Unidad 1 Física 2 Bachillerato

7/24/2019 Unidad 1 Fsica 2 Bachillerato

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Cinemtica. Movimiento

vibratorio

1

UNIDAD

n esta Unidad realizaremos un repaso de la cinemtica, es decir, del estudio de los

movimientos, ya visto en aos anteriores, utilizando esta vez la notacin vectorial y

los valores instantneos (derivadas) de la velocidad y la posicin.

Estudiaremos el movimiento armnico simple que procede de una fuerza o aceleracin cuyo

valor cambia peridicamente con el tiempo.

Por movimiento vibratorio se entiende un movimiento peridico en donde las partculas oscilan,

se desplazan entre sus valores extremos que describen un movimiento armnico simple, sin

alejarse nunca de la posicin de equilibrio. El movimiento armnico simple es un modelo utilizado

en Fsica para aproximar movimientos muy variados y frecuentes en muchas situaciones. Se trata

de un movimiento que puede describir diferentes circunstancias: tomos vibrando en una red

cristalina; masas colgadas de resortes en tensin; posicin de tomos enlazados qumicamente;

y, en general, muchos movimientos que se repiten a intervalos de tiempo constantes: losmovimientos peridicos. El estudio del movimiento peridico ms simple nos permitir iniciarnos

en el movimiento de las ondas as como explicar numerosos movimientos peridicos de la vida

cotidiana.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:

1. Resolver los movimientos de aceleracin constante o nula.

2. Analizar cualquier tipo de movimiento cuya aceleracin dependa del tiempo de formaconocida.

3. Conocer las caractersticas de los movimientos armnicos simples.

4. Resolver los movimientos producidos por una fuerza restauradora proporcional a la distanciaque separa al objeto de la posicin de equilibrio.

E

El puente de Takoma (USA) el 7 de Noviembre de 1940 entr en resonancia con el viento. Las vibraciones fueron aumentando hasta que el puente cedi y

qued destruido (Wikipedia.org. Dominio pblico)


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Posicin

Velocidad

Aceleracin

nula

constante

Movimientouniforme

Movimientouniformemente

acelerado

Movimientovibratorio Frecuencia

Fuerza

Ley de Hooke

Energacintica

Energapotencialelstica

1. REVISIN DE LA CINEMTICA LINEAL. MOVIMIENTOS UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO . . . . . . . . . . . . . 122. MOVIMIENTOS PERIDICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Movimientos vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Dinmica del oscilador armnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213. ENERGA DE LAS MASAS OSCILANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234. PNDULO SIMPLE . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

N D I C E D E C O N T E N I D O S

a = -- 2 x


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1. Revisin de la cinemtica lineal. Movimientosuniforme y uniformemente aceleradoLa ecuacin de movimiento que indica cul es el vector de posicin en funcin del tiempo,

r(t), y la ecuacin de la velocidad, v(t), caracterizan totalmente la cinemtica del fenmenofsico que estudiamos. Para obtener la ecuacin de la velocidad basta con conocer la aceleracin

(o la suma de las fuerzas exteriores y la masa del objeto) y la velocidad en el instante inicial

v0(t). La ecuacin del movimiento se obtiene integrando la expresin de la velocidad y conociendo

la posicin inicial del objeto r0(t).

Como la velocidad instantnea es la derivada del vector de posicin respecto al tiempo,

tendremos:

Cuando trabajamos en dos dimensiones podemos obtener la ecuacin de la trayectoria.Para ello despejamos el tiempo en alguna de las componentes del vector de posicin y

sustituimos el tiempo por esa expresin en la otra componente, dando lugar a una expresin,

y(x), que no contiene el tiempo y que es la ecuacin de la trayectoria, como podemos ver en

el ejemplo siguiente.

y

x

y

xr

r

vref t

Figura 1.1

v r

r v r v r r v r

r

= = = = d

dt d dt d dt dt

t t

0 00

0

a dvdt

dv a dt dv a dt v v a dt v

v t t

= = = = 0 0 0 0

CINMATICA. MOVIMIENTO VIBRATORIO

1UNIDAD

E j e m p l oE j e m p l o

En un movimiento en el que un objeto tiene una velocidad horizontal constante y que carece de

velocidad inicial en el eje vertical, sus ecuaciones de movimiento son:

x= v0t ; y = a t2

Despejando el tiempo en la primera ecuacin y sustituyendo ese valor en la segunda ecuacin

obtenemos una expresin en donde la altura, y, depende de la distancia horizontal recorrida,x.

y= a (x/v0)2

y= a(1/v02

)x2

y = (a/v02

)x2

, que es la ecuacin de una parbola.As, cuando tiramos un objeto a lo largo de una mesa, al salir de ella llega al suelo habiendo

descrito una trayectoria parablica.


