NOMBRE DEEL ALUMNO: RAUL NOLASCO AVEDAO

SEMESTRE: 3

GRUPO: D

CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TURNO: VESPERTINO

NOMBRE DE LA PROFESORA: LIC. NILA CANDELARIA DE LA CRUZ TADEO

ASIGNATURA: MATEMATICAS III

TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1

INDICEIntroduccin Unidad 4: Funciones de varias variables

4.1 Definicin de Funcin de dos Variables 4.2 Grafica de Funciones de dos Variables 4.3 Curvas y Superficies de Nivel 4.4 Limites y Continuidad 4.5 Definicin de Derivadas Parciales de Funciones de dos Variables. Interpretacin Geomtrica. 4.6 Derivadas Parciales de Orden Superior 4.7 Incrementos Diferenciales y Regla de la Cadena 4.8 Derivacin Implcita 4.9 Coordenadas Cilndricas y Esfricas 4.10 Derivada Direccional, Gradiente, Divergencia y Rotacional 4.11 Aplicaciones Geomtricas y Fsicas de los Operadores Vectoriales.Conclusin Bibliografa

2

INTRODUCCION

En esta unidad se ver los conceptos bsicos de las funciones de varias variables desprendiendo las definiciones de las funciones de 2 variables con su respectiva grafica, curvas y superficies de nivel, limites y continuidad, derivadas parciales y de orden superior, incrementos diferenciales y regla de cadena, derivacin implcita, coordenadas cilndricas y esfricas,Derivada Direccional, Gradiente, Divergencia y Rotacional. Tambin se ver las aplicaciones que tiene cada una de ellas con sus respectivos problemas o ejercicios.

3

UNI

UNCI NES

EV

I SV

I

ES

I t M h i f

i it l z , i , l i l f t f i . El i l t i i l l . l f l i l t . P l ti l j lt j f ili l , lt ili f j i , t i liz l t l t

f

i

E i t S if l h t

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l t i l : h

i

i i

l

l z . H i

t f

i

f:R> con su eje en el eje . si sustituimos x 2 obtenemos su ecuacin en cilndricas.2

es un cono

y2 por r2,

x2 y2 =4

2

ecuacin en coordenadas rectangulares.

r2 = 4

2

ecuacin en coordenadas cilndricas.

Solucin b) La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje . Sustituyendo y 2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos:

64

y2 = x

ecuacin rectangular.

r2 sen2

= r cos

sustituir y por sen , x por r cos .

r(r sen2

cos ) = 0

agrupar terminos y factori ar

r sen2

cos

=0

dividir los dos mienbros por r

r =cos

/ sen2

despejar r

r cosec

ctg

ecuacin en cilndricas.

Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

a

Ejemplo 3:

allar la ecuacin en coordenadas r ectangulares de la grafica determinada por la ecuacin en cilndricas:

r2 cos 2

2

1=0

Solucin:

65

r2cos2

2

1=0

ecuacin en cilndricas

r2 (cos2 sen2 )

2

=0

identidadtrigonometrica.

r2 cos2

r2 sen2

2

= -1

X2 y2 Y2 x2

2

= -1 =1

sustituir r cos

por x y r sen

por y

2

ecuacin rectangular.

Es un iperboloide de dos ojas cuyo eje es el eje y.

Coordenadas esfricas.

Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por un tro ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud -latitud que se suele utili ar para locali ar puntos sobre la superficie terrestre. EL SISTE A DE COORDENADAS ESFERICAS. Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene representado por un tro ordenado ( p, , ).

1.- p es la distancia de P al origen, p> 0.

2.-

es el mismo Angulo utili ado en coordenadas cilndricas para r> 0.

3.-

es el Angulo entre el semieje

positivo y el segmento recto OP, 0 >

.

66

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:

Esfricas a rectangulares:

X =psen

cos ,

y= psen

sen ,

= pcos

.

Rectangulares a esfricas :

P2= x2

y2

2

,

tg =y/x,

= arcos (z/ x2

y2 z2).

Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:

Esfricas a cilndricas (r > 0):

r2 =p2 sen2

,

= ,

z = pcos .

Cilndricas a esfricas (r> 0):

P= r2

z2,

= ,

= arcos (z / r2

z2).

Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetra.

67

Ejemplo 1:

allar una ecuacin en coordenadas esfricas parar las superficies

cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.

a).- cono: x2

y2 = z2

b).- esfera: -4z = 0

Solucin: a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuacin dada se obtiene: x2 y2 = z2 cos2 (cos2 p2 sen2 sen2 =p2 cos2

p2 sen2 p2 sen2 p2 sen2 sen2 tg2

sen2 ) =p2 cos2

= p2 cos2 =1 p> 0 = = /4 o = 3 /4 =

/ cos2 =1

La ecuacin

/4 representa la mitad superior del cono y la ecuacin

3 /4 su mitad inferior.

b).-como p2 = x2 y2

z2 y z = p cos

, la ecuacin dada adopta la siguiente

forma en coordenadas esfricas. P2 4 pcos =0 p (p -4 cos )=0

Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuacin en esfricas.

68

P - cos

=

o

p = cos

4.

E IV

I ECCI NAL,

ADIENTE, DIVE

ENCIA Y

TACI NAL. Gradi n de un vector rad , al vector

Se llama gradiente de una funci n, ue se representa por de dicha funci n.

cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las derivadas parciales

En esta expresi n observamos campo vectorial. Pro iedades 1.- Las componentes del vector ejes en

variaciones de la funci n y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los dicho la Su direccin es la de mxima punto. 2.- Su mdulo, en cada punto, es el mximo valor de la variacin de la funcin con .distancia. variacin.

.- Su sentido es el de crecimiento de la funcin. Por lo tanto el gradiente de una funcin escalar puntual es una funcin vectorial puntual. Ejemplo: ada la funcin (x, y, z) =, calcular el gradiente en el punto (2, 1, -1).69

ue el gradiente de la funci n F define un

rad

, en cada punto, son la raz n de las

El

gradiente

de

una

funcin

escalar

es:

Ahora sustituimos el punto en la expresin obtenida: 212i+ ( 21- (-1)2) j- 1 (-1) k Luego rad = 2i + j + k.

Divergencia de un vector La operacin divergencia esta definida como:

En notacin de operador,

iv

es el producto punto de :

y .

tese ue

x

es un campo vectorial, mientras ue campo escalar. Leemos

como divergencia de

El significado fsico completo de la divergencia se puede explicar como: Si imaginamos como el campo de velocidad de un gas o fluido, entonces iv representa la tasa de expansin por unidad de volumen de gas o de fluido. Por ejemplo, si (x, y, z) = x i + y j + z k, entonces iv = ; esto significa ue

el gas se esta expandiendo a la tasa de volumen por unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso expande. Si iv