Una secuencia de modelación para la introducción significativa

TESISTA: Octavio Augusto Briceño Silva

DIRECTORA: Gabriela Buendía Ábalos

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La problemática En la enseñanza de la función cuadrática y en especial

cuando se toma el tema de lo variacional surgendificultades para obtener conocimiento sobre elcomportamiento de la función referente a la variación deuna de sus variables. Dolores (1996) nos comenta que encondiciones ordinarias de enseñanza el desarrollo delpensamiento y lenguaje variacional, en especial del análisisdel comportamiento de las funciones es deficiente.

La investigación se basa en la problemática que se vive en elaula en la enseñanza del concepto de función cuadrática anivel de grados inferiores del bachillerato (11 a 12 años) yque se fundamenta en aquellos aspectos que hacen relacióna la variación.

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La investigación La importancia de evitar que el estudiante aprenda los

conceptos enmarcados solamente en procesos algorítmicosy memorísticos, lleva a que se desarrolle esta investigaciónpara fortalecer el conocimiento a través de los significados ydiferentes contextos expuestos en las secuencias.

Nuestra investigación se espera que brinde lasherramientas necesarias para la aplicación en el ambientede aula de los procesos de enseñanza para que el estudiantelogre un aprendizaje significativo. Además, cómo a travésde la práctica de modelación puedo analizar esos aspectosvariacionales de la función cuadrática que se pueden dar alinicio del bachillerato.

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Pregunta de investigación ¿Cómo las prácticas escolares de modelación me

permiten analizar aspectos variacionales de la funcióncuadrática al momento del ingreso del bachilleratopara favorecer una articulación significativa?

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Objetivo Discutir aspectos variacionales de la función

cuadrática a través de la práctica escolar demodelación manejando fenómenos de variación ycambio.

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La modelación La modelación como práctica, permite en el ambiente

de aula disponer de una herramienta educativa quepueda ser usada sin ninguna restricción por todo elprofesorado estableciendo una estrecha relación entreestudiante-saber escolar- y fenómeno.

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La socioepistemología El hablar y tratar la teoría de la Socioepistemología nos lleva a

establecer necesariamente una articulación entre cuatrocomponentes básicos en la construcción social del conocimiento:la naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, laparte cognitiva y los modos de transmisión vía enseñanza(Cantoral, 1999).

Considerando a la Socioepistemología como una nueva basedidáctica, sobre la cual la matemática escolar debe reorganizarla obra matemática, podemos reconocer que en esta teoríainteresa no solamente analizar a los que intervienen en lasactividades, los conceptos a aplicar, la relación entre ellos, sino ala práctica social debido a que ésta explica las formas deconstituir conocimiento (Cordero, 2005).

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Experimentos de diseño EXPERIMENTOS DE DISEÑO: El objetivo principal es el de

analizar el aprendizaje en contexto, mediante el diseño y estudiosistemático de formas particulares de aprendizaje, de estrategiasy herramientas de enseñanza de una forma sensible a lanaturaleza sistémica del aprendizaje, la enseñanza y evaluación.

Esto implica que se generen datos que apoyen el análisissistemático del fenómeno que se investiga. Para poder lograrestos datos se necesita la recopilación y coordinación de unagama de fuentes de datos donde deben aparecer los productosdel aprendizaje (el trabajo de los estudiantes), el discurso en elaula, la postura corporal y los gestos, las tareas y estructuras de laactividad, los patrones de interacciónsocial, inscripciones, anotaciones y otras herramientas, lasrespuestas a las entrevistas o cuestionarios, pruebas u otrasformas de evaluación.

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Experimentos de diseño

La investigación de diseño surge ante la necesidad demetodologías que permitan obtener argumentaciones basadas enla evidencia de contextos naturales, de abordar cuestionesteóricas sobre la naturaleza del aprendizaje en un determinadocontexto y de producir resultados de investigación a partir de laevaluación formativa (Cobb et al., 2003) .