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Tipos de movimientos

Si el movimiento carece de aceleracin, a = o, puesto que v= v0, se dice que es un

movimiento uniforme. Para obtener la ecuacin de la trayectoria del movimiento:

En este caso la trayectoria es una recta.

Si el movimiento tiene una aceleracin constante a se dice

que es un movimiento uniformemente acelerado. La ley develocidades se obtiene integrando la aceleracin:

Esta igualdad vectorial indica que se cumplen las siguientes ecuaciones escalares para

cada uno de los ejes cartesianos que utilizamos como sistema de referencia:

vx = v0x+ ax t

vy= v0y+ ay t

Y la ecuacin de movimiento se obtiene integrando la ley de velocidades que acabamos de

obtener:

Esta ecuacin vectorial es equivalente al siguiente sistema de dos ecuaciones escalares:

x=x0 + v0x t+ ax t2

y= y0 + v0y t+ ay t2

Despejamos en la ley de velocidades el tiempo, obteniendo , y ahora sustituyen-

do este tiempo en la ecuacin de movimiento obtenemos, tras simplificar los trminos que se

anulan, la expresin siguiente:

r r vv v

a a

v v

aa r r v v v v v v v =

( )+

( ) ( )= + +0 0

0 12

0

2

2 0 0 0

2 12

2

012 0

22

0

2

0

22 ( )= a r r v v

t v v

a= 0

v v a dt a dt a t v v at t t

= = = ( ) = + 0 0 0 00

r r v dt v dt v t de donde r v t r t t

- , :00

00

0 0 0= = = = +

r r v dt v at dt v dt a tdt v t at t t t

= = +( ) = + = + 0 0 00 0 0 0 012

tt luego r r v t at 2 0 012

2, :

= + +

yj

xi

r = xi+yj

X

Y


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1UNIDAD


Una catapulta lanza una piedra que alcanza una altura mxima de 40 m. y un alcance de 190

m. Cunto vale la velocidad (vector) inicial?

Solucin:

El movimiento del proyectil se puede descomponer en un espacio de dos dimensiones. En el

eje X, tiene una velocidad inicial v0x pero carece de aceleracin ya que consideramos que no

existe aceleracin de frenado. En el eje Y, es un movimiento con velocidad inicial v0y y acelera-

cin 9,8 m/s2 de sentido contrario. Si consideramos que el proyectil inicia su trayectoria en el

punto x0 = y0 =0 y llamamos t1 al tiempo empleado en alcanzar la altura mxima, aplicando en

cada eje la ley de velocidades y las ecuaciones de movimiento que acabamos de ver tendremos:

Eje x, movimiento uniforme (ausencia defuerza resistente):

Eje y, movimiento uniformemente acelerado

(movimiento en el campo gravitatorio):

En el punto ms alto y= 40 m; t= t1, que se alcanzar a la mitad del recorrido, por lo que el

tiempo total del proyectil en el aire es t = 2t1

0 2 9 8 40 2 9 8 40 28

0 2 9 8 40 9 8

0

2

0

1

= = =

=

v v

t

y y, ,

, ,

m/s m/s

ms

tt t

vx

1 2

0

2 9 8 40

9 8

2 2 9 8 40

9 85 71

190 2 2 9 8 409

= = =

=

,

,

,

,,

,

s s s

m,,

,,

,

v

8190 9 8

2 2 9 8 4033 250 =

=vx m/s m/s

Velocidad inicial

00

190 9 8

2 2 9 8 402 9 8 40 33 25 28=

=( )

,

,; , , ; m/s

v v a y y y y2

0

2

02 = ( ). La velocidad vertical en el punto ms alto es m/svy= 0

y v t at

v v at

y

y y

= +

= +

0

2

0

1

2

x v t v tx x= = ( )0 0 1190 2m .40 m

190 m

v0x

v0y

Figura 1.2


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R e c u e r d a

El movimiento de un cuerpo se puede caracterizar a travs de su vector de posicin (ecuacin

del movimiento), del vector velocidad (ecuacin de la velocidad) y del vector aceleracin respecto

a un mismo sistema de referencia.

El lugar geomtrico de los puntos por donde pasa un mvil es su trayectoria. La ecuacin de

la trayectoria se obtiene sustituyendo el tiempo en una de las coordenadas por su valor en otra

de las coordenadas obtenindose una expresin independiente del tiempo.

Cuando el vector aceleracin es constante, la ecuacin del movimiento es una funcin cuadrtica

cuyos parmetros son: la posicin inicial r0 , la velocidad inicial v0, y la aceleracin a.

En el movimiento uniformemente acelerado podemos emplear una tercera ecuacin (deducida

de las dos anteriores) en la que no figura el tiempo:

Cuando la velocidad permanece constante tenemos un movimiento uniforme donde la posicin

depende linealmente del tiempo, siendo la trayectoria una recta: r = v0t + r0

El movimiento de un cuerpo se puede analizar separadamente en cada uno de los ejes coordenados,

manteniendo el tiempo como variable comn en ambos.

2 02

0

2a r r v v ( )=

Ecuacin del movimiento uniformemente acelerado:

r r v= +0 0012

2

0

t tt

+= +

av v aEcuacin de la velocidad:

1. Queremos tirar un folio apretujado en forma de esfera a una papelera de 20 cm de altura y conuna boca de 20 cm de dimetro, situada junto a una pared que dista 2 m de nuestros pies.

Elevamos la bola de papel hasta 2 m de altura y la lanzamos con una velocidad que forma 30

con el plano del suelo de la habitacin y de una magnitud 3 m/s con el objetivo de que caiga

en el interior de la papelera. Lo conseguiremos? Demustralo.

2. Bajo un almendro observamos cmo cae un fruto con su cscara (50 gr.) desde una altura de 6 metros.

a) Con qu velocidad llega al suelo?

b) Si el almendruco llega al suelo con una velocidad de 9.5 m/s, cul es la resistencia (ensistema S.I.) que ejerci el aire?

A c t i v i d a d e s


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2. Movimientos peridicosA aquellos movimientos en los que el cuerpo vuelve al mismo estado de posicin, velocidady aceleracin, en intervalos constantes de tiempo, les llamamos movimientos peridicos.

En la vida cotidiana nos encontramos con infinidad de movimientos peridicos: el movimiento

del pndulo, el de las agujas del reloj, el de los satlites alrededor de los planetas, un disco

que gira, etc.

Un ejemplo de movimiento peridico es el movimiento circular uniforme, en el cual elmvil se desplaza siguiendo una trayectoria circular con velocidad angular constante.

El tiempo que tarda en realizar un ciclo completo se llama perodo, T.

Al nmero de ciclos que se completan en un segundo se le llama frecuencia, f. La frecuenciaes la magnitud inversa del perodo, ; se mide en hercios (Hz), es decir, ciclos por segundos.

2.1. Movimientos vibratoriosEn muchos sistemas fsicos se puede observar que al separar un objeto de su posicin

inicial en reposo, ste tiene tendencia a volver a dicha posicin que llamaremos de equilibrio.

Sin embargo, al llegar a dicha posicin, el movimiento no desaparece sino que, debido a la

inercia que lleva, contina en movimiento, disminuyendo la velocidad hasta pararse en un

punto. Desde ese punto retrocede, dirigindose de nuevo hacia la posicin de equilibrio, y as

sucesivamente. A este fenmeno se le denomina vibracin (oscilacin) y a este tipo demovimiento, movimiento vibratorio.

El movimiento vibratorio es un tipo de movimiento peridico a ambos lados de una posicin

de equilibrio.

A la distancia entre la posicin del objeto y la posicin de equilibrio,x, se le llama elongacin.

Al valor de la mxima elongacin,A, se le llama amplitud.

El tiempo que tarda el objeto en desplazarse desde la posicin de equilibrio hasta uno de

los extremos es de T/4.

En todos los fenmenos oscilantes existe una fuerza, fuerza restauradora, que empujaal mvil a recuperar su posicin de equilibrio. Dicha fuerza, tambin llamada recuperadora,

viene dada por la Ley de Hooke ( VerAnexo II. Dinmica, apartado 3.4)

x = 0+A-A

T/4

Figura 1.3

fT

=1


1UNIDAD

R e c u e r d a

Perodo: es el tiempo empleado en realizar una oscilacin completa. Frecuencia: es el valor inverso del perodo. Es el nmero de oscilaciones que se realizan en un

segundo.


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2.2. Movimiento armnico simpleDentro de los movimientos vibratorios tiene especial importancia el denominado movimiento

armnico simple (M.A.S.). Se trata de un movimiento oscilatorio de un cuerpo que sigue unatrayectoria recta cuya elongacin,x, viene dada por una funcin armnica (seno o coseno) del

tiempo, como se representa en la Figura 1.4

-A

+A

O

x

t

T

Figura 1.4. Movimiento armnico


Un disco se mueve a 33 rpm. (revoluciones por minuto). Calcular el perodo y la frecuencia.

