Unidad 1 Patrones de medida Anlisis

Dimensional - Vectores

Definir operacionalmente los patrones de medida de Longitud, Masa, Tiempo, y Reconocer la importancia del anlisis dimensional en el uso de las cantidades fsicas.

Patrones de Medidas y Anlisis Dimensional

En este mdulo se estudia los sistemas de medidas y la importancia del anlisis dimensional en el uso de las cantidades fsicas.

Describir operacionalmente los patrones de medida para la Longitud, la Masa y el Tiempo.

Transformar unidades de medidas de un sistema a otro.

Reconocer la importancia del anlisis dimensional en el estudio de las cantidades fsicas.

MAGNITUDES FSICAS BASICAS

La mecnica puede definirse como la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos naturales, busca las causas que lo producen y establece las leyes que lo rigen. Ella incluye las condiciones de reposo y equilibrio, siendo su estudio de gran importancia especialmente en la Ingeniera. Los fenmenos mecnicos son los que ms directamente afectan a nuestros sentidos, en efecto: movernos, caminar, sostener un objeto, estirar un resorte, etc., son hechos y conceptos primarios de nuestros conocimientos, son nuestras propias vivencias.

La experiencia cotidiana muestra que el movimiento de un cuerpo, el cul est compuesto por una cierta cantidad de MATERIA, se describe en funcin del ESPACIO y del TIEMPO. Se desprende entonces que: MATERIA, ESPACIO, TIEMPO son los conceptos o ideas fundamentales, primitivos, bsicos y esencialmente indefinibles sobre los cules la ciencia de la mecnica se encuentra cimentada.

Estas tres ideas o conceptos fundamentales de la mecnica adquirirn sentido en Fsica cuando sea posible medirlos, puesto que slo entonces se tendr el conocimiento fsico de ello. Para medir estos tres conceptos, o cualquier otro en Fsica, se han introducido las llamadas Magnitudes Fsicas.

Las magnitudes fsicas son cantidades, por lo tanto son medibles, cada una con cualidades especficas que permite que se distinga una de las otras.

Para medir el concepto de MATERIA se ha introducido la magnitud fsica MASA ( M ), para medir el concepto de ESPACIO, la magnitud fsica LONGITUD ( L ) y para el concepto de TIEMPO, la magnitud fsica del mismo nombre, TIEMPO ( T ).

Entonces, LONGITUD, MASA, TIEMPO, son las tres magnitudes fsicas fundamentales, bsicas y primitivas de la mecnica. Si a cada una de las magnitudes fsicas del sistema se le asigna su correspondiente unidad de medida, se forma el llamado sistema de unidades de medida.

Como sabemos, para efectuar una medicin es necesario escoger una unidad de medida para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas internacionalmente, tambin es imprescindible en el comercio y en el intercambio entre pases. Antes de que el Sistema Mtrico Decimal fuese instituido las unidades de medida se definan muy arbitrariamente y variaban de un pas a otro, dificultando las transacciones comerciales y el intercambio cientfico entre las naciones. Tambin sus mltiplos y submltiplos no eran decimales, lo cul dificultaba enormemente la realizacin de las operaciones matemticas con dichas medidas.

Estos inconvenientes llevaron a algunos cientficos a proponer unidades de medidas definidas con mayor rigor y que se adoptaran en forma universal. Las diversas propuestas, aunque no tuvieron aceptacin inmediata, acabaron por dar lugar al establecimiento del llamado Sistema Mtrico Decimal, en Francia.

Las principales caractersticas de este sistema de unidades son: - Como su nombre lo indica el sistema es decimal - Los prefijos de los mltiplos y submltiplos se eligen de modo racional, emplendose palabras griegas y latinas ( kilo = 103 , mili = 10-3 , deca = 10 , deci = 10-1 etc. ) para designarlos. - La Tierra se defini como base para escoger la unidad de longitud: el metro se defini como la diezmillonsima parte ( 10-7 ) de la distancia del Ecuador al Polo. Esta cantidad se marc sobre una barra de platino iridiado ( el metro patrn ) que todava se conserva en el archivo de pesas y medidas en Pars.

La materia de un objeto se mide con la magnitud fsica MASA.