En nuestra investigación los experimentos de diseño nosolamente forman parte del conocimiento de unametodología, sino que además servirán para ponerlos en prácticaen el desarrollo y análisis de la investigación. Los experimentosde diseño aportarán al trabajo aquellas acciones que en larecopilación de datos pasan inadvertidas y las cuales aportanpara la complementación de la investigación.

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META TEÓRICA DE LOS EXPERIMENTOS DEDISEÑO: Desarrollar un marco interpretativo queexplique las relaciones entre las prácticas del profesory el escenario institucional en el cual se trabaja.

Por ejemplo se puede analizar patrones en elpensamiento del estudiante, las relaciones entre lasnormas del aula es decir relaciones entre el profesorcon los líderes profesor con los demás y líderes con losdemás. También las relaciones de los estudiantes conel saber y con el fenómeno de movimiento tanto el deida y regreso como el de caída libre

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IMPORTANCIA DE LA INVESTIGACIÓN: Lo interesante de nuestrapropuesta es que se centra en estudiantes de inicio del bachilleratoentre 12 y 13 años, donde el conocimiento sobre función cuadráticahasta ahora comienza a dar sus primeros pasos y están en tránsito haciael precálculo. La tesis está fortalecida hacia la propuesta de unadidáctica realizable en el aula de clase lo cual se reporta en el diseño delas secuencias y en el análisis de éstas.

El tomar como parte metodológica los experimentos de diseño haceque nuestra propuesta se encamine en analizar aspectos de una maneradiferente en el aula de clase. Los experimentos de diseño, no son tareasde clase sino que están dentro de un diseño pedagógico mirado hacia elaula de una manera inteligente y propositiva a partir de resultados de lainvestigación, permitiendo además desarrollar teoría

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CUESTIONARIO DIAGNÓSTICO PLANEACIÓN: El cuestionario

diagnóstico se concibió con el fin deaplicárselo a estudiantes de un nivelinferior al que se aplica las secuenciasy el propósito de esta prueba es la deconocer aquello que los estudiantessaben sobretrayectoria, gráficas, relacióndistancia-tiempo.

Los estudiantes se escogieron al azarde dos grupos conformados por 35estudiantes cada uno.

METODOLOGÍA: El cuestionario lotomaron 27 estudiantes. Consta decinco preguntas que indagan sobretrayectorias, gráficas y lenguajematemático.

CUESTIONARIO DIAGNÓSTICO

PLANEACIÓN

METODOLOGÍAANÁLISIS DEL

CUESTIONARIO


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ANÁLISIS: Pregunta 1

Pregunta 2 Pregunta 3

Pregunta 4Pregunta 5

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MALLA DE

ANÁLISIS

TIEMPO COMO VARIABLE

INDEPENDIENTE

LOS INTERVALOS

EN LA GRÁFICA

PUNTOS CLAVE EN

UNA GRÁFICA

SECUENCIA NUMÉRICA EN TABLAS

A partir de los discursos de los estudiantes se reconoce el tiempo como connatural donde tienen que ver con estados distintos de acuerdoal paso del tiempo, donde hay un antes y un después de una misma cosa a la que se le detectan estados diferentes y se describen dando cuenta del tipo de cambio sucedido (Díaz , 2005) .

Buendía (2012) en su trabajo reconoce el uso de los intervalosen la gráfica como una estrategia de resolución de la actividad propuesta, donde la acumulación de distancias de intervalos da la proporción total.

Buendía (2012) comenta que otra estrategia de resolución de las preguntas propuestas cuando se usa la gráfica es la identificación de puntos clave o significativos, ya sea numéricamente para utilizarlos en fórmulas o de forma gráfica, para hallar las coordenadas de intersección.

Arrieta (2003) en su trabajo de investigación llama la numerización de los fenómenos a aquellas prácticas de modelación donde se parte de la recolección de datos numéricos de un fenómeno para construir modelos numéricos.

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SECUENCIAS

DISEÑO

ASPECTOS METODOLÓGICOS

DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA

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DISEÑO DE SECUENCIAS: Las secuencias diseñadas parten defenómenos físicos extraídos de la observación diaria donde sintanto conocimiento de conceptos físicos el estudiante puederelacionar y establecer procesos matemáticos para el aprendizajereferente a la función cuadrática.

La secuencia es aplicada a estudiantes del grado octavo delInstituto Integrado San Bernardo Floridablanca (Colombia)siguiendo los lineamientos curriculares, y estándares dematemática propuestos por el ministerio de educación nacional.. Estudiantes comprendidos entre 12-13 años correspondientes auna grado intermedio del bachillerato.

Las secuencias serán el medio por el cual se muestra laintencionalidad de la modelación para que los estudianteslogren establecer relaciones significativas entre gráfica-álgebra-tabulaciones, relaciones entre magnitudes variables, relacionesentre diferentes contextos e integre el mundo real al ámbitoescolar.

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SECUENCIA 1 Y 2: Constan de 7 preguntas donde losaspectos variacionales de la función cuadráticaexpuestos en la malla de análisis se consideran. Estosaspectos variacionales se reconocerán en la secuenciadonde las preguntas llevan a que se establezcan estosaspectos para dar las respuestas.

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ANÁLISIS A PRIORIExperimentos de diseño

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ASPECTOS METODOLÓGICOS

PLANEACIÓN SECUENCIA 1

Cada grupo tuvo una grabadora de audio y un computador. Se posicionó una cámara de video en

un lugar fijo que estuvo controlada por una persona y otra cámara rodante que tomó videos

cortos y fotografías manejada por una persona, a la cual se le indicará los momentos o instantes que

debe realizar las tomas. Cobb et al. (2003) nos dicen que el apoyo tecnológico para la generación

de los datos (por ejemplo, cámaras de video, sistemas de grabación de audio sofisticados dispositivos electrónicos de almacenamiento en

masa)

PLANEACIÓN SECUANCIA 2

Fluye la idea del fenómeno de lanzamiento vertical de una pelota con todas sus características de desplazamiento y de transcurrir del tiempo. Esto se da cuando se

intercambian ideas con los estudiantes.

Se comienza diseñando una variedad de preguntas

ajustadas al fenómeno, pero que a medida que se trataba el caso y se relacionaba con los objetivos propuestos, éstas se iban depurando hasta lograr

siete preguntas correspondientes al fenómeno

elegido.

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DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA: SECUENCIA 1: Se describe cada una de las preguntas propuestas y lo sucedido en el

desarrollo de éstas. El movimiento de las manos es muy particular en los estudiantes paraindicar desplazamiento, para mostrar el movimiento que realiza el auto que va en lamontaña y compararlo con el que se mueve en forma recta. El uso de las manos daba aentender lo que conocían sobre el movimiento y trataban de representarlo con ellas. Lasexpresiones gestuales que intercambiaban entre ellos les permitían explicar mejor lo quequerían comunicar. Cobb et al. (2003) comentan que es necesario generar datos queapoyen el análisis del fenómeno que se investiga y para esto se necesita la recopilación ycoordinación de fuentes de datos donde aparezcan los productos del aprendizaje entrelos que se encuentra el discurso de aula, la postura corporal, los gestos, las interacciones,las tareas entre otros.

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los estudiantes se dedican a tomar datos usando el applet como ayuda. Usan escuadras y reglas para realizar tablas como también el uso de calculadoras aunque no las necesitaran. En la toma de datos muy juiciosos la realizan estableciendo la relación distancia-tiempo en cada tabla. Un grupo toma a parte los datos de ida y los de regreso.

Al realizar la gráfica un grupo no toma el primer cuadrante como generalmente se hace para realizar la gráfica, sino que toma el segundo cuadrante y establece las magnitudes en los ejes

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SECUENCIA 2: El movimiento de las manos es muy particular en los estudiantes paramostrar la trayectoria de la pelota cuando sube y baja. Luego para reconocer que esemovimiento se representa en una gráfica en forma curva. Estos gestos se presentan entodos los grupos, unos lo realizan con más vehemencia que otros. En la metodologíaexperimentos de diseño los gestos, las anotaciones, las interacciones de los estudiantesson parte del análisis para lograr los objetivos propuestos (Cobb et al.2003).

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El uso del applet fue una ayuda necesaria para los estudiantes. En loscurrículos de las instituciones los nuevos recursos, tales comoprogramas informáticos, pueden ser usados para apoyar la formaprevista de aprendizaje (Cobb et al., 2003).

Usan en forma ordenada los datos tomados del fenómeno demovimiento y lo plasman en tablas.

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Análisis de secuencias SECUENCIA 1 EL TIEMPO COMO VARIABLE INDEPENDIENTE: Los estudiantes reconocen el tiempo

como algo que transcurre en forma progresiva cuando toman valores numéricos yrealizan comparaciones. Reconocen a partir de un punto dado que hay un antes y undespués, en nuestro caso un ida y un regreso.

I: que hace el auto cuando pasa el tiempo

E1: si subimos el tiempo va cambiando

E1: a medida que va subiendo cambia el tiempo y la distancia

I: observen lo que hace el auto en el applet

E2: el auto va hasta una distancia y vuelve

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Análisis de secuencias USO DE LA GRÁFICA: PUNTOS CLAVE. Reconocen que los movimientos tienen formas

diferentes, pero al localizar puntos clave no los colocan en los puntos adecuados. Toman una rectaunidimensional marcando los puntos con letras y le dan la forma de curva para representar lamontaña.

Utilizan valores numéricos para determinar la posición de los puntos clave tomándolos del applet odirectamente a través de mediciones que ellos realizan, estableciendo una magnitud para obtener lamedición.

E1: uno que sube una montaña y otro que va horizontal

E1: Es una trayectoria, como la mostrada por el gusanito

E2: hágale una carretera una con una curva y otra derecha

E3: ya entendí, uno va de B a C y el otro va a través de una montaña ese que va y no vuelve más

E3: es una trayectoria

E3: como la montaña se eleva más debe ser más cortica, claro

E1: da lo mismo porque si fuera una montaña empinada ahí sí tendría que hacer esfuerzo para subir

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Análisis de secuencias

USO DE LA GRÁFICA : INTERVALOS. Al realizar las comparaciones de los tramos elegidos toman valores numéricosdel tiempo dado en el simulador que sirven para reconocer cuál tramo se demora más y cuál menos.

Toman medidas directamente del applet, usando una medida especial como un hilo.

I: que están ustedes haciendo?

E1: estamos haciendo la figura para estirarla para saber cuánto

mide

I: ¿como la plasmó allá?

El estudiante con un hilo muestra al investigador la manera como

lo está tomando

E1: esto es para calcular en cuanto es la medida de la montaña

I: le piden las medidas?

E1. No pero piden las trayectorias y dibújelas

E2: pero usted cortó la medida acá y debe llegar hasta acá

E1: ahí está bien, lo que yo estoy mirando es la trayectoria

E2: está la línea recta, ahora vamos hacer la montaña

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USO DE TABLAS: SECUENCIA NUMÉRICA. La totalidad de los gruposestablecen una secuencia numérica, iniciando con la variableindependiente del tiempo y buscando a partir de ésta la relación con ladistancia.

En cada una de las gráficas que realizan los grupos plasman los valoresnuméricos estableciéndolos en los ejes de forma ascendente en el caso deltiempo y de la misma manera con la distancia, teniendo en cuenta que éstaregresa a partir de uno de sus valores.