Solucin: f = 33/60 vueltas/segundo = 0,55 Hz T= =6033

s 1,82 s

3. El motor de un coche se mueve a 3500 rpm. Qu tiempo emplea en cada ciclo? Cul es lafrecuencia en este caso?


Tmate el pulso en situacin de reposo cada 5 minutos durante media hora y calcula el tiempo

que media entre dos pulsos. Representa grficamente el perodo (en ordenadas, eje cartesiano

vertical) frente al momento de medida (en abscisas, eje cartesiano horizontal).

La grfica resultante muestra, dentro de los errores experimentales de la medida del perodo,

que ste es independiente del momento de medida. Si el perodo es independiente del momento

de medida, se dice que el perodo es una constante del sistema fsico oscilante. Si no se obtieneuna lnea horizontal, el sistema no es peridico, y en el caso de los pulsos de presin del corazn

diremos que existen arritmias.

A c t i v i d a d p r c t i c a


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La partcula que describe un movimiento armnico simple est sometida a la accin de una

fuerza recuperadora elstica que, como ya se ha mencionado, es proporcional al desplazamientoy de sentido opuesto a ste: F(x) = - k x, donde kes una constante.

El movimiento se denomina armnico ya que las variables elongacin, velocidad y

aceleracin son funciones armnicas (seno o coseno).

Ejemplos de estos movimientos son: una masa acoplada a un muelle que oscila, un corcho

flotando en el agua que sube y baja o un pndulo con el ngulo de oscilacin pequeo.

La elongacin se expresa mediante la siguiente frmula:

x=Acos( t+ 0)

Las magnitudes que aparecen en ella son:

A: es la amplitud y se mide en metros (m).

t + 0: es la fase en cualquier instante y se mide en radianes (rad).

: es la frecuencia angular o pulsacin y se mide en radianes por segundo (rad/s) o

simplemente en s-1.

0: es la fase inicial e indica el estado de vibracin en el instante inicial.

t: es el tiempo y se mide en segundos (s).

Si nos fijamos en la ecuacin de la elongacin, podemos observar que para t= 0 el valor

dexqueda determinado por A y 0, ya quex =Acos(0); si, adems, 0= 0, entoncesx = A,

es decir, al iniciarse el movimiento el objeto se encuentra en el punto de mxima elongacin

cuando la fase inicial es cero.

Al transcurrir un tiempo T(perodo) la partcula en movimiento vuelve a tener la misma

posicin y velocidad. Es decir, el estado de movimiento del sistema en el tiempo ty en el tiempo

t + Tser el mismo.

Para una vibracin completa el ngulo (fase) ha de ser igual al de partida ms 2.

t+ 0+ 2 = t+ T+ 0de donde resulta que T= 2/ y llegamos a la conclusin

de que el perodo del movimiento armnico simple es independiente de la amplitud.

Como 1/T= f, tenemos tambin: = 2f.

Lavelocidad se obtiene al derivar con respecto al tiempo la posicin del objeto:

El valor de la velocidad depende de la posicin, como se deduce a partir de la ecuacin

anterior.

v dx

dtA t= = +( ) sen 0

x A t A t T= +

( )= +

( )+

cos cos 0 0


1UNIDAD


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El sen (t + 0) ser igual a cero cuando (t + 0) = n(donde n = 0,1,2,3) y por ello la

velocidad ser tambin cero. En estos valores cos (t + 0) = 1 y x = A. Por tanto, la velocidadse anula en los puntos de mxima elongacin.

La mxima velocidad toma el valorA cuando sen (t + 0) = k(donde k= 1, 3, 5, 7).

Para estos valoresx= 0, es decir, la mxima velocidad se da en la posicin de equilibrio.

Adems, podemos expresar la velocidad en funcin de la posicin; para ello elevamos al

cuadrado y operamos en la ecuacin de la velocidad:

Laaceleracin se obtiene al derivar la velocidad con respecto al tiempo:

Comparando las expresiones de la elongacin y de la aceleracin, obtenemos una ecuacin

independiente del tiempo:

El valor mximo de la aceleracin, -2A, se da cuando cos (t+ 0) = 1, es decir, en el

punto de mxima elongacin. La aceleracin se anula en la posicin de equilibrio, donde

cos (t + 0) = 0.

Podemos decir que el movimiento armnico simple (M.A.S.) es un movimiento rectilneo

acelerado no uniformemente, ya que su aceleracin es directamente proporcional al

desplazamiento.

La definicin del movimiento armnico simple podra haberse realizado empleando la funcin

seno para caracterizar la elongacin y la conclusin sera equivalente. De acuerdo con las

relaciones entre las funciones trigonomtricas, vemos que:

x=Acos(t + 0

) =A sen(t+0

+ /2). Podemos decir que la diferencia de fase entre una

descripcin y otra es de /2.

Para analizar el significado fsico de vamos a considerar un objeto que se mueve con

movimiento circular uniforme en una circunferencia de radioA (Figura 1.5.).

Figura 1.5

adv

dtA t= = +( ) 2 0cos

v A sen t A t A x

v A

2 2 2 2

0

2 2 2

0

2 2 2 2

2 2

1= + = +( ) =

=

( ) cos ( )

22 2 2 2x A x=

a =-- 2 x


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20


1UNIDAD

En la Figura 1.5.a partimos de la posicin P0 en el instante t= 0. Al cabo de un tiempo t,

el objeto habr recorrido un arco de ngulo = t, donde es la velocidad angular (arcorecorrido por unidad de tiempo) del movimiento circular uniforme. Las proyecciones del radio

que une el centro y el punto Psobre los ejesxe y son:

x = A cos (t)

y = A sen (t)

En caso en que empecemos a medir el tiempo a partir de la posicin P0, cuando previamente

hemos recorrido un ngulo 0 (Figura 1.5.b), tendremos:

x = A cos (t + 0)

y = A sen (t + 0)

que son las expresiones del movimiento armnico simple desarrolladas en esta Unidad.Como conclusin podemos decir que la proyeccin de un movimiento circular uniformesobre los ejes coordenados sigue un movimiento armnico simple.

Dos puntos en el mismo estado de vibracin se dice que estn en fase. En caso contrario estaran

desfasados. As, cuando dos estados de vibracin estn en el mximo, (Figura 1.6-a), la diferencia

de fase ser 0 un mltiplo entero de 2radianes. Cuando una oscilacin est en el mximo y la

otra est en el mnimo (Figura 1.6-b), la diferencia de fase ser o mltiplo impar de .

(a) (b)

Figura 1.6

R e c u e r d a

La fase es el argumento de la funcin armnica que va aumentando con el tiempo: t+ 0.

La fase en el origen 0 es el valor de ese argumento cuando el tiempo es cero.

En fase quiere decir que la diferencia de fase entre dos situaciones en el mismo instante es

cero o mltiplo de 2.


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2.3. Dinmica del oscilador armnicoUn oscilador armnico es un sistema que se mueve con un movimiento armnico simple.

Un caso importante de oscilador armnico es el de una masa acoplada a un muelle en el

que al aplicar una fuerza en la direccin del ejeX, el cuerpo se desplaza de la posicin de

equilibrio. Al cesar la fuerza el resorte comienza a comprimirse, ya que ejerce una fuerza

opuesta al desplazamiento. Dicha fuerza recuperadora es proporcional y de sentido contrario

a la elongacin.

F = -- kx

Donde la constante de proporcionalidad, k, se conoce como constante elstica del muelle

y es una caracterstica del sistema. La expresin anterior se conoce como Ley de Hooke

(VaseAnexo II. Dinmica).

Si F = ma , tendremos: ma = -- kx

Y como a = --2 x , tendremos: 2 = k/m

a x= km

=

=

=

2

22

T

k

m

Tm

k

Figura 1.7


a) Escribir la ecuacin del movimiento armnico con amplitud de 1m. y una frecuencia de 100 Hz,si en el instante inicial (t= 0) la elongacin es 30 centmetros.

b) Indicar la velocidad mxima y la alcanzada en la segunda dcima de segundo.

Solucin:

a) x= 1 cos(200 t+ 0)

0,3 m = 1 cos(0 + 0) =1 cos0 0 = arccos 0,3=1,26 rad

x = cos (200t+ 1,26) m

b) v= --A sen( t+ 0) v= -- 2001sen(200 0,2 + 1,26)

vt = 0,2s = -- 20010,94 = 593,5 m/s.La velocidad es mxima cuando la funcin seno es mxima:

sen( t+ 0) = 1 vmax = 628 m/s.


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De estas experiencias cualitativas aprendemos que 1) el perodo de oscilacin no depende

de la amplitud inicial (energa mecnica suministrada inicialmente) (caso A de la Actividad

prctica); 2) el perodo depende nicamente de las caractersticas fsicas del sistema oscilante,

en este caso depende de la constante recuperadora (k; F = -- kx , Ley de Hooke que siguentodos los cuerpos elsticos y que puedes ver en elAnexo) y de la masa que oscila (caso B).

Podemos lograr que las amplitudes de un sistema oscilante amortiguado mantengan elmismo valor cuando suministramos desde el exterior peridicamente energa mecnica (con igual

frecuencia que el sistema oscilante). Hay que suministrar la misma cantidad de energa que sepierde en cada oscilacin por rozamiento o por transferencia a otros sistemas. Para lograr que

el sistema oscilante mantenga sus caractersticas indefinidamente es imprescindible que la energa

mecnica exterior sea suministrada en fase con el estado de oscilacin del sistema.


1UNIDAD

Sujeta al borde de una mesa una regla de plstico (10 20 cm.) y presiona ligeramente sobre elborde del extremo libre de forma que la regla se deforme ligeramente. Al soltar el extremo libre, observa

si vuelve peridicamente a la deformacin inicial. Si la deformacin va disminuyendo con el tiempo, el

sistema est perdiendo energa mecnica por rozamiento. Parte de la energa mecnica se pierde en

calentamiento de la regla y el resto en la emisin de ondas de presin en el aire circundante que resultarn

audibles si su frecuencia supera 20 Hz y no llega a 20.000 Hz. Veamos estos dos casos:

Caso A. Sin variar la distancia entre el borde de la mesa y el extremo libre, estima el perodo

(tiempo transcurrido entre dos mximos relativos) cuando varas la amplitud inicial.

Caso B. Vuelve a repetir la experiencia modificando ligeramente el sistema, por ejemplo,

aumentando o disminuyendo la longitud desde el borde hasta el extremo libre o aadiendo

distintos pegotes de plastilina al extremo libre de la regla.

A c t i v i d a d p r c t i c a

R e c u e r d a

Cualquier movimiento armnico se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

x=A [cos( t+ 0)];v=--A [sen( t+ 0)];a =--2 A [cos( t+ 0)]donde: es la frecuencia angular; 0 fase cuando t = 0;A, amplitud;x, elongacin.

La amplitud es el valor de la elongacin mxima.

4. La aceleracin del movimiento de una partcula viene expresada por la relacin a = -- kx, siendoxel desplazamiento respecto a la posicin de equilibrio y kuna constante. De qu movimiento se

trata? Qu representa k? Cul es la ecuacin del citado movimiento? Razona las respuestas.

5. Una partcula efecta un movimiento armnico simple cuyo perodo es igual a 1 s. Sabiendo queen el instante t = 0 su elongacin es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcula: a) La amplitudy la fase inicial. b) La mxima aceleracin de la partcula.



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3. Energa de las masas oscilantesUn oscilador armnico es un sistema conservativo, por lo que la energa mecnica total(suma de la energa cintica y potencial) se conserva. Este principio fundamental de la Fsica

se conoce como principio de conservacin de la energa.

Aquellas posiciones del oscilador en que la velocidad sea cero tendrn una energa cinticanula. Esto ocurre, como vimos en el apartado 2.2, en los puntos de mxima elongacin (casosA y B de la Figura 1.8). La energa cintica es mxima en la posicin de equilibrio, donde la

velocidad tambin es mxima (caso C de la Figura 1.8).

La variacin de energa potencial que experimenta una masa al trasladarse de un punto a

otro por la accin de una fuerza elstica coincide con el trabajo realizado por dicha fuerza, pero

cambiado de signo. Es decir, la energa potencial del sistema en la posicinxes el trabajo quehay que realizar, en contra de las fuerzas conservativas del sistema, para desplazar al cuerpo

de su posicin de equilibrio y llevarlo a la posicinx.

Ep = - Wox

De estas expresiones podemos deducir que la energa potencial del oscilador armnico

tambin depende del tiempo. Es mxima en los puntos de mxima elongacin, donde la energa

cintica es cero (casosA y B de la Figura 1.8), y cero en la posicin de equilibrio, donde la

energa cintica es mxima (caso Cde la Figura 1.8).

La energa cintica es: . Sustituyendo el valor deE mvc=1

22 la velocidad, sen

queda: sen

v A t

E mA t c

= +( )

= +

0

2 2 2

0

1

2

,

(( ) que, como vemos, oscila con el tiempo.

M

M

M

x

x

kk

k

O

A B C

Figura 1.8

W dx k x dx kx E kx kAXxx

p0

2

00

2 21

2

1

2

1

2= = = = = F . coPor tanto: ss

cos

2

0

2 2 2

0

1

2

t

k m E A m t p

+( )

= = +( )

, sustituyendo


15/20

24


1UNIDAD

La energa mecnica es la suma de la energa cintica (Ec) y la energa potencial (Ep):

Siendo kyA constantes, el valor de la energa mecnica es constante.

En la Figura 1.9 podemos observar el intercambio continuo de energas.

La energa cintica, la velocidad y la aceleracin pueden describirse en funcin de la distancia.

E E E mA t mA t

m

mecnica c P= + = +( )+ +( )=

=

12

12

1

2

2 2 2

0

2 2 2

0 sen cos

AA t t mA kA2 2 2 02

0

2 2 21

2

1

2 sen cos+( )+ +( ) = =

La energa potencial es mxima cuando la energa cintica es nula, y viceversa, de

acuerdo con la ecuacin:

E E E kAmecnica c p= + =1

22

A-A

Ec

Ep

Em

0

Figura 1.9

E kA kx E E k A x m c c= = + = ( )1

2

1

2

1

22 2 2 2

E j e m p l oE j e m p l oUn muelle cuya constante elstica es 10 N/m, est apoyado sobre una mesa en la que no hay

rozamiento. Tiene un extremo fijo y en el otro hay una masa de 0,5 kg. Se estira el muelle hasta

15 cm y se suelta dando lugar a un movimiento peridico.

a) Calcula el perodo y la frecuencia del movimiento.

b) Determina la ecuacin que representa el movimiento del cuerpo.

c) Determina la expresin matemtica que nos permite conocer la velocidad y la aceleracindel cuerpo en cualquier instante.

d) Determina las expresiones matemticas que nos permiten calcular la velocidad y la aceleracinconociendo la distancia a la posicin de equilibrio.


16/20

25

R e c u e r d a

E m v m A t

E k x k A

c

p

= = +( )

= =

12

2 2 2 2

0

12

2 12

2 2

1 2/

sen

cos +( )

= = = ( ) =

t

E k A E k x E k A x k mecnica p c

0

12

2 12

2 12

2 2 2, , , m

Solucin:

a)

b)

c)

d) 12

12

12

12

0 152 2 2 2 2 2 21

2 2mv kA kx k A x v km

x a= = ( ) = ( ) = , , xx

v x a x

;

por tanto, ms

; ms

= ( )

= 100 5

0 022 20212

, , 22 .

v t a t = ( ) = 20 0 15 20 20 0 15 20, , .sen m s y cos m/s2

x t= +( )0 15 20 0 0, m cos . Para calcular , situacin inicial (( = 0), la elongacin es

= 0,15 m: cos

t

x 0 15 0 15 0 0, ,= ( ) = 00 rad, luego cos m.x t= 0 15 20,

2 100 5

202

20= = = = = km T

T f,

rad

srad s = 1,4 s = 0,71 H

2

2

zz.


17/20

26

4. Pndulo simpleUn pndulo simple tiene un movimiento peridico que,cuando las oscilaciones son pequeas, podemos aproximar

como un movimiento armnico simple.

Consiste en una masa m colgada de un hilo inextensible

y de masa despreciable. Al desplazar la masa ligeramente

de su posicin de equilibrio, la componente del peso

perpendicular a la direccin del hilo, Ft = m gsen, tender

a llevar otra vez al cuerpo a su posicin de equilibrio, de

forma parecida a la fuerza restauradora, (F = -k x), de losmuelles.

En este caso la energa potencial es de tipo gravitatorio, pero veremos analogas con la energa

elstica de los muelles.

Cuando los desplazamientos son pequeos, el valor de , medido en radianes, y el del sen

son muy parecidos ( para 0,26 rad 15 la diferencia es del orden del 1% de la medida del

ngulo); cuanto ms pequeo sea , mejor es la aproximacin. De hecho, .

As pues, si es pequeo ( medido en radianes):

Podemos, por tanto, aplicar todos los resultados que obtuvimos cuando estudiamos el muelle.

En particular, elp ro o

ser:

T, por tanto, no depende de la masa, sino de la longitud del hilo y del valor de la aceleracinde la gravedad.

La energa potencial de un pndulo simple es:

E W mg ds mg

l s ds mg

s

l

mg

l k Ep F

s s

pt= = = = = sen . Como ,0 0

1

2 == =1

2

1

22 2ks kx ,

que coincide con la energa elstica de un oscilador de constante k.

T m

k T

ml

gm

l

g= = =2 2 2 , luego:

F mg mg x

lt= = sen (el significado del signo menos es que el vvalor de tiene sentido

contrario a x). Si hacemos

F

km

t

= ggl

F kx, la fuerza es del tipo: .= -

= =sen x

l

limsen

x

x

x=

01


1UNIDAD

l T

xs

Ft

mgcos

P=mg

Figura 1.10


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27

6. Una masa de 2 kg est unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posicin de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad.