En 1875, el Sistema Mtrico Decimal ya se empezaba a conocer en otros pases, por lo que se efectu en Pars la celebre Convencin del Metro, en la que 18 naciones ms importantes del mundo se comprometieron a adoptarlo. Inglaterra no asisti a dicha reunin negndose a emplear las unidades del sistema. Desde entonces, el uso del Sistema Mtrico se fue extendiendo poco a poco en todo el mundo. Nuevas unidades para medir otras magnitudes, conservando las mismas caractersticas que se emplearon en la definicin del metro, fueron incorporadas al sistema.

La precisin de los patrones establecidos en el siglo pasado no bastaba en el gran avance cientfico del siglo XX. As que los cientficos advirtieron la necesidad de una reestructuracin del Sistema Mtrico Decimal, y en 1960, durante la onceava Conferencia General de Pesas y Medidas, llevada a cabo en Pars, se elabor un nuevo sistema llamado Sistema Internacional de Unidades ( SI ). Para describir cualquier fenmeno fsico, se requieren siete cantidades fsicas, formando todas ellas el mencionado Sistema Internacional de magnitudes de la Fsica ( SI ).

UNIDADES DEL SI

Cantidad base Nombre Smbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente Elctrica Ampere A Temperatura Kelvin K Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candela cd

Cuando los nmeros que representan las medidas de las magnitudes fsicas son muy grandes o muy pequeos, la escritura y clculos con tales nmeros es incomodo. Para evitar esto, se usan potencias de 10 con exponentes positivos para los nmeros muy grandes, y negativos para nmeros muy pequeos.

Por ejemplo: 150.000.000 km = 15 107 km 0,000007 s = 7 10-6 s

Para hacer ms cmoda estas simplificaciones han definido convencionalmente los llamados PREFIJOS que, antepuestos a la unidad de medida considerada, indica un determinado factor de multiplicacin

El cuadro siguiente muestra Prefijos y sus smbolos

Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo 1018 Exa E 10-1 deci d 1015 Peta P 10-2 centi c 1012 Tera T 10-3 mili m 109 Giga G 10-6 micro 106 Mega M 10-9 nano n 103 kilo k 10-12 pico p 102 Hecto h 10-15 femto f 10 Deca da 10-18 atto a

Por ejemplo: a) 5.000.000 m = 5 106 m = 5 Mm b) 0,000007 F = 7 10-6 F = 7 F

EL PATRON DE LONGITUD

El primer patrn internacional de longitud fue una barra de aleacin de platino e iridio que se llam el metro patrn, el cul fue guardado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas cerca de Pars. La distancia entre dos lneas finas grabadas cerca de los extremos de la barra, cuando esta se mantena a una temperatura de 0 o C y soportada mecnicamente de una manera prescrita, fue definida como el metro.

A causa de que el metro patrn no es muy accesible, se hicieron copias maestras precisas de l y enviadas a los laboratorios de estandarizacin alrededor del mundo. Estos patrones secundarios fueron usados para calibrar otros patrones, an mas accesibles. Entonces, hasta hace poco, cada varilla o dispositivo de medicin deriv su autoridad del metro patrn a travs de una complicada cadena de comparaciones usando microscopios y mquinas divisoras. Albert Michelson compar en 1893 la longitud del metro patrn con la longitud de onda de la luz roja emitida por los tomos de cadmio y encontr que el metro patrn era igual a 1.553.163,5 de aquellas longitudes de onda. Lmparas de cadmio idnticas podan ser obtenidas fcilmente en cualquier laboratorio y as Michelson encontr una manera de tener un patrn de longitud preciso en todo el mundo, para fines cientficos sin atenerse a la barra del metro patrn.

A pesar de este avance tecnolgico, esta barra permaneci como patrn oficial hasta 1960, cuando la Conferencia General de Pesas y Medidas adopt un patrn atmico para el metro.

La definicin actual del metro es:

El metro es la distancia recorrida por la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo de 1 / 299,792,458 de segundo.

EL PATRON DE MASA

El patrn SI de masa es un cilindro de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas al cul se le ha asignado por acuerdo internacional una masa de 1 kg. Se envan patrones secundarios a laboratorios de estandarizacin en otros pases y las masas de otros cuerpos pueden hallarse por la tcnica de una balanza de brazos iguales.

En la escala atmica tenemos un segundo patrn de masa, que no es unidad SI. Es la masa del tomo de carbono 12C al que, por acuerdo internacional, se le asignado una masa atmica de 12 unidades de masa atmica unificada ( abreviatura u ), exactamente y por definicin.

Podemos hallar las masas de otros tomos con precisin considerable usando un instrumento llamado espectrmetro de masas. Necesitamos un segundo patrn de masa porque las tcnicas de laboratorio actuales nos permiten comparar las masas atmicas entre si con mayor precisin de lo que podemos hacerlo hoy da contra el kilogramo patrn.

Sin embargo, el desarrollo de un patrn de masa atmica para sustituir el kilogramo patrn est an lejano. La relacin entre el patrn atmico actual y el patrn primario es, aproximadamente, 1 u = 1,661 10-27 kg

EL PATRON DE TIEMPO

Cualquier fenmeno que se repita a s mismo puede utilizarse como una medicin del tiempo. Por ejemplo, podemos usar un pndulo que oscila, un sistema masa resorte, o un cristal de cuarzo.

De los muchos fenmenos repetitivos en la naturaleza , la rotacin de la Tierra sobre su eje, que determina la longitud del da, fue usada durante siglos como un patrn de tiempo. Un segundo ( solar medio ) se define como 1 / 86400 de un da ( solar medio). Sin embargo en la actualidad se sabe que la rotacin de la Tierra vara sustancialmente con el tiempo, por lo que no es adecuado emplear este movimiento en la definicin de un patrn.

Para cumplir la necesidad de un patrn de tiempo mejor se han desarrollado relojes atmicos en varios pases. En este dispositivo las frecuencias asociadas con ciertas transiciones atmicas pueden medirse hasta una precisin de una parte en 1012 . Esto es equivalente a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 aos.

El segundo actual, basado en el reloj de cesio fue adoptado como un patrn internacional por la trece-ava Conferencia General de Pesas y Medidas de 1967:

Un segundo es el tiempo ocupado por 9.192.631.770 vibraciones de la radiacin ( de una longitud de onda especfica) emitida por un tomo de cesio.

TRANSFORMACIN DE UNIDADES DE MEDIDAS

Como se ha mencionado antes, existen diversas unidades de medidas para la longitud. A continuacin se presenta una tabla que relaciona estas distintas unidades de medida tanto del Sistema de Unidades SI (con sus mltiplos y submltiplos) como del sistema de medida Ingls.

FACTORES DE CONVERSIN PARA DISTINTAS UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD

m cm km pulg pie milla 1 metro 1 1 x 102 1 x 10-3 39,37 3,281

6,214 10-4 1 centmetro 1 x10-2 1 1 x 10-5 0,393 3,28 10-2 6,214 10-6 1 kilometro 1 x 103 1 x 105 1 3,93104 3,28 103 0,6214 1 pulgada 2,54 10-2 2,54 2,54 10-5 1 8,33 10-2 1,578 10-5 1 pie 0,3048 30,48 3,048 10-4 12 1 1,894 10-4 1 milla 1609 1,609 105 1,609 6,33 104 5280 1

Como se ha mencionado antes, existen diversas unidades de medidas para el tiempo de un suceso. A continuacin se presenta una tabla que relaciona distintas unidades de medida para el tiempo y sus equivalencias.

FACTORES DE CONVERSIN PARA DISTINTAS UNIDADES DE MEDIDA DE TIEMPO

Como se ha mencionado antes, existen diversas unidades de medidas para la masa de un objeto. A continuacin se presenta una tabla que relaciona distintas unidades de medida y sus equivalencias para el concepto fsico de masa.

FACTORES DE CONVERSIN PARA DISTINTAS UNIDADES DE MEDIDA DE MASA

Uno de los problemas que mas frecuentemente presentan los estudiantes es aquel que tiene que ver con la transformacin de distintas unidades de medidas. Aqu se mencionan algunos ejemplos de este tipo.

Transforme: 1,70 m en pie 1,70 ( 1 m ) = 1,70 ( 3,281 pie ) = 5,57 pie

Transforme: 144 pie2 en m2 144 ( 1 pie ) 2 = 144 ( 0,3048 m ) 2 = 13,37 m2

Transforme:

16,5 pulg3 en m3 16,5 ( 1 pulg)3 = 16,5 ( 2,54 10-2 m )3 = 4,5 10-6 m3 / s min s ( 1 min ) ( 60 s )

Transforme:

11,4 gr en kg 11,4 ( 1 g ) = 11,4 ( 1 10-3 kg ) = 11400 kg / m3 cm3 m3 ( 1 cm )3 ( 1 10-2 m)3

s min hora da ao 1 segundo 1 1,667 x 10-2 2,778 x 10-4 1,15 x 10-5 3,16 x 10-8 1 minuto 60 1 1,667 x 10-2 6,994 x 10-4 1,90 x 10-6 1 hora 3600 60 1 4,167 x 10-2 1,141 x 10-4 1 da 8,64 x 104 1440 24 1 2,738 x 10-3 1 ao 3,156 x 107 5,259 x 105 8,766 x 103 365,2 1

kg g slug (lb / g) Unidad de masa atmica ( u )

1 kilogramo 1 103 6,852 x 10-2 6,024 1026 1 gramo 10-3 1 6,852 x 10-5 6,024 x 1023 1 slug 14,59 1,459 x 104 1 8,789 x 1027 1 unidad de masa atmica

1,66 x 10-27 1,66 x 10-24 1,137 x 10-28 1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una pequea piscina tiene 20 pies de largo, 10 pies de ancho y 5 pies de profundidad. Su volumen es el producto de estas longitudes, cul es el volumen en metros cbicos ( m3 )?

2.-En los pases de habla inglesa, la superficie de un terreno se mide en acres ( 1 acre = 43560 pies2 ). En los dems pases se mide en hectreas ( 1 hectrea = 10000 m2 ). Cul es la superficie de un terreno de 100 acres en hectreas?

3.-Un auto nuevo esta equipado con un tablero de instrumentos de tiempo real que incluye el consumo de combustible. Un interruptor permite al conductor cambiar a voluntad entre unidades britnicas y unidades SI. Sin embargo, la representacin britnica muestra millas / galn ( mi / gal) mientras que la versin SI lo hace a la inversa, Litros / kilmetro ( L / km) . Qu lectura SI corresponde a 30,0 mi / gal? Considere que 1 milla = 1,609 km y 1 galn = 231 in3

4.-Una persona sometida a dieta pierde 2,3 kg (correspondiente a unas 5 libras) por semana. Exprese la taza de prdida de masa en miligramo por segundo ( mg / s ).

5.-Suponga que nos toma 12 h drenar un recipiente con 5700 m3 de agua. Cul es la tasa de flujo de masa ( en kg / s ) de agua del recipiente? Considere que 1 m3 de agua tiene una masa de 1000 kg.

6.-Una pirmide tiene una altura de 481 pies y su base cubre un rea de 13,0 acres. Si el volumen de una pirmide est dado por la expresin V = ( B h ) / 3 , donde B es el rea de la base y h es la altura, a)Encuentre el volumen de esta pirmide en metros cbicos ( m3 ). La pirmide contiene dos millones de bloques de piedra con un peso aproximado de 2,5 toneladas cada uno. b)Encuentre el peso en libras ( lb ) de esta pirmide. La libra es una unidad de medida en que los inglese miden el peso de un objeto y 1 lb aproximadamente es el peso de un objeto de 0,5 kg. Una tonelada equivale a 103 kg

7.-Una viga estructural en forma de I est hecha de acero. En la figura se muestra una vista de su seccin transversal y sus dimensiones. a)Cul es el volumen de acero en m3 ocupado para construir dicha pieza si tiene 1,5 m de longitud? b)Exprese la respuesta de a) en pie3 c) Si 1 m3 de acero tiene una masa de 11300 kg, cul es la masa en kg de la pieza sealada?

8.-El caudal de agua en un ro fluye a razn de 1000 pie3 / min. Exprese este valor en m3 / s

9.-Una llave gotea agua a un recipiente a razn de 2 gotas cada 3 segundos. Un centmetro cbico ( cm3 ) contiene 20 gotas. a) Cul ser el volumen de agua recogida en decmetros cbicos ( dm3 ) , al cabo de una hora? Considere 1 cm = 0,1 dm

10.-Un albail debe cubrir el piso de una sala de clases con baldosas de 30 cm x 30 cm. Si la longitud de la sala es 60 pie y el ancho es de 50 pie. Cul es el nmero de baldosas que necesita?

ANLISIS DIMENSIONAL

Las cantidades fsicas fundamentales se pueden combinar mediante operaciones de multiplicacin o divisin dando lugar as a las cantidades fsicas derivadas.

La operacin de expresar una magnitud fsica derivada en funcin de las primitivas tiene el nombre de Dimensionar una magnitud fsica derivada, para hacerlo, se usa la llamada Definicin operacional. Las definiciones operacionales son en realidad las propias leyes de la fsica. Al dimensionar una magnitud fsica derivada se obtiene la Ecuacin Dimensional de dicha magnitud fsica. La tabla muestra cantidades fsicas, sus ecuaciones dimensionales y sus unidades de medida.

Por ejemplo, la energa cintica ( K ) de un auto en movimiento est definida por la formula: K = m ( v )2 , donde m es la masa del auto y v es la rapidez. Obtenga la ecuacin dimensional de K y su unidad de medida en el sistema SI.

En el anlisis dimensional, slo participan cantidades fsicas y constantes fsicas que tengan ecuacin dimensional. En la formula dada, el de la formula es constante numrica y no tiene unidad de medida:

[ K ] = [ M ] [ L T-1 ]2 = [ L2 M T-2 ]

Entonces la ecuacin dimensional de energa es: [ L2 M T-2 ] y su unidad de medida en el sistema internacional de unidades de medidas es: [ m2 kg s-2 ], despus podr observar que toda esta unidad se reemplaza por otra denominada Joule.

Otro ejemplo: En la ecuacin dada Y = ( pi p A ) / ( m sen ) . qu magnitud puede representar Y? Se sabe que p es presin, A es rea, m es masa. La ecuacin dimensional de rea es ( L2 ). En este ejemplo, pi y sen son constantes numricas, es decir, no participan en el anlisis dimensional:

[ Y ] = [ p A ] = [ L-1 M T-2 L2 ] = [ L T-2 ], de acuerdo al resultado es aceleracin. [ m ] [ M ]

Una ecuacin fsica, es una relacin matemtica entre las cantidades fsicas que entran en juego en un determinado fenmeno. Si s, a, t, F, m , son cantidades fsicas , entonces las ecuaciones : F = m a, s = a t2 / 2, son ejemplos de ecuaciones fsicas. Toda ecuacin fsica debe ser dimensionalmente compatible, esto es, las dimensiones en ambos lados deben ser las mismas. Suponga la ecuacin fsica P = Q + x , donde x es longitud, entonces P y Q deben ser tambin longitudes.

Por ejemplo, sea la ecuacin x = A + B t + C t2 en que x es una longitud y t es tiempo . Obtenga la ecuacin dimensional de A , B , C. De acuerdo a lo planteado anteriormente cada trmino de la ecuacin debe representar una longitud, por lo tanto : A = [ L ] A = [ L ] B t = [ L ] B [ T ] = [ L ] B = [ L ] / [ T ] = [L T -1 ] C t2 = [ L ] C [ T 2 ] = [ L ] C = [ L ] / [ T2 ] = [ L T 2 ]

Entonces, las ecuaciones dimensionales de A , B , C , son : A = [ L ] ; B = [ L T -1 ] ; C = [ L T -2 ]

Mediante el anlisis dimensional, tu puedes encontrar de que magnitud fsica depende alguna variable mecnica.

Por ejemplo, cuando un objeto se mueve en una circunferencia, la aceleracin dirigida hacia el centro llamada centrpeta est relacionada con las variables mecnica ( v ) la rapidez de movimiento y ( r ) el radio de la circunferencia. Mediante anlisis dimensional, obtengamos la forma como se relacionan a con v y r.

La aceleracin ( a ) debe estar relacionada con ( v ) y ( r ) a travs de una ecuacin de la forma: a va rb , significa proporcional y a , b son exponentes numrico a determinar.

La expresin a va rb , se puede escribir a = k va rb con k constante numrica.

Recordemos que la ecuacin dimensional de la aceleracin es : a = [ L T -2 ], de la rapidez v es: v = [ L T -1 ], y del radio (longitud) es r = [ L ]

[ L T -2 ] = [ L T -1 ]a [ L ]b [ L T -2 ] = La T -a Lb L T -2 = La + b T -a

Igualando los exponentes correspondientes se tiene: 1 = a + b -2 = - a de aqu a = 2, reemplazando en 1 = a + b se encuentra que b = -1

Luego, a = k v2 r-1 o bien a = v2 / r , k es constante numrica que depende las unidades de medida.

Otro ejemplo, Tres constantes fundamentales de la fsica son: la velocidad de la luz c , la constante de gravitacin de newton G y la constante de Planck h ( la constante fundamental de la mecnica cuntica). Sus valores aproximados son :

c = 3 108 m/s, G = 6,67 10 -11 m3 / kg s2 , h = 6,63 10 -34 kg m2 / s

Combinando adecuadamente estas tres constantes es posible encontrar una unidad de tiempo TP y una unidad de longitud LP , denominadas tiempo y radio de Planck respectivamente, Cul es su valor numrico?