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SECUENCIA 2 EL TIEMPO COMO VARIABLE INDEPENDIENTE: Establecen el tiempo como variable al dibujarla en

uno de los ejes de la gráfica.

los grupos reconocen que el tiempo siempre aumenta mientras la otra variable en unos momentosaumenta y en otros disminuye.

E1: coloquemos el tiempo aquí y la distancia en la otra

E1: las distancias en k tienen un tiempo pero para L tienen otro tiempo, y para llegar a P tiene otro tiempo.

E1: aquí estamos representando tanto el de subida como el de bajada

E1: el tiempo total es 8 segundos, tenemos que saber la distancia

E1: tomemos la distancia de dos en dos

E2: más o menos se debe dar es la gráfica

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USO DE LA GRÁFICA: PUNTOS CLAVE. tres grupos reconocen que los puntos delmovimiento de lanzamiento vertical se pueden llevar al otro movimiento curvo y que lospuntos que se toman en los dos movimientos tanto de subida como de bajada son losmismos porque la pelota pasa por esos puntos.

tres de los grupos marcan en el plano cartesiano puntos clave (K, L, M, N, P) como guíaspara realizar la gráfica. Establecen valores numéricos en uno de los ejes del tiempo parahacer la correspondencia con los puntos nombrado anteriormente que indican para ellosvalores de altura y uno de los grupos establece parejas ordenadas uniéndolo con líneaspunteadas.

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USO DE LA GRÁFICA: INTERVALOS. los grupos realizan la gráfica reconociendo que una porción grande, ya sea altura o tiempo se puede dividir en otras más pequeñas; esto se puede observar cuando realizan su gráfica.

Reconocen que hay una subida y una bajada, y con esto están demarcando dos porciones del movimiento.

E1: debemos saber cuánto tiempo hay desde L hasta K

E1: para M, N, P de bajada el tiempo va aumentando

I: ¿qué pasa con el tiempo de subida?

E3: el tiempo es 4

E3: que es el mismo de bajada

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USO DE TABLAS. SECUENCIA NUMÉRICA. los grupos establecen unasecuencia numérica para realizar la tabla, donde se muestra el tiempo comovariable independiente y la altura como la otra variable. Establecen a partir deun intervalo de tiempo su respectivo valor para la altura.

Establecen parejas ordenadas tomadas de las tablas y las unen a través de líneaspara localizar el punto. Ordenadamente colocan los valores numéricos en susrespectivos ejes.

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Síntesis final Se pudo observar que el estudiantado utiliza algunas propiedades y características para significar el

tiempo estableciendo que es independiente, se le puede dar valores numéricos, lo toman comointervalos y como un todo. Si se toma el tiempo en una dimensión la reconocen como ese algo quesiempre avanza representándolo como un punto y cuando la toman en forma bidimensional ya seapara relacionarla con la distancia del auto o la altura de la pelota establecen intersecciones señalandopuntos donde esto sucede.

De acuerdo a lo visto y analizado en cada una de las secuencias se puede comentar que las gráficas enel caso que nos compete son básicas para observar las variaciones de las magnitudesestablecidas, determinar el comportamiento del fenómeno, establecer relaciones distancia-tiempo oaltura-tiempo, establecer proporcionalidad, establecer puntos clave, establecer parejas ordenadas yreconocer intervalos (algo que se puede partir en porciones). Por esto tomamos como aspectovariacional los intervalos y los puntos clave; el uso de las gráficas se percibe como una herramientapara que dichos aspectos sean significativos

Las tablas sirven de organizador de los datos numéricos para llevarlos a la gráfica; pero también medan indicios de la proporcionalidad, del comportamiento del fenómeno, permite establecermagnitudes y unidades y muestra en forma global el camino para la construcción de la gráfica.

Se sugiere que cuando se quiera analizar o buscar los aspectos variacionales para diseñosinstruccionales primero se debe realizar una prueba diagnóstica que le va a dar luces para comenzar aestablecer los aspectos variacionales.

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