Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden1.1 Definicin (Ecuacin Diferencial, orden, grado linealidad)Ecuacin:Es la relacin entre variables expresadas mediante una igualdad.Ecuacin Diferencial:Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la quetodos queremos or. Es unlenguaje.Para representar la realidad en movimiento usamos tambin una clave especial,una simbologa sinttica que nos informa acerca de una velocidad, de undescenso de temperatura, de un aumento de poblacin, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Lasrealidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en comn que son variacionesa travs del tiempo, esa dimensin inmutable (en el sentido de una cuartadimensin) en la cual se mueven la materia y la conciencia.As pues, en matemticas usamos ellenguajede las ecuaciones diferencialespara los hechos y los datos cambiantes.Es aquella ecuacin que contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes conrespecto a una sola variable independiente.Clasificacin de las ecuaciones diferenciales:Segn:Tipo:Ordinaria:Si la ecuacin contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto auna sola variable independiente.Ejemplo:

Parcial:Una ecuacin que contiene derivadas de una o ms variables dependientes, respecto de dos o msvariables independientes.Ejemplo:

Orden:El orden de la derivada ms alta de la ecuacin es lo que se llama orden, por ejemplo:

Grado:Se clasifican de primer grado, segundo grado, etc.; lo determina la potencia de a derivada mayor.Ejemplo:

Linealidad:La ecuacin diferencial lineal se caracteriza por dos propiedades:1.- El grado de la variable independiente y sus derivadas es 1, esto es, l exponente de cada una es2.- El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variableindependiente.Ejemplo:

Determinar el tipo, orden , grado y si es lineal o no lineal:

ordinaria11si

ordinaria11si

parcial21no

ordinaria53no

1.2 Solucin De Ecuaciones DiferencialesEs una funcin que no contiene derivadas y que satisface dicha ecuacin; es decir, al sustituir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial resulta una entidad. Solucin de una ecuacin diferencial es aquella que cumple con la igualdad.Ejemplo:x=1 es solucin de una ecuacin diferencialx+4=5 1+4=5

Ejercicios:1)y=e-x+8, es solucin particular de la ecuacin diferencialy'+e-x=0y=e-X+ 8 essolucin particularde la ecuacin diferencialy'+e-X=0,porque derivando la solucin y sustituyndola en la ecuacindada, obtenemos:y'= -e-X- e-x+e-X=O:.O=O2)y=3x2+c1x+c2, es la solucin general de la ecuacin diferencialy'' =6La funciny=3x2+c1x+c2essolucin generalde la ecuacin diferencialy"= 6, porque:y'=6x+ C1yy"= 6 :.6 = 63)y=2e-2x+1/3e-x, demostrar la ecuacin diferencialy' +2y=exLa funciny=eX(3 cos 2x+sen 2x)essolucin particularde la ecuacindiferencial:y"-2y'+5y=O,porque:y'=eX(- 6sen 2x+ 2cos 2x)+eX(3 cos 2x+sen 2x)y"=eX(- 12cos 2x- 4sen 2x)+ex(-6sen 2x+ 2cos 2x) +eX(-6sen 2x+ 2cos 2x)+eX(3 cos 2x+sen 2x);Sustituyendo:eX(- 12cos 2x -4sen 2x)+2eX(-6sen 2x+ 2cos 2x) +eX(3 cos 2x+sen 2x)+eX(12 sen 2x- 4cos 2x) +eX(-6cos 2x- 2sen 2x)+eX(15 cos 2x+ 5sen 2x) =eX[- 12cos 2x- 4sen 2x- 12sen 2x+ 4cos 2x+ 3cos 2x+sen 2x +12 sen 2x- 4cos 2x- 6cos 2x- 2sen 2x+ 5sen 2x +15 cos 2x]= eX(O) = O .:.0=0Tipos de SolucinExplicita:Se puede despejaryen la funcin dex(suponiendo) que layes la variable dependiente.Implcita:No se puede despejar la variable dependiente.Solucin general:Es la solucin que expresa con parmetros (constantes de integracin). Una lineal de orden n, susolucin general es n paramtricas.Solucin particular:Es aquella solucin que se obtiene de la solucin general al evaluar los parmetros en una o variascondiciones (las condiciones se clasifican en valores inciales o valores de frontera).Solucin ideal:Es cuandoyes igual a 0 y satisface la ecuacin lineal.Solucin singular:Es aquella que satisface la ecuacin diferencial pero no existe un mtodo formal para obtenerdicha solucin.1.3 Problemas De Valor InicialProblema con valor iniciales la ecuacin diferencial acompaadade condiciones iniciales.Consiste en una ecuacin de ordenny dencondiciones inciales las cuales pueden usarse paradeterminar una solucin particular a partir de una solucin generalnparametrica, resolviendo el sistema denecuaciones simultaneas.