Encontremos el tiempo Planck: T = cx Gy hz , reemplazando por las ecuaciones dimensionales:

[ T ] = [ cx Gy hz ] = [ L T-1 ]x [ L3 M-1 T-2 ]y [ L2 M T-1 ]z

[ T ] = [ Lx T-x ] [ L3y M-y T-2y ] [ L2z Mz T-z ]

[ Lo Mo T ] = [ Lx + 3y + 2z M-y + z T-x 2y - z ] , igualando los elementos correspondientes

Lo = Lx + 3y + 2z 0 = x + 3y + 2z Mo = M-y + z 0 = - y + z T = T-x 2y - z 1 = - x 2y z, resolviendo el sistema se tiene: x = -5/2 , y =1/2 , z = 1/2

T = c-5/2 G1/2 h1/2 T = ( G h ) / c5

T = (6,67 10 -11 m3 / kg s2 6,63 10 -34 kg m2 / s ) / ( 3 108 m/s ) 5 = 1,35 10-43 s

EJERCICIOS PROPUESTOS

11.-Encontrar la ecuacin dimensional que debe tener el smbolo k de la ecuacin U = ( ) k r2 para que sea homognea. ( U es energa y r es longitud )

12.-La fuerza de atraccin gravitacional entre dos cuerpos materiales de masas m1 y m2 separados una distancia d entre sus centro formulada por Newton obedece a la expresin: F = G m1 m2 G: constante de gravitacin universal d2 Si la ecuacin dimensional de fuerza se obtiene a partir de F = m v / t, con m ( masa ) , v ( rapidez ), t (tiempo ) , obtenga la ecuacin dimensional de la constante G de gravitacin universal.

13.-Cul de las ecuaciones siguientes es dimensionalmente correcta?

a) v = vo + a x sabiendo que v , vo son rapidez ; a es aceleracin , x es longitud

b) T = 2 pi l / g sabiendo que l es longitud , g es aceleracin, T es tiempo

14.-El desplazamiento de una partcula cuando se mueve bajo aceleracin uniforme, es cierta funcin del tiempo transcurrido y de la aceleracin. Suponga que se escribe este desplazamiento como s = k am tn , donde k es una constante numrica. Muestre mediante anlisis dimensional que esta expresin se satisface si m =1 y n = 2.

15.- Para el caso de un lquido ideal, expresar el caudal ( Q ) a travs de un orificio en funcin de la densidad del lquido ( r ), el dimetro del orificio ( D ) y la diferencia de presiones ( p ). La ecuacin dimensional de caudal es [ L3 T-1 ].

16.-Determine una expresin para la presin dinmica ( p ) ejercida sobre un cuerpo totalmente sumergido en la corriente de un fluido incompresible al suponer que la presin es funcin de la densidad ( r ) y de la velocidad ( v ).

Reconocer las caractersticas de las cantidades vectoriales y su aplicacin en el clculo de vector resultante.

Cantidades Fsicas vectoriales

En este mdulo, trabajaras ocupando las propiedades de las cantidades fsicas vectoriales.

Identificar las caractersticas de una cantidad fsica vectorial.

Expresar una cantidad fsica vectorial en forma unitaria.

Dibujar una cantidad fsica vectorial en el espacio.

Operar con vectores en forma analtica.

Cantidades fsicas escalares: quedan definidas completamente cuando se proporciona su magnitud ( el valor numrico y la unidad usada en la medicin). Estas cantidades escalares se suman de acuerdo a las reglas del lgebra. Por ejemplo: Si un tanque contiene 2 m3 de agua, al aumentarle 5 m3 quedar con un total de : 2 m3 + 5 m3 = 7 m3 de agua.

Cantidades fsicas vectoriales: quedan totalmente definidas slo cuando se conoce su magnitud, su direccin y su sentido. Se representan por una flecha vector como muestra la figura. La recta en la cul est contenido el vector representa la direccin, la longitud de la flecha indica la magnitud, el extremo de la flecha indica el sentido.

Por ejemplo, Imaginemos que una persona camina 10 m hacia el Este. Cmo poder especificar su posicin?

Primero trazamos nuestro sistema de coordenadas de referencia. En seguida desde el punto de partida trazamos una flecha vector que termina en la posicin indicada. Es conveniente trabajar con una escala, por ejemplo 1 cm : 5 m.