Determina:

a) La expresin de la posicin de la masa en funcin del tiempo,x = x(t).

b) Los mdulos de la velocidad y de la aceleracin de la masa en un punto situado a 2 cm dela posicin de equilibrio.

c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.

d) La energa mecnica del sistema oscilante.

Nota: Considera que los desplazamientos respecto a la posicin de equilibrio son positivos

cuando el muelle est estirado.

7. Un muelle cuya constante de elasticidad es k, est unido a una masa puntual de valor m.Separando la masa de la posicin de equilibrio, el sistema comienza a oscilar. Determina:

a) El valor del perodo de las oscilaciones Ty su frecuencia angular .

b) Las expresiones de las energas cintica, potencial y total en funcin de la amplitud y dela elongacin del movimiento del sistema oscilante.

8. a) Determina la constante elstica kde un muelle sabiendo que si se le aplica una fuerzade 0,75 N ste se alarga 2,5 cm respecto a su posicin de equilibrio.

Al unir al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg, se constituye un sistema elstico

que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo

que en t= 0 el cuerpo se encuentra en la posicin de mximo desplazamiento,x = 30

cm, respecto a su posicin de equilibrio, determina:

b) La expresin matemtica del desplazamiento del cuerpo en funcin del tiempo.

c) La velocidad y la aceleracin mximas del cuerpo.

d) Las energas cintica y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posicinde equilibrio.

9. Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa, alo largo del eje de las X, con una frecuencia angular 8 rad/s. En el instante t= 0, el alarga-

miento del resorte es de 4 cm respecto de la posicin de equilibrio y el cuerpo lleva en ese

instante una velocidad de -20 cm/s. Determina:



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28


1UNIDAD

a) La amplitud y la fase inicial del movimiento armnico simple realizado por el cuerpo.

b) La constante elstica del resorte y la energa mecnica del sistema.

10. Una partcula de masa de 100 g realiza un movimiento armnico de amplitud 3 m. Su aceleracinviene dada por la expresin a = --92xen unidades S.I. Si se ha empezado a contar el tiempo

cuando la aceleracin adquiere su valor absoluto mximo en los desplazamientos positivos,

determina:

a) El perodo y la constante recuperadora del sistema.

b) La expresin matemtica del desplazamiento en funcin del tiempox =x(t).

c) Los valores absolutos de la velocidad y de la aceleracin cuando el desplazamiento esla mitad del mximo.

d) Las energas cintica y potencial en el punto donde tiene velocidad mxima.

11. Calcula la frecuencia con que oscilar un pndulo de 1m de longitud en la Luna, donde lagravedad es 1/6 de la de la Tierra.

12. Un cuerpo de 2 kg de masa est unido a un muelle cuya constante elstica vale 20N/m. Alejamos

el sistema 1cm horizontalmente de su posicin de equilibrio. Suponiendo que no hay rozamiento,calcula:

a) La energa cintica y potencial cuando pase por la posicinx= 0,8cm.

b) La velocidad mxima de dicho cuerpo.

13. Calcula el valor de la constante de elasticidad Kdel muelle que forma el parachoques de unaestacin de tren, para que una mquina, de 120 toneladas, al chocar con l a una velocidad

de 0,03 m/s se comprima 15 cm hasta conseguir parar a la mquina.

14. Un cuerpo de 10 kg de masa est sujeto a un muelle en un plano horizontal. La constanteelstica del muelle es 600 N/m, y no hay rozamiento. Aplicamos una fuerza constante de 300

N y lo comprimimos 0.4 m desde la posicin inicial de equilibrio. Calcula:

a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada.

b) El trabajo realizado por la fuerza elstica.

c) La variacin de energa potencial elstica.

d) La variacin de energa cintica del cuerpo.

e) La variacin de energa total.

f) La distancia que se comprimir el muelle cuando se deje de aplicar la fuerza, una vezalcanzados los 0.4 m.


20/20

15. Una partcula de 20 g de masa est vibrando con un movimiento armnico simple de amplitud20 cm. En el extremo del recorrido su aceleracin vale 8000 m/s2.

a) Calcula la frecuencia.

b) Calcula la velocidad al pasar por la posicin de equilibrio.

c) Escribe la expresin de la fuerza en funcin del tiempo.

d) Calcula las energas cintica, potencial y total en los puntos de mxima amplitud, as comoen la posicin de equilibrio.

e) Halla la energa potencial y cintica en un puntoxdonde la amplitud sea la mitad.

f) Halla la energa potencial y cintica en el instante T/8 y 3T/8.

Unidad 1 Física 2 Bachillerato

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