Profesorado del Tercer Ciclo de la EGB y de la Educacin Polimodal en Matemtica

lgebra - 2010

UNIDAD 2

NMEROS ENTEROS (Z)

Para qu se crearon los nmeros enteros?

Para dar respuesta a esta pregunta resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 8 + x = 11 b) 8 + x = 8 c) 8 + x = 5

Qu puedes decir de la resolucin en cada caso?

En los tres casos el valor de x es la diferencia de los nmeros involucrados.

En el caso a) al par (11,8) le corresponde un nico valor. Pero hay infinitos pares equivalentes cuya diferencia es 3. Por ejemplo: (11,8) (10,7) (3,0) 3

Es decir, que en el par ordenado (11,8) el primer elemento es mayor que el segundo, 11 > 8.

A los nmeros definidos por estas clases se los llama nmeros enteros positivos o tambin llamados no negativos, (a,b) siendo a > b Z+.

En el caso b) al par (8,8) le corresponde un nico valor que es el cero. Este par tiene la caracterstica de que sus componentes son iguales, 8 = 8. Pero existen infinitos pares equivalentes cuya diferencia es cero. Por ejemplo: (7,7) (2,2) (0,0) 0

Esta clase de pares cuyas componentes son iguales definen al cero entero o simplemente cero. El nmero cero no tiene signo.

En el caso c) al par (5,8) le corresponde un nico valor que es 3. Pero hay infinitos pares equivalentes cuya diferencia es 3. Por ejemplo: (4,7) (3,6) (0,3) 3

Esta clase de pares cuya primera componente es menor que la segunda definen a los enteros negativos, (a,b) siendo a < b Z .

Una clase puede representarse por cualquiera de sus pares. Los pares ms simples de cada clase son los que tienen por lo menos una de sus componentes cero. En estos casos; (3,0); (0,0); (0,3)

Se llaman representantes cannicos o elementos cannicos de la clase

Las clases cuyo elemento cannico tiene la segunda componente igual a cero representan a los nmeros enteros positivos. (3,0) +3. Generalizando: (a,0) + a.

Las clases cuyo elemento cannico tiene como primer elemento a cero, representan a los nmeros enteros negativos. (0,3) 3. Generalizando: (0,a) a.

La clase cuyo elemento cannico es (0,0) representa a cero. (0,0) 0

Conclusin: Para dar solucin a la sustraccin, cualquiera sea el par de nmeros naturales al que se aplique se crean los nmeros negativos

Cmo se define al conjunto de nmeros enteros?

Cada clase de equivalencia define un nmero entero.

El conjunto de nmeros enteros est formado por los nmeros naturales, llamados enteros positivos, el cero y los nmeros negativos. Z = Z+ 0 Z. El smbolo se lee: unin.

VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO ENTERO

Un nmero entero queda definido por un nmero natural y un signo. Ejemplos: +4; 3.

El nmero natural se llama valor absoluto del nmero entero.

Dos nmeros del mismo valor absoluto y distinto signo se llaman opuestos. Ejemplo: + 5 y 5.

El valor absoluto de un nmero positivo es el mismo nmero. Ejemplo: 6 = 6

El valor absoluto de un nmero negativo es el opuesto. Ejemplo: 6 = 6

El valor absoluto de un nmero entero es siempre un entero positivo. a = a a = a

REPRESENTACIN DE NMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMRICA

Dada una recta y un punto o que se hace corresponder a cero, se representan los enteros positivos sobre una de las semirrectas y los enteros negativos sobre la semirrecta opuesta.

En la recta numrica los nmeros opuestos estn simtricamente opuestos con respecto a 0 sobre la recta numrica. Por eso se llaman tambin nmeros simtricos.

Aplicacin: representa en la recta numrica: 6 < Z < +6. Indica los nmeros opuestos o simtricos.

Observa que: A cada nmero entero le corresponde un punto de la recta numrica. Ese nmero entero se llama abscisa del punto respectivo. Ejemplo: a 4 le corresponde D, 4 es la abscisa de D; a 4 le corresponde D; entonces 4 es la abscisa de D.

REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS ENTEROS DEFINIDOS POR CLASES DE EQUIVALENCIAS

Representa las clases de equivalencia que representen los nmeros de 0 a 10. Observa lo que hallas. Descrbelo.

(0;a)

(0;10)

(0;9)

(0;8)

(0;7) (3;7)

(0;6) +2

(0;5) (7;5)

(0;4) (6;4)

(0;3) (5;3)

(0;2) (4;2) (8;2)

(0;1) (3;1)

(0;0) (1;0) (2;0) (3;0) (4;0) (5;0) (6;0) (7;0) (8;0) (9;0) (10;0) (a;0)

Se representa el producto cartesiano N0 x N0, es decir, el conjunto de los pares ordenados de N.

Sobre el eje horizontal se ubican los nmeros positivos y sobre el vertical los negativos, es decir los elementos cannicos que los representan y el (0;0).

Los representantes de cada clase de equivalencias estn situados sobre una recta. Ejemplo: los pares equivalentes representantes de +2, son

(2;0) (3;1) (4;2) (6;4) (7;5) (8;6) (9;7) (10;8) +2.

Sobre la bisectriz del ngulo que forman los ejes cartesianos se encuentran representados los pares que definen el nmero cero.

Las clases que definen nmeros Z+ se encuentran en el semiplano inferior con respecto a la bisectriz. Los pares que representan los Z estn en el semiplano superior.

Qu propiedades tiene la relacin de equivalencia?

La relacin de equivalencia cumple con las siguientes propiedades:

Reflexiva: (a,b) (a,b)

Simtrica: (a,b) (c,d) (c,d) (a,b)

Transitiva: (a,b) (c,d) y (c,d) (e,f) (a,b) (e,f)

Qu significa cannico? Significa que se ajusta exactamente al modelo.

En la representacin grfica los elementos cannicos son:

(a;0) que representan a Z+ (definidos por la sustraccin).

(0;a) que representan a Z (definidos por la sustraccin).

RELACIONES ENTRE NMEROS ENTEROS

Resuelve las siguientes situaciones y escribe conclusiones:

1) Si Marcela debe $30 y Claudio debe $30. Quin debe ms?

2) Si Franco tiene $40 y Elena $30. Quin tiene ms?

3) Si Pedro tiene $50 y Fernando debe $50. Quin tiene ms?

4) Si en la Antrtida la temperatura es de 15 bajo cero y en Ushuaia es de 10 bajo cero. Dnde hay mayor temperatura?

Adicin y sustraccin en Z

Cuntas sumas diferentes podemos encontrar en Z?

Considera sumas de dos sumandos de modo que el primer sumando pueda ser positivo, negativo o cero y que el segundo sumando pueda ser tambin positivo, negativo o cero, cuntas sumas distintas pueden obtenerse en esas condiciones?

Mustralas y escribe la conclusin.

Inventa un problema que se resuelva con cada uno de los casos que hayas encontrado.

Representa en la recta numrica cada uno de los problemas.

A qu es igual la suma de un nmero entero a y cero? Por qu?

A qu es igual la suma entre un nmero a y su opuesto?

Resuelve:

1) Los primeros juegos olmpicos se realizaron en Grecia, en el ao 775 antes de Cristo. Cuntos aos hace que se realizan estos juegos?

2) Si Pitgoras naci en 572 y muri en 497, cuntos aos vivi?

3) En un juego de dados, si un jugador gana 3 puntos y otro jugador, pierde 4 puntos. Cul es la diferencia de puntos entre ellos? Cmo se interpreta?

A qu es igual la resta de dos o ms nmeros enteros? Responde y simboliza.

MULTIPLICACIN EN Z

Resuelve e interpreta:

1) Si un hombre contrae 4 deudas de $ 5 cada una, a cunto asciende su deuda?

2) Si por alguna razn el hombre cancela las deudas, cul es el nuevo capital del hombre?

Cul es la demostracin de la regla de los signos en la multiplicacin de Z?

Como sabemos la multiplicacin de Z presenta diferentes casos:

a) Si a y n son enteros positivos:

8 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32, es decir cuatro veces ocho es igual a treinta y dos, como a y n son positivos el producto es positivo.

Si multiplicamos dos nmeros positivos el resultado es un entero positivo. (+a) (+n) = +a n (+) (+) = (+)

b) Si a es negativo y n es positivo:

( 8) 4 = ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) = 32, es decir cuatro veces menos ocho es igual a menos treinta y dos, por ser el factor a negativo y n es positivo el producto es negativo.

Si multiplicamos un entero negativo por un entero positivo el resultado es un entero negativo. (a) (+n) = a n () (+) = ()

c) Si a es positivo y n es negativo:

8 ( 4) = ( 32). Como deben conservarse las propiedades, la multiplicacin de enteros es conmutativa. Entonces: 8 ( 4) = ( 4) 8 = ( 32).porque estamos en el caso anterior.

Si multiplicamos un entero positivo por un entero negativo el resultado es un entero negativo. (+a) (n) = a n (+) () = ()

d) Si a es negativo y n es negativo:

( 4) ( 8) = para la demostracin utilizaremos las propiedades: distributiva y del producto por cero. Partiremos de una expresin que no es equivalente a nuestro clculo, pero que nos va a permitir resolverlo: ( 4) [8 + ( 8)] = ( 4) 8 + ( 4) ( 8)

( 4) 0 = 32 + ( 4) ( 8)

0 = 32 + ( 4) ( 8)

Haciendo pasaje de trmino para que la igualdad resulte verdadera, es:

+ 32 = ( 4) ( 8)

En smbolos:

Si (-a) (-n) hacemos:

(-a) [n + (-n)] = (-a) n + (-a) (-n) por propiedad distributiva

(-a) 0 = -an + (-a) (-n) por nmeros opuestos y prod. de factores de distintos signos

0 = -an + (-a) (-n) por propiedad absorbente

+ an = (-a) (-n) haciendo pasaje de trminos

Si multiplicamos dos enteros negativos el resultado es un entero positivo.

( a) ( n) = + a n () () = (+)

Es decir, el producto de dos nmeros enteros es:

Positivo si ambos factores son de igual signo.

Negativo si ambos factores son de diferente signo.

DIVISORES EN Z

Una alumna escribi en el cuaderno:

a) Si a es entero, los divisores de a2 son: a2, a, 1, +1, +a +a2.

Es correcta esta afirmacin? Por qu?

Cmo generalizaras la cantidad de divisores de un Z?

Cuntos divisores tiene un nmero primo en Z? Cules son?

Cundo se dice que un nmero entero es compuesto?

b) Demuestra la siguiente afirmacin: Si b es divisor de a entonces b es divisor de a.

POTENCIACIN

Escribe tu rbol genealgico. Cuntas personas hay en cada generacin?

Qu contenido/s matemtico/s avalan tu respuesta? Indcalos.

Por qu todo nmero elevado al exponente cero es igual a 1? Demuestra.

Por qu en la divisin de potencias de igual base se restan los exponentes? Indica un ejemplo y demuestra de esta afirmacin.

La demostracin anterior, se cumple en Z y en Q? Demustralo. Generaliza simblicamente.

ACTIVIDADES DE INTEGRACIN

Resuelve las siguientes propuestas indicando para cada una,

a) Los contenidos que las resuelven.

b) Indica definiciones de operaciones y propiedades. Simboliza.

c) En los ejercicios que requieran, para qu aplicas la radicacin?

1) Un padre tiene 56 aos y su hijo 29. Cundo la edad del padre ser el doble de la edad de su hijo?

2) El capital neto de un hombre es $ 10 y tiene una deuda de $ 3. Si por alguna razn la deuda es cancelada, cul es el nuevo capital neto del hombre?

3) Resuelve los siguientes ejercicios, comprueba con la calculadora y escribe conclusiones:

i. (2/3)4 : (2/3)2 =

ii. ( )5 : ( ) 2 =

iii. (0,2)3 : (0,2) =

iv. ( 1,2)4 : ( 1,2) =

v. ( 1,2)3 : ( 1,2) =

vi. ( 0,4)5 : ( 0,4)2 =

vii. ( 0,3)5 : ( 0,3)3 =

EL CERO EN LA POTENCIACIN

a) El cero como base:

0n = 0 siendo n 0. Toda potencia de base cero y exponente distinto de cero es igual a cero.

b) El cero como exponente:

Por qu todo nmero elevado al exponente cero es igual a 1?

Demostracin:

25 :2 24 :2 23 :2 22 :2 21 :2 20

32 :2 16 :2 8 :2 4 :2 2 :2 1

a0 = 1 siendo a 0

Del rbol genealgico se concluye: en cada generacin hay el doble que en la generacin anterior.

1 2 4 8 16 32

20 21 22 23 24 25 2n es decir, es la sucesin de potencias de dos.

c) El cero como base y exponente:

Considerando como base cero 00 = 0

00 la operacin es indeterminada

Considerando el exponente cero 00 = 1

Esta indeterminacin la podrs solucionar en Anlisis Matemtico.

DIVISIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Por qu en la divisin de potencias de igual base se restan los exponentes?

Exponentes iguales:

23 : 23 = 1; 2 2 2 = 1 23 : 23 = 23 3 = 20 N

2 2 2

(4)2 : (4)2 = 1; (4) (4) = 1 Z

(4) (4)

(1/3)2 : (1/3)2 = 1 Q

Todo nmero dividido por s mismo es igual a 1.

Si n = m, an : am = (a a a) : (a a a) = an m = a0 = 1

n veces a m veces a

Exponentes distintos:

25 : 23 = 32 : 8 = 4 = 22

a Q, n m N n > m an : am = an m

23 : 25 = 8 : 32 = ; 20/22 = 20 2 = 2 2 = N

(3 : (5 = ( : ( = ( ( (3 : (5 = ( 2 = (2)2 = 4 Q

a Q, n m N n < m an : am = an m = a p = (1/a)p

La potencia de exponente negativo de un Q es igual a la potencia de exponente positivo de su inverso.

Conclusin:

Si n = m an : am = an m = a0 = 1

Si n > m an : am = an m

Si n < m an : am = an m = a p = (1/a)p

NMEROS RACIONALES

Para qu se crearon los nmeros racionales?

Los nmeros racionales se crearon para dar solucin a los casos de imposibilidad de la divisin en Z.

Por qu se llama racional a este conjunto?

La palabra racional viene de la palabra razn, que indica un cociente.

A qu se llama nmero racional?

Se llama nmero racional a la razn entre dos nmeros enteros.

Se dice que un nmero es racional cuando se lo puede expresar como fraccin irreducible a/b, es decir a b son primos entre s.

Cmo est formado el conjunto de nmeros racionales?

El conjunto de nmeros racionales est formado por los nmeros enteros, y los no enteros, es decir, fraccionarios y decimales.

Qu es un nmero fraccionario?

Un nmero fraccionario es el cociente indicado de dos nmeros enteros. En smbolos: donde a y b son Z y b 0.

Cmo se clasifican las fracciones?

Las fracciones se clasifican en:

Fracciones decimales y ordinarias. Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.

Las fracciones ordinarias son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros.

A su vez las fracciones decimales y ordinarias se clasifican en:

Fracciones propias: Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador; representan menos que un entero. En la recta numrica quedan representadas entre cero y ms menos uno. En smbolos: a < b < 1.

Fracciones impropias: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador; representan ms de un entero; pueden expresarse como nmero mixto. En smbolos: a > b > 1 ; n donde n Z.

Fracciones aparentes: Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es mltiplo del denominador; representan a los nmeros enteros. En smbolos: a = mltiplo de b n siendo n Z. Si a = b 1

Conclusin: Todo nmero natural es un nmero entero y todo nmero entero positivo es natural. Todo nmero entero es un nmero real, el cual se puede expresar en la forma donde a y b son nmeros enteros y b 0. Un nmero entero n siempre puede escribirse como el nmero real . Puesto que la fraccin puede escribirse como un decimal al dividir el numerador a entre el denominador b, para obtener, ya sea

un decimal exacto (tambin llamado terminante) o

un decimal peridico (tambin llamado repetitivo)

Qu es un nmero decimal o expresin decimal?

Un nmero decimal o expresin decimal es el cociente de dos nmeros enteros. Est formado por una parte entera y otra decimal, separadas por la coma decimal. En smbolos: a,bc donde a es la parte entera; bc es la parte decimal es decir, indica partes de un entero.

Cmo se clasifican los nmeros decimales?

Los nmeros decimales se clasifican en:

Nmeros decimales exactos o terminantes. Ejemplo: = 0,75

Nmeros decimales peridicos (o repetitivos) puros: ejemplos: = 0,6; 0,4; 4,6

Nmeros decimales peridicos (o repetitivos) mixtos: ejemplos: 2,83; = 0,53

Cul es el orden de las unidades en un nmero decimal?

Sea la expresin decimal 364,127

Centenas

Decenas

Unidades

Coma

decimal

dcimos

centsimos

milsimos

3

6

4

,

0,1

0,02

0,007

300

60

4

3 102

6 101

4 100

1 10-1

2 10-2

7 10-3

Es decir, un nmero decimal puede expresarse en forma polinmica:

364,127 = 3 102 + 6 101 + 4 100 + 1 10-1 + 2 10-2 + 7 10-3

Aplicacin:

1) Determina si la proposicin es verdadera o falsa. Si es falsa, escribe un ejemplo que muestre que es falsa.

a) El opuesto de cualquier nmero positivo es negativo.

b) El opuesto de cualquier nmero negativo es positivo.

c) El valor absoluto de cualquier nmero real es positivo.

d) El negativo del valor absoluto de un nmero es igual al valor absoluto de su negativo.

e) El calor absoluto de un nmero es igual al valor absoluto de su opuesto.

f) Todo entero es un nmero racional.

g) Todo nmero racional es un entero.

h) Todo decimal terminante es racional.

i) Todo decimal no terminante es racional.

Extrado de lgebra de Ignacio Bello, pgina 80 (est el libro en la biblioteca del ISG)

2) Escribe la expresin decimal de las siguientes fracciones, clasifcalas:

a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =

CONVERSIN DE EXPRESIONES DECIMALES A FRACCIONES

Cmo se convierte una expresin decimal a fraccin? DEMOSTRACIN

Sean expresiones decimales de la forma a,bcd con a = 0.

Conversin de expresiones decimales exactas a fracciones decimales.

(Ejemplo: )Si a,bc es una expresin decimal exacta, donde a = 0 r = 0.

Segn el algoritmo de la divisin: D = d c + r

Reemplazamos c por su valor: D = d 0,14 + 0

Multiplicamos ambos miembros por 100 para operar con enteros: 100 D = d 0,14 100 + 0

Operamos y queda: 100 D = d 14

Hacemos pasaje de trminos y sabemos que D = a y d = b, entonces queda:

Obtenemos una fraccin decimal equivalente a la expresin decimal exacta dada.

Conversin de expresiones decimales peridicas puras a fracciones ordinarias.

Consideramos la expresin decimal peridica pura 0,15, donde 15 es peridica, para nuestro anlisis.

Si a,bc es una expresin decimal peridica pura, donde a = 0 r = D

(Consideremos: D=a d=bU d c dondea, 0 b r=a=D m n 0 0,15 entonces0, 0 a r=0,0D )Segn el algoritmo de la divisin: D = d 0,15 + r

Multiplicamos ambos miembros por 100:

100 D = 0,15 100 d + 0,0D 100

Operando queda: 100 D = 15 d + D

Haciendo pasaje de trminos es: 100D D = 15d

Por definicin de sustraccin, es: 99D = 15d

Haciendo pasaje de trminos:

Obtenemos una fraccin ordinaria equivalente a la expresin decimal peridica pura.

Conclusiones:

Toda expresin decimal peridica pura, de parte entera nula, se puede transformar en una fraccin ordinaria, tal que:

El numerador de la fraccin es el perodo de la expresin decimal.

El denominador est formado por tantos nueves como cifras tiene el perodo.

Conversin de una expresin decimal peridica mixta en fraccin ordinaria.

Consideremos la expresin 0,73 (con tres peridico) para nuestro anlisis.

(U d c donde: a 0 b 0,c = r1 0, c 0 0,73 0,0c = r2 0, 0 c Algoritmo numrico:D U d c D=a=111 1 15 d=b=15 0, 5 0 0,73 c=0,73 0, 0 5 r1=0,5 r2=0,05)Si a,bc es una expresin decimal peridica mixta, donde a = 0 r D, como el perodo tiene una cifra hay un resto c que se repite sucesivamente. Este resto es distinto de a porque el nmero decimal tiene una cifra no peridica.

Siendo D = a; d = b; r = c (restos de la divisin).

Segn el algoritmo de la divisin D = c d + r

Reemplazando, queda: D = 0,73 d + r2

( ) ()Multiplicando m. a m. por 100: 100D = 73d + c

De la 1 divisin: D = 0,7d + r1 y mult. por 10: 10D = 7d + c

Restando miembro a miembro, queda: 90D = 66d

Haciendo pasajes de trminos:

Es decir, llegamos a la fraccin ordinaria irreducible que dio origen a la expresin de anlisis

Conclusiones:

Toda expresin decimal peridica pura de parte entera nula, se puede transformar en una fraccin ordinaria, tal que:

El numerador es igual al nmero que forma la parte no peridica seguida del perodo, menos la parte no peridica.

El denominador est formado por tantos nueves como cifras tenga el perodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no peridica.

Expresiones decimales de la forma a,bcd con a 0

Cuando la parte entera es distinta de cero la expresin decimal es igual a la parte entera ms la fraccin que resulta al aplicar la regla correspondiente.

a) Expresin decimal exacta a,bc donde a 0:

b) Expresin decimal peridica pura a,bc donde a 0 y bc peridico:

c) Expresin decimal peridica mixta a,bc donde a 0; b no peridico y c peridico:

Expresiones decimales peridicas de perodo 9

Observa:

a) Sea la expresin a,b donde a = 0 y b = 9 peridico a,b =

Ejemplo: 0, 9 = 1

b) Sea la expresin a,b donde a 0 y b = 9 peridico

Ejemplos: a) 3,9 = 3 + b) 14,9 = 14 + = 14 + 1 = 15

Conclusin: Toda expresin decimal peridica pura de perodo nueve es igual al nmero entero que se obtiene sumando 1 a su parte entera.

c) Sea la expresin a,bc donde a = 0; b no peridico y c = 9 peridico a,bc =

Ejemplo: 0,59 =

d) Sea la expresin a,bc donde a 0; b no peridico y c = 9 peridico a,bc = a +

Ejemplo: 4,59 =

Conclusin: toda expresin peridica mixta de perodo nueve es igual a la expresin decimal que se obtiene sumando una unidad a la ltima cifra de la parte no peridica y descartando las cifras peridicas.

NOTACIN CIENTFICA

Qu resultado se obtiene al resolver (2)11 : (2)6?

Qu nmero se obtiene al resolver 204 205?

Qu valor tiene el cociente al dividir 1 : 125?

Cmo se leen esos nmeros? Escribe.

Halla con calculadora los resultados de las operaciones anteriores. Qu significan esos resultados?

Cmo se leen? Escribe. Para qu se utiliza?

Escribe en notacin cientfica los nmeros que aparecen a continuacin:

a) La distancia aproximada entre el Sol y Neptuno es de 4600 millones de km.

b) El dimetro aproximado de glbulos blancos (medida en mm) es de 0,012 mm.

c) 9400

d) 7 890 000

e) 0,0025

f) 0,0000546

Entonces, en qu consiste?

Nmero 1n