De esta forma especificamos la posicin de la persona:

Direccin : Oeste Este Sentido : hacia el Este Magnitud : 10 m

Otro ejemplo, en la figura, la posicin del gato es 100 m en una direccin de 30o al Sur del Oeste.

METODO DEL PARALELOGRAMO

Si quieres sumar dos cantidades vectoriales debes copiarlas a partir de un punto en comn, luego proyectarlos hasta completar un paralelogramo. La diagonal de ese paralelogramo te indica el vector suma o resultante. Debes tener claro que esta suma es geomtrica NO algebraica.

METODO DEL POLIGONO

Si quieres sumar varios vectores debes copiar el primero, luego el segundo de modo que el trmino del primero coincida con el origen del segundo, luego el tercero y as sucesivamente. El vector suma o resultante es aquel que une el origen del primero con el trmino del ltimo. Esta es una suma geomtrica, NO algebraica.

Ejemplo: Una persona camina desde un punto ( origen ) 90 m hacia el sur , en seguida gira y camina 30 m hacia el este , finalmente gira al norte y camina 50 m. a)Haga un diagrama a escala de la situacin ( 1 cm : 10 m ) y luego trace el vector que indica el desplazamiento de la persona con respecto al punto de partida. b)Cunto es la longitud del desplazamiento? c)Cul sera la direccin en que se produce este desplazamiento ? Sugerencia, mida el ngulo desde la direccin Este al vector desplazamiento o bien desde la direccin sur al vector desplazamiento.

a)El diagrama queda similar al que se muestra en la figura.

b) Manteniendo la escala, la medida de la longitud del desplazamiento resulta : D = 5 cm, en el terreno resulta D = 50 m

Se puede comprobar este valor obtenido aplicando "Teorema de Pitgoras" pues se forma un tringulo rectngulo como muestra ( b ):

c)El desplazamiento se produce en una direccin de ( mida con transportador ) 53 o al sur del este.

CO0MPONENTE RECTANGULAR DE UN VECTOR

Las componentes rectangulares de un vector son proyecciones perpendiculares de los extremo del vector a una direccin dada. As, entonces todo vector se puede expresar como la suma vectorial de sus componentes rectangulares.

Si un vector cualquiera se ubica en el plano xy, sus componentes son las proyecciones perpendiculares a dichos ejes.

Las magnitudes de las componentes del vector V se pueden obtener con las razones trigonomtricas seno y coseno. Si el ngulo , se mide con respecto al eje x positivo y en sentido antihorario, se tiene:

Vx = V cos

Vy = V sen

Para especificar la direccin de un vector ya sea en el plano o en el espacio se hace uso de los llamados vectores unitarios. Estos vectores tienen de magnitud la unidad, es decir 1, y se asocia al eje X, el vector i, al eje Y el vector j y al eje Z el vector k.

Por ejemplo, escribir el vector A = 20 unid, en forma vectorial unitaria. Medimos el ngulo que forma con el eje x positivo en sentido antihorario, resultando ser 330o. A = 20 cos 330 i + 20 sen 330 j A = 17,32 unid i - 10 unid j

Otro ejemplo, escribir en forma unitaria, el vector que muestra la figura.

El ngulo que forma con el eje x en sentido antihorario es 130o, con lo cul: N = cos 130 14 u i + sen 130 14 u j N = - 8,9 u i + 10,7 u j

VECTORES EN EL ESPACIO Por ejemplo , supongamos que se conoce un vector cuya forma es: A = A

x i + A y j + A z k , esta informacin nos indica que se trata de un vector en el espacio, pues tiene las componentes i, j, k.

Las magnitudes de las componentes del vector A estn dadas por Ax , Ay , Az .

Para dibujar este vector en el espacio, se cuentan las unidades de Ax en el eje X, las unidades de Ay en el eje Y, las unidades de Az en el eje Z. Luego se debe completar un paraleleppedo rectangular y el vector A esta dirigido desde el origen al vrtice diagonalmente opuesto.

La magnitud del vector A est dado por :

A = ( Ax )2 + ( Ay )2 + ( Az )2

El ngulo que forma el vector A con los ejes coordenados positivos se determina a travs de los llamados cosenos directores: ngulo con el eje x : cos = Ax / A ngulo con el eje y : cos = Ay / A ngulo con el eje z : cos = Az / A

Por ejemplo, considere el vector A = - 4 u i - 3 u j - 2 u k , en que "u" indica unidades.

a)Dibuje el vector en el espacio b)Determine la magnitud del vector c)Obtenga el ngulo que forma con los ejes coordenados.

Magnitud del vector:

A = ( -4 )2 + ( -3 )2 + (-2 )2 = 5,38 u

Con el eje x : cos = Ax / A = - 4 / 5,38 = - 0,74 = 138 o

Con el eje y : cos = Ay / A = -3 / 5,38 = - 0,55 = 123 o

Con el eje z : cos = Az / A = - 2 / 5,38 = - 0,37 = 112 o

El hecho de calcular las componentes rectangulares y luego su escritura en forma unitaria permite obtener la resultante de vectores en forma analtica. Para sumar vectores analticamente, se suman las componentes correspondientes entre s, obtenindose ( x ), ( y ), ( z ), estas son las componentes del vector resultante. Luego mediante el teorema de Pitgoras , y alguna relacin trigonomtrica adecuada, se determina la magnitud y la direccin del vector resultante.

Por ejemplo: Una persona realiza 3 desplazamientos sucesivos, expresndose estos en forma unitaria: d1 = -4 m i + 5 m j ; d2 = 3 m i + 1 m j ; d3 = 5 m i - 3 m j . Determinar la magnitud y direccin del vector resultante de estos desplazamientos. El vector resultante D = d1 + d2 + d3 D = - 4 m i + 5 m j + 3 m i + 1 m j + 5 m i - 3 m j D = 4 m i + 3 m j

Magnitud: D = 42 + 32

D = 5 m

tg = 3 m / 4 m = 0,75 = 37o Entonces el desplazamiento es D = 5 m , 37o con el eje positivo de las X en sentido antihorario.

Otro ejemplo: Una persona pasea siguiendo el trayecto que muestra la figura. El recorrido total se compone de 4 tramos rectos. Primero camina 100 m al este, luego camina 300 m al sur, en seguida camina 150 m en una direccin de 30 o al sur del oeste, finalmente camina 200 m en una direccin de 60 o medidos al norte del oeste. a)Escriba cada desplazamiento en forma vectorial unitaria b)Obtenga la suma vectorial de ellos ( desplazamiento resultante). c)Cul es la magnitud y direccin del desplazamiento resultante? d1 = 100 m i d2 = - 300 m j d3 = cos 210 x 150 m i + sen 210 x 150 m j = - 130 m i 75 m j d4 = cos 120 x 200 m i + sen 120 x 200 m j = - 100 m i + 173 m j dRESULT = - 130 m i - 202 m j

Magnitud: dRESULT = ( 130 )2 + ( 202)2 = 240 m

Direccin: tg = ( 202 / 130 ) = 57o

Luego la direccin es 180 + 57 = 237o con el eje x positivo medido en sentido antihorario.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Si p = 3 i - 2 j + k , q = 2 i - 4 j - 3 k , r = - i + 2 j + 2 k , determine: a) La magnitud y direccin de z = p + q + r b) La magnitud y direccin de m = p - q + r c) La magnitud y direccin de h = 2 p - 3 q

Para cada caso dibuje el vector

2.-Un auto viaja 50 km hacia el este, en seguida 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una direccin de 30 o al norte del este. Determine el desplazamiento resultante del auto con respecto al punto de partida.

3.-Un bote a motor se dirige hacia el norte a 15 millas / hora en un lugar donde la corriente es de 5 millas / hora en una direccin de 70 o al sur del este. Encuentre la velocidad resultante del bote

4.-El rumbo que debe tomar el piloto de un avin para llegar a su destino depende de las velocidades del viento y del avin. Si el avin tiene que volar hacia el Este , y si el viento sopla hacia el Sur , entonces , en que direccin debe estar orientado el avin ? a) Entre el Norte y el Este b)Entre el Norte y el Oeste c)Entre el Sur y el Este d)Entre el Sur y el Oeste e)Siempre hacia el Este

5.-Dos remolcadores arrastran una balsa. Si el remolcador A ejerce una accin de 18,5 kN y el remolcador B ejerce una accin de 13,0 kN. Determine la magnitud y direccin de la accin resultante de los remolcadores.

6.-Dos vectores a y b tienen magnitudes igual a 12,7 unidades. Estn orientados como muestra la figura y su vector resultante (suma) es r. Determine: a)Las componentes x e y de r b)La magnitud de r c)El ngulo que forma r con el eje x