ( ). El TD asigna diferentes pesos
(i=1,2,3,4,5), como en el proceso analítico jerárquico (AHP) para indicar el nivel de
importancia de cada indicador de calidad de despensa ( ) con respecto a todos
los demás. Se obtiene entonces un índice de satisfacción global de indicadores
de calidad de despensas ( ) como (donde ): Φ= = +
+ + + .
Finalmente, el grado de satisfacción del desempeño global en los indicadores de
calidad de despensas ( ) es calculado por el TD a través de la función de
membresía mostrada en (61).
Etapa 7. Búsqueda de una solución balanceada entre el grado de
satisfacción del valor objetivo ( ) y el grado de satisfacción del desempeño
global ( ) en los indicadores de calidad en despensas.
Con el propósito de encontrar una solución balanceada entre el grado de
satisfacción del valor objetivo ( ) y el grado de satisfacción del desempeño global
en los indicadores de calidad de despensas ( ), se obtiene una recomendación
para una decisión final, por medio de un índice de aceptación conjunta (K) con los
dos grados de aceptación mencionados por Peidro et al. (2010):
K= (62)
94
Donde [0,1] es la importancia relativa, asignada por el TD, para el grado de
satisfacción para la función objetivo ( ) en comparación con el grado de
satisfacción global de indicadores de calidad en despensas ).
3.9 Implementación del modelo.
La arquitectura usada para la implementación y resolución del modelo descrito
anteriormente es ilustrada en la Figura 3.8. Todos los experimentos fueron
realizados en una computadora con procesador Intel ® Core 2 Duo con 4.0 GB de
memoria RAM. Los modelos matemáticos propuestos en esta investigación fueron
programados con el software de optimización Lingo 13.0 ®.
Figura 3.8 Diagrama de experimentos computacionales.
95
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
4.1 Introducción.
En este capítulo se realiza la validación de los modelos de asignación-empaque
de alimentos determinísticos y difusos propuestos en esta investigación utilizando
la información proporcionada por un BA del occidente de México (ver Anexo 1): se
consideraron datos proporcionados por el BA de los tipos y cantidad de alimentos
donados y las características de las familias atendidas. Una administración
adecuada de una cadena de suministro (CS) involucra diferentes niveles de
decisiones jerárquicas que de acuerdo a Simchi-Levi (2003) se clasifican como:
estratégicas, tácticas y operacionales. En éste contexto, los BA diariamente
toman una decisión de tipo operacional cuando deciden qué alimentos asignar a
cada comunidad.
4.2 Aplicación a un banco de alimentos en México.
La CS objeto de estudio está formada por 3 eslabones: donadores, el BA y las
familias beneficiarias agrupadas en comunidades. Entre las actividades que
realiza el BA se incluyen el acopio de alimentos a granel de diferentes donadores
(Figura 4.1a), la separación del alimento apto para consumo (Figura 4.1b) y su
asignación diaria a granel a un número programado de comunidades en donde la
cantidad de alimento distribuido a cada comunidad depende solamente del
número de familias en cada una de ellas. Cada día, el personal del BA carga los
camiones programados para cada comunidad (Figura 4.1c) y un responsable de
cada una (un líder seleccionado por la comunidad) reparte el alimento a cada
familia. El objetivo del BA es facilitar que las personas con menos oportunidades
puedan alcanzar una mejor calidad de vida a partir de la alimentación recibida.
96
Figura 4.1a Recepción de alimento a
granel en el almacén. Figura 4.1b Separación de alimento
apto para consumo Figura 4.1c Envío de alimento a
granel a comunidades Figura 4.1 Sistema tradicional de manejo-distribución de alimentos a granel en BA de México.
4.3 Suposiciones del modelo.
Nuestros experimentos incluyeron las características nutricionales y dimensionales
de 100 alimentos, éstos forman parte de alguno de los seis tipos de grupos
nutricionales (Figura 4.2) e incluyen alimentos perecederos y no-perecederos
(alimentos con mayor tiempo de vida en anaquel). El número y características de
las familias incluidas en el modelo fueron diferentes en los experimentos
realizados para probar el modelo propuesto en condiciones variadas.
Figura 4.2 Alimentos incluidos en experimentos por grupo nutricional.
En las corridas experimentales se utilizó un =30% (porcentaje mínimo de frutas y
verduras en cada despensas). Otras suposiciones del modelo son: costo de
recuperación de despensa= CRec =$100, peso mínimo de despensa =
kilogramos, peso máximo de despensa = kilogramos, volumen del
contenedor = cm3.
97
4.4 Resultados.
4.4.1 Análisis estadístico comparativo de la solución del modelo
determinístico con objetivos diferentes e incrementando el número de
familias atendidas.
Para evaluar el desempeño del modelo determinístico en condiciones de
operación diferentes se analizó la asignación-empaque de alimento para 50, 100,
250, 500, 750, 1000, 1250 y 1500 familias respectivamente considerando la
información proporcionada por el BA (Figura 4.3) y los alimentos mencionados en
la Figura 4.2. La Figura 4.3 muestra los histogramas con el número de integrantes
por familia considerados en las simulaciones de esta sección.
Figura 4.3 Número de integrantes en familias consideradas para las simulaciones.
Como se aprecia en la Tabla 4.1, el número de variables de decisión y
restricciones consideradas en el modelo presentado en la sección 3.3 se
incrementa conforme aumenta el número de familias incluidas. En ambos casos,
los dos objetivos del modelo presentados en la Tabla 4.1 requieren ser
maximizados.
98
Tabla 4.1 Resumen del número de variables y restricciones en modelos utilizados.
No. Familias Objetivo Objetivo del modelo Variables Enteros Restricciones
1 Alimento perecedero (Kgs) 5,000 3,950 5,401
2 Aporte energético (Kcal) 5,000 3,950 5,401
1 Alimento perecedero (Kgs) 10,000 7,900 10,701
2 Aporte energético (Kcal) 10,000 7,900 10,701
1 Alimento perecedero (Kgs) 25,000 19,750 26,601
2 Aporte energético (Kcal) 25,000 19,750 26,601
1 Alimento perecedero (Kgs) 50,000 39,500 52,201
2 Aporte energético (Kcal) 50,000 39,500 52,201
1 Alimento perecedero (Kgs) 75,000 59,250 78,851
2 Aporte energético (Kcal) 75,000 59,250 78,851
1 Alimento perecedero (Kgs) 100,000 79,000 105,101
2 Aporte energético (Kcal) 100,000 79,000 105,101
1 Alimento perecedero (Kgs) 125,000 98,750 131,351
2 Aporte energético (Kcal) 125,000 98,750 131,351
1 Alimento perecedero (Kgs) 150,000 118,500 157,601
2 Aporte energético (Kcal) 150,000 118,500 157,601
1000
1250
1500
50
100
250
500
750
Para evaluar el desempeño de éste modelo, en la Tabla 4.2 se analiza el tipo de
solución encontrada, el tiempo de búsqueda de la solución, el contenido
energético total asignado, la cantidad total de alimento perecedero asignado y el
porcentaje promedio de alimento perecedero por despensa. Como se explica en la
sección 3.3.1, el escenario 1 considera un enfoque logístico en el primer objetivo
del modelo mientras que el escenario 2 considera un enfoque nutricional en el
segundo objetivo.
99
Tabla 4.2. Tiempo de solución y valor del objetivo encontrado por escenario de operación.
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 2 4,452 1,345,314.79 2,000.00 100.00%
2 OBJETIVO 2 Factible 3600 25,380,654 2,209,923.80 1,724.84 86.53%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 3 6,976 2,503,399.47 4,000.00 100.00%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 67 135,831 3,888,819.37 3,537.58 88.44%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 14 20,312 5,759,309.11 7,383.91 94.05%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 165 58,699 6,986,030.77 7,383.91 90.06%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 9 19,227 6,334,277.48 9,885.08 96.31%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 10 23,878 9,580,244.18 9,885.08 87.87%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 14 33,467 8,450,907.96 10,411.23 91.52%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 16 39,351 11,605,464.18 10,411.23 84.17%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 40 85,252 8,998,545.94 10,937.38 91.06%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 28 60,749 12,573,564.34 10,937.38 83.48%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 63 114376 10,062,921.82 11,326.03 89.30%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 81 165043 12,708,714.34 11,326.03 83.63%
Escenario Objetivo analizado Tipo de solución
Tiempo de
solución
(segundos)
Iteraciones
Contenido energético
total (kilocalorías)
asignado
Cantidad total de
alimento (kilogramos)
perecedero asignado
Porcentaje promedio de
alimento perecedero
repartido por despensa
1 OBJETIVO 1 Óptima global 214 222800 12,047,739.22 11,602.18 85.65%
2 OBJETIVO 2 Óptima global 136 174755 12,792,114.34 11,602.18 84.27%
ANÁLISIS PARA 1000 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 1250 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 1500 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 50 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 100 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 250 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 500 FAMILIAS
ANÁLISIS PARA 750 FAMILIAS
Para analizar los atributos de las despensas configuradas en cada escenario, en la
Tabla 4.3 se realizó un análisis estadístico comparativo de cada atributo entre
ambos escenarios considerando atributos nutricionales y logísticos para las
despensas definidos por la organización.