EJEMPLO 1Resolver la ecuacin diferencial:y' -4xy=0Para la condicin inicial:Y= 1/5 cuandox=0,o bien, brevemente:y(O)= 1/5La ecuacin puede escribirse como:dy=4xy dx dy/y=4x dx,integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:In y=2X2+CY=Ce2x1.4 Teorema de Existencia y UnicidadCuando un problema de valor inicial modela matemticamente una situacin fsica, laexistencia y unicidad de la solucin es de suma importancia, pues, con seguridad se espera teneruna solucin, debido a que fsicamentealgo debe suceder. Por otra parte, se supone que lasolucin sea nica, pues si repetimos el experimento en condiciones idnticas, cabe esperar losmismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinstico. Por lo tanto, al considerar unproblema de valor inicial es natural preguntarse por:1.Existencia:Existir una solucin al problema?2.Unicidad:En caso de que exista solucin, ser nica?3.Determinacin:En caso de que exista solucin, como la determinamos?

1.5 Variables Separables y ReduciblesSOLUCION POR INTEGRACIONPara resolver ecuaciones de primer ordendy/dxes igual af(x,y) cuandofes independiente dela variableycuandof(x,y)+g(x) .dy=g(x)dx INTEGRALdy=INTREGALg(x)dx y INTEGRALg(x)+cEjemplo:

Solucin:

Comprobar:

1.6 Exactas y No ExactasCuando tenemos una funcin de dos variablesz=f(x,y) el diferencial total de la funcin estdefinida como:

Si partimos de las ecuaciones de las curvas de nivel de esa superficief(x,y)=0 tendremos queel diferencial de x que:

Una ecuacin de primer orden de la forma

Se llama ecuacin exacta si existe una funcinF(x,y) tal que

En este caso la solucin de la ecuacin diferencial exacta ser entoncesF(x,y)=c, debido que

El criterio para determinar la ecuacin diferencialM(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta:

El mtodo para resolver una ecuacin diferencial exacta consiste en determinar la funcinf(x,y) integrando la ecuacinf(x,y)dx0m(x,y)dxagregado la funcin indeterminadaH(y) .En lugar de la constante de integracin derivando la ecuacin resultante con respecto a y eigualando despus esa ltima ecuacin resultante con respecto a y conN(x,y) de acuerdo a laecuacindf/dy n(x,y), y de esta ultima ecuacin se determina la funcin desconocidah(y) unavez que se va determinando la funcinf(x,y) complementament se iguala a una constantepara llegar finalmente a la ecuacin de las curvas de nivel que son la solucin de las ecuacionesexactas.

Ecuaciones Exactas y No Exactas, Factor IntegranteUna ecuacin diferencial de primer orden de la forma

Al dividir la ecuacin 1 entrea1xse tiene la forma estndar de la ecuacin

Solucin de una Ecuacin Diferencial de 1er Orden1) Primero se convierte a la forma de la ecuacin #2 , la ecuacin dada y se hace que elcoeficientedy/dxsea la unidad.2) Hay que identificarP(x)y definir el factor integrante3) La ecuacin obtenida en el paso 1 se multiplica por el factorintegrante:

4) El lado izquierdo del paso 3 es la derivada del producto del factor integrante por lavariable dependiente, y esto es

5) Se integran ambos lados de la ecuacin obtenida en el paso 4 y resolvemos el problema devalor inicial.