100
Tabla 4.3 Atributos para evaluar la calidad de las despensas configuradas. Número de atributo Atributo Unidad Tipo
1 Kilogramos de alimento por despensa Kilogramos Logístico
2 Porcentaje del volumen del contenedor que abarca el alimento Porcentaje Logístico
3 Costo de recuperación por despensa Pesos mexicanos Logístico
4 Variedad de alimentos por despensa Tipos de alimentos Logístico
5 Porcentaje de frutas y verduras por despensa Porcentaje Nutricional
6 Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa Porcentaje Nutricional
7 Días de duración del aporte energético por despensa Días Nutricional En ésta investigación se realizó un análisis comparativo de los atributos obtenidos
en las despensas considerando en el modelo de la sección 3.3, la función objetivo
1 (escenario 1) y la función objetivo 2 (escenario 2). La Figura 4.4 muestra un
comparativo del peso por despensa obtenido por el modelo considerando cada
objetivo e incrementando el número de familias en las simulaciones. Los puntos
rojos mostrados en la Figura 4.4 representan los kilogramos de alimento incluidos
en cada despensa por familia al considerar en el modelo de 50 hasta 1500 familias
simultáneamente.
Figura 4.4 Análisis comparativo de kilogramos de alimento por despensa al incrementar el número de familias atendidas.
La prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada ( [Banks et al., (2010)] fue
utilizada para probar el supuesto de normalidad de los datos en la comparación de
atributos (Tabla 4.4).
101
Tabla 4.4 Prueba de normalidad para atributo: kilogramos de alimento por despensa.
N 50 100 250 500 750 1000 1250 1500
Objetivo 1 - - < 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05
Objetivo 2 - - < 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05*** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, podemos rechazar la idea que la muestra proviene de
una distribución normal con nivel de confianza del 95%
Familias incluidas en modelo
Debido a que los datos utilizados en el análisis comparativo de los atributos no
cumplieron con el supuesto de normalidad, esta investigación utilizó la prueba
comparativa de medianas de Mann-Whitney (Wilcoxon) para cada atributo (63).
Estas es una prueba no-paramétrica para la igualdad de medianas para dos
poblaciones [Devore, (2001)].
(63)
También se realizó un análisis comparativo de varianzas para probar su igualdad
entre las muestras de cada atributo. Se utilizó la prueba de Levene (64) ya que es
más robusta al supuesto de no-normalidad de los datos.
= (64)
Tabla 4.5 Análisis comparativo de medianas y varianzas entre escenario para kilogramos de alimento por despensa.
50 100 250 500 750 1000 1250 1500
Mann-Whitney (Wilcoxon)** - - < 0.04 < 0.05 < 0.05 < 0.05 < .05 < 0.05
Prueba de Levene*** - - < 0.05 < 0.05 0.963 < 0.05 0.995 < 0.05
** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, la mediana de la muestra 1 es estadísticamente menor que
la mediana de la muestra 2 con un nivel de confianza del 95%.
*** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, podemos rechazar la idea que las varianzas son estadísticamente
iguales con un nivel de confianza del 95%.
Familias incluidas en modelo
102
La Tabla 4.5 indica que los kilogramos de alimento por despensa (de 50 a 1500
familias) obtenido en cada escenario son estadísticamente diferentes en sus
parámetros de tendencia central (mediana) y el de dispersión (varianza), excepto
para la comparación de varianzas con 750 familias (valor-p=0.963) y 1250 familias
(valor-p=0.995).
En la Figura 4.5 se presenta un análisis comparativo gráfico para el resto de los
atributos mencionados en la Tabla 4.3 al incluir en el modelo cada objetivo. La
medida de tendencia central (mediana) de la muestra es representada con un
círculo.
103
Figura 4.5 Representación del valor del atributo de calidad en despensas.
La Tabla 4.6 presenta un resumen de la validación del supuesto de normalidad
para la comparación de escenarios por cada atributo. Tal como se aprecia en el
análisis, podemos rechazar la idea de que las muestras provienen de una
distribución normal, excepto en el atributo volumen con 50 y 100 familias y con
frutas y verduras considerando 100 familias.
104
Tabla 4.6 Prueba de normalidad por atributos en despensas.
Del análisis realizado en la Tabla 4.6, debido a que los datos utilizados en el
análisis no se ajustan a una distribución normal, se realizó un análisis estadístico
no-paramétrico comparativo entre escenarios para el resto de los atributos en
despensas mostrados en la Tabla 4.3. Como también se observa en las Figuras
4.6 y 4.7, el valor-p 0.05 en el análisis no-paramétrico comparativo de medianas
y varianzas (Tabla 4.7) permite concluir que las características de las despensas
configuradas con el modelo para cada atributo son estadísticamente diferentes
entre escenarios para la mayoría de atributos.
105
Tabla 4.7 Análisis comparativo de medianas y varianzas por atributos.
La Figura 4.6 presenta un análisis comparativo que resume el valor obtenido de
cada atributo considerando cada escenario propuesto y el número de familias
utilizado en las simulaciones. Debido a que la mayoría de los datos analizados no
cumplen con el supuesto de normalidad, se prefirió el uso de la mediana sobre la
media como parámetro de tendencia central.
106
Figura 4.6 Análisis comparativo de tendencia central (medianas) para cada atributo de despensa
evaluada por objetivo.
Por otro lado, la Figura 4.7 muestra un análisis comparativo de la dispersión
(desviación estándar) de las despensas por atributo cuando se incrementa el
número de familias en el modelo para cada escenario de operación.
107
Figura 4.7 Análisis comparativo de dispersión (desviación estándar) para cada atributo de
despensa evaluada por objetivo.
En el análisis de la Tabla 4.2, se observa que en el escenario 1 se obtienen
soluciones óptimas en un menor tiempo excepto para 1000 y 1500 familias, sin
embargo, ésta decisión implica que el porcentaje de alimentos perecedero sea
mayor al considerar un menor número de familias aunque éste porcentaje empieza
108
a acercarse a los resultados del escenario 2 conforme se incrementan las familias.
Bajo el escenario 1, el modelo genera asignaciones con menor cantidad de
contenido energético que en el escenario 2. Del análisis también se aprecia que
los kilogramos de alimento perecedero asignado son similares en ambos
escenarios a partir de 250 familias aunque el porcentaje promedio de alimento
perecedero repartido por despensa es mayor con el escenario 1, por lo que se
concluye que se asigna más kilogramos de alimento (perecedero y no-perecedero)
con el escenario 2.
A pesar del incremento del número de variables de decisión y restricciones en el
modelo (presentados en la Tabla 4.1), la Tabla 4.2 nos indica que el tiempo de
solución en ambos escenarios es adecuado. Por otro lado, el análisis realizado
nos arrojó que a partir de 500 familias se requiere eliminar del modelo la
restricción de peso mínimo en la despensa (ecuación 5) para obtener soluciones
factibles, a pesar de esto, el análisis de la Figura 4.4 nos indica que siguen
configurándose despensas con más de 30 kilogramos hasta con 1000 familias.
Tal como se observa en la Figura 4.5, en los atributos porcentaje de frutas y
verduras por despensa (atributo # 5) y de porcentaje de alimento no-perecedero
por despensa (atributo #6) existe una tendencia incremental (en tendencia central)
en ambos escenarios analizados conforme se aumenta el número de familias
incluidas en el modelo, mientras que en el resto se observa una tendencia
negativa conforme se incrementan las familias.
Algunos puntos a resaltar del análisis de la Figuras 4.5 y 4.6, son:
o Aunque el peso de las despensas tiende a disminuir en su medida de
tendencia central (mediana) conforme se incrementa el número de familias,
también se aprecia que la medida de dispersión (desviación estándar)
aumenta a partir de 100 familias por lo que se obtiene una mayor dispersión
en éste atributo con el escenario 1.
109
o Se observa que aunque la mediana del volumen por despensa disminuye
conforme aumenta el número de familias, el modelo configura despensas
con mayor dispersión en éste atributo, es decir, se obtienen despensas más
heterogéneas, presentando una mayor dispersión en el escenario 1 a partir
de 250 familias.
o El costo por despensa tiende a disminuir y esto se debe principalmente a
que se incluyen menos alimento por despensa con más familias, aunque la
Tabla 4.7 indica que la varianza observada entre escenarios es
estadísticamente igual para 250, 500 y 1250 familias.
o La variedad de alimento por despensa también tiende a disminuir con más
familias, aunque se aprecia un ligero incremento con 1250 familias.
o En los dos escenarios de operación, el porcentaje de frutas y verduras
incluidas en cada despensa se incrementa en su medida de tendencia
central (mediana) y de dispersión (desviación estándar) conforme se
incrementa el número de familias. Resalta el hecho que estadísticamente
son iguales las medidas de medianas y varianzas para 250, 500,750 y 1500
familias.
o Se observa una mayor dispersión en el atributo porcentaje de producto no-
perecedero cuando se incrementa el número de familias, principalmente en
el objetivo 2, aunque el análisis de dispersión nos arroja que el objetivo 1
configura despensas más heterogéneas.
o En los días de duración por despensa calculados a partir de los
requerimientos nutricionales por familia, el valor de tendencia central
(mediana) tiende a disminuir en ambos escenarios conforme se incrementa
el número de familias en el modelo, además que la medida de dispersión
(desviación estándar) del atributo también se reduce. Es decir, se
configuran despensas con un menor contenido energético y despensas más
homogéneas entre sí cuando se incrementa el número de familias.
El análisis estadístico de medianas y varianzas realizado en las Tablas 4.5 y 4.7 y
el análisis de tendencia central y dispersión de las Figuras 4.6 y 4.7 nos permiten
mostrar en la Tabla 4.8 las preferencias de escenarios por atributo. Los resultados
110
obtenidos indican que es mejor el escenario 2 en la mayoría de los atributos
definidos en el estudio.
Tabla 4.8 Preferencia de escenario por atributo. NÚMERO DE ATRIBUTO ATRIBUTO TIPO MODELO ESCENARIO
1 Kilogramos de alimento por despensa Logístico Objetivo 2 2
2 Porcentaje del volumen del contenedor que abarca el alimento Logístico Objetivo 2 2
3 Costo de recuperación por despensa Logístico Objetivo 1 1
4 Variedad de alimentos por despensa Logístico Objetivo 2 2
5 Porcentaje de frutas y verduras por despensa Nutricional Objetivo 1 o 2 1 o 2
6 Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa Nutricional Objetivo 1 1
7 Días de duración del aporte energético por despensa Nutricional Objetivo 2 2
Finalmente, en la Figura 4.8 se resumen algunas de las características de las
despensas para 10 familias seleccionadas aleatoriamente en la solución del
modelo con el escenario 2 (objetivo 2) y considerando 250 familias.
111
Figura 4.8 Ejemplo de características nutricionales y dimensionales de despensas
configuradas en escenario 2 con 250 familias.
4.4.2 Análisis de la solución del modelo difuso de asignación-empaque
mono-objetivo.
Como resultado del análisis de la sección anterior se concluyó que utilizar el
objetivo 2 (enfoque nutricional) en el modelo de asignación-empaque de alimentos
permite obtener mejores resultados en los atributos de las despensas
configuradas. Por esta razón, la validación del modelo difuso mono-objetivo
presentado en la sección 3.4 fue realizada utilizando el objetivo 2 (enfoque
nutricional) que consiste en maximizar el aporte energético en las despensas
configuradas.
4.4.2.1 Validación del modelo de asignación-empaque utilizando la
transformación propuesta por Jiménez y Peidro.
En esta sección se compara los resultados obtenidos con el modelo difuso
utilizando la transformación presentada en la sección 3.6.1 contra el modelo
determinístico de la sección 3.3. Se busca analizar las posibles mejoras que
ofrece el modelo difuso el cuál incorpora las incertidumbres presentes en una CS
de BA.
Para las simulaciones de esta sección los números difusos triangulares (Figura
3.4) fueron definidos por el TD como porcentajes de desviación en el valor crisp.
Estos porcentajes varían de 3% a 20% dependiendo del parámetro a ser
112
evaluado. Los alimentos considerados en este modelo se describen con detalle en
la Tabla 4.9, mientras que las características de las familias incluidas en las
simulaciones se observan en la Figura 4.9.
Tabla 4.9 Tipos de alimentos incluidos en los modelos difusos.
GRUPO
NUTRICIONALUNIDAD DE MEDIDA EJEMPLO DE ALIMENTOS
TIPO DE
ALIMENTOPARÁMETROS DIFUSOS
Kilogramos Chile caloro, verdolagas, champiñones, etc. 12 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Frijoles empacados en bolsa, latería (chícaros con zanahoria), etc. 5
Piezas fuzzy Camote, papa, chayote, brocoli, etc. 17 Peso por pieza, volumen por pieza, aporte energético por pieza
Kilogramos Limón, lima 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Jugos enlatados o embotellados, frutas enlatadas 4
Piezas fuzzy Papaya, manzana, piña, mango, mandarina 11 Peso por pieza, volumen por pieza, aporte energético por pieza
Kilogramos Arroz, avena 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Pasta para sopa empacada, pan de caja, cereal empaquetado, etc 14
Kilogramos Requesón 1 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Producto empaquetado/embotellado: crema, natilla, leche, arroz con leche 24
Kilogramos Huevo, pollo 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Producto empaquetado/enlatado: atún, salchicha 2
Kilogramos Mantequilla, manteca 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo
Piezas determinísticas Producto embotellado/empacado: aceite, mantequilla 2
TOTAL: 100
Verduras
Frutas
Granos
Lácteos
Carnes
Aceites
Familias
Fre
qu
en
cy
108642
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Familias incluidas en experimentosNúmero de integrantes por familia
Figura 4.9 Características de familias incluidas en experimentos del modelo difuso utilizando la
transformación de Jiménez (2007).
La Tabla 4.10 muestra la eficiencia computacional del modelo determinístico y el
modelo difuso propuesto. El análisis indica que el número de variables de
decisión y restricciones es el mismo, ya que una de las ventajas del método
propuesto por Jiménez (2007) radica en no incrementar el número de variables o
restricciones en el modelo difuso. El tiempo de solución e interacciones se
incrementa de 78 a 246.27 segundos en promedio con el modelo difuso y esto
puede ser debido a que según Bilgen (2010) en los solvers estándar para
problemas de PLEM, el tiempo CPU depende fuertemente del número de
conjuntos de datos individuales empleados en el modelado.
113
Tabla 4.10 Eficiencia de los experimentos computacionales. Modelo Iteraciones Variables de decisión Entero Restricciones Tiempo CPU (segundos)
Determininístico 71,192 25,000 19,750 26,601 78
Fuzzya 80,642 25,000 19,750 26,601 246.27a Resultado promedio para los diferentes modelo generados con varios grados de factibilidad, α ϵ [0,1]
En la Tabla 4.11, se muestra la variación en las kilocalorías (Kcal.) asignadas por
el modelo difuso para cada corte- , estos resultados se comparan con el resultado
obtenido por el modelo determinístico.
Tabla 4.11 Variación de la asignación de kilocalorías de alimento realizada por el modelo difuso
para cada utilizando la transformación de Jiménez (2007).
Grado de factibilidad, αY = Valor objetivo
(Kilocalorías)
0 6,985,866.30
0.1 6,985,721.47
0.2 6,985,683.05
0.3 6,985,562.61
0.4 6,985,748.75
0.5 6,986,025.25
0.6 6,985,919.54
0.7 6,985,876.03
0.8 6,985,929.58
0.9 6,986,030.47
1 6,986,029.87
Modelo determinístico 6,986,031.00
Como se observa en la tabla anterior, si el tomador de decisiones (TD) desea
obtener la mejor solución de acuerdo al valor de la función objetivo deberá de
seleccionar la solución con α=0.9.
Sin embargo, tres parámetros de calidad en despensas han sido considerados
claves por el TD para incluirlos en la evaluación de resultados del modelo:
=porcentaje promedio de verduras y frutas (mayor es mejor), =variedad
promedio de alimentos (mayor es mejor), =porcentaje promedio de alimento no-
perecedero (menor es mejor); todos los indicadores son considerados por familia-
114
contenedor. Por lo tanto, la Tabla 4.12 nos muestra las mejores soluciones
considerando el valor de la función objetivo y los tres indicadores de calidad
anteriormente mencionados.
Tabla 4.12 Análisis comparativo de las mejores soluciones (corte-α) de acuerdo al indicador de
preferencia del tomador de decisiones.
Grado de factibilidad, αY = Valor objetivo
(Kilocalorías)β1 (%) β2 β3 (%)
0 6,985,866.30 77.6185% 20.87 10.1566%
0.1 6,985,721.47 77.7132% 20.98 10.1906%
0.2 6,985,683.05 77.5229% 20.73 10.1968%
0.3 6,985,562.61 77.5780% 20.82 10.1436%
0.4 6,985,748.75 77.6053% 20.84 10.0956%
0.5 6,986,025.25 77.3687% 20.69 10.0404%
0.6 6,985,919.54 77.4969% 20.79 10.0830%
0.7 6,985,876.03 77.4640% 20.74 10.0355%
0.8 6,985,929.58 77.4323% 20.74 10.1032%
0.9 6,986,030.47 77.2167% 21.22 10.1454%
1 6,986,029.87 77.1167% 21.12 10.1529%
Modelo determinístico 6,986,031.00 77.5683% 20.95 10.1125%
En el análisis anterior se observa que, si el TD prefiere seleccionar la solución-α que le
permita obtener el mayor valor objetivo, entonces deberá de seleccionar el corte α=0.9.
Sin embargo, si se prefiere la solución que ofrezca el mayor porcentaje de frutas y
verduras en las despensas ( ) deberá seleccionar la solución α=0.1, pero si el TD le da
preferencia a la variedad de alimento en las despensas ( ) la mejor solución se
encuentra en el corte α=0.9 y finalmente la solución con α=0.2 se deberá elegir cuando el
decisor tiene como preferencia el porcentaje de alimento no perecedero en las despensas
( ). Estos resultados representan una conclusión particular tomando en cuenta los
alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las familias
mostradas en la Figura 4.9.
4.4.2.2 Validación del modelo de asignación-empaque utilizando la
transformación propuesta por Cadenas y Verdegay.
115
Para la validación del modelo matemático mostrado en la sección 3.6.2 fueron
consideradas 250 familias con las características mostradas en la Figura 4.10 y los
100 tipos de alimentos que se muestran en la Tabla 4.9.
0
2
4
6
8
10
12
FA
MIL
IA 1
FA
MIL
IA 5
FA
MIL
IA 9
FA
MIL
IA 1
3
FA
MIL
IA 1
7
FA
MIL
IA 2
1
FA
MIL
IA 2
5
FA
MIL
IA 2
9
FA
MIL
IA 3
3
FA
MIL
IA 3
7
FA
MIL
IA 4
1
FA
MIL
IA 4
5
FA
MIL
IA 4
9
FA
MIL
IA 5
3
FA
MIL
IA 5
7
FA
MIL
IA 6
1
FA
MIL
IA 6
5
FA
MIL
IA 6
9
FA
MIL
IA 7
3
FA
MIL
IA 7
7
FA
MIL
IA 8
1
FA
MIL
IA 8
5
FA
MIL
IA 8
9
FA
MIL
IA 9
3
FA
MIL
IA 9
7
FA
MIL
IA 1
01
FA
MIL
IA 1
05
FA
MIL
IA 1
09
FA
MIL
IA 1
13
FA
MIL
IA 1
17
FA
MIL
IA 1
21
FA
MIL
IA 1
25
FA
MIL
IA 1
29
FA
MIL
IA 1
33
FA
MIL
IA 1
37
FA
MIL
IA 1
41
FA
MIL
IA 1
45
FA
MIL
IA 1
49
FA
MIL
IA 1
53
FA
MIL
IA 1
57
FA
MIL
IA 1
61
FA
MIL
IA 1
65
FA
MIL
IA 1
69
FA
MIL
IA 1
73
FA
MIL
IA 1
77
FA
MIL
IA 1
81
FA
MIL
IA 1
85
FA
MIL
IA 1
89
FA
MIL
IA 1
93
FA
MIL
IA 1
97
FA
MIL
IA 2
01
FA
MIL
IA 2
05
FA
MIL
IA 2
09
FA
MIL
IA 2
13
FA
MIL
IA 2
17
FA
MIL
IA 2
21
FA
MIL
IA 2
25
FA
MIL
IA 2
29
FA
MIL
IA 2
33
FA
MIL
IA 2
37
FA
MIL
IA 2
41
FA
MIL
IA 2
45
FA
MIL
IA 2
49
Nú
me
ro
de
pe
rso
na
sp
or f
am
ilia
Familia atendida
Figura 4.10 Características de familias incluidas en modelo difuso utilizando la transformación de
Cadenas y Verdegay (1997).
Números difusos triangulares (Figura 3.5) fueron definidos por el tomador de
decisiones (TD) como porcentajes de desviación del valor crisp. Estos porcentajes
variaron del 2 al 8% dependiendo del parámetro del modelo a ser evaluado. La
Tabla 4.13 muestra la eficiencia computacional del modelo determinístico y el
modelo difuso propuesto en la sección 3.6.2.
Tabla 4.13 Eficiencia de experimentos computacionales.
Determinístico Difuso
Variables 25,000 25,000
Restricciones 26,601 26,601
Iteraciones* 71,192 11,004,339
Enteros 19,750 19,750
Tiempo solución (seg.) 78 3,600
* resultados promedio con diferentes grados de factibilidad, α ϵ [0,1]
Para los experimentos de esta sección, cuatro indicadores de desempeño en las
despensas fueron establecidos por la organización para encontrar la mejor
solución del modelo difuso: = variedad de alimento por despensa (mayor es
mejor), = porcentaje de alimento no-perecedero por despensa (menor es mejor),
116
= días de duración de aporte energético de despensa (mayor es mejor) y =
costo de recuperación por despensa (menor es mejor).
A continuación se comparan los resultados obtenidos con el modelo difuso y el
modelo determinístico. Por medio del análisis se desea presentar las mejoras que
ofrece el modelo difuso que incorpora la incertidumbre presente en el proceso de
asignación de alimentos a familias en el BA. La Tabla 4.14 presenta la variación
en las kilocalorías (Kcal.) asignadas por el modelo determinístico y se comparan
con los resultados obtenidos por el modelo difuso en cada corte-α. El análisis
también compara los valores promedio obtenidos en los indicadores de calidad
para despensas establecidos por la organización.
Tabla 4.14 Análisis comparativo de resultados obtenidos del modelo determinístico contra el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay (1997).
MODELO
VALOR
OBJETIVO
(Kcal.)
6,986,030.77 20.948 10.113% 3.739 74.557$
0 6,773,339.75 21.024 10.849% 3.688 73.633$
0.1 6,775,591.08 21.068 10.830% 3.679 73.536$
0.2 6,773,254.50 21.072 10.777% 3.685 73.897$
0.3 6,777,085.71 21.100 10.990% 3.678 73.816$
0.4 6,759,082.70 21.428 10.931% 3.667 73.795$
0.5 6,763,966.00 21.240 11.010% 3.674 73.433$
0.6 6,764,318.99 21.236 10.985% 3.665 73.476$
0.7 6,755,475.12 21.076 10.914% 3.660 73.357$
0.8 6,781,798.99 21.296 10.787% 3.679 73.682$
0.9 6,762,299.69 21.464 10.734% 3.672 73.419$
1 6,765,082.28 21.492 10.704% 3.665 73.657$
Dif
uso
(co
rte-α)
Determinístico
Los resultados de la Tabla 4.13 y 4.14 indican que con el modelo determinístico es
posible obtener una mejor solución en el valor objetivo con un menor tiempo de
solución. Sin embargo, también se aprecia que la variedad promedio de alimentos
en despensa ( ) es mayor con el modelo difuso. El porcentaje de alimento no-
perecedero ( ) en promedio es menor en el modelo determinístico que en el
difuso. El indicador que representa los días de duración promedio de aporte
energético de la despensa en cada familia es mayor en el modelo determinístico
117
que en el difuso y esto se debe a que es mayor la cantidad de kilocalorías
asignadas con el modelo determinístico. Los resultados también muestran que el
costo de recuperación promedio de la despensa ( ) es menor en el modelo difuso
que en el modelo determinístico. El modelo difuso incorpora la incertidumbre en
algunos parámetros de los modelos al considerar la variabilidad que existe en las
dimensiones (peso, volumen, aporte energético) de algunos alimentos donados al
BA. Con el modelo propuesto, el TD tiene la opción de modificar estos parámetros
difusos de acuerdo a las características de los productos donados en el día. En los
resultados obtenidos en cada corte-α del modelo difuso se observa que la mejor
solución del modelo (corte- ) es diferente dependiendo del indicador que le
interese evaluar al TD (Tabla 4.14), es decir: la mejor solución si el TD prefiere
maximizar el valor de la función objetivo será en α=0.8, se deberá seleccionar la
solución en α=1.0 si la preferencia radica en la variedad de alimento en la
despensa al igual que en el porcentaje de alimento no-perecedero, para el
indicador la mejor solución se da en el corte α=0.0 y para la solución
seleccionada deberá ser en α=0.7. Los resultados presentados anteriormente
representan una conclusión particular tomando en cuenta los alimentos
considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las familias
mostradas en la Figura 4.10.
4.4.3 Análisis comparativo de la solución del modelo de asignación-empaque
bi-objetivo versus un modelo mono-objetivo.
En ésta sección de este trabajo de investigación, en la Tabla 4.15 se muestran
siete escenarios de operación que fueron analizados y comparados para el
modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas propuesto en la
sección 3.3 y 3.4. La descripción de cada escenario se muestra a continuación.
118
Tabla 4.15 Escenarios evaluados en el modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas.
TIPO DE MODELO OBJETIVO TÉCNICA UTILIZADA ENFOQUE DEL MODELO ESCENARIO
Mono-objetivo Maximizar Z1 Programación Lineal-Entera Mixta (PLEM) Logístico E1
Mono-objetivo Maximizar Z2 Programación Lineal-Entera Mixta (PLEM) Nutricional E2
Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM con programación compromiso, L1 Logístico - Nutricional E3
Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM con programación compromiso, Lα Logístico - Nutricional E4
Mono-objetivo Maximizar Z2 PLEM-Difusa Nutricional E5
Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM-Difusa con programación compromiso, L1 Logístico - Nutricional E6
Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM-Difusa con programación compromiso, Lα Logístico - Nutricional E7
Para la validación de los modelos presentados, en ésta sección fueron
considerados los tipos de alimentos que se describen en la Tabla 4.9. Además, en
la Figura 4.11 se muestran también las características de las 100 familias incluidas
en los experimentos de nuestro análisis.
Integrantes
Fre
qu
en
cy
108642
40
30
20
10
0
Familias incluidas en experimentosNúmero de integrantes por familia
47.31%
52.69%
44.00% 46.00% 48.00% 50.00% 52.00% 54.00%
NIÑOS
ADULTOS
Figura 4.11 Características de familias incluidas en experimentos.
Para el análisis de los resultados en el modelo bi-objetivo determinístico fueron
calculadas con la ecuación (31) las soluciones y ya que son las soluciones
compromiso más comúnmente obtenidas según [Arenas (2005)], mientras que
para la solución del modelo difuso bi-objetivo, las soluciones y fueron
calculadas con las ecuaciones (37) y (39) respectivamente.
119
En primera instancia, en la Tabla 4.16 se calculan los elementos de la matriz de
pago para el modelo bi-objetivo determinístico (Escenarios E3 y E4). Esta matriz
es el resultado de optimizar cada objetivo ( =maximizar asignación de alimento
perecedero (kilogramos), = maximizar asignación de kilocalorías) de forma
separada, asignando al otro objetivo el valor correspondiente para la solución
óptima del primero.
Tabla 4.16 Matriz de pago resultante del modelo determinístico.
Max (Kgs)
Max (Kcal.)
2,503,399.473
De esta forma, es obtenida una matriz cuadrada en la que se refleja el nivel de
conflicto existente entre objetivos. Los elementos de la diagonal principal (en
negrita) se denominan punto ideal. Ya que el punto ideal es inalcanzable como se
observa en la Figura 4.12, resulta útil determinar la solución más apropiada que
sea factible entre un conjunto de soluciones eficientes. El método de las
restricciones fue utilizado para generar el conjunto eficiente de la Figura 4.12, este
método consiste en optimizar uno de los objetivos y el resto de los objetivos se
incorporan al resto de las restricciones. El conjunto compromiso ( - ) fue
calculado utilizando la ecuación (31) utilizando el valor de p=1 y p=α. Dado que
representan las preferencias del decisor respecto a la divergencia existente entre
cada valor objetivo y su ideal, para este análisis fue asumida la misma preferencia
del decisor para cada objetivo, es decir, = 0.5 y = 0.5.
120
Figura 4.12 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales
( de los objetivos con modelo determinístico.
De la misma forma, en la Tabla 4.17 se obtiene la matriz de pago para el modelo
bi-objetivo difuso (Escenarios E6 y E7). El punto ideal se aprecia en la Figura 4.13.
El conjunto compromiso ( - ) del modelo para el corte =0.7 (definido
previamente por el TD) es obtenido del conjunto de soluciones eficientes mostrado
en Figura 4.13.
Tabla 4.17 Matriz de pago resultante del modelo bi-objetivo difuso.
Max (Kgs)
Max (Kcal.)
2,587,355.07
121
Figura 4.13. Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales
( de los objetivos con modelo difuso en el corte =0.7.
En la Tabla 4.18 se muestra la eficiencia computacional de los modelos
determinístico (mono-objetivo, bi-objetivo) y de los modelos difusos (mono-
objetivo, bi-objetivo) considerados en esta investigación. Además, se presentan
los valores obtenidos en las funciones objetivo ( ) para cada escenario
evaluado.
Tabla 4.18 Eficiencia de los experimentos computacionales entre modelos mono-objetivo y bi-objetivo.
Max Z1 Max Z2 L1 (W1=0.5, W2=0.5) Lα (W1=0.5, W2=0.5)
Escenario E1 E2 E3 E4
Z1 (kilogramos) 4,000 3,537.58 3,673.33 3,802.53
Z2 (Kilocalorías) 2,503,399.47 3,888,819.37 3,695,489.77 3,297,253.39
Tiempo CPU (segundos) 4 69 544 1,800
Iteraciones 6,976 135,831 624,238 2,588,934
MONO-OBJETIVO BI-OBJETIVO
DETERMINÍSTICO DETERMINÍSTICO
122
MONO-OBJETIVO
FUZZY, α=0.7
Max Z2 L1 (W1=0.5, W2=0.5) Lα (W1=0.5, W2=0.5)
Escenario E5 E6 E7
Z1 (kilogramos) 3,493.44 3,631.14 3,752.93
Z2 (Kilocalorías) 3,879,978.44 3,684,576.26 3,309,475.15
Tiempo CPU (segundos) 1,800 803 1,800
Iteraciones 1,221,419 2,678,095 740,364
BI-OBJETIVO
FUZZY, α=0.7
Del análisis anterior se aprecia que la mejor solución para maximizar los
kilogramos de alimento perecedero asignado es el escenario E1, mientras que si
se desea maximizar la cantidad de aporte energético (kilocalorías) asignado, el
mejor escenario es E2. Cuando se consideran ambos enfoques (logístico y
nutricional) las mejores soluciones la brindan el escenario E3 y E5. En los
resultados también se aprecia que el tiempo de solución de cada escenario es
adecuado, aunque el escenario E1 y E2 generan mejores resultados en este
rubro. Los resultados presentados anteriormente representan una conclusión
particular tomando en cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el
número y características de las familias mostradas en la Figura 4.11 y en el caso
de la solución del modelo difuso utilizando el corte-α = 0.7.
Para analizar los atributos de las despensas configuradas en cada escenario, en la
Tabla 4.19 se realiza un análisis estadístico comparativo entre los diferentes
escenarios considerando los atributos nutricionales y logísticos mostrados
anteriormente en la Tabla 4.3.
123
Tabla 4.19 Atributos logísticos y nutricionales promedio en despensas configuradas por escenario evaluado.
Max Z1 Max Z2 L1(W1=0.5, W2=0.5) Lα(W1=0.5, W2=0.5)
Atributo \ Escenario (n=250 despensas) E1 E2 E3 E4
Kilogramos de alimento promedio por despensa 40 40 40 40
Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa 73.60% 66.34% 69.73% 69.76%
Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca el alimento 62.18% 60.36% 61.22% 60.90%
Costo promedio de recuperación por despensa $58.12 $98.49 $93.47 $79.96
Variedad promedio de alimento por despensa 24.20 24.91 24.33 23.94
Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa 0.00% 11.56% 8.17% 4.94%
Días promedio de duración del aporte energético por despensa 3.27 5.03 4.79 4.22
MONO-OBJETIVO
DETERMINÍSTICO
BI-OBJETIVO
DETERMINÍSTICO
MONO-OBJETIVO
FUZZYMax Z2 L1(W1=0.5, W2=0.5) Lα(W1=0.5, W2=0.5)
Atributo \ Escenario (n=250 despensas) E5 E6 E7
Kilogramos de alimento promedio por despensa 39.56 39.58 39.58
Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa 65.97% 69.42% 69.43%
Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca el alimento 59.47% 60.73% 60.44%
Costo promedio de recuperación por despensa $98.05 $93.05 $80.45
Variedad promedio de alimento por despensa 24.63 23.44 23.24
Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa 11.69% 8.25% 5.17%
Días promedio de duración del aporte energético por despensa 5.04 4.76 4.29
BI-OBJETIVO
FUZZY
Del análisis previo, se aprecia que en los escenarios E1, E2, E3 y E4 se
configuran las despensas con una mayor cantidad (kilogramos) de alimento. Un
mayor porcentaje de fruta y verdura por despensa se obtienen en el escenario E1
y E4. También resalta el hecho que el E1 configura las despensas con un mayor
volumen de alimento por contenedor, con un menor costo promedio de
recuperación y con una buena variedad (tipos) de alimento por despensa. Sin
embargo, la desventaja principal del escenario E1 radica en que las despensas
configuradas no contienen alimento no-perecedero, ya que es en el escenario E2 y
E5 donde se incrementa el porcentaje promedio de alimento no-perecedero por
despensa. Finalmente, cabe destacar que los días promedio de duración más
altos del aporte energético que brindan las despensas se logran en los escenarios
E2 y E5, los días que va a durar la despensa son calculados a partir del aporte
energético de cada despensa y del consumo diario de las familias. En la Figura
4.14 se realiza un análisis gráfico comparativo de la medida de tendencia central
(media) y dispersión de las despensas configuradas en cada escenario propuesto.
Resalta el hecho, de que en E1 se obtienen despensas a un menor costo de
124
recuperación y esto se debe principalmente a que el costo del alimento no-
perecedero es mayor debido a que este en muchos casos no es donado y es
necesario comprarlo a un costo especial. Los resultados presentados
anteriormente representan una conclusión particular tomando en cuenta los
alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las
familias mostradas en la Figura 4.11 y en el caso de la solución del modelo difuso
utilizando el corte-α = 0.7.
125
Figura 4.14 Análisis descriptivo de atributos logísticos y nutricionales en despensas configuradas
por escenario (n=250 despensas personalizadas).
En la Figura 4.15 se muestran los atributos nutricionales y logísticos obtenidos en
las despensas configuradas para diez familias seleccionadas aleatoriamente; el
análisis compara estos atributos para cada escenario evaluado en esta sección de
la investigación.
126
Figura 4.15 Análisis comparativo entre escenario-familia por atributo nutricional o logístico.
4.4.4 Validación del método interactivo para la toma de decisiones en bancos
de alimentos.
El propósito del análisis presentado en esta sección fue validar el método
interactivo propuesto en la sección 3.7 para el modelo presentado en las
ecuaciones (13)-(28). A continuación, se presentan los resultados obtenidos en
diferentes simulaciones.
4.4.4.1 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por Jiménez
y Peidro.
De los resultados obtenidos en la Tabla 4.12, si el TD en el BA desea encontrar
una solución balanceada (K) entre el grado de satisfacción del valor objetivo ( ) y
el grado de satisfacción del desempeño global en los indicadores de calidad en
despensas ( ), entonces:
127
Basado en (58) y la Figura 4.16, el TD especifica un nivel de aspiración G
(G=6,985,929.58 Kcal.) y su umbral de tolerancia t (G-t=6,985,866.0 Kcal.) para
calcular = . Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla
4.20.
Figura 4.16 Nivel de aspiración del tomador de decisiones.
Tabla 4.20 Grado de satisfacción del TD en el cumplimiento de valor objetivo y .
Grado de factibilidad,
αY (valor objetivo)
Grado de
aceptación (α),
ωα
0 6,985,866.30 0.0048 0.0000
0.1 6,985,721.47 0.0000 0.0000
0.2 6,985,683.05 0.0000 0.0000
0.3 6,985,562.61 0.0000 0.0000
0.4 6,985,748.75 0.0000 0.0000
0.5 6,986,025.25 1.0000 0.5000
0.6 6,985,919.54 0.8421 0.5053
0.7 6,985,876.03 0.1578 0.1105
0.8 6,985,929.58 1.0000 0.8000
0.9 6,986,030.47 1.0000 0.9000
1 6,986,029.87 1.0000 1.0000
Por otro lado, el peso es definido por el TD para cada indicador de calidad en
despensas ( ). Con la intención de obtener el grado de satisfacción Φ, los
siguientes pesos ( ) han sido asignados por el TD:
= = 0.2 +0.5 +0.3
Los grados de satisfacción ( fueron calculados acorde a (61) para (G=77.7%,
G-t=77.1%) y (G=21.224, G-t=20.688), y (60) es usado para (G=10.0%, G +
t=10.2%) y pueden ser establecidos por el TD. Por lo que, la Tabla 4.21 resume el
valor de Φ para cada grado de factibilidad .
128
Tabla 4.21 Análisis comparativo de resultados por despensa-familia-contenedor.
0.2 0.5 0.3
Grado de factibilidad, αY = Valor objetivo
(Kilocalorías)β1 (%) β2 β3 (%) λ2 λ5 λ6 Φ
0 6,985,866.30 77.6185% 20.87 10.1566% 0.8411 0.3358 0.2491 0.4109
0.1 6,985,721.47 77.7132% 20.98 10.1906% 1.0000 0.5373 0.0384 0.4802
0.2 6,985,683.05 77.5229% 20.73 10.1968% 0.6810 0.0821 0.0000 0.1772
0.3 6,985,562.61 77.5780% 20.82 10.1436% 0.7732 0.2463 0.3296 0.3767
0.4 6,985,748.75 77.6053% 20.84 10.0956% 0.8192 0.2836 0.6277 0.4939
0.5 6,986,025.25 77.3687% 20.69 10.0404% 0.4224 0.0000 0.9696 0.3754
0.6 6,985,919.54 77.4969% 20.79 10.0830% 0.6373 0.1866 0.7057 0.4325
0.7 6,985,876.03 77.4640% 20.74 10.0355% 0.5822 0.0970 1.0000 0.4650
0.8 6,985,929.58 77.4323% 20.74 10.1032% 0.5291 0.0896 0.5803 0.3247
0.9 6,986,030.47 77.2167% 21.22 10.1454% 0.1676 1.0000 0.3186 0.6291
1 6,986,029.87 77.1167% 21.12 10.1529% 0.0000 0.8060 0.2721 0.4846
Wi
Finalmente, es calculado el grado de satisfacción de la aceptación, , basado en
un conjunto difuso en la que su función de membresía (61) representa el grado de
aceptación del TD para los parámetros y , y con (60) para el parámetro .
Para obtener una recomendación para una decisión final, se calcula un índice de
aceptación conjunto K de acuerdo a (62). La Tabla 4.22 resume los valores de K
para cada α.
Tabla 4.22 Cálculo del grado de satisfacción conjunto (K) para cada α
β=0.5
Grado de factibilidad,
αY (valor objetivo)
Grado de
aceptación (α),
ωα
Grado de
aceptación
(Φ), ωΦ
Indice de
aceptación
conjunto, K
0 6,985,866.30 0.0000 0.4059 0.20293
0.1 6,985,721.47 0.0000 0.8678 0.43389
0.2 6,985,683.05 0.0000 0.0000 0.00000
0.3 6,985,562.61 0.0000 0.1778 0.08891
0.4 6,985,748.75 0.0000 0.9595 0.47974
0.5 6,986,025.25 0.5000 0.1691 0.33454
0.6 6,985,919.54 0.5053 0.5497 0.52748
0.7 6,985,876.03 0.1105 0.7663 0.43840
0.8 6,985,929.58 0.8000 0.0000 0.40000
0.9 6,986,030.47 0.9000 1.0000 0.95000
1 6,986,029.87 1.0000 0.8975 0.94874
De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 4.22, se observa que, para una
decisión neutral ( =0.5) entre el grado de satisfacción y , la mejor
selección para el TD debería ser la solución con α=0.9. Los resultados
129
presentados anteriormente representan una conclusión particular tomando en
cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de
las familias mostradas en la Figura 4.9.
La Figura 4.17 muestra una análisis comparativo de características nutricionales y
logísticas en despensas configuradas por el modelo determinístico y el modelo
difuso (α=0.9) seleccionado como la mejor solución por el TD.
130
Figura 4.17 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo difuso (α=0.9) para 250
familias.
El análisis anterior nos indica un mejor desempeño del modelo difuso (α=0.9) que
el determinístico en varios parámetros nutricionales (ej. variedad de alimento por
despensa-contenedor) y logísticos (ej. peso y volumen de despensa-contenedor).
Finalmente, la Figura 4.18 presenta un análisis comparativo por familia de las
características (nutricionales y logísticas) de las despensas configuradas por
ambos modelos.
131
Figura 4.18 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo difuso (α=0.9) por familia.
4.4.4.2 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por
Cadenas y Verdegay.
En esta sección se presenta una variante del método de la sección 3.7 ya que la
selección del TD se basa solamente en el grado de satisfacción del desempeño
global en los indicadores de calidad en despensas ( ) el cual integra
simultáneamente el grado de satisfacción del TD en el valor objetivo obtenido.
De los resultados obtenidos en la Tabla 4.14 para poder seleccionar una solución
que considere una satisfacción global ( ) del TD se calculó el grado de
132
satisfacción ( del TD en cada uno de los indicadores de calidad ( )
mencionados en la sección 4.4.2.2. Estos grados de satisfacción ( fueron
calculados utilizando los siguientes valores establecidos por el TD acorde a (61)
para (G=21.492, G-t=21.024) y (G=3.688, G-t=3.660), y (60) es usado para
(G=10.70%, G + t=11.01%) y para (G= $73.357, G + t=$73.897) y pueden
ser establecidos por el TD. Para obtener el grado de satisfacción del TD en el
valor objetivo se utilizaron los siguientes valores: G= 6,781,798.989 Kilocalorías,
G-t= 6,755,475.121 Kilocalorías.
Los pesos establecidos por el TD fueron: =0.15, =0.30, =0.20, =0.25 y
=0.10. Por lo que si, = , entonces el grado de satisfacción global
( ) para cada corte-α se muestra en la Tabla 4.23.
Tabla 4.23 Cálculo del grado de satisfacción global ( ) para cada α.
0.15 0.30 0.20 0.25 0.10
MODELO
VALOR
OBJETIVO
(Kcal.)
VALOR
OBJETIVO
(Kcal.)
6,986,030.77 20.948 10.113% 3.739 74.557$
0 6,773,339.75 21.024 10.849% 3.688 73.633$ 0.6786 0.0000 0.5244 1.0000 0.4881 0.505
0.1 6,775,591.08 21.068 10.830% 3.679 73.536$ 0.7642 0.0940 0.5868 0.7038 0.6680 0.503
0.2 6,773,254.50 21.072 10.777% 3.685 73.897$ 0.6754 0.1026 0.7616 0.8923 0.0000 0.507
0.3 6,777,085.71 21.100 10.990% 3.678 73.816$ 0.8210 0.1624 0.0633 0.6399 0.1507 0.360
0.4 6,759,082.70 21.428 10.931% 3.667 73.795$ 0.1370 0.8632 0.2569 0.2582 0.1896 0.414
0.5 6,763,966.00 21.240 11.010% 3.674 73.433$ 0.3226 0.4615 0.0000 0.4909 0.8585 0.395
0.6 6,764,318.99 21.236 10.985% 3.665 73.476$ 0.3360 0.4530 0.0801 0.1687 0.7803 0.323
0.7 6,755,475.12 21.076 10.914% 3.660 73.357$ 0.0000 0.1111 0.3121 0.0000 1.0000 0.196
0.8 6,781,798.99 21.296 10.787% 3.679 73.682$ 1.0000 0.5812 0.7294 0.7022 0.3988 0.686
0.9 6,762,299.69 21.464 10.734% 3.672 73.419$ 0.2593 0.9402 0.9010 0.4233 0.8857 0.696
1 6,765,082.28 21.492 10.704% 3.665 73.657$ 0.3650 1.0000 1.0000 0.1545 0.4454 0.638
Dif
uso
(co
rte-α)
Determinístico
Wi
Como se aprecia en el análisis anterior, la mejor solución del modelo difuso se
obtiene con =0.9, ya que es el que tiene mayor grado de satisfacción global ( )
al incluir la opinión del TD en el proceso de selección de la mejor solución. La
Figura 4.19 presenta un análisis comparativo de las características del modelo
determinístico contra el modelo difuso (α=0.9) en cuatro de los atributos de calidad
para despensas mostrados en la Tabla 4.3.
133
134
Figura 4.19 Análisis comparativo de atributos de calidad en despensas con modelo determinístico
y difuso ( =0.9).
4.4.4.3 Transformación del modelo difuso con el método de Cadenas y
Verdegay y el uso de funciones de probabilidad en la evaluación de los
indicadores de calidad de despensas ( ).
En el análisis de esta sección se emplea el mismo grado de satisfacción global
( ) empleado en la sección anterior, sin embargo, se introduce una variante al
utilizar el uso de funciones de probabilidad para incluir la opinión del TD en la
evaluación de cada indicador de calidad en despensas ( ). Los detalles de esta
variante del método interactivo se explica en la etapa 4 del método presentado en
la sección 3.7.
Para las simulaciones de este apartado, se consideraron los resultados obtenidos
en la Tabla 4.14 con los indicadores de calidad en despensas ( ) descritos en la
sección 4.3.2.2. Tal como se presenta en el análisis de la sección 4.3.4.2, los
grado de satisfacción ( ) en cada corte-α fueron calculados para el valor objetivo y
para cada indicador de calidad de despensas ( ). Con el propósito de obtener un
grado de satisfacción global ( ), para el análisis de esta sección, los siguientes
pesos ( ) fueron asignados por el TD:
Valor objetivo: = 0.25
= variedad de alimento en despensa: = 0.20
135
= porcentaje de alimento no-perecedero en despensa: = 0.30
= días de duración de aporte energético de despensa por familia: = 0.15
= costo de recuperación de despensa: = 0.10
Por lo que, el grado de satisfacción global ( ) es calculado de acuerdo a la
siguiente ecuación:
= =0.25 + 0.20 + 0.30 +0.15 +0.10
Los resultados obtenidos para cada corte-α son presentados en la Tabla 4.24. Los
resultados de la Tabla 4.24 indican que la mejor selección integrada (considerando
los niveles de aspiración y pesos definidos por el TD) debería ser la solución
obtenida en el corte-α = 0.8.
Tabla 4.24 Solución para cada corte-α y su correspondiente grado de satisfacción global ( ).
0.25 0.20 0.30 0.15 0.10
0 0.6786 0.0000 0.5244 1.0000 0.4881 0.526
0.1 0.7642 0.0940 0.5868 0.7038 0.6680 0.558
0.2 0.6754 0.1026 0.7616 0.8923 0.0000 0.552
0.3 0.8210 0.1624 0.0633 0.6399 0.1507 0.368
0.4 0.1370 0.8632 0.2569 0.2582 0.1896 0.342
0.5 0.3226 0.4615 0.0000 0.4909 0.8585 0.332
0.6 0.3360 0.4530 0.0801 0.1687 0.7803 0.302
0.7 0.0000 0.1111 0.3121 0.0000 1.0000 0.216
0.8 1.0000 0.5812 0.7294 0.7022 0.3988 0.730
0.9 0.2593 0.9402 0.9010 0.4233 0.8857 0.675
1 0.3650 1.0000 1.0000 0.1545 0.4454 0.659
Wi
Mo
de
lo d
ifu
so
(c
ort
e-α
)
Por otro lado, como una variante de la etapa 4 en el método presentado en la
sección 3.7, se propone incluir la opinión del TD usando funciones de probabilidad
acumulativa de una variable aleatoria para evaluar cada indicador de calidad ( )
en cada solución-α. La Tabla 4.25 muestra las distribuciones obtenidas utilizando
la prueba de Anderson-Darling (nivel de confianza al 95%) para cada indicador
evaluado por grado de factibilidad (α).
136
Tabla 4.25 Distribuciones obtenidas para cada parámetro ( ) evaluado.
Distribución Poisson Inverse Gaussian Johnson Bounded Beta
Localización: 4.896756 Mínimo: 1.334683 Mínimo: 51.394617
Escala: 5.952705 Máximo: 17.236690 Máximo: 113.395523
Forma: 12.578641 Forma 1: 2.904324 Forma 1: 2.278155
Forma 2: 1.536295 Forma 2: 3.890489
Distribución Poisson Johnson Bounded Johnson Bounded Johnson Bounded
Mínimo: 5.731470 Mínimo: 1.476785 Mínimo: 50.362739
Máximo: 31.766070 Máximo: 11.704267 Máximo: 140.842632
Forma 1: 1.659674 Forma 1: 1.905017 Forma 1: 1.642182
Forma 2: 0.978644 Forma 2: 1.321926 Forma 2: 1.386689
Distribución Poisson Johnson Bounded Inverse Gaussian Erlang
Mínimo: 5.426465 Localización: 0.717501 Localización: 35.377587
Máximo: 38.943944 Escala: 2.967130 Escala: 3.851952
Forma 1: 2.369571 Forma: 15.494232 Forma: 10.0
Forma 2: 1.278359
Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson Bounded
Mínimo: 5.932382 Localización: 0.383941 Mínimo: 52.441035
Máximo: 26.094990 Escala: 24.865372 Máximo: 146.519736
Forma 1: 1.083909 Forma: 8.527051 Forma 1: 1.831846
Forma 2: 0.753251 Forma 2: 1.344572
Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson Bounded
Mínimo: 5.892770 Localización: 0.634066 Mínimo: 40.464316
Máximo: 26.853565 Escala: 18.022506 Máximo: 123.373873
Forma 1: 1.178535 Forma: 6.901955 Forma 1: 1.039337
Forma 2: 0.787701 Forma 2: 1.797742
Distribución Poisson Johnson Bounded Inverse Gaussian Johnson Bounded
Mínimo: 6.030335 Localización: 1.107325 Mínimo: 55.406416
Máximo: 24.213518 Escala: 2.566364 Máximo: 122.592102
Forma 1: 0.925114 Forma: 10.194971 Forma 1: 1.217231
Forma 2: 0.669667 Forma 2: 1.015344
Distribución Poisson Johnson Bounded Lognormal Johnson BoundedMínimo: 5.951569 Localización: 0.926441 Mínimo: 53.40811
Máximo: 44.996143 Escala: 2.508537 Máximo: 137.460388
Forma 1: 2.096155 Forma: 0.42701 Forma 1: 1.736641
Forma 2: 0.913441 Forma 2: 1.342523
Distribución Poisson Inverse Gaussian Inverse Gaussian Johnson BoundedLocalización: 5.213981 Localización: 0.765987 Mínimo: 55.17201
Escala: 5.700426 Escala: 2.894319 Máximo: 137.24361
Forma: 8.202357 Forma: 16.998659 Forma 1: 1.760542
Forma 2: 1.240790
Distribución Poisson Gamma Lognormal Random WalkLocalización: 6.078760 Localización: 1.083646 Localización: 55.034382
Escala: 3.036271 Escala: 2.344216 Escala: 0.077214
Forma: 1.550583 Forma: 0.457504 Forma: 0.175552
Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson BoundedMínimo: 5.946196 Localización: 0.471186 Mínimo: 58.369027
Máximo: 20.483812 Escala: 23.177565 Máximo: 116.282024
Forma 1: 0.760714 Forma: 8.220509 Forma 1: 1.168972
Forma 2: 0.836216 Forma 2: 0.899092
Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson BoundedMínimo: 6.335758 Localización: 0.342145 Mínimo: 59.587461
Máximo: 21.542488 Escala: 27.975125 Máximo: 108.495959
Forma 1: 0.911735 Forma: 9.400496 Forma 1: 0.891794
Forma 2: 0.793767 Forma 2: 0.728214
0.1 Parámetro
estimadoMedia= 21.0680
Grado de
factibilidad (α)
PARÁMETRO (n= 250 familias)
0.0 Parámetro
estimadoMedia= 21.0240
0.2 Parámetro
estimadoMedia= 21.0720
0.3 Parámetro
estimadoMedia= 21.1000
0.4 Parámetro
estimadoMedia= 21.4280
0.5 Parámetro
estimadoMedia= 21.4920
0.6 Parámetro
estimadoMedia= 21.2400
0.7 Parámetro
estimadoMedia= 21.0760
1.0 Parámetro
estimadoMedia= 21.4640
0.8 Parámetro
estimadoMedia= 21.2760
0.9 Parámetro
estimadoMedia= 21.4640
A través de la función de probabilidad acumulada de cada parámetro , ,
y , el TD calcula la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor (o
137
menor) a un valor dado . Para el análisis de esta sección, el TD propone los
siguientes valores para cada parámetro de calidad ( ) evaluado en las
despensas:
: Probabilidad acumulada de que la variedad de productos por despensa
sea mayor que =18 tipos de productos.
: Probabilidad acumulada de que el porcentaje de productos no-
perecederos por despensa sea menor que =15%.
: Probabilidad acumulada de que los días de duración del aporte
energético por despensa sea mayor que = 3 días por familia.
: Probabilidad acumulada que el costo de recuperación por despensa sea
menor que = 75 pesos mexicanos.
Los resultados obtenido para cada indicador de calidad ( ) en cada grado de
factibilidad (α) se muestran en la Tabla 4.26.
Tabla 4.26 Probabilidad acumulada obtenida para cada indicador de calidad ( ) evaluado en cada
solución-α.
MODELOVALOR OBJETIVO
(Kilocalorías)
1-F(X<18) F(X<15) 1-F(X<3) F(X<75)
0 6,773,339.75 0.70011 0.87125 0.65257 0.57442
0.1 6,775,591.08 0.70338 0.85984 0.65509 0.60990
0.2 6,773,254.50 0.70367 0.88448 0.65691 0.57734
0.3 6,777,085.71 0.70574 0.82431 0.66868 0.61042
0.4 6,759,082.70 0.72930 0.83421 0.65163 0.58951
0.5 6,763,966.00 0.71594 0.81784 0.65097 0.62406
0.6 6,764,318.99 0.71565 0.84169 0.67307 0.62195
0.7 6,755,475.12 0.70397 0.85857 0.67097 0.63508
0.8 6,781,798.99 0.71996 0.87414 0.67021 0.64912
0.9 6,762,299.69 0.73182 0.881 0.66758 0.63741
1 6,765,082.28 0.73373 0.87175 0.67766 0.62799
Dif
us
o (
co
rte
-α)
El análisis de la tabla anterior presenta la mejor solución obtenida para cada
indicador ( ) utilizando este camino alternativo propuesto para la etapa 4 del
138
método de la sección 3.7. Las mejores soluciones para cada indicador son: con
α=1.0, con α=0.5, con α=1 y para con α=0.0. Los resultados presentados
anteriormente representan una conclusión particular tomando en cuenta los
alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las
familias mostradas en la Figura 4.10. Tal como se aprecia en el análisis previo, los
resultados difieren a las preferencias obtenidas en la Tabla 4.23.
Para la etapa 5 del método propuesto en la sección 3.7 y después de analizar la
información obtenida en la Tabla 4.26, el TD puede especificar el nivel de
aspiración G y su umbral de tolerancia t para cada indicador de calidad ( )
analizado. Para este análisis, el TD propone los siguientes valores en el valor
objetivo y para cada indicador de calidad ( ) en despensas:
Valor objetivo: = 6,781,798.989 Kcal.; - =6,755,475.121Kcal.
: = 0.7337; - = 0.7001.
: =0.81784; + = 0.88448
: = 0.67766; - = 0.65097.
: = 0.57442; + = 0.64912.
Entonces, de la etapa 6 es calculado el grado de satisfacción global ( ) para los
diferentes grados de factibilidad (α). Los resultados obtenidos se presentan en la
Tabla 4.27.
139
Tabla 4.27 Grado de factibilidad (corte-α) y su correspondiente grado de satisfacción global ( ).
0.25 0.20 0.30 0.15 0.10
0 0.6786 0.0000 0.1985 0.0599 1.0000 0.338
0.1 0.7642 0.0973 0.3697 0.1544 0.5250 0.397
0.2 0.6754 0.1059 0.0000 0.2226 0.9609 0.320
0.3 0.8210 0.1675 0.9029 0.6635 0.5181 0.661
0.4 0.1370 0.8682 0.7544 0.0247 0.7980 0.518
0.5 0.3226 0.4709 1.0000 0.0000 0.3355 0.508
0.6 0.3360 0.4622 0.6421 0.8280 0.3637 0.530
0.7 0.0000 0.1148 0.3888 0.7493 0.1880 0.271
0.8 1.0000 0.5904 0.1552 0.7209 0.0000 0.523
0.9 0.2593 0.9432 0.0522 0.6223 0.1568 0.378
1 0.3650 1.0000 0.1910 1.0000 0.2829 0.527
Wi
Mo
de
lo d
ifu
so
(c
ort
e-α
)
De acuerdo a los resultados obtenidos en la tabla anterior, usando las funciones
de distribución de probabilidad para cada indicador de calidad evaluado y tomando
en cuenta la opinión del TD, la mejor solución puede ser obtenida con un α=0.3.
Finalmente, la Tabla 4.28 muestra un análisis comparativo de los atributos de
calidad en despensas presentados anteriormente en la Tabla 4.3 que podrían ser
evaluados por el TD en el BA. Estos resultados fueron obtenidos con la solución
del modelo determinístico y la mejor solución encontrada con el modelo difuso
utilizando un grado de factibilidad α=0.3 y α=0.8.
Tabla 4.28 Análisis comparativo de parámetros (nutricionales y logísticos) evaluados en las
despensas por el tomador de decisiones.
DETERMINÍSTICO DIFUSO (α=0.8) DIFUSO (α=0.3)
Kilogramos de alimento promedio por despensa Logístico 32.8 31.6 31.6
Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa Nutricional 77.57% 79.52% 79.29%
Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca
el alimento Logístico 50.96% 49.41% 49.41%
Costo promedio de recuperación por despensa Logístico $74.56 $73.68 $73.82
Variedad promedio de alimentos por despensa Logístico 20.95 21.3 21.1
Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa Nutricional 10.11% 10.79% 10.99%
Días promedio de duración del aporte energético por
despensa Nutricional 3.74 3.68 3.68
TIPO DE
ATRIBUTO
MODELO (n= 250 familias)ATRIBUTO
140
De la tabla anterior, se aprecia que las soluciones del modelo difuso (α=0.8 y
α=0.3) configuran despensas con mayor cantidad de frutas y verduras incluyendo
una mayor variedad de alimentos a un costo menor para las familias atendidas.
Por otro lado, el modelo determinístico configura despensas con un promedio
mayor de kilogramos por despensa y que abarca un mayor volumen de alimento
dentro del contenedor que en la solución del modelo difuso. Los resultados
presentados anteriormente representan una conclusión particular tomando en
cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de
las familias mostradas en la Figura 4.10.
Finalmente, la Figura 4.20 resume algunas características de cinco despensas que
fueron configuradas usando el modelo difuso propuesto en esta sección con una
solución-α = 0.3.
Figura 4.20a: Contenido energético (kilocalorías) por
grupo nutricional
Figura 4.20d: Costo de recuperación por despensa
Figure 4.20b: Kilogramos de alimento por grupo
nutricional
Figure 4.20e: Porcentaje de alimento no-perecedero
por despensa
141
Figura 4.20c: Variedad de alimentos por despensa Figura 4.20f: Porcentaje de frutas y verduras por
despensa
Figura 4.20g: Volumen de alimento (cm3) por despensa
Figura 4.20 Ejemplo de atributos nutricionales y logísticos para despensas usando una solución-
α=0.3.
142
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
Al hacer el análisis de literatura encontramos que el PD coincide con algunas
características del modelo matemático propuesto para el BA, sin embargo, el
problema de asignación-empaque de despensas personalizadas está planteado
en este trabajo en el contexto de un problema de planeación en una CS de un BA
y por lo tanto incluye además restricciones relacionadas a: la oferta de alimento
disponible, capacidad de contenedores para distribución de despensas y
presupuestales. Por otro lado, el PD en la literatura revisada considera que la
configuración de la dieta definida para el modelo es para una persona o animal en
particular, mientras que el modelo propuesto en esta investigación considera
además la asignación de cada alimento en una despensa personalizada para cada
familia atendida en un día laboral.
Nuestro modelo matemático de asignación-empaque de despensas
personalizadas para el BA contempla un modelo híbrido entre un problema de
planeación en una CS, el problema de la dieta y el problema de empaque de
alimentos, al integrar parámetros y variables características de estos tipos de
problemas y utiliza la programación difusa para resolver el problema considerando
simultáneamente un enfoque nutricional y logístico en el modelado.
Este trabajo de investigación propuso un nuevo modelo de PLEM que permite
realizar asignaciones de alimentos en un BA a través de despensas a familias con
características y necesidades diferentes. La originalidad del modelo radica en el
planteamiento y solución de un nuevo problema que integra simultáneamente
parámetros y restricciones nutricionales y logísticas que han sido estudiados en
problemas de forma separada. Por medio de nuestro modelo el TD en un BA
podría realizar asignaciones de alimentos considerando restricciones relacionados
al manejo de alimentos en una CS (disponibilidad de alimento, costo de despensa,
cantidad y peso demandado de alimento, preservación del alimento por medio de
contenedores, etc.) y nutricionales (aporte energético de alimentos, requerimiento
143
energético de familias, cantidad de producto perecedero, cantidad mínima
requerida por grupo nutricional). Debido a que cierta información del proceso y las
características de algunos alimentos no puede ser conocida de forma precisa o
resulta aproximada, esta investigación propuso un modelo de programación difusa
posibilística para incluir dicha incertidumbre en la información de algunos
parámetros del modelo. Además, se consideró un método interactivo de selección
de la mejor solución encontrada para el modelo difuso. A través de la metodología
propuesta, el TD en el BA podría seleccionar la mejor solución basado en el grado
de satisfacción global de parámetros definidos por la misma organización.
El modelo presentado en este trabajo fue analizado con dos objetivos: 1) con un
enfoque logístico que consistió en priorizar la cantidad de alimento perecedero
(kilogramos) que es enviado a las familias en un día y 2) con un enfoque
nutricional que consiste en maximizar el contenido energético total (kilocalorías)
que es enviado a las familias atendidas en un día. Estos objetivos se encuentran
sujetos a restricciones de disponibilidad de alimento en el almacén, capacidad
mínima y máxima de kilogramos de alimento en contenedores, una capacidad
máxima de volumen de alimento en contenedor, la cantidad máxima permitida por
tipo de alimento en cada despensa, una cantidad mínima de contenido energético
por despensa, un porcentaje mínimo de asignación de frutas y verduras en cada
despensa y un costo máximo de recuperación en la despensa. Se analizaron los
resultados de asignación-empaque del modelo desde 50 hasta 1500 familias
diferentes.
Algunos de los puntos relevantes obtenidos fueron:
Con el modelo determinístico se obtienen soluciones óptimas de forma ágil
(tiempo de solución < 250 segundos) al considerar en el modelo cualquiera
de los dos objetivos planteados.
Para poder obtener soluciones factibles, a partir de 250 familias en el
modelo determinístico fue necesario relajarlo eliminando la restricción de
peso mínimo en despensas. Esto genera que se configuren despensas de
144
5 a 40 kilogramos con 500, 750 y 1000 familias. A partir de 1250 familias
se obtienen despensas con menos de 30 kilogramos.
Al comparar estadísticamente los atributos nutricionales y logísticos en las
despensas se aprecia que cuando se considera en el modelo determinístico
el objetivo 2 (enfoque nutricional) se configuran mejores despensas en
cuanto al peso de alimento en contenedor, porcentaje de volumen de
alimento en contenedor, variedad de tipos de alimentos por despensa y
días de duración del aporte energético por familia que al utilizar el objetivo 1
(enfoque logístico).
El análisis realizado con los modelos difusos concluye que se requiere un
mayor tiempo de solución que en los modelos determinísticos para
encontrar una solución óptima.
La solución de los modelos bi-objetivo determinístico y difuso se obtuvieron
en un tiempo de solución mayor a los de los modelos mono-objetivo.
Como trabajos futuros se espera:
adaptar otros métodos de transformación del modelo difuso para evaluar su
efectividad en la solución del modelo de asignación-empaque.
utilizar otros métodos de priorización de la mejor solución del modelo difuso.
analizar el desempeño de los modelos difusos con un mayor número de
familias atendidas.
incluir la incertidumbre de la información en el modelo utilizando
programación estocástica y comparar los resultados con la solución del
modelo difuso.
construir una base de datos basada en Microsof Access® que permita al TD
una mejor y más ágil captura de parámetros, manejo y análisis de la
información de entrada y salida de los modelos propuestos.
145
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160
ANEXO 1
VALIDACIÓN DEL MODELO EN BANCO DE ALIMENTOS DEL OCCIDENTE DE
MÉXICO
161
ANEXO 2
ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN
Cuevas-Ortuño J, Gómez-Padilla A. “Un modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas para bancos de alimentos: un sistema sujeto a condiciones nutricionales y logísticas”. DYNA. Septiembre 2013. Vol. 88-5 p. 560-573. DOI: http://dx.doi.org/10.6036/5584
CONGRESOS DE INVESTIGACIÓN
“Un modelo matemático para la configuración y asignación de despensas en un banco de alimentos: un sistema basado en condiciones nutricionales y dimensionales”. Segundo Congreso Internacional – la investigación en el posgrado. Aguascalientes, Aguascalientes, México. 20-21 Octubre, 2011.
“Allocation-packing of customized food pantries in a Food Bank: a system based on nutritional and logistics conditions”. Industrial and Systems Engineering Research Conference. Institute of Industrial Engineering. Orlando, Florida, United States. May 19-23, 2012.
“Un modelo de programación lineal entera mixta para la asignación-empaque de alimentos: un caso de estudio en un Banco de Alimentos”. 1er. Congreso Nacional de la Sociedad Mexicana de Investigación de Operaciones. Guadalajara, Jalisco, México. 24-26 Octubre, 2012. “Un modelo de programación lineal entera-mixta difuso para asignación-empaque de alimentos en bancos de alimentos bajo incertidumbres nutricionales y logísticas”. Congreso Internacional de Investigación de Academia Journals. Celaya, Guanajuato, México. 14-16 Noviembre, 2012. “Fuzzy optimization to allocation-packing of customized food parcels in food banks”. 22nd International Conference on Production Research. Iguassu Falls, Paraná, Brazil. July 28 – August 1, 2013.