1.7 Ecuaciones LinealesUna ecuacin est formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cualescontienen nmeros o variables. El resultado de una ecuacin se conoce como solucin o raz. Si sequiere comprobar que le valor de la raz esta correcto, simplemente se sustituye la variable por elnumero (valor) de la raz.Ejemplo:x+8= 3x=3 -8x=-5Comprobacinx+8= 3(- 5) +8= 33= 3Una ecuacin que est en la formaax+b=0, dondeaybson constantes ya /=0, es unaecuacin lineal de la variablex. La solucin de una ecuacin como esta es:-b/aDos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto o solucin:x-2=10x=10+2x=12x-6=6x=6+6x=12Ambas ecuaciones son equivalentes, porque su nica solucin es 12. Para resolver un ecuacin,usualmente se trata de cambiar o transformar esta en una ecuacin equivalente. Estatransformacin se puede hacer de la siguiente forma:Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuacin dada.Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuacin dada.Multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuacin por cualquier cantidad diferentede cero.Ejemplo:Sumando:-2=-15+x-2+15=-15+x+1513=xRestando:x+8=3x+8-8=3-8x=-5Multiplicando:6-4x= 18-6+ 6-4x= 18- 6-4x= 12-1/4 ) -4x= 12( -1 /4)x=-3Aplicaciones de las ecuaciones lineales.1.8 Ecuacin de BernoulliAlgunas veces al hacer un cambio de variables se logra transformar una ecuacin diferente enlineal. Otra situacin semejante se presenta para la ecuacin de Bernoulli.Definicin:Una ecuacin diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma:

DondeP(x)yQ(x)son funciones reales y continuas en un intervalo[a,b]ynes una constantereal diferente de0y1se conoce como ecuaciones de Bernoulli.Observacin: cuandon=0la ecuacin de Bernoulli se reduce a una ecuacin separable y cuandon1se trata de una ecuacin lineal.Teorema:La ecuacin de Bernoulli

Se reduce a una ecuacin lineal de primer orden haciendo la sustitucinu=y1-n.Demostracin:Al dividir la ecuacin (1) poryn, resulta:

Usando la regla de la cadena, calculamosy'a partir de la sustitucinu=y1-n.

Sustituyendo en la ecuacin (2), esta se transforma en:

La cual es una ecuacin diferencial lineal de primer orden, como se quera.Ejemplo:Resolver la ecuacin:

Solucin:Esta es una ecuacin de Bernoulli conPara resolver primerodividimos pory3.

Ahora efectuamos la trasformacinu=y-2. Puesto quedu/dx=-2y dy/dx, la ecuacin se transformaen:-1/2 du/dx -5u=-5/2xSimplificando obtenemos la ecuacin lineal:du/dx-10u=5xCuya solucin es:

Observacin: En esta solucin no est incluida la soluciny=0, que se perdi durante el procesode dividir pory3. Es decir, se trata de una solucin singular.Ejemplo:Compruebe que la ecuacin diferencial:

Se transforma en una ecuacin de Bernoulli al haceru=e-y.Solucin:Como:

Sustituyendo obtenemos:

La cual es una ecuacin de Bernoulli.1.9 Sustituciones DiversasIntegrales de la forma,donde R, es una funcin racional desenxycosx.Unintegrante contiene solamente potencias fraccionarias de una variable x. Integrando de la forma, dondem,nyp, son nmeros racionales.Sustituciones Diversas de RacionalismoCuando se presentan expresiones racionales desenx,cosx, (y por lo tanto tan x,cotx) y dondeno se pueden usar identidades trigonomtricas. El objetivo es transformarlas a expresionesracionales con una nueva variablezpara utilizar el mtodo de infracciones parciales.1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales, de Primer Orden.Las Ecuaciones Diferenciales se utilizan para describir un fenmeno de la vida real, ya sea fsica,sociolgica, o aun econmica, se llama modelo matemtico. Los modelos matemticos parafenmenos tales como desintegracin radiactiva, crecimiento de poblaciones, reaccionesqumicas, enfriamiento de cuerpos, rapidez de memorizacin, corriente elctrica en un circuito enserie, o la velocidad de un cuerpo en cada, son a menudo ecuaciones diferenciales de primerorden..Un circuito RL tiene una Fem de 5 v, una inductancia de 1 hernio y una resistencia de 80 ohms y nocontiene corriente inicial determinar la corriente en el circuito para cualquier tiempo inicialdetermina la corriente RL consta de:1.- Una resistencia en ohms un condensador I2.- Un Condensador i en hernios3.- Una fuerza electromotriz, Fems

La cantidad expresada de corriente I, en amperios, queda expresada por la ecuacin:

Entonces. Para E =5, L =1, y R =80,, la ecuacin del circuito esdI/dt+80I=5, ecuacin lineal, cuyasolucin es:

Para t=0, I=0 entonces c=-1/16La corriente en cualquier tiempo t es: